誤差理論-2012.10.12.

1、公郵公郵 （意：物理實(shí)驗(yàn)王老師（意：物理實(shí)驗(yàn)王老師 ） 密碼：密碼：123456本人郵箱本人郵箱 電話：電話(有開(kāi)通飛信有開(kāi)通飛信) QQ: 1137023757王寧星王寧星本次課的目的本次課的目的1、掌握誤差、測(cè)量等基本概念、掌握誤差、測(cè)量等基本概念2、掌握數(shù)據(jù)處理的方法、掌握數(shù)據(jù)處理的方法誤差及偏差誤差及偏差 誤差的定義誤差的定義誤差誤差測(cè)量值測(cè)量值 x真值真值a真值：真值：客觀客觀 存在的真實(shí)值存在的真實(shí)值由于由于真值的不可知真值的不可知，誤差實(shí)際上很難計(jì)算，誤差實(shí)際上很難計(jì)算偏差偏差：測(cè)量值與近似真實(shí)值的差值為：測(cè)量值與近似真實(shí)值的差值為偏差偏差 xxxii

2、誤差誤差測(cè)量值測(cè)量值 x真值真值anxxnii/ )(1 假定對(duì)一個(gè)量進(jìn)行了假定對(duì)一個(gè)量進(jìn)行了n次等精度測(cè)量，測(cè)得的值次等精度測(cè)量，測(cè)得的值為為xi (i =1, 2，n)，可以，可以用多次測(cè)量用多次測(cè)量的的算術(shù)平均值算術(shù)平均值作為被測(cè)量的作為被測(cè)量的最佳值最佳值(假定無(wú)系統(tǒng)誤差假定無(wú)系統(tǒng)誤差)近似真實(shí)值近似真實(shí)值等精度測(cè)量等精度測(cè)量：在相同條件下進(jìn)行的多次測(cè)量在相同條件下進(jìn)行的多次測(cè)量 測(cè)量列測(cè)量列：在等精度測(cè)量中的一組在等精度測(cè)量中的一組n 次測(cè)量的值次測(cè)量的值 用用貝塞爾公式貝塞爾公式表示表示意義意義: 表示表示某次某次測(cè)量值的隨機(jī)誤差在測(cè)量值的隨機(jī)誤差在 之間的之間的 概率為概率為68

3、.3。 f()- 0 112 nxxSniixx 貝塞爾貝塞爾公式公式 naxniix 12 注意：若分子是誤差，則標(biāo)準(zhǔn)差：注意：若分子是誤差，則標(biāo)準(zhǔn)差：（中學(xué)用此公式）（中學(xué)用此公式）標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 （也稱（也稱均方誤差均方誤差）2. 算術(shù)算術(shù)平均平均值值的的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差差 意義意義: 測(cè)量測(cè)量平均值平均值的隨機(jī)誤差在的隨機(jī)誤差在 之間的概率之間的概率 為為 68.3%。反映了平均值接近真值的程度。反映了平均值接近真值的程度。xx f()- 0 112 nnxxnniixx 3、t 分布分布 實(shí)際中，測(cè)量次數(shù)實(shí)際中，測(cè)量次數(shù)n不可能趨于無(wú)窮。當(dāng)測(cè)量次數(shù)不可能趨于無(wú)窮。當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，隨

4、機(jī)誤差服從的規(guī)律是較少時(shí)，隨機(jī)誤差服從的規(guī)律是t分布。分布。正態(tài)分布正態(tài)分布f()t分布分布0t分布的曲線比正態(tài)分分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同，布函數(shù)不同，n較小時(shí)較小時(shí), , t分布偏離正態(tài)分布較分布偏離正態(tài)分布較多，多，n較大時(shí)較大時(shí), , 趨于正趨于正態(tài)分布態(tài)分布 112 nnxxttniix A A 112 nxxntniiA AxSntt分布分布標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差(正態(tài)分布）正態(tài)分布） 112 nnxxnniixx t分布分布 與正與正態(tài)分布的態(tài)分布的誤差計(jì)算誤差計(jì)算關(guān)系關(guān)系t值與測(cè)量次數(shù)有關(guān)值與測(cè)量次數(shù)有關(guān)nt /下表是當(dāng)置信度下表是當(dāng)置信度

5、p=0.95的的 t 值值 n34567891015100t4.33.182.782.572.452.362.312.262.141.972.481.591.204 1.050.9260.8340.7700.7150.5530.139所以對(duì)一般的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，也可用所以對(duì)一般的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，也可用S Sx x（貝塞爾公式）貝塞爾公式）作為作為估算誤差的公式。估算誤差的公式。 112 nxxntniiA AxSnt由上表可知，當(dāng)由上表可知，當(dāng)55n1010時(shí)，時(shí)， 接近接近1 1 A AS Sx xnt / 與與 及及t分布分布的誤差估算公式的誤差估算公式對(duì)比對(duì)比x x 測(cè)量列中測(cè)量列中某次某次測(cè)測(cè)量值

6、的標(biāo)準(zhǔn)偏差量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差 112 nxxSniixx 112 nnxxnniixx 測(cè)量次數(shù)測(cè)量次數(shù)n為為有限次：用有限次：用t分布（也分布（也可用可用貝塞爾公貝塞爾公 式）式）計(jì)算直接測(cè)量量的誤差。計(jì)算直接測(cè)量量的誤差。xSnt對(duì)對(duì)t分布分布 112 nnxxttniix A A測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的不確定度不確定度 22B BA Ax: 用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定B : 用估算方法評(píng)定用估算方法評(píng)定 取取 儀器誤差儀器誤差A(yù)取取偶然誤差偶然誤差合成合成不確定度不確定度 因真值得不到，測(cè)量誤差就不能肯定，所以用因真值得不到，測(cè)量誤差就不能肯定，所以用不確定不確

7、定度度的概念對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)做出評(píng)定比用誤差來(lái)描述更合理。的概念對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)做出評(píng)定比用誤差來(lái)描述更合理。 不確定度不確定度：表示由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被表示由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度。測(cè)量值不能確定的程度。儀器不確定度儀器不確定度一般?。鹤钚】潭龋ǚ侄戎担┑囊话闳。鹤钚】潭龋ǚ侄戎担┑?/10、1/5、1/2 或或最小刻度最小刻度例：用米尺測(cè)量某物的長(zhǎng)度為例：用米尺測(cè)量某物的長(zhǎng)度為202.5mm,儀器不確定度取儀器不確定度取0.5mm,0.5mm,即：即：L L= = 202.5 0.50.5mm（1）對(duì)儀器準(zhǔn)確度未知的）對(duì)儀器準(zhǔn)確度未知的（2）對(duì)非連續(xù)讀數(shù)儀器（如數(shù)字儀表）對(duì)非連

8、續(xù)讀數(shù)儀器（如數(shù)字儀表）取其最取其最末位末位數(shù)的一個(gè)數(shù)的一個(gè)最小單位最小單位 （3 3）已知儀器準(zhǔn)確度）已知儀器準(zhǔn)確度如一個(gè)量程如一個(gè)量程150m150mA，準(zhǔn)確度，準(zhǔn)確度0 0.2 2級(jí)的電流表級(jí)的電流表測(cè)某一次電流，讀數(shù)為測(cè)某一次電流，讀數(shù)為131131.2m2mA最大絕對(duì)最大絕對(duì)不確定度不確定度為為I I=150=1500.20.20 0.3m3mA測(cè)量的結(jié)果：測(cè)量的結(jié)果：I131131.2 20 0.3m3mA最大絕對(duì)不確定度：最大絕對(duì)不確定度：級(jí)級(jí)別別量量程程 I 如：電表如：電表電表板面上的符號(hào)電表板面上的符號(hào)交流交流U磁電系儀表磁電系儀表 或或 1.01.0準(zhǔn)確度等級(jí)準(zhǔn)確度等級(jí)為

9、為1.02絕緣強(qiáng)度試驗(yàn)電壓為絕緣強(qiáng)度試驗(yàn)電壓為2千伏千伏或或水平放置水平放置或或垂直放置垂直放置二級(jí)防外磁場(chǎng)：二級(jí)防外磁場(chǎng)：在在強(qiáng)度為強(qiáng)度為400AW/m(5奧斯特奧斯特)的直流的直流均勻外磁場(chǎng)下，儀表指示值的改變不應(yīng)超過(guò)均勻外磁場(chǎng)下，儀表指示值的改變不應(yīng)超過(guò)1.0 BU1.02B工作環(huán)境：工作環(huán)境：溫度：溫度：2050；濕度：；濕度：95以下以下 直流直流（2）A類不確定度類不確定度（偶然誤差）（偶然誤差）較大時(shí)：較大時(shí)：(1) A類不確定度與儀器不確定度類不確定度與儀器不確定度 相差不大時(shí)：相差不大時(shí)：可只取儀器可只取儀器不確定度不確定度(3)只測(cè)一次或只測(cè)一次或A類不確定度很小類不確定度

10、很小：I Ix AAx 22B BA A因因 不確定度不確定度 22B BA A x 112 nnxxtniiA A2222I IA AB BA Ax 實(shí)際中不確定度的處理原則：實(shí)際中不確定度的處理原則：xxx x 只取只取1位，下一位位，下一位0以上的數(shù)以上的數(shù)一律進(jìn)位一律進(jìn)位 2910 R例：例：s02.013.10 tx的的末位末位與與x所在位所在位對(duì)齊對(duì)齊，下，下1位簡(jiǎn)單采取位簡(jiǎn)單采取4舍舍5入入（1）測(cè)量值和）測(cè)量值和不確定度不確定度測(cè)量測(cè)量結(jié)果的表達(dá)：結(jié)果的表達(dá)：測(cè)量值、測(cè)量值、絕對(duì)不確定度絕對(duì)不確定度和和相對(duì)不確相對(duì)不確定度定度例：算得例：算得x2.12mm取取x3mm注：以上為

11、本教材的規(guī)定。不同的教材，有差異。注：以上為本教材的規(guī)定。不同的教材，有差異。算得算得R910.12,R1.234 算得算得t10.126s,t0.0123s%100 xEx %1000 理理理理xxxE有時(shí)候還需要將測(cè)量結(jié)果與有時(shí)候還需要將測(cè)量結(jié)果與公認(rèn)值公認(rèn)值或或理論值理論值進(jìn)行比較進(jìn)行比較（即：（即：百分誤差百分誤差）：）：相對(duì)相對(duì)不確定度不確定度mm5 . 00 .20002 Lmm4 . 03 .8021 L與與哪個(gè)測(cè)量不確定度?。磕膫€(gè)測(cè)量不確定度??？%050. 03 .8024 . 0%10011 xELL %025. 00 .20005 . 0%10022 xELL 一般取一般取

12、2位位（2）相對(duì)不確定度）相對(duì)不確定度%100 xExx %100000 xxxExxx 相對(duì)相對(duì)不確定度不確定度完整的結(jié)果完整的結(jié)果表示表示或或例例：用用50分度的游標(biāo)卡尺測(cè)某一圓棒長(zhǎng)度分度的游標(biāo)卡尺測(cè)某一圓棒長(zhǎng)度L，測(cè)量，測(cè)量6次，結(jié)果如下（單位次，結(jié)果如下（單位mm）：）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10則：則：測(cè)得值的最佳估計(jì)值為測(cè)得值的最佳估計(jì)值為mm09.250 L 0 0. .0 04 4m mm m0 0. .0 03 32 2 （ )1)(12nnLLtniiL不確定度不確定度（t =2.57)mmmm05. 009.2

13、50 L%020. 009.25005. 0 LE游標(biāo)卡尺的儀器游標(biāo)卡尺的儀器不確定度不確定度取取0.02mm,即即I=0.02mm合成不確定度合成不確定度m mm m05. 002. 004. 02222 I IAL 例：例：用螺旋測(cè)微計(jì)用螺旋測(cè)微計(jì)(分度值：分度值：0.01mm）測(cè)某一鋼絲的直）測(cè)某一鋼絲的直徑，徑，6次測(cè)量值次測(cè)量值yi分別為：分別為：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同時(shí)讀得螺旋測(cè)微計(jì)的零位同時(shí)讀得螺旋測(cè)微計(jì)的零位y0為：為：0.003, 單位單位mm，請(qǐng)給出測(cè)量結(jié)果。，請(qǐng)給出測(cè)量結(jié)果。解解：最佳值：最佳值不確定度不確定

14、度 0.247(mm)0.0030.2500 yyy0 0. .0 00 03 3m mm m ) 1()(12nnyytniiy%1 . 2247. 0005. 0 yE結(jié)果：結(jié)果：y=0.2470.005mm儀器不確定度：儀器不確定度：I I=0.004mm=0.004mmm mm m005. 0004. 0003. 02222 Iy 或取或取1/21/2分度值分度值0.005mm對(duì)于一級(jí)千分尺，一般對(duì)于一級(jí)千分尺，一般取取0.004mm0.004mm。實(shí)驗(yàn)室一般。實(shí)驗(yàn)室一般是一級(jí)千分尺。是一級(jí)千分尺。 222222)()()(zyxNzFyFxF ，zyxFN不確定度不確定度不確定度不確

15、定度 222)ln()ln()ln(zyxNNzFyFxFNE byaxN （1）22)()(yxNba （2）cbazykxN 222)()()(zcybxaNEzyxNN 完整的結(jié)果表示完整的結(jié)果表示xxx %100 xExx xExx 和相對(duì)不確定度哪個(gè)簡(jiǎn)單，先算哪個(gè)！和相對(duì)不確定度哪個(gè)簡(jiǎn)單，先算哪個(gè)！x 由準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成。由準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成。0 5 10 15 20mm例：例：13.7mm準(zhǔn)確準(zhǔn)確可疑（估讀）可疑（估讀）2、有效數(shù)字的、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則（1）加減）加減運(yùn)算的結(jié)果末位以參運(yùn)算的結(jié)果末位以參與運(yùn)算的與運(yùn)算的小數(shù)位小數(shù)位最少者相同。最少者相同。

16、 如如 7.65+8.268=15.92 75-10.356=65（2）乘除）乘除運(yùn)算結(jié)果的運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)有效位數(shù)多少，以參與運(yùn)算的有效位數(shù)多少，以參與運(yùn)算的有效位數(shù)最少的相同最少的相同或多一位或多一位。 如如 3.841 2.42=9.30 40009=3.6104 2.0000.99=2.00 7.65+) 8.268 15.918=15.92可疑可疑取一位可疑取一位可疑 3.8 4 1 2.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 7 6 8 2 9.2 9 5 2 2=9.30注意：不同注意：不同 3.8 4 1 8.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 43 0 7 2 83

17、 2.3 4 0 2 2=32.343位位4位位下劃下劃線表線表示可示可疑位疑位(3)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)、指數(shù)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)、指數(shù)運(yùn)算的結(jié)果有效數(shù)字運(yùn)算的結(jié)果有效數(shù)字三角函數(shù)三角函數(shù)：一般取四位：一般取四位 例：例：sin30o07(4位）位） sin30.12o=0.5018對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，其小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)（尾數(shù)）：結(jié)果的有效數(shù)字，其小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)（尾數(shù)） 與真數(shù)的位數(shù)相同與真數(shù)的位數(shù)相同 例：例：ln15.55=2.7441（4）自然數(shù)自然數(shù) 1,2,3,不是測(cè)量而得，可以視為無(wú)窮不是測(cè)量而得，可以視為無(wú)窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，如多位有效數(shù)字的位數(shù)，如D2R，D的位數(shù)僅由直測(cè)的位數(shù)僅由

18、直測(cè)量量R的位數(shù)決定。的位數(shù)決定。4位位（5）無(wú)理常數(shù)無(wú)理常數(shù)的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如例如L2R, 應(yīng)比應(yīng)比R多取一位多取一位，若，若R2.23cm（3位），則位），則取取3.142（4位）位）, 或用計(jì)算器輸入或用計(jì)算器輸入 。注：注：1、不用算誤差時(shí)，要用上面的規(guī)定確定有效位數(shù)。、不用算誤差時(shí)，要用上面的規(guī)定確定有效位數(shù)。 2、若為減少運(yùn)算中出現(xiàn)過(guò)多位時(shí)用此規(guī)定，但中、若為減少運(yùn)算中出現(xiàn)過(guò)多位時(shí)用此規(guī)定，但中 間過(guò)程可間過(guò)程可多取多取12位（可疑位）位（可疑位）（但不能任意減（但不能任意減 少）少），最后由不確定度決定，最后由不確定度決定。 例例

19、 已知一圓柱體的質(zhì)量已知一圓柱體的質(zhì)量 , 高度高度 , 用千分尺測(cè)量得直徑用千分尺測(cè)量得直徑D的數(shù)據(jù)如的數(shù)據(jù)如下表，求圓柱體的密度下表，求圓柱體的密度及不確定及不確定度度。)(01. 006.14g g M)mm(05. 015.67 HHD次數(shù)次數(shù)i 1 2 3 4 5 6平均平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645解：解： )mm(645. 51iDnD次數(shù)次數(shù)i 1 2 3 4 5 6平均平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 561034.6357. 2162 nnDDtiD=0.00373

20、0.0038(mm)查表，查表，n6時(shí)的時(shí)的t值值中間過(guò)程可多中間過(guò)程可多保留保留12位位)(.DDDmm00706455 合成不確定度合成不確定度mm006300050003802222.DD I I 千分尺的分度值是千分尺的分度值是0.01mm，若儀器若儀器不確定度不確定度取取1/2分度值：分度值： I I= 0.005mm= 0.005mm)/(.HDM322cmg3663871565645014163061444 )(01. 006.14g g M)cm(005. 0715. 6)mm(05. 015.67 H)(.)(.Dcm0007056450mm00706455 比參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)

21、中最少的位比參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)中最少的位數(shù)多一位，或就用數(shù)多一位，或就用表示。表示。%19. 0 )(.%.3g/cm0200159036638190 )g/cm(02. 037. 83 222)()2()(HDMEHDM cbazykxN 222)()()(zcybxaNzyxN )cm(005. 0715. 6 H)(.Dcm0007056450 )(01. 006.14g g M22271560050564500007020614010).().().( 用附表用附表中最后中最后一行公一行公式式與不確定度所在位與不確定度所在位對(duì)齊對(duì)齊（指小數(shù)位）（指小數(shù)位）相對(duì)不確定度取相對(duì)不確定度取2位（

22、有效位（有效位，不是小數(shù)位）位，不是小數(shù)位）不確定度取不確定度取1位位HDM24 作圖時(shí)要作圖時(shí)要先整理出先整理出(或算出）數(shù)據(jù)表格或算出）數(shù)據(jù)表格，并，并要要用正用正規(guī)紙張作圖規(guī)紙張作圖。T(C0)R()15.0 20 .0 25 .0 30 .0 35.0 40 .0 45 .0 50 .0 55.0T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R()2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107RT 曲線曲線3.1003.0503.0002.9502.9002.8502.8000.01 為為2小格小格數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)中最后最后一位一位準(zhǔn)確位準(zhǔn)確位(即

23、數(shù)據(jù)的倒數(shù)第二位）即數(shù)據(jù)的倒數(shù)第二位）對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于整數(shù)格整數(shù)格： 1 C0 為為2小格小格數(shù)字標(biāo)整數(shù)，數(shù)字標(biāo)整數(shù)，標(biāo)到可疑位標(biāo)到可疑位作者：張三作者：張三 日期：日期：2010.3.15.不當(dāng)圖例展示不當(dāng)圖例展示：n(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.69001.6800600400玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖圖圖1曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實(shí)線板等工具把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、均勻的細(xì)實(shí)線。均勻的細(xì)實(shí)線。n(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.6

24、9001.6800600400玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為：定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不圖紙使用不當(dāng)當(dāng)。實(shí)際作。實(shí)際作圖時(shí)，坐標(biāo)圖時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)原點(diǎn)的讀數(shù)可以可以不從零不從零開(kāi)始。開(kāi)始。定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.001.151.201.101.05 P(105Pa)50.090.070.020.080.060.040.030.0t()改正為：改正為： 112A nnxxtnii 誤差估算公式誤差估算公式做圖：整數(shù)格做圖：整數(shù)格對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)中對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)中最后最后一位一位準(zhǔn)確位準(zhǔn)確位(即數(shù)即數(shù)據(jù)的倒數(shù)第二位）據(jù)的倒數(shù)