第5章：系統(tǒng)的頻率特性1

1、第五章第五章5.1 頻率特性概述頻率特性概述5.2 頻率特性的圖示方法頻率特性的圖示方法5.3 頻率特性的特征量頻率特性的特征量5.4 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)性能的影難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)性能的影響；響；當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。頻域分析頻域分析：以輸入信號的頻率為變以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。數(shù)與性

2、能的關(guān)系。頻域分析法特點頻域分析法特點 研究穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的幅值和相角隨研究穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的幅值和相角隨頻率的變化規(guī)律頻率的變化規(guī)律 由開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性及由開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性及性能性能 圖解分析法圖解分析法 有一定的近似性有一定的近似性無需求解微分方程，圖解無需求解微分方程，圖解( (頻率特性圖頻率特性圖) )法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向方向易于實驗分析易于實驗分析可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）；遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）；可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。

3、解：解：例：例：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為11)( TssG當(dāng)輸入信號為當(dāng)輸入信號為xi(t)=Asin t時，系統(tǒng)的時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。11)()()(220 TssAsGsXsXi 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為)arctansin(11)(22220 TtTAeTATtxTt )arctansin()(1)(lim)(20 TtTAtxtxt 幅值是頻率的函數(shù)幅值是頻率的函數(shù)相位是頻率的函數(shù)相位是頻率的函數(shù)輸出頻率不變輸出頻率不變系統(tǒng)系統(tǒng)xi(t)x0(t)Asin t穩(wěn)態(tài)輸出信號穩(wěn)態(tài)輸出信號)arctansin()(12 TtTA 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)對正弦輸

4、入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 系統(tǒng)頻率響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比稱為系統(tǒng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比稱為系統(tǒng)的頻率特性，它是隨輸入正弦信號角頻率的頻率特性，它是隨輸入正弦信號角頻率 變化而變變化而變化的復(fù)變函數(shù)化的復(fù)變函數(shù)。注意：注意： 頻率特性是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學(xué)模型頻率特性是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學(xué)模型幅頻特性幅頻特性A( )相頻特性相頻特性( )包括包括=輸出相位輸出相位-輸入相位輸入相位= ( )iXX)( 輸入幅值輸入幅值輸出幅值輸出幅值1、利用系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來求利用系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來求xo(t)(穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng))頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)Xo(s)=Xi(

5、s)G(s)Laplace變換變換xo(t)=limxo(t)t jssGjG )()( 在系統(tǒng)傳遞函數(shù)在系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)中中，令令s= j ，即可得到系統(tǒng)的頻率特性即可得到系統(tǒng)的頻率特性。復(fù)數(shù)表示法：復(fù)數(shù)表示法：（1）代數(shù)表示法代數(shù)表示法： a+jb（2）指數(shù)表示法指數(shù)表示法： |A|ej （3）極坐標(biāo)表示法極坐標(biāo)表示法：|A|ImReabA 22|baA -幅值幅值abarctan -相位相位已知復(fù)數(shù)：已知復(fù)數(shù)： A=a+jb=A1 1 B=c+jd=B1 21 1）兩復(fù)數(shù)相加：實部相加，虛部相加）兩復(fù)數(shù)相加：實部相加，虛部相加 A+B=(a+c)+j(b+d)2 2）兩復(fù)數(shù)相減：實部

6、相減，虛部相減）兩復(fù)數(shù)相減：實部相減，虛部相減 A-B=(a-b)+j(b-d) AB=(A1B1) 1+ 24 4）兩復(fù)數(shù)相除：幅值相除，相位相減）兩復(fù)數(shù)相除：幅值相除，相位相減)(2111 BABA11)( TssG jTjG 11)( TTarctan)(1012 TTarctan)(112 2)(11)( TA 幅幅頻頻特特性性：相頻特性：相頻特性： ( )=-arctanT )2)(1(31)( jjjjjG )2arctan4)(arctan1)(90(3arctan91222 29034191111222 tgtgtg)2)(1(13)( sssssG 21903)()4)(1(

7、91)(111222 tgtgtgA相相頻頻特特性性：幅幅頻頻特特性性：的的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)輸輸出出。為為數(shù)數(shù)時時，確確定定系系統(tǒng)統(tǒng)的的傳傳遞遞函函例例：若若輸輸入入為為123)(3sin2 ssGt 2arctan)(413)(2A系系統(tǒng)統(tǒng)的的頻頻率率特特性性為為：33sin2 ，則則輸輸入入為為t)(3sin)(2)(0 tAtx系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出：)6arctan3sin(376 t正弦發(fā)生器正弦發(fā)生器被測系統(tǒng)被測系統(tǒng)改變頻率改變頻率圖形顯示器圖形顯示器系統(tǒng)系統(tǒng)s傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)j 頻率特性頻率特性ddtsddtj sj )()()(txtxdttdxTioo 11)( TssG j

8、TjG 11)()()()(00sXsXsTsXi arctgTT 2)(11微分方程微分方程dtd 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于

9、其中。也全寓于其中。 一、頻率特性的極坐標(biāo)圖一、頻率特性的極坐標(biāo)圖1、定義、定義)()()()()()()(Im)(Re)( jjGjeAejGjQPjGjjGjG 其中，其中，P( )、Q( )分別稱為系統(tǒng)的分別稱為系統(tǒng)的實頻特性實頻特性和和虛頻特性虛頻特性。顯然：。顯然： )()()()()()(22 PQarctgQPA 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖-奈奎斯特圖奈奎斯特圖 （Nyquist） 系統(tǒng)頻率特性為幅頻系統(tǒng)頻率特性為幅頻- -相頻形式相頻形式 當(dāng)當(dāng) 在在0 0 變化時變化時, ,相量相量G(jG(j ) )的幅值和相角的幅值和相角隨隨 而變化而變化, ,與此對應(yīng)的相量與此對應(yīng)的相量G(jG(

10、j ) ) 的端點在復(fù)平的端點在復(fù)平面面 G(jG(j ) )上的運(yùn)動軌跡就稱為幅相頻率特性或上的運(yùn)動軌跡就稱為幅相頻率特性或 NyquistNyquist曲線。畫有曲線。畫有 NyquistNyquist曲線的坐標(biāo)圖稱為極曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或坐標(biāo)圖或NyquistNyquist圖。圖。ReImA( ) ( )相角相角 ( ( ) )的符號規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正。的符號規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正?！纠坷L制繪制G(s)H(s)=1/(Ts+1)G(s)H(s)=1/(Ts+1)系統(tǒng)的幅相頻率特系統(tǒng)的幅相頻率特性圖。性圖。解：寫出頻率特性的表達(dá)式解：寫出頻率特性的表達(dá)式對于本題，可以證明，對

11、于本題，可以證明，G(jG(j )H(j )H(j ) )的實部和虛的實部和虛部滿足下式：部滿足下式：上式表明，系統(tǒng)幅相頻率特性曲線是上式表明，系統(tǒng)幅相頻率特性曲線是G(jG(j )H(j )H(j ) )平面上以平面上以(1/2,0j)(1/2,0j)為圓心，為圓心， 1/21/2為半徑的下半圓為半徑的下半圓（因相角總小于零）。（因相角總小于零）。繪制出的幅相頻率特性繪制出的幅相頻率特性(nyquist)(nyquist)曲線如圖所示。曲線如圖所示。或者：或者：( 0)1 0G j 11()452G jT()090G j （1）比例環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：G(s) = K頻率特性頻率

12、特性：G(j ) = K = Kej0 =K0幅頻特性幅頻特性：A( ) = K相頻特性相頻特性： ( ) = 0實頻特性實頻特性：P( ) = K虛頻特性虛頻特性：Q( ) = 0（K,j0）ImRe傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：ssG1)( 頻率特性頻率特性：90111)(2 jejjG幅頻特性幅頻特性： 1)( A相頻特性相頻特性： ( ) = -90虛頻特性虛頻特性： 1)( Q實頻特性實頻特性：0)( PImRe積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位滯后。積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位滯后。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：ssG )(頻率特性頻率特性：0290)( jejjG實頻特性實頻特性：0)( P虛頻特性虛頻特性： )(Q幅頻

13、特性幅頻特性： )(A相頻特性相頻特性： ( ) = 909000 ImRe微分環(huán)節(jié)具有恒定的相位超前。微分環(huán)節(jié)具有恒定的相位超前。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：11)( TssG頻率特性頻率特性： arctgTTTjjG 221111)(相頻特性相頻特性： ( ) = - arctgT 幅頻特性幅頻特性：2211)(TA 實頻特性實頻特性：2211)(TP 虛頻特性虛頻特性：221)(TTQ 即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2, 0)(1/2, 0)處，半徑為處，半徑為1/21/2的一個圓。的一個圓。 22221)(21)( QP0ReIm傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：1)( ssG 頻率

14、特性頻率特性： jarctgejjG2211)( 幅頻特性幅頻特性：221)( A相頻特性相頻特性： ( ) = arctan實頻特性實頻特性：Re( )=1相頻特性相頻特性： ( )=arctan 0ReIm =0 = 221 arctan122222222arctan)2()()( nnnnnjG頻頻率率特特性性：傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：10,2121)(22222 nnnssTssTsG222211)( nnA 幅頻特性幅頻特性：相頻特性相頻特性：212arctan)( nn 實頻特性實頻特性：2222211)( nnnP 虛頻特性虛頻特性：222212)( nnnQ 1)0( A 0)0(

15、= 0 21)( nA 90)(n = n 0)( A 180)( = 22222222arctan)2()( nnnnn頻頻率率特特性性： =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10 21 =0.3 = n00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00 / / nA( )由于：由于：222211)( nnA r 0，221 nr707. 022 2121)( rrAM

16、0 0.10.2 0.30.4 0.50.60.7 0.80.9 10123456789100102030405060708090100 Mr Mp ()MrMp1)0()( AA 0)0()( 2)( A 90)( )( A 180)( 2222)2()1()( A2212)( arctg當(dāng)當(dāng) = 0時時 當(dāng)當(dāng) = 1/ 時時 當(dāng)當(dāng) = = 時時G(j ) =010 = ReIm = 1/ 2 ，傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：sesG )(頻率特性：頻率特性： 1)(jejG幅頻特性：幅頻特性：1)( A相頻特性：相頻特性：)(3 .57)()( rad01 =0ReIm （1） Nyquist圖的繪

17、制步驟圖的繪制步驟圖圖的的畫畫出出傳傳函函為為例例NyquistsssG)2)(1(1)(: 2arctanarctan)4)(1(1)(22 jG1 1）求出系統(tǒng)對應(yīng)的頻率特性）求出系統(tǒng)對應(yīng)的頻率特性|G(j0)|=0.5 G(j0)=0|G(j )|=0 G(j )=-180o2arctanarctan)()4)(1(1)(22 相相頻頻特特性性：幅幅頻頻特特性性：A0(0.5,j0)ImRe902arctanarctan)( 2arctanarctan90 )2(arctan)arctan90( tgtg 21 2 )4)(1(1)(22 A)24)(21(1 288. 0 0(0,-j

18、0.288)(0.5,j0)ImRe解：系統(tǒng)的頻率特性為：解：系統(tǒng)的頻率特性為：圖圖。制制其其，試試?yán)L繪已已知知系系統(tǒng)統(tǒng)的的傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)NquistTssKsG)1()( )1(1)arctan90(1)(222222 TKjTKTTTKjG 則有：則有：|G(j0)|= G(j0)=-900 |G(j )|=0 G(j )=-180o當(dāng)當(dāng) =0時：時：實頻特性：實頻特性：u( )=-KT虛頻特性：虛頻特性：v( )=- )1(1)(2222 TKjTKTjG ReIm0(-KT,j0) 1）一般形狀一般形狀).1)(1()().1)(1()(2121 jTjTjjjKjG 系統(tǒng)傳函：系統(tǒng)

19、傳函： )()0(,0.jKjGa 時時當(dāng)當(dāng)0型系統(tǒng)型系統(tǒng)：G(j0)=K0I型系統(tǒng)型系統(tǒng)： G(j0)=-90oII型系統(tǒng)型系統(tǒng)： G(j0)=-180o由于系統(tǒng)的分母的階次由于系統(tǒng)的分母的階次n分子的階次分子的階次m G(j)=0(n-m) (-90o).1)(1()().1)(1()(2121 jTjTjjjKjG 系統(tǒng)傳函：系統(tǒng)傳函：系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型起點（起點（ =0)終點終點( =)0正實軸上一個有限正實軸上一個有限值值按順時針方向越按順時針方向越過若干象限與坐過若干象限與坐標(biāo)軸相切而趨于標(biāo)軸相切而趨于原點原點I曲線漸進(jìn)于與負(fù)虛曲線漸進(jìn)于與負(fù)虛軸平行的直線軸平行的直線II第二象限的無

20、窮大第二象限的無窮大0型型I型型ImReII型型G(j0)=-90oG(j)=0 -90oReIm =0 = )10016()1)(12 . 0(5 . 7)(:2 ssssssG例如例如1、組成、組成1 1）由幅頻對數(shù)坐標(biāo)圖和相頻對數(shù)坐標(biāo)圖組成）由幅頻對數(shù)坐標(biāo)圖和相頻對數(shù)坐標(biāo)圖組成( )L( ) 1 2 3 4 lg L( ) lg 10 100 1000 10000 10倍頻倍頻dec20lg|G(j )|dB10 100 1000 10000 10 100 1000 10000 2040L( )dB904500( ) G(j)=K0 L()=20lgA()=20lgKL( ) ( 20l

21、gK=0 1=-20dB 10=-40dB 100 ( -901 10 100L( ) 20-20-20dB/decL( )=-20lg 0901)( jejG lg2015lg2015lg20)( L lg205 .23 L( )20401 10 23.5-20dB/dec當(dāng)當(dāng) =1時，時，L( )=20lgK ( -90圖圖的的例例：求求傳傳函函為為BodessG15)( 與積分環(huán)節(jié)互為鏡像與積分環(huán)節(jié)互為鏡像90o+20dB/decL( ) ( 201 10 100-20-90o-20dB/dec低頻段低頻段( 1/T )01lg20)(22 TL即低頻段可近似為即低頻段可近似為0dB0d

22、B的水平線，稱為低頻漸近線。的水平線，稱為低頻漸近線。對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性： ( ) = - arctgT 對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性：221log20)(TL 即高頻段可近似為斜率為即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec -20dB/dec 的直線，的直線，稱為高頻漸近線。稱為高頻漸近線。 lg20lg20 T TTLlg201lg20)(22 -30-20-10010-90-4501/TL( )/ (dB) ( ) (rad/sec)實際幅頻特性實際幅頻特性漸近線漸近線-20dB/dec 低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點點 1/T1/T，稱為，

23、稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。在轉(zhuǎn)折頻率處在轉(zhuǎn)折頻率處，L( ) -3dB， ( )-45 。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。漸近線誤差漸近線誤差 TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222 -4-3-2-100.1110 T轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線L( ) -20dB/dec1T00-45o-90o (T0.1T10與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像0 10 2030904501/TL( )/ (dB) ( ) (rad/sec)0.1/T10/T轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率實際幅頻特性

24、實際幅頻特性漸近線漸近線20dB/dec一階微分環(huán)節(jié)相當(dāng)于高通濾波器一階微分環(huán)節(jié)相當(dāng)于高通濾波器因此，一階微分環(huán)節(jié)對高頻信號有較大的放大因此，一階微分環(huán)節(jié)對高頻信號有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng)抑制噪聲能力的下降。作用，這意味著系統(tǒng)抑制噪聲能力的下降。22221lg20)( nnL 對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性 低頻段低頻段( T2L()L()T111T2T111T2 180相位差：相位差：0 0相位差：相位差：180180o o：20(n-m)dB/dec：90o(n-m)20dB/dec。20lgK=20dBK=10-20dB/dec一個積分環(huán)節(jié)一個積分環(huán)節(jié) L( )-20dB/dec-40d

25、B/dec-20dB/dec1 5 12 30201.5ssG10)(1 振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：r=12221 nr得：得： n=142121 rM=1.5得：得：=0.35822232)(nnnsssG 196101962 ss一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：1)(4 TssG1301 s1511)(2 sTssG一一階階微微分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1301(19610196)151(102 sssss)19610()30)(5(132 sssss一一 幅角原理幅角原理其中：其中：zi-零點零點 pi-極點極點).()().()()(2121nmpspspsz

26、szszsKsF 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)ziijzieAzs piijpieAps pnppzmzzjpnjpjpjzmjzjzeAeAeAeAeAeAsF .)(21212121 )(111 nipimiziiijpznieAA 設(shè)設(shè)F(s)在在s平面上（除有限個奇點外）為平面上（除有限個奇點外）為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè)單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè)s平面上解析點平面上解析點s s映映射到射到F(s)平面上為點平面上為點F(s)，或為從原點指向此或為從原點指向此映射點的向量映射點的向量F(s). 若在若在s平面上任意選定一封閉曲線平面上任意選定一封閉曲線Ls，只要只要此曲線不經(jīng)過此曲線不經(jīng)過F(s)的

27、奇點的奇點，則在則在F(s)平面上必平面上必有一對應(yīng)的映射曲線有一對應(yīng)的映射曲線LF，也是一封閉曲線也是一封閉曲線。 當(dāng)解析點當(dāng)解析點s按順時針沿按順時針沿Ls變化一周時變化一周時，向量向量F(s)將按順時針方向旋轉(zhuǎn)將按順時針方向旋轉(zhuǎn)N周，即周，即F(s)以原點為中心順以原點為中心順時針旋轉(zhuǎn)時針旋轉(zhuǎn)N周周，這就等于曲線這就等于曲線LFLF順時針包圍原點順時針包圍原點N N次。次。Lsj sReImF(s)s1F(s1)LFs2F(s2) Z為包圍于為包圍于Ls內(nèi)的零點數(shù)，內(nèi)的零點數(shù)，P P為包圍于為包圍于LsLs的的極點數(shù)，則：極點數(shù)，則：N=Z-P假設(shè)假設(shè)Ls內(nèi)只包含了一個零點內(nèi)只包含了一個

28、零點 zi，其他零極點其他零極點均位于均位于Ls之外之外。 njjmiipszssF11)()()(jziz2p1p2s-zis-p1sLs向量向量(s-zi)的相位角變化了的相位角變化了-2 ，而其他各向量的相位而其他各向量的相位角變化為角變化為0 0。即向量即向量F(s)的相位角總的變化量為的相位角總的變化量為-2 .jziz2p1p2s-z1s-p1ImReF(si)sF(s)LsLF 若若s平面上的封閉曲線包圍著平面上的封閉曲線包圍著F(s)的的Z個零個零點點，則在，則在F(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將將繞原點順繞原點順時針轉(zhuǎn)時針轉(zhuǎn)Z圈圈。 若若s平面上的封閉曲線包圍著平

29、面上的封閉曲線包圍著F(s)的的P個極點個極點，則在則在F(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將將繞原點逆時針繞原點逆時針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)P圈圈。 若若Ls包圍了包圍了F(s)的的Z個零點和個零點和P個極點個極點，則在，則在F(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將將繞原點順時針轉(zhuǎn)繞原點順時針轉(zhuǎn)N=Z-P圈。圈。1、開環(huán)、閉環(huán)傳函零、極點與、開環(huán)、閉環(huán)傳函零、極點與F(s)函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系G(s)H(s)-Xi(s)X0(s)()()()()()(sHsHsHsGsGsGDNDN 令：令：閉環(huán)傳函為閉環(huán)傳函為)()()()()(sHsGsHsGsGDDNNK )()()()()()()(

30、)(1)()(sHsGsHsGsHsGsHsGsGsGDDNNNNB 令輔助函數(shù)令輔助函數(shù) F(s)=1+GK(s)GB(s) F(s) GK(s) 零點零點 極點極點 零點零點 極點極點 零點零點 極點極點相同相同相同相同)()()()()()(sHsGsHsGsHsGDDHHDD )()()()()(sHsGsHsGsGDDNNK )()()()()()()(sHsGsHsGsHsGsGDDNNNNB j s+j0-jL1 L2R= 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：Z=0 N=-P 即系統(tǒng)穩(wěn)定時，即系統(tǒng)穩(wěn)定時，F(xiàn)平面上的曲線逆時針包圍平面上的曲線逆時針包圍原點原點P圈圈ReIm F F(s

31、)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)ImRe GH (-1,j0)GK(s) 當(dāng)當(dāng) 由由-到到+時，若時，若GH平面平面上的開環(huán)頻率特性上的開環(huán)頻率特性GK(j )逆時針方向逆時針方向包圍（包圍（-1，j0)點點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。定。P為為GK(s)在右半平面的極點數(shù)。在右半平面的極點數(shù)。 （若（若 由由0到到+時，則為時，則為P/2圈）圈） 由由-到到從從0的的Nyquist軌跡與軌跡與 由由0到到+的的Nyquist軌跡互為以實軸軌跡互為以實軸為對稱軸的對稱曲線為對稱軸的對稱曲線表述表述1： 開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)Ny

32、quist軌跡不包圍（-1.j0)點。P=0開環(huán)穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定由由N=Z-P得：得：N=0Nyquist曲線不包圍（曲線不包圍（-1,j0)點點閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(-1,j0)0ImRe-(-1,j0) 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定-Nyquist曲線順時針包圍（曲線順時針包圍（-1，j0)點點2圈圈例例2：0ImReP=0閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：Z=0由 N=Z-P，得到閉環(huán)穩(wěn)定的條件： N=-P 開環(huán)不穩(wěn)定時，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點P圈（P為開環(huán)正極點個數(shù)）開環(huán)不穩(wěn)，有一個正極點（開環(huán)不穩(wěn)，有一個正極點（P=1） Nyquist曲線逆時針包圍曲

33、線逆時針包圍(-1,j0)點點1圈圈 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定0(-2,j0) -ImRe(-1,j0)判判斷斷閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性，：開開環(huán)環(huán)傳傳函函例例5.01)(3 TssG開環(huán)不穩(wěn)，有一個正極點（開環(huán)不穩(wěn)，有一個正極點（P=1） - Nyquist曲線順時針包圍曲線順時針包圍(-1,j0)點點1圈圈 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0(-2,j0)ImRe(-1,j0)系系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性，判判斷斷閉閉環(huán)環(huán)：開開環(huán)環(huán)傳傳函函例例5 . 01)(4 TssG - Nyquist曲線逆時針包圍曲線逆時針包圍(-1,j0)點點1圈圈(N=1)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=1 =NR

34、eIm(-1,j0) =0P=1例例0ImRe開環(huán)傳函開環(huán)傳函：)1()1()(11 sTssKsGinimjjK 當(dāng)當(dāng) =0時，時，|Gk(s)|= =0+ (0+) jrres0lim: 令令 jrresKerKsGjr 0limlim| )(:0則則G(j0-)= 90oG(j0)=0oG(j0+)= (-90o)0-0+ReIm 在在GH平面上的平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半軌跡將沿?zé)o窮大半徑從徑從 =0-(或或 =0) 按按順時針順時針方向方向轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)180o(或或90o）到到 =0+。 - 0-=1Nyquist軌跡順時針包圍軌跡順時針包圍（-1，j0)點點2圈圈閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定

35、閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0+ImRe(-1,j0)例例: 系統(tǒng)的開環(huán)傳函為系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。)2)(1(10)( ssssGK =0- =-P=1開環(huán)開環(huán)Nyquist曲曲 線逆時針包圍線逆時針包圍 (-1,j0)點點1圈圈閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(-1,j0)ReIm =0+ =例：開環(huán)傳函例：開環(huán)傳函的的Nyquist圖如下圖圖如下圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。)1()3()( sssKsGP=0=1 =0- =- N=-2P ( )= -180 +(arctan4 -arctan -arctan2 )-180o (0+)

36、(-1,j0)Re =0+ =例：開環(huán)傳函例：開環(huán)傳函圖如圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖如圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Im)12)(1(14)(2 sssssGK的的Nyquist閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 開環(huán)開環(huán)Nyquist軌跡在（軌跡在（-1,j0)點以左穿過負(fù)實軸點以左穿過負(fù)實軸的稱為穿越的稱為穿越正穿越正穿越-相位增加相位增加負(fù)穿越負(fù)穿越-相位減小相位減小相位大相位大相位小相位小ReIm(-1,j0)+1-1+0.5-0.5 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，Nyquist曲線曲線（ 由由- 到到+ ）在負(fù)實軸上的正、負(fù)穿越次數(shù)在負(fù)實軸上的正、負(fù)穿越次數(shù)

37、之差等于開環(huán)正極點個數(shù)。之差等于開環(huán)正極點個數(shù)。即：當(dāng)即：當(dāng)P=N+-N-時時( 由由- 到到+ ）,系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定或當(dāng)或當(dāng)0.5P=N+-N-時時（ 由由0到到+ ）,系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定N+=2N-=4 N+-N-=-2 P=1 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定-1+1-1-1,j0)P=1ImRe=1 =0+ = =0- =-1-1+11.Nyquist判據(jù)是在判據(jù)是在GH平面內(nèi)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定平面內(nèi)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性性2.Nyquist判據(jù)應(yīng)用簡單判據(jù)應(yīng)用簡單3.開環(huán)開環(huán)不穩(wěn)定時，閉環(huán)系統(tǒng)仍然可穩(wěn)定不穩(wěn)定時，閉環(huán)系統(tǒng)仍然可穩(wěn)定1、開環(huán)增益、開環(huán)增益KK=1 K=10穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定K系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)

38、定性G(s)=Ks(s+1)(s+2)0+ReIm0+系統(tǒng)的型次系統(tǒng)的型次系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定性)1()( ssKsG)1()(2 ssKsG穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定 =0- =- =0+ =+ImRe =0+ =+ImRe =0- =- 階次的增大階次的增大系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定性 當(dāng)開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，在三階或三階以當(dāng)開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，在三階或三階以上時，閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定上時，閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定) 1)(1)(1()() 1)(1()(32121 sTsTsTKsGsTsTKsG穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定ReIm =0 =+ =-ReIm =0 =+ =-(-1,j0)不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界

39、穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定T1T2 ( )=arctanT1 -arctanT2 -180ReIm =0+ =0- =+(0+)-180o =- =0ImRe =0+ =+ =0-(0+)0的部分；單位圓內(nèi)的部分；單位圓內(nèi)部的部的Nyquist曲線對應(yīng)曲線對應(yīng)L( )0的所有頻率范圍內(nèi)的對數(shù)相頻特性曲的所有頻率范圍內(nèi)的對數(shù)相頻特性曲線與線與180線的穿越點。線的穿越點。 1-1 2 3 4 = =0+ReIm-180-90L( ) ( ) 1 2 3 400 Nyquist圖中的正穿越對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線圖中的正穿越對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線當(dāng)當(dāng) 增大時從下向上穿越增大時從下向上穿越180線線( (相角滯后減

40、相角滯后減小小 ) )； 負(fù)穿越對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線當(dāng)負(fù)穿越對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線當(dāng) 增大增大時時，從上向下穿越從上向下穿越180線線 ( ( 相角滯后增大相角滯后增大) )。 1-1 2 3 4 = =0+ReIm-180-90L( ) ( ) 1 2 3 400 Nyquist 曲線的輔助線反映在對數(shù)相頻特性曲線曲線的輔助線反映在對數(shù)相頻特性曲線上。上。 即將對數(shù)相頻特性曲線的起始點即將對數(shù)相頻特性曲線的起始點 (0+) 與與 (0+) +v 90線相連線相連(v 為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)。 1-1 2 3 4 = =0+ReIm-180-90L( ) ( ) 1 2 3 400 C-剪切頻率（幅值交界頻率）剪切頻率（幅值交界頻率） g-相位交界頻率相位交界頻率ReImL( ) 0 c g c g ( )不穩(wěn)定系統(tǒng)，不穩(wěn)定系統(tǒng)， C gP=0 =1ImRe（-1,j0) =0+ =0- C gImRe（-1,j0)P=0 =1 =0+ g C =0- C g 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定L( ) ( ) g C-0 當(dāng)開環(huán)穩(wěn)定時，若在當(dāng)開環(huán)穩(wěn)定時，若在L( )0的所有頻率下，的所有頻率下，其相頻曲線都在其相頻曲線都在- 線以上的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。線以上的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定L( ) ( ) C