大學(xué)物理電磁學(xué)第八章 磁場

1、1第第8章章 磁場的源磁場的源 本章研究電流激發(fā)磁場的規(guī)律，本章研究電流激發(fā)磁場的規(guī)律，磁場的磁場的高斯定律高斯定律和和環(huán)路定理環(huán)路定理，討論非，討論非均勻磁場中電流、線圈、運(yùn)動電荷受均勻磁場中電流、線圈、運(yùn)動電荷受力問題，掌握電流磁場的計(jì)算。力問題，掌握電流磁場的計(jì)算。 28.1 畢奧畢奧 薩伐爾定律（穩(wěn)恒電流磁場）薩伐爾定律（穩(wěn)恒電流磁場）204rrlIdBd方向方向:大小大小:204rIdldBsin 右手螺旋法則。右手螺旋法則。一、電流元產(chǎn)生的磁場一、電流元產(chǎn)生的磁場:rlId到場點(diǎn)到場點(diǎn)P的徑矢。的徑矢。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：二、任意形狀載流導(dǎo)線的磁場二、任意形狀載流導(dǎo)線的磁場BdB

2、LrrlId204I IP Pr rlId BdrBdlId3 Note：1 該定律僅適用于該定律僅適用于穩(wěn)恒電流元穩(wěn)恒電流元。2 B-S定律符合磁場的迭加原理；定律符合磁場的迭加原理； 在計(jì)算時(shí)一般用其在計(jì)算時(shí)一般用其分量式。分量式。3 電流元電流元不能不能在自身方向上激發(fā)磁場。在自身方向上激發(fā)磁場。三、三、 B-S 定律的應(yīng)用定律的應(yīng)用求磁場求磁場求幾種典型穩(wěn)恒電流分布的磁場分布。求幾種典型穩(wěn)恒電流分布的磁場分布。4例例1 求載流長直導(dǎo)線求載流長直導(dǎo)線L的磁場分布。的磁場分布。Bd0r21rol方向：激發(fā)的磁場寫出20sin4) 1 (rIdldBBdlIdBALrIdldBBBL20si

3、n4)2(激發(fā)的磁場寫出ctgrctgrl00)()3(積分運(yùn)算lIdI5sin)sin(0rrBd0r21rollIdctgrctgrl00)(drdrdl2020sin)sin(2202sinrr 2121sin4sin4002000drIrdrIB方向：)cos(cos42100rIBBALrIdldBB20sin4代入：6)cos(cos42100rIB（4）討論：）討論：若導(dǎo)線為若導(dǎo)線為半半無限長，無限長，,180,9021004rIB P PI I(2)(2) P PI I(1)(1) 若直線上若直線上P P點(diǎn)：點(diǎn)：0B P PI I(3)(3)Bd0r21rollId若導(dǎo)線為無限

4、長，若導(dǎo)線為無限長，,180,021002rIB71 無限長無限長載流載流直線：直線：大?。捍笮。?2IBa 方向：方向：與電流成右手螺旋與電流成右手螺旋Ba 如果是無限長如果是無限長帶電帶電直線：直線：大小：大?。?2Ea 方向：方向：/Ea 2 半無限長半無限長載流載流直線：直線：大?。捍笮。?4IBa 方向：方向：與電流成右手螺旋與電流成右手螺旋Ba 如果是半無限長如果是半無限長帶電帶電直線：直線：024Ea 大?。捍笮。悍较颍悍较颍号c與帶電帶電直線成直線成 角角45o83 載流載流直線直線的延長線上的延長線上：/Idlr 0dB 0B 如果是如果是帶電帶電直線直線的延長線上的延長線上：

5、0E )11(40LddE9例例2 求半徑為求半徑為R電流為電流為I的載流圓線圈軸線上的的載流圓線圈軸線上的 磁場分布。磁場分布。垂直軸的分量相互抵消關(guān)于軸線對稱，與由于BdBdcosdBB202cosrRRrR解解 取一對對稱的電流源，取一對對稱的電流源， 它們在它們在p點(diǎn)產(chǎn)生一對元磁場點(diǎn)產(chǎn)生一對元磁場.0rPIBdBd 0rrR10討論：討論： 在圓心處，在圓心處，r0=0, RIB200一段圓弧在圓心處磁場，一段圓弧在圓心處磁場，RIB2200202cosrRRrR)()(42202200RrRRrIdlB)(42200RrIdldBBdBd 0rrR2/322020)(2RrIRBdl

6、RrIR232200)(411l軸線以外的磁場較復(fù)雜，軸線以外的磁場較復(fù)雜，可定性給出磁感應(yīng)線可定性給出磁感應(yīng)線，電流與電流與B線仍服從右手螺旋關(guān)系。線仍服從右手螺旋關(guān)系。磁偶極子NS磁偶極矩磁偶極矩mISn 若有若有N匝線圈，總磁矩為：匝線圈，總磁矩為：mNISn l x R時(shí)：時(shí)：33222xISxIRBoo 即即:32omBx 比較：比較：32xPEo (延長線上延長線上) n與與I的方向的方向 成右手關(guān)系成右手關(guān)系12例例3 3 無限長直線電流無限長直線電流( (I I1 1,I,I2 2, ,距離距離P P點(diǎn)均為點(diǎn)均為d),d),求求B BP P2221BBBPI I1 1 d dd

7、 d P PI I2 2,2101dIB,2202dIB例例4 4 彎曲載流導(dǎo)線彎曲載流導(dǎo)線( (如圖如圖) )在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)，O O為兩為兩半圓弧的共同圓心半圓弧的共同圓心( (R R1 1,R,R2 2) )，電流自，電流自 遠(yuǎn)遠(yuǎn)來到來到 遠(yuǎn)遠(yuǎn)去，則去，則B BO O= =？ OR R1 1R R2 21 12 23 34 45 5)4(4040202010RIRIRIBO P P1B2B222102IIdBP13例例5 求如圖所示的載流導(dǎo)線在圓心求如圖所示的載流導(dǎo)線在圓心0處的磁場。處的磁場。IOR2133210BBBB解解 將導(dǎo)線看成由三部分組成將導(dǎo)線看成由三部分組成01BR

8、IRIB832223002RIB403方向：垂直向外。) 123(40320RIBBB14例例6 6 求載流直螺線管的磁場求載流直螺線管的磁場( (R,I,nR,I,n) )解：解：( (方向勻向右方向勻向右) )232220)(2lRIndlRdB)cos(cos2120nIdBBdI看作許多圓電流壓在一起看作許多圓電流壓在一起 2 2 1 1BdP P dll dllddsR22sinlRRdlRds22dIndBsin20sindsdl 152 2 端點(diǎn)處端點(diǎn)處：20nIB)2, 0(123 3 外部外部：0B無限長直螺線管無限長直螺線管, ,管內(nèi)為均勻場管內(nèi)為均勻場, ,管外管外B=0

9、B=0aIB20RIB20nIB0無限長直線電流：無限長直線電流：圓電流圓心：圓電流圓心：無限長螺線管：無限長螺線管：1 1 無限長：無限長：), 0(12nIB0討論討論 2 2 1 1)cos(cos2120nIB16例例7 一根細(xì)棒彎成圓環(huán)形狀，如圖，棒上單位長一根細(xì)棒彎成圓環(huán)形狀，如圖，棒上單位長帶電帶電 （電荷的線密度），設(shè)此圓環(huán)繞它的軸線以（電荷的線密度），設(shè)此圓環(huán)繞它的軸線以角速度角速度 旋轉(zhuǎn)，試求其軸線上旋轉(zhuǎn)，試求其軸線上p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)形成電流解：帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)形成電流整個圓環(huán)的電量整個圓環(huán)的電量q=2 R 而而 =2 n n= /2 電流電流

10、I=qn= 2 R n= R軸線上軸線上p點(diǎn)的磁感強(qiáng)度：點(diǎn)的磁感強(qiáng)度：232230232022022xRRrRIRB0RIpx 17例例8 有一均勻帶電細(xì)直導(dǎo)線段有一均勻帶電細(xì)直導(dǎo)線段AB，長為長為b，線密線密度為度為 ，繞，繞0軸以軸以 勻速轉(zhuǎn)動，勻速轉(zhuǎn)動，A端距端距0軸距離軸距離a不不變。求變。求0點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁矩和磁矩pm 。AB Oabrdr解解 這是帶電線旋轉(zhuǎn)形成電流，電流這是帶電線旋轉(zhuǎn)形成電流，電流又激發(fā)磁場的問題。又激發(fā)磁場的問題。 帶電線各線元繞軸轉(zhuǎn)動時(shí)形成帶電線各線元繞軸轉(zhuǎn)動時(shí)形成半徑不同的載流圓環(huán)，在半徑不同的載流圓環(huán)，在o點(diǎn)的點(diǎn)的B為為)(2(20dr

11、ndqdIrdIdBabarrdrdBBbaaln44000 18求磁矩求磁矩m半徑為半徑為r的的dr圓環(huán)產(chǎn)生的磁矩圓環(huán)產(chǎn)生的磁矩dm為為drrdrrdIrdm2222233262abadrrdmmbaaAB Oabrdr19例例9 求半徑為求半徑為R的無限長半圓形柱面導(dǎo)體軸線上的無限長半圓形柱面導(dǎo)體軸線上p點(diǎn)的磁場。其上流有電流點(diǎn)的磁場。其上流有電流I，電流均勻分布。電流均勻分布。IdlRBd解：解：dlRIdIRdIdB20 xysin290cos0RdIdBdBxsin20RdIdBBxRdRIdlRIRsin22sin2200RIdRI20020sin2沿沿x軸正方向軸正方向l d20

12、*8.2 勻速運(yùn)動點(diǎn)電荷的磁場勻速運(yùn)動點(diǎn)電荷的磁場討論穩(wěn)恒電流中勻速運(yùn)動電荷激發(fā)的磁場（非討論穩(wěn)恒電流中勻速運(yùn)動電荷激發(fā)的磁場（非相對論的相對論的vc情況）情況）一、單個運(yùn)動電荷的磁場一、單個運(yùn)動電荷的磁場電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度 I 的的微觀模型微觀模型:正電荷以正電荷以 定向運(yùn)動。定向運(yùn)動。vSvInvsqdtdqI21電流電流vqnSdtdqI電流元電流元2020)(44rrl dvqnSrrlIdBd電荷數(shù)電荷數(shù)單個電荷單個電荷nSdldN .420rnSdlrl dvqnSdNBdB方向沿方向沿方向方向vld204rrvqB即Note:Note:1. 1. 上式成立的條件：上式成立的條件：v

13、c(v 1 畫示意圖，分析磁場的對稱性畫示意圖，分析磁場的對稱性2 2 選取積分路徑選取積分路徑L L，L L應(yīng)滿足以下條件應(yīng)滿足以下條件： 環(huán)路必須過所求的場點(diǎn)環(huán)路必須過所求的場點(diǎn) L L盡量簡單盡量簡單( (圓形、矩形圓形、矩形) )或：一部分或：一部分B=0(B=0(或或 ), ),另部分另部分l dB/l dB3 3 計(jì)算計(jì)算. . B L L上各點(diǎn)上各點(diǎn) 大小相等大小相等, , 方向方向 ；l dB/L1IBa ac cd db b內(nèi)iLIl dB0.8.4 利用安培環(huán)路定理求磁場的分布利用安培環(huán)路定理求磁場的分布方法：方法：40例例1 兩根長直導(dǎo)線通有電流兩根長直導(dǎo)線通有電流I，圖

14、示有三種環(huán)路，圖示有三種環(huán)路，每種環(huán)路的每種環(huán)路的 等于多少？等于多少？Ll dB I Iabc對環(huán)路對環(huán)路a:Il dBa0對環(huán)路對環(huán)路b:0bl dB對環(huán)路對環(huán)路c:IIIl dBb002解：根據(jù)安培環(huán)路定理解：根據(jù)安培環(huán)路定理41例例2 如圖，兩根直導(dǎo)線如圖，兩根直導(dǎo)線ab 和和cd沿半徑方向沿半徑方向 被被接到截面處處相等的鐵環(huán)上，穩(wěn)恒電流接到截面處處相等的鐵環(huán)上，穩(wěn)恒電流I從從 a端流入而從端流入而從d 端流出，則端流出，則B沿沿L的積分為何？的積分為何？II0120Labcd1I2I解解 21IbcIbcUU 221121RIURIUIbcIbc2112RRIISLR2231232

15、rr21222IIIIII322IIl dBL0203220Il dBL42例例3 求半徑為求半徑為R、均勻分布有電流均勻分布有電流I的無限長的無限長 載流圓柱載流圓柱面面內(nèi)外的磁場分布。內(nèi)外的磁場分布。BI解：解： 載流圓柱面的磁場的特點(diǎn)：載流圓柱面的磁場的特點(diǎn)：rBdlBldBLL2cos)()(由安培環(huán)路定理，選磁力線方向?yàn)橛砂才喹h(huán)路定理，選磁力線方向?yàn)榄h(huán)路環(huán)路L的積分方向，有：的積分方向，有：磁場軸對稱距軸線磁場軸對稱距軸線相同相同r處處的的B大小大小相等，相等， B的方向垂直于軸線沿對稱于的方向垂直于軸線沿對稱于軸線的同心圓的軸線的同心圓的切線方向切線方向，滿足右手，滿足右手螺旋關(guān)系

16、。螺旋關(guān)系。43IILio0)(內(nèi)rBldBL2)(外外rIB20外BIrBldBL2)(內(nèi)內(nèi)0)(內(nèi)LioI0內(nèi)BBr 圖：圖：rBR44例例4 求半徑為求半徑為R、電流為電流為I的無限長均勻載流的無限長均勻載流 圓柱圓柱體體內(nèi)外的磁場分布。內(nèi)外的磁場分布。解：解： 載流圓柱體的磁場的特點(diǎn)：載流圓柱體的磁場的特點(diǎn)：rBdlBldBLL2cos)()(選磁力線方向?yàn)榄h(huán)路選磁力線方向?yàn)榄h(huán)路L的積分方向：的積分方向：)( 內(nèi)LioII 磁場軸對稱磁場軸對稱相同相同r處處的的B大小相大小相等，等， B的方向垂直于軸線沿對稱于軸的方向垂直于軸線沿對稱于軸線的線的同心圓的切線方向同心圓的切線方向。B45

17、IB若若IIRrLi)(,內(nèi)則rrIB120外可得若若2222)(,RIrrRIIRrLi內(nèi)則rrRIB202內(nèi)可得Br 圖：圖：rBR46例例5 一根同軸電纜由半徑一根同軸電纜由半徑R1的長導(dǎo)線和套在的長導(dǎo)線和套在它外面的內(nèi)半徑為它外面的內(nèi)半徑為R2外半徑外半徑R3的同軸導(dǎo)體管組的同軸導(dǎo)體管組成。電流成。電流I沿導(dǎo)線向上流去，由圓筒流回。求同沿導(dǎo)線向上流去，由圓筒流回。求同軸電纜的軸電纜的B分布。分布。解：解： 無限長同軸電纜的磁場特點(diǎn)：無限長同軸電纜的磁場特點(diǎn)：磁場是軸對稱的，選磁力線方向磁場是軸對稱的，選磁力線方向?yàn)榄h(huán)路為環(huán)路L的積分方向，有：的積分方向，有：I2R3RIrBdlBldB

18、LL2cos)()(若若2222)(1,RIrrRIIRrLi內(nèi)則rRIB202內(nèi)可得47若若IIRrRLi)(21,內(nèi)則rIB20中可得2222223)(32,RrRRIIIRrRLi內(nèi)則若2223222012RRRrrIB可得管0,)(3IIIRrLi內(nèi)則若0外可得BI2R3RI48例例6 電流均勻地流過無限大平面導(dǎo)體薄板，面電流均勻地流過無限大平面導(dǎo)體薄板，面 電流密度為電流密度為j。設(shè)板的厚度可忽略不計(jì)。求設(shè)板的厚度可忽略不計(jì)。求 板外任一點(diǎn)處的板外任一點(diǎn)處的B。 j解：平板電流可看成是由無限多解：平板電流可看成是由無限多根平行排列的長直電流組成。根平行排列的長直電流組成。由對稱性分析

19、可知，磁場在板由對稱性分析可知，磁場在板的兩側(cè)同一的兩側(cè)同一r處，大小相等、方處，大小相等、方向相反。取矩形環(huán)路：向相反。取矩形環(huán)路：BdcdbaabBcdBabBl dBL2jBabjabB0021249or-epv3ror/2例例7 無限長圓柱金屬導(dǎo)體無限長圓柱金屬導(dǎo)體(r)， ，在圓柱體內(nèi)，在圓柱體內(nèi)oo軸線挖軸線挖一個直徑為一個直徑為 的圓柱空洞，空洞側(cè)面與的圓柱空洞，空洞側(cè)面與oo相切，在未相切，在未挖洞部分通以均勻分布的電流挖洞部分通以均勻分布的電流I，方向沿方向沿oo向下。再距向下。再距軸線軸線3r處有一電子（電量為處有一電子（電量為-e）沿平行于沿平行于oo軸方向，在軸方向，在

20、中心軸線中心軸線oo和空洞軸線決定的平面內(nèi)，向下以速度和空洞軸線決定的平面內(nèi)，向下以速度 飛飛經(jīng)經(jīng)p點(diǎn)。求電子經(jīng)點(diǎn)。求電子經(jīng)p時(shí)，所受的力。時(shí)，所受的力。r21v解解 導(dǎo)體柱中的電流密度：導(dǎo)體柱中的電流密度：22215164/rIrrI填補(bǔ)法填補(bǔ)法求求p處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：將導(dǎo)體柱看成由向下的將導(dǎo)體柱看成由向下的實(shí)心實(shí)心載載流流大大圓柱和載有同樣電流密度圓柱和載有同樣電流密度的向上的的向上的實(shí)心實(shí)心小圓柱體迭加而小圓柱體迭加而成的。成的。50LiIl dB0根據(jù)根據(jù)得得6rB01oorp3r 1B201)3(2rrB2024)43(2rrrB8802rB得得26441021rBBB

21、 oor/2p3r2B 設(shè)實(shí)心大圓柱在設(shè)實(shí)心大圓柱在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為場為B1，實(shí)心小圓柱的場為實(shí)心小圓柱的場為B251Bv eBvqfmrIevevBfm049582方向向左方向向左oorr/2-epv3rB 52例例8 將一無限大均勻載流平面放入均勻磁場將一無限大均勻載流平面放入均勻磁場 中中（設(shè)均勻磁場方向沿（設(shè)均勻磁場方向沿 X 軸正方向），且其電流方軸正方向），且其電流方向與磁場方向垂直指向紙內(nèi)。已知向與磁場方向垂直指向紙內(nèi)。已知放入后放入后平面兩平面兩側(cè)的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為側(cè)的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為 求：該載流平面上求：該載流平面上單位面積所受的磁場力的大小和方向？單位面積所受的磁場力的大小和方向？0B。和21BBB解解 設(shè)設(shè) i為載流平面的面電流為載流平面的面電流密度密度 , 為為載流平面載流平面的磁感的磁感應(yīng)強(qiáng)度，作安培環(huán)路應(yīng)強(qiáng)度，作安培環(huán)路abcda，由安培環(huán)路定理得：由安培環(huán)路定理得：ihBhBh0,01BBB由于,02BBBYXB1B2iB021abcdhBBYXB1B253 0120/)(2BBBi)(21210BBB)(2112BBB在無限大平面上沿在無限大平面上沿Z軸方向上取長軸方向上取長dl，沿沿X軸軸方向取寬方向取寬da，則其面積為則其面積為 ,dldadS 面元在面元在B0中