大學(xué)物理 ——角動量守恒

1、 自然界中常見物體繞著某中心運(yùn)動的情況自然界中常見物體繞著某中心運(yùn)動的情況.例例如地球繞太陽的公轉(zhuǎn)如地球繞太陽的公轉(zhuǎn), 等等等等. 在這些情況下在這些情況下,僅僅僅僅用動量來描述物體的運(yùn)動是不夠的用動量來描述物體的運(yùn)動是不夠的,有必要引入有必要引入另一個(gè)物理量另一個(gè)物理量角動量來描述物體的轉(zhuǎn)動角動量來描述物體的轉(zhuǎn)動. 第五章第五章質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動半徑為下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動半徑為 r1，然后向下拉繩，使小球的運(yùn)動軌跡為半徑然后向下拉繩，使小球的運(yùn)動軌跡為半徑r2的圓周。的圓周。試

2、問小球這一過程中下面哪個(gè)敘述是對的？試問小球這一過程中下面哪個(gè)敘述是對的？A. 動量守恒動量守恒B. 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒C. 動能守恒動能守恒D. 速度不變速度不變E. 以上都不對以上都不對#1a0204001aFOE 開普勒第一定律：所有行星沿各自的橢圓軌道繞太陽開普勒第一定律：所有行星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)動，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。運(yùn)動，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。開普勒第二定律：對任一開普勒第二定律：對任一行星來說，它與太陽的連線行星來說，它與太陽的連線（稱為對太陽的矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積（稱為對太陽的矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.開普勒第三定律：開普勒第三定律：

3、行星繞太陽運(yùn)動軌跡的半長軸行星繞太陽運(yùn)動軌跡的半長軸a的立的立方與運(yùn)動周期方與運(yùn)動周期T 的平放成反比。比例系數(shù)與行星無關(guān)，的平放成反比。比例系數(shù)與行星無關(guān)，是一個(gè)只與太陽有關(guān)的常量。是一個(gè)只與太陽有關(guān)的常量。 除了動量，機(jī)械能守恒量以外一定除了動量，機(jī)械能守恒量以外一定還有另外一個(gè)還有另外一個(gè)守恒量守恒量存在！存在！中學(xué)的表達(dá)式：對中學(xué)的表達(dá)式：對軸軸的力矩的力矩M sinFrFdM MrFod一、質(zhì)點(diǎn)的角動量一、質(zhì)點(diǎn)的角動量 p在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)rF和和FrM 力對力對 定軸定軸的力矩：的力矩：d是是O點(diǎn)到力作用線的點(diǎn)到力作用線的垂直距離，稱為垂直距離，稱為力臂力臂。FrM 力力 對

4、對o點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩：F sinrFM 方向由右手螺旋法則確定。方向由右手螺旋法則確定。FrM oZXYrF pzyxFFFzyxkjiFrM 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：kMjMiMzyx 1.1.力矩是改變質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因力矩是改變質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因, , 力是改變質(zhì)點(diǎn)系平動狀態(tài)的原因。力是改變質(zhì)點(diǎn)系平動狀態(tài)的原因。說明說明2. 同一力對空間不同點(diǎn)的力矩是不同的。同一力對空間不同點(diǎn)的力矩是不同的。122121LLLtMLLtt ddFrM vrmprL 0 vvvmvtpr d)(dtprd)(d 定義角動量定義角動量&質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量及角動量定理：及角動量定理：dtbdabd

5、tadbadtd )(dtLd 質(zhì)點(diǎn)的角質(zhì)點(diǎn)的角動量定理動量定理21dtttM為質(zhì)點(diǎn)在為質(zhì)點(diǎn)在 t內(nèi)對內(nèi)對o點(diǎn)的沖量矩點(diǎn)的沖量矩tprdd ptrtpr ddd)(dMtL dd1.1.質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動動量動量：vmp （對圓心的對圓心的）角動量：）角動量：vrmvmrprL )(大小：大?。簃rvL mrvLO)(vr 方向：滿足右手關(guān)系，向上方向：滿足右手關(guān)系，向上力力平動運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變（動量定理）平動運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變（動量定理）力矩力矩轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變狀態(tài)發(fā)生改變（角動量定理）（角動量定理）Sunrrvv2 2 行星在繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌道運(yùn)動行星在繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓軌

6、道運(yùn)動)(vrmprL 大?。捍笮。?sin mvrL 方向：滿足右手關(guān)系，向上方向：滿足右手關(guān)系，向上3 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動對某定點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動對某定點(diǎn)的角動量vrmprL 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?思考：如何使思考：如何使L=0？mvdmvrL sinOmrdv對定點(diǎn)對定點(diǎn)（太陽）的角動量：（太陽）的角動量：=0 ？質(zhì)點(diǎn)的角動量的定義是質(zhì)點(diǎn)的角動量的定義是 ,以下哪一個(gè)以下哪一個(gè)選項(xiàng)的理解是正確的？選項(xiàng)的理解是正確的？A.對不同的參考點(diǎn)，角動量是相同的，或者說對不同的參考點(diǎn)，角動量是相同的，或者說質(zhì)點(diǎn)的角動量與特定的坐標(biāo)原點(diǎn)無關(guān)質(zhì)點(diǎn)的角動量與特定的坐標(biāo)原點(diǎn)無關(guān)B.當(dāng)當(dāng) 與質(zhì)點(diǎn)動量與質(zhì)點(diǎn)動

7、量 平行時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動量等于零平行時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動量等于零C.當(dāng)當(dāng) 與質(zhì)點(diǎn)動量與質(zhì)點(diǎn)動量 垂直時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動量等于零垂直時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角動量等于零D.以上都不對以上都不對rrpp#1a0204010aprLB對于角動量的理解，以下說法對于角動量的理解，以下說法錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的是：是：mOLA. 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m對對O點(diǎn)的角動量是一個(gè)矢量，點(diǎn)的角動量是一個(gè)矢量，其大小為其大小為prsin ,方向垂直于方向垂直于 和 組成的平面，與 和 滿足右手螺旋關(guān)系B. 角動量定義中的角動量定義中的 一定是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位置矢量C. 角動量是描述物體的轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)角動量是描述物體的轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的物理量的物理量D. 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做平面運(yùn)動時(shí)，對

8、該平面上當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做平面運(yùn)動時(shí)，對該平面上任一點(diǎn)的角動量都垂直該平面任一點(diǎn)的角動量都垂直該平面rprpr#1a0204010brppB一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動其中其中a，b， 為常數(shù)，為常數(shù)，試求：該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動試求：該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量矢量量矢量A. B. C. D. 以上都不對以上都不對j tbi tar sincoskmab k tttbam sinsincos)(22j ttmbi ttma sincossincos22#1a0204002aC試求試求: :該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量矢量該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量矢量. .解：解：: :一質(zhì)量為一質(zhì)量為m

9、m的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)沿一條二維曲線運(yùn)動j tbi tar sincos 其中其中a,b, 為常數(shù)為常數(shù)trvdd vrmL )cossin(j tbi ta )sincos(j tbi tam )sincos(22ktabktabm kmab (恒矢量恒矢量)或由或由FrM tLMdd! 0j tbi ta cossin 當(dāng)當(dāng) =恒矢量恒矢量)(,0vmrLM 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)對該參考點(diǎn)O的角動量為一恒矢量。的角動量為一恒矢量。二、角動量守恒定律二、角動量守恒定律開普勒第二定律開普勒第二定律：行星對太陽的徑矢在

10、相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積行星對太陽的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.mLvr&質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律dtdLM sinrtrm行星受力方向與矢徑在一條直線，永遠(yuǎn)行星受力方向與矢徑在一條直線，永遠(yuǎn)與矢徑是反平行的。與矢徑是反平行的。注意注意m Lvrr sinmvrLtSmtrrm 2sin212常矢量常矢量 LM0行星的行星的 時(shí)刻在變時(shí)刻在變, ,但其但其 可維持不變可維持不變. .vmL有心力有心力：運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)所受的力：運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)所受的力的作的作 用線始終通過某個(gè)給定用線始終通過某個(gè)給定點(diǎn)，而且點(diǎn)，而且 力的大小只依賴于力的大小只依賴于質(zhì)點(diǎn)對該給定點(diǎn)的距離。質(zhì)點(diǎn)對該給定點(diǎn)

11、的距離。性質(zhì)：性質(zhì)：角動量守恒角動量守恒 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 sinrrS21Fm Lvrr sinrrS21返回返回 sinsinrtrmmvrL-/2行星對太陽的徑矢掃過的面積：行星對太陽的徑矢掃過的面積：tSmtrrm 2sin212#1a0204003c一個(gè)一個(gè) 粒子飛過一金原子核而被散射，金核基本粒子飛過一金原子核而被散射，金核基本未動（如圖所示）。在這一過程中，對金核中心未動（如圖所示）。在這一過程中，對金核中心 粒子的角動量粒子的角動量A. 守恒守恒 B. 不守恒不守恒C. 條件太少，無法判斷條件太少，無法判斷vAu核核 粒子粒子rA質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻自時(shí)

12、刻自(a，0)處靜止釋放，忽處靜止釋放，忽略空氣阻力。問對原點(diǎn)略空氣阻力。問對原點(diǎn)O的角動量是否守恒？的角動量是否守恒？ A. 守恒守恒 B. 不守恒不守恒C. 條件太少，無法判斷條件太少，無法判斷#1a0204003b a o x mg vB 1. 1. 一對作用力、反作用力對定點(diǎn)（定一對作用力、反作用力對定點(diǎn)（定軸）的合力矩軸）的合力矩等于零等于零。111frM 222frM 221121frfrMM 21ff 222121frfrMM 2212)(frfrr 0 &質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理和角動量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理和角動量守恒2fr o2r1rr2f1fm1m22.質(zhì)點(diǎn)系的角動量質(zhì)點(diǎn)系的角

13、動量iiiPrL ddddiiiPrttL F Fi iP Pi iojrjfifirji0 iiiiiivmvPdtrdiir)(內(nèi)內(nèi)外外ijijifF iPtdddtbdabdtadbadtd )(iiiFrtL外外 ddM )(內(nèi)內(nèi)外外ijijiiifFrdtLd L 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 0M 常矢量常矢量一對作用力、反作用力對定點(diǎn)（定一對作用力、反作用力對定點(diǎn)（定軸）的合力矩等于零。軸）的合力矩等于零。iiiFr外外 質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定理MtL dd一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系總角動量對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系總角動量對時(shí)間的變化率時(shí)間的變化率質(zhì)點(diǎn)系

14、的角動量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理。3 角動量守恒定律是獨(dú)立于牛頓定律的角動量守恒定律是獨(dú)立于牛頓定律的 自然界中更普適的定律之一自然界中更普適的定律之一. .4 角動量守恒定律只適用于慣性系。角動量守恒定律只適用于慣性系。2 守恒指過程中任意時(shí)刻。守恒指過程中任意時(shí)刻。 1 角動量守恒條件：角動量守恒條件：合外力矩為零合外力矩為零.合外力為零合外力為零, ,合外力矩合外力矩不一定為零不一定為零, ,反之亦然反之亦然. .MtL dd如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定水平地固定在高處，其上穿過一條輕繩在高處，其上穿過一條輕繩,質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。質(zhì)量相同

15、的兩個(gè)孩子。起初兩個(gè)孩子都不動。起初兩個(gè)孩子都不動?，F(xiàn)設(shè)一個(gè)孩子甲用力向上爬，現(xiàn)設(shè)一個(gè)孩子甲用力向上爬，而另一個(gè)孩子乙抓住繩子不動而另一個(gè)孩子乙抓住繩子不動。試問誰先到達(dá)滑輪。試問誰先到達(dá)滑輪處？處？ A. 小孩甲小孩甲B. 小孩乙小孩乙C. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)D. 誰先到達(dá)不能確定誰先到達(dá)不能確定#1a0204005aC如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水平地固定水平地固定在高處，其上穿過一條輕繩，質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。在高處，其上穿過一條輕繩，質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子。在同一高度從靜止開始一起向上爬，在同一高度從靜止開始一起向上爬，任何時(shí)刻，相任何時(shí)刻，相對繩子，甲

16、的速率是乙的一倍對繩子，甲的速率是乙的一倍，試問誰先到達(dá)滑輪，試問誰先到達(dá)滑輪處？處？ A. 小孩甲小孩甲B. 小孩乙小孩乙C. 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá)D. 誰先到達(dá)不能確定誰先到達(dá)不能確定#1a0204005bC例題如圖所示例題如圖所示.半徑為半徑為r 的輕滑輪的中的輕滑輪的中心軸心軸O水平地固定在高處水平地固定在高處,其上穿過一條其上穿過一條輕繩輕繩,質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子質(zhì)量相同的兩個(gè)孩子.起初兩個(gè)孩子起初兩個(gè)孩子都不動。現(xiàn)設(shè)兩個(gè)孩子以不同的爬繩速都不動?，F(xiàn)設(shè)兩個(gè)孩子以不同的爬繩速度從同一高度同時(shí)向上爬試問誰先到達(dá)度從同一高度同時(shí)向上爬試問誰先到達(dá)滑輪處？滑輪處？分析：分析：系統(tǒng)合外力矩為零，系統(tǒng)

17、角動量系統(tǒng)合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒。守恒。角動量在兩小孩之間通過繩中張角動量在兩小孩之間通過繩中張力的力矩（內(nèi)力矩）傳遞。力的力矩（內(nèi)力矩）傳遞。0 BArmvrmv設(shè)兩人對軸承設(shè)兩人對軸承0點(diǎn)的速率分別為點(diǎn)的速率分別為vA,vBBAvv 不論小孩對繩的速度如何，他們對地的速度都相不論小孩對繩的速度如何，他們對地的速度都相同，故將同時(shí)到達(dá)！同，故將同時(shí)到達(dá)！即：雖然即：雖然 , 但對某軸外力矩為但對某軸外力矩為 零，則總角動量不守恒零，則總角動量不守恒,但對這軸的角但對這軸的角動量是守恒的動量是守恒的.0 iM3 3 由分量式：由分量式：1 1 孤立系孤立系. .2 2 有心力場有心力場,

18、 ,對力心角動量守恒對力心角動量守恒. . xixLM;0常量常量 角動量守恒的幾種可能情況：角動量守恒的幾種可能情況：18世紀(jì)哲學(xué)家提出星云說，認(rèn)為太陽系是由氣世紀(jì)哲學(xué)家提出星云說，認(rèn)為太陽系是由氣云組成的。氣云原來很大，由自身引力而收縮，云組成的。氣云原來很大，由自身引力而收縮，最后聚集成一個(gè)個(gè)行星、衛(wèi)星及太陽本身。最后聚集成一個(gè)個(gè)行星、衛(wèi)星及太陽本身。萬有引力不能把所有的天體吸引在一起萬有引力不能把所有的天體吸引在一起? 形成一個(gè)扁平的盤狀形成一個(gè)扁平的盤狀!為什么星系是扁狀，盤型結(jié)構(gòu)？為什么星系是扁狀，盤型結(jié)構(gòu)？盤狀星系的成因盤狀星系的成因 角動量守恒角動量守恒。Z方向：方向：解釋解釋

19、星球具有原始角動量星球具有原始角動量0 ZM 常量常量ZL000rvmmvr rrrvv100 321vrrmF 向向星球所需向心力：星球所需向心力：開始開始 ，當(dāng)，當(dāng) ：r 就穩(wěn)定不變就穩(wěn)定不變了，引力不能再使了，引力不能再使r r減小減小 。但在。但在z z軸方向卻無這軸方向卻無這個(gè)限制，所以可以在引力的作用下沿個(gè)限制，所以可以在引力的作用下沿z z向收縮，向收縮，使星云形成了鐵餅狀。使星云形成了鐵餅狀。 rFF向向引引向向引引FF Zvrm000例例: 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動（下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動（r1,v1)然然后向下拉繩，使小球的運(yùn)動