順序定積分的積分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1順序定積分的積分法順序定積分的積分法【定理定理】【注意】【注意】（1 1）可可 2、定積分的第二類換元法、定積分的第二類換元法-變量代換法變量代換法(2)(2)三換三換(3)不不必必回回代代第2頁/共29頁【例例2】計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx【解解1 1】250cos(cos )xdx 6201cos6x 11(0 1)66第一組例題：定積分的第一類換元法第一組例題：定積分的第一類換元法-湊微分法湊微分法【解解2 2】令令,cosxt :10t:0,2x 015dtt1066t .61 150t dt 【例例2】 【例例3】250cos(cos )xdx 原式第3頁/共29

2、頁【例例3】計(jì)算計(jì)算【解解】.sinsin053 dxxx35sinsinxx 原原式式= = 320cossinxxdx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 32sin(1 sin)xx 32sincosxx第4頁/共29頁【例例1 1】計(jì)算計(jì)算).0(d022axxaa令令,sintax 則則,dcosdttax 原式原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS【解解】第二組例題：定積分的第二

3、類換元法第二組例題：定積分的第二類換元法-變量代換變量代換三角代換、三角代換、根式代換、根式代換、倒代換、倒代換、指數(shù)代換指數(shù)代換:02t :0,xa【例例1】【例例4】第5頁/共29頁【例例4】計(jì)算計(jì)算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt則則,dd,212ttxtx原式原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322:13t:04,x第6頁/共29頁第三組例題：定積分的證明題第三組例題：定積分的證明題（學(xué)方法（學(xué)方法,記結(jié)論）記結(jié)論）【例例5】【例例6】【例例7】 2200)(cos)(sin )1( dxxfdxxf【例例6】 00)(sin

4、2)(sin)2(dxxfdxxxf【例例7】f (x)是以是以T為周期為周期, ,則對(duì)任意則對(duì)任意a，0(1)( )( ).a TTaf x dxf x dx 0(2)( )( )a nTTaf x dxnf x dx 第7頁/共29頁【證證】,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf0()aft dt )(xf偶函偶函, ,則則 ( )() 2 ( ),f xfxf x )(xf奇函奇函, ,則則 0(),afx dx 00( )()( )aaaaf x dxfx dxf x dx 0( )(),af xf

5、x dx 0( )2( )aaaf x dxf x dx ( )() 0,f xfx ( )0aaf x dx 第8頁/共29頁上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 【證證1 1】)(xf 1 , 0 2200)(cos)(sin )1( dxxfdxxf【例例6】若若在在sincos()2xx 20= cos()2fx dx 左左20cos() ()22fx dx 20cos fu du 20cos fx dx sin()cos2xx sin x sin x sin()cos2tt cos xcoscosux【分析分析】【再分析再分析】類似第一類換元法類似第一類換元法-湊微分法湊微分法積分限變化積分限變

6、化第9頁/共29頁上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 【證證2 2】設(shè)設(shè)tx 2,dxdt )(xf 1 , 0 2200)(cos)(sin )1( dxxfdxxf【例例6】若若在在. 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf:02t :0,2x sin x sin()cos2xx cos x【再分析再分析】類似第二類換元法類似第二類換元法-變量代換法變量代換法積分限積分限變化變化tt第10頁/共29頁設(shè)設(shè)tx ,dxdt 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft0() (sin )t ft dt 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 )(xf1

7、, 0 00)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf【例例6】若若在在 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf【再分析再分析】:0t :0,x 類似變量代換法類似變量代換法sin x sin()sinxx tt【證證2 2】結(jié)結(jié)論論成成立立積分限積分限變化變化第11頁/共29頁原原式式= =20sin21cosxdxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 【例例6】 02cos1sindxxxx利用例利用例6結(jié)論，計(jì)結(jié)論，計(jì)算算第12頁/共29頁【例例7】設(shè)設(shè)f (x)是以是以T為周期的連

8、續(xù)函數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù), ,則對(duì)任意則對(duì)任意a， 0(1)( )( ).a TTaf x dxf x dx 【證證】 TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00對(duì)第三個(gè)積分，對(duì)第三個(gè)積分，xtT 設(shè)設(shè) TaTdxxf)( adtTtf0)( adttf0)(0( )af x dx (1)成成立立xTt 總結(jié)總結(jié) 定積分的證明題考慮：定積分的證明題考慮：積分區(qū)間的分割性、積分區(qū)間的分割性、 換元法換元法( (變量置換變量置換) )、定積分與積分變量無關(guān)。、定積分與積分變量無關(guān)。 第13頁/共29頁【證證(2)(2)】 0a nTnTa 【例例7】設(shè)設(shè)f (x)是以是以T

9、為周期的連續(xù)函數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù), ,則對(duì)任意則對(duì)任意a， 0(1)( )( ).a TTaf x dxf x dx 0(2)( )( )a nTTaf x dxnf x dx 0Tn ()nN 01sin2nxdx 計(jì)計(jì)算算()nN 01 sin2nxdx 20(sincos )nxx dx 0sincosnxx dx 02sin()4nxdx 5442sinnt dt 02sinnt dt 第14頁/共29頁【例例9】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2( 41 計(jì)計(jì)算算【解解】換元換元, ,令令tx 2,dxdt dxxf)2( 41 21)( dttf 20

10、012cos1dttetdtt先求先求f( (x-2) )較麻煩較麻煩 2022102122cos2tdtedtt 202011tan22tte 4111tan222e : 12t :14,x第15頁/共29頁【練習(xí)練習(xí)1 1】.)ln1(ln43 eexxxdx【練習(xí)練習(xí)2 2】.11cos21122 dxxxxx第16頁/共29頁【練習(xí)練習(xí)1 1】.)ln1(ln43 eexxxdx 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 34(ln)22ln1lneedxxx 第17頁/共29頁 11211cosdxxxx奇函數(shù)奇

11、函數(shù)【練習(xí)練習(xí)2 2】【解解】.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積第18頁/共29頁定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式udvuvvdu不定積分的分部積分不定積分的分部積分第19頁/共29頁【例例10】 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx【解解】 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 12201x . 12312 arcsin x

12、dx arcsinxx 21xdxx 不定積不定積分分定積分的分部積分定積分的分部積分:第20頁/共29頁【例例11】 計(jì)算計(jì)算10.xedx【解解】 令令,xt2,2,xtdxtdt10 xe dx 11002()tttee dt則則102tte dt 102( )ttd e102( )tee2(1)2ee做過不定積分，做過不定積分， 根式代換，根式代換，:01t:01,x第21頁/共29頁【例例12】 證明定積分公式證明定積分公式( (華里士（華里士（Wallis）公式）公式) ) 2200cossinxdxxdxInnn n為正偶數(shù)為正偶數(shù)n n為大于為大于1 1的正奇數(shù)的正奇數(shù) 201

13、0sin xdx如如： 207cos xdx6 4 27 5 3221436587109 133 124 2 2nnnn 134 225 3nnnn 第22頁/共29頁【補(bǔ)例補(bǔ)例】設(shè)設(shè)【解解】 21,sin)(xdtttxf.)( 10 dxxxf求求 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 1122001( )( )2x f xx df x 1201(1)( )2fx fx dx 【分析分析】 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 212201sin22xxx dxx 第23頁/共29頁【練習(xí)練習(xí)3 3】.2cos140 xx

14、dx課下練習(xí)：課下練習(xí)：【練習(xí)練習(xí)4 4】.)2()1ln(102 dxxx【練習(xí)練習(xí)5 5】第24頁/共29頁【練習(xí)練習(xí)3 3】.2cos140 xxdx42012cosxdxx 401tan2xdx 44001tantan2xxxdx 401ln2ln182 .42ln8 401ln sec24x 第25頁/共29頁【練習(xí)練習(xí)4 4】【解解】.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 32ln 101112dxxx 第26頁/共29頁設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù) ，且上連續(xù) ，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 【解解】 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 11001(2 )(2 )2xfxfx dx 1011(2)(2 )2