華科大數(shù)理方程課件——貝塞爾函數(shù)(2014)

1、1附錄：附錄：),0()(10 xdttexxt .)(,)( 21 11).0( 1 xxxx),()(xn!)(nn 1 , 2, 1, 0n. 0)(1 n函數(shù)的基本知識(shí)函數(shù)的基本知識(shí)(1)(1) 定義定義(2)(2)函數(shù)的遞推公式函數(shù)的遞推公式時(shí)，有時(shí)，有為為正整數(shù)正整數(shù)特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)(3)(3)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2第五章第五章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)在應(yīng)用分離變量法解其他偏微分方程的定解問在應(yīng)用分離變量法解其他偏微分方程的定解問題時(shí)，也會(huì)導(dǎo)出其他形式的常微分方程邊值問題，題時(shí)，也會(huì)導(dǎo)出其他形式的常微分方程邊值問題，從而引出各種各樣坐標(biāo)函數(shù)系。這些坐標(biāo)函數(shù)系就從而引出各種各樣坐標(biāo)函數(shù)系。這些

2、坐標(biāo)函數(shù)系就是人們常說的是人們常說的特殊函數(shù)特殊函數(shù)。本章，我們將通過在柱坐標(biāo)系中對(duì)定解問題進(jìn)本章，我們將通過在柱坐標(biāo)系中對(duì)定解問題進(jìn)行行分離變量分離變量，導(dǎo)出貝塞爾方程；然后討論這個(gè)方程，導(dǎo)出貝塞爾方程；然后討論這個(gè)方程的解法及解的有關(guān)的解法及解的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)；最后再來介紹貝塞爾函數(shù)；最后再來介紹貝塞爾函數(shù)在解決數(shù)學(xué)物理中有關(guān)定解問題的一些在解決數(shù)學(xué)物理中有關(guān)定解問題的一些應(yīng)用應(yīng)用。35.1 5.1 貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)一、貝塞爾方程的導(dǎo)出一、貝塞爾方程的導(dǎo)出在應(yīng)用分離變量法解決圓形膜的振動(dòng)問題或在應(yīng)用分離變量法解決圓形膜的振動(dòng)問題或薄圓盤上瞬時(shí)溫度分布規(guī)律時(shí)，我們就

3、會(huì)遇到薄圓盤上瞬時(shí)溫度分布規(guī)律時(shí)，我們就會(huì)遇到貝塞爾方程貝塞爾方程。下面，我們以圓盤的瞬時(shí)溫度分下面，我們以圓盤的瞬時(shí)溫度分布為例來布為例來導(dǎo)出貝塞爾方程導(dǎo)出貝塞爾方程。R設(shè)有設(shè)有半徑半徑為為的圓形薄盤，的圓形薄盤，上下兩面絕熱，上下兩面絕熱，圓盤圓盤邊界上邊界上的溫度始終的溫度始終保持保持0 0度度， 且且初始溫度初始溫度分布為分布為已知已知，求圓盤內(nèi)的瞬時(shí)溫度分布規(guī)律。求圓盤內(nèi)的瞬時(shí)溫度分布規(guī)律。),(tyxu),(yx我們用我們用來表示時(shí)刻來表示時(shí)刻處的溫度函數(shù)。處的溫度函數(shù)。t圓盤上點(diǎn)圓盤上點(diǎn)4),0()(2222Ryxuuauyyxxt , 0|222Ryxu).,(|0yxut這個(gè)

4、問題歸結(jié)為求解下列定解問題：這個(gè)問題歸結(jié)為求解下列定解問題：(2)(2)(1)(1)(3)(3),(),(),(tTyxVtyxu,)(2TVVaTVyyxxVTa21VVVTaTyyxx2應(yīng)用應(yīng)用分離變量法分離變量法求這個(gè)問題的解求這個(gè)問題的解。為此，令為此，令代入方程代入方程(1)(1)得得用用乘之，得乘之，得5, 02TaT. 0VVVyyxx.)(2taAetT,)(|0222 tTVRyx.|0222 RyxV于是有于是有),0()(2222Ryxuuauyyxxt , 0|222Ryxu).,(|0yxut(2)(2)(1)(1)(3)(3)(4)(4)(5)(5)方程方程(4)(

5、4)的解為的解為由邊界條件由邊界條件(2)(2)有有(6)(6)6, 0VVVyyxx. 0|222RyxV),0(01122222RrVVrrVrrV . 0|RrV),0()(2222Ryxuuauyyxxt , 0|222Ryxu).,(|0yxut(2)(2)(1)(1)(3)(3)為了求解方程為了求解方程(5)(5)滿足條件滿足條件(6)(6)的非零解，的非零解，(5)(5)(6)(6)我們采用平面上的我們采用平面上的極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系，則得定解問題，則得定解問題(7)(7)(8)(8)7, 0 GG. 0)(22 FrFrFr),()(),(GrFrV, 0112 FGGFrGFrG

6、FFGr2FFrFrFrGG22 ,),0(01122222RrVVrrVrrV . 0|RrV(7)(7)(8)(8)再令再令代入方程代入方程(7)(7)得得兩端乘以兩端乘以移項(xiàng)得移項(xiàng)得于是有于是有(9)(9)(10)(10)8),(tyxu),(yxV),2,(),(rVrV),2()( GG, 0 GG),2()( GG2n), 2, 1, 0( n, 0 GG. 0)(22 FrFrFr(9)(9)(10)(10)由于溫度函數(shù)由于溫度函數(shù)是單值的，是單值的， 所以所以也必也必是單值函數(shù)，即是單值函數(shù)，即求解常微分方程的邊值問題求解常微分方程的邊值問題可得可得.sincos)(nbnaG

7、nnn0021)(aG), 2, 1( n9, 0 GG. 0)(22 FrFrFr(9)(9)(10)(10)2n, 0)(222 FnrFrFr0|RrV, 0)()(),(GRFRV,| )0(|F. 0)(RF將將代入方程代入方程(10)(10)得得(11)(11)該方程叫做該方程叫做n階階貝塞爾方程貝塞爾方程。由邊界條件由邊界條件(8)(8)可知可知另外，由于圓盤上的另外，由于圓盤上的溫度溫度是是有限有限的，的， 特別在圓心特別在圓心處也應(yīng)如此，由此可得處也應(yīng)如此，由此可得100)(RF, 0)(222 FnrFrFr,| )0(|F, rx),()(xyxFrF,xryF,)(xx

8、xxrryyF. 0)(222 ynxyxyx因此，原定解問題的最后解決就歸結(jié)為求問題因此，原定解問題的最后解決就歸結(jié)為求問題的的固有值固有值與與固有函數(shù)固有函數(shù)。若令若令并記并記(11)(11)將上式代入方程將上式代入方程(11)(11)可得可得則則(12)(12)方程方程(12)(12)是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，它的解稱為它的解稱為貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)。 ( (有時(shí)稱之為有時(shí)稱之為柱函數(shù)柱函數(shù)) )。11二、貝塞爾函數(shù)二、貝塞爾函數(shù). 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0askas ,)., 2, 1, 0(

9、 k01,)(kkskxksay 02)(1(kkskxksksay由微分方程解的理論知：方程由微分方程解的理論知：方程(12)(12)有如下形式有如下形式的廣義的廣義冪級(jí)數(shù)解冪級(jí)數(shù)解：(13)(13)其中其中為常數(shù)，為常數(shù)， 下面來確定下面來確定為此，將為此，將(13)(13)以及以及帶入方程帶入方程(12)(12)12. 0)(222 ynxyxyx(12)(12) 0kkskxaxy)(),0(0a 01kkskxksay,)( 021kkskxksksay)(13)(13)可得可得 02kkskxan 0kkskxksa)( 01kkskxksksa)(, 002 kkskxa02)(

10、)(1(kkskxnksksksa, 022kkskxa13. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)022)(kkskxnksa, 022kkskxa222)(kkskxnksa, 022kkskxasxans022)(1122) 1(sxanssxans022)(1122) 1(sxans, 0)(2222kkskkxaanks14sxans022)(1122) 1(sxans, 0)(2222kkskkxaanks, 0)(022ans, 0) 1(122ans), 3, 2(0)(222 kaankskk0)(kkskxaxy),

11、0(0a(13)(13), 00a,1ns .2ns比較上式兩邊系數(shù)則有比較上式兩邊系數(shù)則有(14)(14)(15)(15)(16)(16)由于由于從從(14)(14)可得可得下面分三種情形討論下面分三種情形討論15, 0) 1(122ans0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)(15)(15), 3, 2(0)(222 kaankskk(16)(16)n,1ns , 01a.)2(2knkaakk, 0531aaa情形情形1 1如果如果不為整數(shù)不為整數(shù)( (包括包括0)0)和半奇數(shù)，和半奇數(shù)，先取先取代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得)., 3, 2( k(

12、17)(17)由由(17)(17)可知可知16)22(202naa,) 1(1220na)42(424naa)42)(22(420nna,)2)(1( 12240nna,)()2)(1( !2) 1(202mnnnmaammm0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13).)2(2knkaakk)., 3, 2( k(17)(17)另外另外170a2.) 1(210nan),1()(nnn) 1(!21) 1(22mnmamnmmx由于由于是任意常數(shù)，是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：我們可以這樣取值：使一般項(xiàng)系數(shù)中使一般項(xiàng)系數(shù)中與與有有相同的次數(shù)相同的次數(shù)，并且同時(shí)，并且同時(shí)使使分母簡(jiǎn)化分母

13、簡(jiǎn)化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式則一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閯t一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達(dá)式代回將此系數(shù)表達(dá)式代回(13)(13)中，中，0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13),)()2)(1( !2) 1(202mnnnmaammm18nmnmmnxaxJ202)(,) 1(!2) 1(022mmnmnmmnmx)(xJn. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的一個(gè)的一個(gè)特解特解，記作，記作)(xJnmmmuu1lim) 1)(1(4lim2mnmxm(18)(18)稱為稱為階階第一類貝塞爾

14、函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。01又由于又由于則由則由達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法可知級(jí)數(shù)可知級(jí)數(shù)(18)(18)在整個(gè)實(shí)軸上在整個(gè)實(shí)軸上是是絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂的。的。19nmnmmnxaxJ202)(,) 1(!2) 1(022mmnmnmmnmx)(xJn. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)同理可得另外一個(gè)同理可得另外一個(gè)特解特解，記作，記作)(xJn, nn)(xJn稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。)(xJn),()(xBJxAJynn(19)(19)BA ,由于由于所以所以與與線性無關(guān)，線性無關(guān)， 由齊次由齊次線性常微分

15、方程解的結(jié)構(gòu)定理知，方程線性常微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(12)(12)的的通通解解為為其中其中為兩個(gè)任意常數(shù)。為兩個(gè)任意常數(shù)。(20)(20)n)(xJn稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。)(xJn與與線性無關(guān)線性無關(guān)，,2ns再令再令20. 0)(222 ynxyxyx(12)(12),()(xBJxAJynn(20)(20),cotnA ,cscnB.sin)(cos)()(nxJnxJxYnnn),()(xDYxCJynn(22)(22)(xYn如果在如果在(20)(20)中取中取則得方程則得方程(12)(12)的另一個(gè)與的另一個(gè)與)(xJn線性無關(guān)線性無關(guān)的的特解特解，

16、記作記作(21)(21)因此方程因此方程(12)(12)的的通解通解可寫成可寫成稱為稱為第二類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)或或諾伊曼函數(shù)諾伊曼函數(shù)。210)(kkskxaxy),0(0a(13)(13), 3, 2(0)(222 kaankskk(16)(16)n,1ns 情形情形2 2如果如果為整數(shù)為整數(shù)( (包括包括0)0)， 同樣可得方程同樣可得方程(12)(12)的兩個(gè)的兩個(gè)特解特解,) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(18)(18),2ns,) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(19)(19). 0)(222 ynxyxyx(12)(12)22

17、,) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(18)(18),) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(19)(19)0n,)!() 1(mnmn)(xJn,)!( !2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(23)(23)(xJn注意當(dāng)注意當(dāng)為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，利用時(shí)，利用函數(shù)的函數(shù)的遞推公式遞推公式可得可得從而從而特解特解之一之一(18)(18)可化為可化為而而此時(shí)此時(shí)函數(shù)函數(shù)與與線性相關(guān)線性相關(guān)。23n,N) 1( , 2, 1, 0Nm 11mNmn) 1(mN,) 1(!2) 1()(22NmmNmNmNmNmxxJ事實(shí)上，事實(shí)上，我們不妨設(shè)我們不妨設(shè)

18、為某正整數(shù)為某正整數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，將是將是,)!( !2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(23)(23),) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(19)(19)負(fù)整數(shù)與負(fù)整數(shù)與0 0， 對(duì)于這些值對(duì)于這些值為無窮大，為無窮大，所以所以022) 1()!(2) 1()(kkNkNkNNkkNxxJ), 2, 1, 0( , kkNm令令得得24,)!( !2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(23)(23)022)!( !2) 1()(kkNkNkNNkNkxxJ則化簡(jiǎn)得則化簡(jiǎn)得022)!( !2) 1() 1(kkNkNkNkNkx).() 1(xJNN)(xJn)(xJn)(xJn與與)0( nn當(dāng)當(dāng)為為整數(shù)整數(shù)時(shí)是時(shí)是這就說明了這就說明了線性相關(guān)線性相關(guān)的。的。為了求出為了求出貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解，我們，我們還需要求出一個(gè)與還需要求出一個(gè)與線性無關(guān)的特解線性無關(guān)的特解。25,sin)(cos)(lim)(lim)(xJxJxYxYnnnn而當(dāng)而當(dāng)為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，時(shí)，不為整數(shù)不為整數(shù)。)(xYn)(xJn與與n當(dāng)當(dāng)不為整數(shù)不為整數(shù)時(shí)，時(shí)，n其中其中為為整數(shù)整數(shù)，),() 1(xJJnnn,) 1(cosnn00.sin)(cos)()(nxJnxJxYnnn(21)(21)由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于于