《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程練習(xí)計算題

1、 三、解答題1設(shè)對于事件、有，求、至少出現(xiàn)一個的概率。解：由于從而由性質(zhì)4知，又由概率定義知，所以 ，從而由概率的加法公式得 2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有3件次品,從中任意抽取5件，問其中恰有2件次品的概率是多少？ 解：設(shè)表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。則。5件產(chǎn)品中恰有2件次品的取法共有種，即。于是所求概率為 / 3一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）兩次都取到正品的概率； （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：設(shè)表示：“第次取出的是正品”（=1，2），則 （1）第二次取到次品的概率為 （2）兩次都取到正

2、品的概率為 （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率為 4一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（不放回）。求：（1）至少取到一個正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：設(shè)表示：“第次取出的是正品”（=1，2），則（1）至少取到一個正品的概率 （2）第二次取到次品的概率為 （3）恰有一次取到次品的概率為 5一批產(chǎn)品共有10件正品2件次品，從中任取兩件，求：（1）兩件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：設(shè)表示：“取出的兩件都是正品是正品”；表示：“取出的兩件恰有一件次品”； 表示：“取出的兩件至少取到

3、一件次品”；則（1）兩件都是正品的概率 （2）恰有一件次品的概率 （3）至少取到一件次品的概率 6一工人照看三臺機(jī)床，在一小時內(nèi)，甲機(jī)床需要照看的概率是0.6，乙機(jī)床和丙機(jī)床需要照看的概率分別是0.5和0.8。求在一小時中，（1）沒有一臺機(jī)床需要照看的概率； （2）至少有一臺機(jī)床不需要照看的概率。解：設(shè)表示：“沒有一臺機(jī)床需要照看”；表示：“至少有一臺機(jī)床不需要照看“；表示：“第臺機(jī)床需要照看”（=1，2，3）。則；。 7在某城市中發(fā)行三種報紙、，經(jīng)調(diào)查，訂閱報的有50%，訂閱報的有30%，訂閱報的有20%，同時訂閱及報的有10%，同時訂閱及報的有8%，同時訂閱及報的有5%，同時訂閱、報的有3

4、%，試求下列事件的概率： （1）只訂閱及報；（2）恰好訂閱兩種報紙。 解：（1） （2） 8一盒子中黑球、紅球、白球各占50%、30%、20%，從中任取一球，結(jié)果不是紅球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：設(shè)分別表示：“取到的是黑球、紅球、白球”（=1，2，3），則問題（1）化為求；問題（2）化為求。由題意兩兩互不相容，所以，（1）。因此由條件概率公式得 （2） 9已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（1） 該產(chǎn)品是次品的概率；（2） 若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是工廠的概率 。解：設(shè)表示“取到的產(chǎn)品是

5、次品”；“取到的產(chǎn)品是工廠的”；“取到的產(chǎn)品是工廠的”。則 （1） 取到的產(chǎn)品是次品的概率為 （2）若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是工廠的概率為 10有兩個口袋，甲袋中盛有4個白球，2個黑球；乙袋中盛有2個白球，4個黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求從乙袋中取出的是白球的概率。解：設(shè)表示：“由甲袋取出的球是白球”； 表示：“由甲袋取出的球是黑球”； 表示：“從乙袋取出的球是白球”。則 11設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4，又知第一、二、三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：（1）取到的是次品

6、的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”（）。 則，且，兩兩互不相容，（1） 由全概率公式得 （2）由貝葉斯公式得 = 12三家工廠生產(chǎn)同一批產(chǎn)品，各工廠的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的40%、25%、35%，其產(chǎn)品的不合格率依次為0.05、0.04、和0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是不合格品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”（）。 則，且，兩兩互不相容，由全概率公式得

7、（1） （2）由貝葉斯公式得 = 13有朋友遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人來遲的概率； ( 2 ) 若已知來遲了，此人乘火車來的概率。 解：設(shè)事件表示：“此人來遲了”；事件分別表示：“此人乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來”（，4）。則，且，兩兩互不相容 （1）由全概率公式得 （2）由貝葉斯公式得= 14有兩箱同類零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只（有放回），試求

8、：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）兩次都取到一等品的概率。 解：設(shè)表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品”；則 （1） （2） 15設(shè)一電路由三個相互獨(dú)立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞而發(fā)生斷路，求電路發(fā)生斷路的概率。 解：設(shè)表示：“第個電子元件被損壞”（=1，2，3），則有；。依題意所求概率為 16甲、乙兩人各自同時向敵機(jī)射擊，已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.8，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敵機(jī)被擊中；（2）甲擊中乙擊不中；（3）乙擊中甲擊不中。解：設(shè)事件表示：“甲擊中敵機(jī)”；事件表示：“乙擊中敵機(jī)”；事件表

9、示：“敵機(jī)被擊中”。則 （1） （2） （3） 17已知，求。 解：由于 所以 18設(shè)，求。解：由于 ， ，而 ， ， 故 。 19設(shè)事件、相互獨(dú)立，已知，。求：（1）； （2） 。解：由即 解得 所以 20設(shè)、為隨機(jī)事件，且，求：（1）；（2） 。解：（1）（2） 21設(shè)事件、相互獨(dú)立，已知，求： （1）； （2）。解：由條件 即 解得，所以（1）（2） 22設(shè)事件相互獨(dú)立，試證明： （1）事件相互獨(dú)立； （2）事件相互獨(dú)立； （3）事件相互獨(dú)立。 證明：（1）欲證明相互獨(dú)立，只需證即可。而 所以事件相互獨(dú)立。同理 （2）由于 所以事件相互獨(dú)立。 （3）由于 所以事件相互獨(dú)立。 23 若，證

10、明事件相互獨(dú)立。 證明：由于，且，所以 從而有 故由獨(dú)立性定義知，事件相互獨(dú)立。第二章 隨機(jī)變量及其分布三、解答題1設(shè)的概率分布為 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：（1）的分布函數(shù)； （2）、。 解：（1） ； ； 。 2從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨(dú)立的，且概率都相等。設(shè)X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)。解：由題意知服從二項分布，從而 ； ； ； 即的概率分布列為 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 由分布函數(shù)定義 3從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨(dú)立

11、的，且概率都是2/5。設(shè)X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)。 解：由題意知服從二項分布，從而 即的概率分布列為 0 1 2 3 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函數(shù)定義得 4一臺設(shè)備有三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的概率分布。 解：設(shè)：表示：“部件需要調(diào)整”。 ； ； 故的概率分布列為 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 5已知某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5，今獨(dú)立重復(fù)地作刺激試驗，直到發(fā)火為止，則消耗

12、的雷管數(shù)是一離散型隨機(jī)變量，求的概率分布。 解：的可能取值為1，2，。 記表示“第次試驗雷管發(fā)火”則表示“第次試驗雷管不發(fā)火”從而得 依次類推，得消耗的雷管數(shù)的概率分布為 6設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）系數(shù)；（2）的分布函數(shù)；（3）落在區(qū)間內(nèi)的概率。 解：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度必須滿足歸一性，因此由歸一性及定義可求出系數(shù)及的分布函數(shù)，至于（3）可由的分布函數(shù)求得。 （1）由歸一性， 解得。 （2）由連續(xù)型隨機(jī)變量的定義知的分布函數(shù)為 當(dāng)時，=0； 當(dāng)時， 當(dāng)時， 故的分布函數(shù)為 （3）所求概率為 7設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求：（1）系數(shù)； （2）落在區(qū)間（1，1）中的概率； （3）隨機(jī)

13、變量的概率密度。（提示：為反正切函數(shù)） 解：（1）由，解得。故得 （2） （3）所求概率密度為 8設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，以表示對的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，試確定常數(shù)，并求概率。解：由歸一性 所以=2。即 所以，從而 = 9在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地等1，2，3路汽車，設(shè)每個人等車時間（單位：分鐘）均服從0，5上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。解 ：設(shè)表示每個人等車時間，且服從0，5上的均勻分布，其概率分布為 又設(shè)表示等車時間不超過2分鐘的人數(shù)，則，所求概率為 10在電源電壓不超過200，200240和超過240伏的三種情況下，某種電子元件損壞

14、的概率分別為0.1，0.001和0.2,假定電源電壓，試求： （提示：）（1） 該電子元件被損壞的概率（2） 電子元件被損壞時，電源電壓在200240伏內(nèi)的概率。 解：設(shè)：“電源電壓不超過200伏”；：“電源電壓在200240伏”；：“電源電壓超過240伏”； ：“電子元件被塤壞”。 由于，所以 由題設(shè),所以由全概率公式 由條件概率公式 11一個盒子中有三只乒乓球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2。現(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：（1）和的聯(lián)合概率分布；（2）關(guān)于和邊緣分布； （3）和是否相互獨(dú)立？為什么？解：（1）的所有可能取值為(1，1)

15、、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。 于是（，）的概率分布表為 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 （2）關(guān)于和的邊緣概率分布分別為 1 2 1 2 1/3 2/3 1/3 2/3 （3）和相互獨(dú)立。因為有 12一袋中裝有3個球，分別標(biāo)有號碼1、2、3，從這袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分別表示第一次、第二次取得的球上的號碼，試求：（1）隨機(jī)向量的概率分布；（2）關(guān)于和關(guān)于的邊緣概率分布；（3）和是否相互獨(dú)立？為什么？ 解：（1）的取值為，由概率乘法公式可得同理可得 此外事件，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表為 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1

16、/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）關(guān)于的邊緣概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 關(guān)于的邊緣概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 （3）和不相互獨(dú)立，由于。 13一口袋中裝有四只球，分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，3?，F(xiàn)從袋中任取一球后不放回，再從袋中任取一球，以、分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：（1）和的聯(lián)合概率分布及關(guān)于和關(guān)于邊緣分布；（2）與是否獨(dú)立？為什么？解：（1）（，）的概率分布表為 1 2 3 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 的邊緣概率分布為 1 2 3 1/2 1/4 1/4 的邊緣概率分布為

17、1 2 3 1/2 1/4 1/4 （2）與不獨(dú)立，由于 14設(shè)為由拋物線和所圍成區(qū)域，在區(qū)域上服從均勻分布，試求：（1）的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；（2）判定隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立。 解：如圖所示，的面積為 因此均勻分布定義得的聯(lián)合概率密度為 1 而 所以關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布密度分別為 （2）由于，故隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立。15設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的概率分布為 求：（1）隨機(jī)變量X的密度函數(shù)； （2）概率。解：（1）時，=0； 時，= 故隨機(jī)變量的密度函數(shù)= （2） 16設(shè)隨機(jī)向量的概率密度為 試求:（1）常數(shù)；（2）關(guān)于的邊緣概率密度。解：（1）由歸一性 所以。 的聯(lián)合概率密度為 （2）關(guān)

18、于的邊緣概率密度為 即 同理可求得關(guān)于的邊緣分布密度為 17設(shè)隨機(jī)變量（，）具有概率密度 ，求（1）常數(shù)C；（2）邊緣分布密度。 解：（1）由于，故 1=所以=1，即 （2） ，即 ，即 18設(shè)和相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(，)聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律的部分值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。 1/81/121/61解： 1/121/87/241/21/121/87/241/21/61/47/121第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征三、解答題 1設(shè)隨機(jī)變量，求：（1） 常數(shù) ；（2）；（3）。 解：（1）由歸一性 1=從而得，； （2）= （3）由于= 于是 2設(shè)的分布密度為，求：數(shù)學(xué)期

19、望和方差。 解：= = 于是 3已知隨機(jī)變量的分布列如下， 0 1 2 0.3 0.2 0.5 試求：（1）、；（2）；（3）的分布函數(shù)。解： （1） （2）經(jīng)計算得的概率分布列 0 0.8 0.2 （3） 4設(shè)的概率分布為 求：和。 解：由于在有限區(qū)間1，5上服從均勻分布，所以；又由于服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，所以=、， 因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)2、性質(zhì)3及重要公式得 。5已知、分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求： （1）數(shù)學(xué)期望，方差；（2）與的相關(guān)系數(shù)。解：（1）由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得 （2） 從而有與的相關(guān)系數(shù) 6設(shè)隨機(jī)變量、獨(dú)立同服從參數(shù)為泊松分布，求與的相關(guān)系數(shù)。

20、 解：由條件、獨(dú)立同服從參數(shù)為泊松分布，所以，因此 Cov于是與的相關(guān)系數(shù)7設(shè)一部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個工作日內(nèi)無故障可獲利8萬元，發(fā)生一次故障仍獲利4萬元，發(fā)生兩次故障獲利0元，發(fā)生三次或三次以上要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少。 解：設(shè)表示生產(chǎn)利潤,表示每周發(fā)生故障的次數(shù)，則是的函數(shù)，而，其概率分布為 可能取值為2，0，4，8。 8設(shè)與獨(dú)立同分布，已知的概率分布為，又設(shè)，。求：（1）、；（2）隨機(jī)變量的協(xié)方差。 解：（1）的概率分布為 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 關(guān)于、的邊緣概率分

21、布分別為 1 2 3 1/9 3/9 5/9 1 2 3 5/9 3/9 1/9從而得 （2） Cov()= 9游客乘電梯從低層到電視塔頂層觀光，電梯每個整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘、55分鐘從低層起行。假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第分鐘到達(dá)低層候梯處，且在0，60上均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學(xué)期望。 解：已知在0，60上均勻分布，其概率分布為 設(shè)表示游客等候電梯時間（單位：分），則 因此 + 第四章隨機(jī)變量及其分布 三、解答題 1已知隨機(jī)變量的概率分布為 1 2 3 0.2 0.3 0.5 試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙嬍录母怕省?解：依題意，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率為 第五章隨機(jī)變量及其分布 三、解答題1設(shè)為的一個樣本， 其中為未知參數(shù)，求的極大似然法估計量。 解：設(shè)為觀測值，則構(gòu)造似然函數(shù) 令 解得的