電路分析基礎：第7章電容元件和電感元件

1、l重點：重點：1、電容、電感、電容、電感VCR；2、動態(tài)電路的方程及其初始條件確定、動態(tài)電路的方程及其初始條件確定第第7章章 電容元件和電感元件電容元件和電感元件 常用的幾種電容器電容器電容器_q+q 在外電源作用下，在外電源作用下，兩極板上分別帶上等量異號電荷，撤去電兩極板上分別帶上等量異號電荷，撤去電源，電荷依靠電場力作用，相互吸引，故源，電荷依靠電場力作用，相互吸引，故仍可長久地集聚下去，因此理想電容器應仍可長久地集聚下去，因此理想電容器應是一種電荷與電壓相約束的器件。是一種電荷與電壓相約束的器件。 1、定義、定義電容元件電容元件一個二端元件，在任一一個二端元件，在任一時刻，其電荷與電壓

2、之時刻，其電荷與電壓之間關系可用間關系可用qu 平面平面上的一條曲線來確定上的一條曲線來確定0 ),(qufqu庫伏庫伏特性特性7.1 電容元件電容元件 (capacitor)特性曲線是特性曲線是q u平面過原點的直線。此時，電容元件極板上平面過原點的直線。此時，電容元件極板上的電荷的電荷q與電流與電流 u 成正比。成正比。l 電路符號電路符號2. 線性非時變電容元件線性非時變電容元件Cu+q-q tan uqCorCuq C 稱為電容器的電容稱為電容器的電容, 單位：單位：F (法法) (Farad，法拉，法拉), 常用常用 F，p F等表示。等表示。quO l 單位單位 ttuCttqti

3、Cdddd l 線性電容的電壓、電流關系線性電容的電壓、電流關系Cuiu、i 取關取關聯(lián)參考方向聯(lián)參考方向電容元件電容元件VCR的微分關系的微分關系表明：表明：（1） i 的大小取決于的大小取決于 u 的變化率的變化率, 與與 u 的大小無關，的大小無關，電容是動態(tài)元件；電容是動態(tài)元件；（2） 當當 u 為常數(shù)為常數(shù)(直流直流)時，時，i =0。電容相當于開路，電容。電容相當于開路，電容 有隔斷直流作用；有隔斷直流作用；（1） VCR之一：之一：21t /s20u/V3441t /s2i/A-223例例求電容上電流求電容上電流i解解uS (t)的函數(shù)表示式為的函數(shù)表示式為:4332211 82

4、2220)( tttttttus)(tusC1Fi stststtdtduCtiC32 232 021 21 0)(解得電流解得電流uC(t0)稱為電容電壓的初始值，它反映電容稱為電容電壓的初始值，它反映電容初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態(tài)。初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態(tài)。電容元件電容元件VCR的積分關系的積分關系 diCdiCdiCtuttttC 00111tuCiCdd iCtuC1dd diCtutC 010令令 diCtututtCC 010（2） VCR之二：之二：21t /s20u/V3441t /s2i/A-223例例求電容上電壓，已知初始條件求電容上電壓，已知初始條件為為

5、uC(0)=0)(tusC1Fi某一時刻某一時刻t的電容電壓，并不取決于該時刻的電流，而是由的電容電壓，并不取決于該時刻的電流，而是由從從- 到時刻到時刻t之間的全部電流之間的全部電流i(t)來確定。這與電阻元件的電來確定。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時刻的電流或電壓完全不同，所以說壓或電流僅僅取決于此時刻的電流或電壓完全不同，所以說電容是一種記憶元件。電容是一種記憶元件。性質性質1：電容電壓的記憶性：電容電壓的記憶性uC(0)=1V ttCtCdiCtudiCtu0110 diCtuttutttCC 00100 diCtuttuuttt 00100 01110000 tMCMtCdi

6、Ctttttt 0 u當當i( )為有限值時為有限值時, 即即i( ) M，t0時，有時，有 電容電流在閉區(qū)間電容電流在閉區(qū)間t1,t2有界時，有界時，電容電壓在開區(qū)間電容電壓在開區(qū)間(t1,t2)內是連續(xù)的內是連續(xù)的證明證明 diCtututtCC 010)()( tutuCC性質性質2：電容電壓的連續(xù)性（：電容電壓的連續(xù)性（電容電壓不能躍變）電容電壓不能躍變）)0()0( CCuu特別當特別當t=0時時3. 電容的功率和儲能電容的功率和儲能 ttuCtutitutpdd (1)當電容充電，當電容充電， u0，du/d t0，則，則i0，q ， p0, 電容吸收功率。電容吸收功率。(2)當電

7、容放電，當電容放電，u0，du/d t0，則，則i0，q ，p0，d i/d t0，則，則u0， ， p0, 電感吸收功率。電感吸收功率。(2)當電流減小，當電流減小，i0，d i/d t0，則，則u0， ，p0, 電感發(fā)出功率。電感發(fā)出功率。l 功率功率表明表明 電感能在一段時間內吸收外部供給的能量轉化為磁場能電感能在一段時間內吸收外部供給的能量轉化為磁場能量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，因此電量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，因此電感元件是無源元件、是儲能元件，它本身不消耗能量。感元件是無源元件、是儲能元件，它本身不消耗能量。u、 i 取關取關聯(lián)參考方向聯(lián)參考方向

8、（1）電感的儲能只與當時的電流值有關，電感）電感的儲能只與當時的電流值有關，電感 電流不能躍變，反映了儲能不能躍變；電流不能躍變，反映了儲能不能躍變；（2）電感儲存的能量一定大于或等于零。）電感儲存的能量一定大于或等于零。從從t0到到 t 電感儲能的變化量：電感儲能的變化量：)(21)(21)(21)(21022022tLtLtLitLiWL 0)(21)(21)(21)(21)(21ddd220)(222 tLtLiLitLiLiiLiWittL 若若l 電感的儲能電感的儲能表表明明4. 電感的串、并聯(lián)電感的串、并聯(lián)l 并聯(lián)并聯(lián)等效等效i1L1L2i+ui2_l 串聯(lián)串聯(lián)等效等效L1L2i+

9、u_+u_2121LLLLL i+u_L=L1+L2i作業(yè)作業(yè)7.1求求uc、iL 、Wc 、WL+_+_3210V0.5Hi12i1+_uc4iL0.5F含有電容和電感這樣的動態(tài)元件的含有電容和電感這樣的動態(tài)元件的電路稱動態(tài)電路。電路稱動態(tài)電路。特點特點1. 動態(tài)電路動態(tài)電路 當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程?；^程稱為電路的過渡過程。7.3 動態(tài)電路的電路方程動態(tài)電路的電路方程電路結構、狀態(tài)發(fā)生變化電路結構、狀態(tài)發(fā)生變化換路換路支路接入或斷

10、開支路接入或斷開電路參數(shù)變化電路參數(shù)變化例例+-usR1R2（t=0）i0ti2/ RUiS )(21RRUiS 過渡期為零過渡期為零電阻電路電阻電路K未動作前未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= usK+uCusRCi (t = 0)K接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電容充電，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)+uCusRCi (t )初始狀態(tài)初始狀態(tài)過渡狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1uSuct0?iRuS有一過渡期有一過渡期電容電路電容電路K未動作前未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i = 0

11、 , uL = 0uL= 0, i=us /RK接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電路達到，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路初始狀態(tài)初始狀態(tài)過渡狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1uS/Rit0?uLSu有一過渡期有一過渡期K+uLusRLi (t = 0)+uLusRLi (t )電感電路電感電路過渡過程產生的原因過渡過程產生的原因 電路內部含有儲能元件電路內部含有儲能元件 L 、C，電路在換路時能量發(fā)生電路在換路時能量發(fā)生變化，而變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。twp 含有儲能元件的動態(tài)電路中的電壓電流仍然受到

12、含有儲能元件的動態(tài)電路中的電壓電流仍然受到KCL、KVL的拓撲約束和元件特性的拓撲約束和元件特性VCR的約束。一般來說，根據(jù)的約束。一般來說，根據(jù)KCL、KVL和和VCR寫出的電路方程是一組微分方程。寫出的電路方程是一組微分方程。 由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。 由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。 由由n階微分方程描述的電路稱為階微分方程描述的電路稱為n階電路。階電路。2. 動態(tài)電路的電路方程建立動態(tài)電路的電路方程建立+_+_CiucusR+_uR例例1圖示電路，以電容電壓為變量列寫電路方程。圖示電路，以電

13、容電壓為變量列寫電路方程。得到得到 )()(d)(dSCCtututtuRC 這是關于電容電壓這是關于電容電壓uc常系數(shù)非齊次一階微分方程，求常系數(shù)非齊次一階微分方程，求唯一解時需知唯一解時需知uc初始值。初始值。在上式中代入在上式中代入: :ttuCtid)(d)(C )()( )()()(CCRStutRitututu RC串聯(lián)電路，根據(jù)串聯(lián)電路，根據(jù)KVL 解解iRRiSLiL+uL_例例2圖示電路，以電感電流為變量列寫電路方程。圖示電路，以電感電流為變量列寫電路方程。RL并聯(lián)電路，根據(jù)并聯(lián)電路，根據(jù)KCL 解解)()( )()()(LLLRStiRtutititi 在上式中代入在上式中

14、代入 ：ttiLtud)(d)(LL 得到得到)()(d)(dSLLtitittiRL 這是這是關于電感電流關于電感電流iL常系數(shù)非齊次一階微分方程。常系數(shù)非齊次一階微分方程。求唯求唯一解時需知一解時需知iL初始值。初始值。+_+_CiucusR+_uRL+_uL例例3圖示電路，以電容電壓為圖示電路，以電容電壓為變量列寫電路方程。變量列寫電路方程。RLC串聯(lián)電路，根據(jù)串聯(lián)電路，根據(jù)KVL 解解ScccuutdduRCdtudLC 22ScLRuuuu ttuCtitititiCLRd)(d)()()()(C dttduRCtRiuCR 22dttudLCdttdiLuCLL 電路中電流電路中電

15、流電阻電壓電阻電壓電感電壓電感電壓關于電容電壓關于電容電壓uc常系數(shù)常系數(shù)非齊次二階微分方程。非齊次二階微分方程。如圖電路，列寫以如圖電路，列寫以 i 為變量的微分方程：為變量的微分方程：例例4+_61218V4H3iii+_1612V4H應將應將4H電感當作負載斷開，簡化成戴維寧等效電路電感當作負載斷開，簡化成戴維寧等效電路 34 idtdi化簡化簡12164 idtdi解解 (1) t = 0與與t = 0的概念的概念認為換路在認為換路在 t=0時刻進行時刻進行0 換路前一瞬間換路前一瞬間 0 換路后一瞬間換路后一瞬間)(lim)0(00tfftt )(lim)0(00tfftt 初始條件

16、為初始條件為 t = 0時時u ，i 及其各階導數(shù)的值及其各階導數(shù)的值000tf(t)0()0( ff)0()0( ff)0()0( CCuu)0()0( LLii換路定律換路定律7.4 動態(tài)電路方程的初始條件動態(tài)電路方程的初始條件求初始條件的步驟求初始條件的步驟:1. 由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)) )，電容可視為開路電容可視為開路，電電感視為短路感視為短路，電路為純電阻電路，易求，電路為純電阻電路，易求uC(0)和和iL(0)；2. 根據(jù)電容電壓和電感電流不能躍變的連續(xù)性質，可得電根據(jù)電容電壓和電感電流不能躍變的連續(xù)性質，可得電容電壓得容電壓得 uC(0+) =

17、 uC(0-)和和 電感電流電感電流iL(0+) = iL(0-)。3. 畫出畫出t= =0+時刻時刻等效電路等效電路4. 由由t= =0+時刻時刻電路求所需各變量的電路求所需各變量的0+時刻時刻值。值。b. 電容用數(shù)值為電容用數(shù)值為uC(0+)的的電壓源替代；電壓源替代； 電感用數(shù)值為電感用數(shù)值為iL(0+)的的電流源替代。電流源替代。a. 得到換路后的電路得到換路后的電路注意：電壓源和電流源的參考方向注意：電壓源和電流源的參考方向(2) 由換路定律由換路定律 uC (0+) = uC (0)=8VmA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0電路求電路求 uC(0)或或iL(0)uC(

18、0)=8V(3) 由由0+等效電路求等效電路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1圖示電路，圖示電路，t0時電路處時電路處于穩(wěn)態(tài)，于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關打開，時開關打開，求求 uC(0+) 、iC(0+)電電容容開開路路電容用電容用電壓源電壓源替代替代10k10V+_+_uc40k0+時刻等效電路時刻等效電路10k10V+_+_iC40k8V10k10V+_t=0+_uc40kiCiL(0+)= iL(0) =2AV842)0( Lu例例 2t = 0時閉合開關時閉合開關k , , 求求 uL(0+)先求先求iL(0-)A24110)0( Li由換路定律由換路定律: :電感用電感用電電流源流源替代替代解解電電感感短短路路1 10V+_t=0+_uLiL1H4 1 10V+_iL4 1 10V+_uL4 2A+_V0)0( Lu210ViL1/2F+_t=01H3+_uc+_210ViL+_uc3例例3圖示電路，圖示電路，t0時電路處時電路處于穩(wěn)態(tài)