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文檔簡介
1、第十二章 壓桿的穩(wěn)定性12.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念12.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力12.3 其他約束情況下細長壓桿的臨界壓力其他約束情況下細長壓桿的臨界壓力12.4 臨界應力總圖臨界應力總圖12.5 壓桿的穩(wěn)定性計算壓桿的穩(wěn)定性計算12.6 折減系數(shù)法折減系數(shù)法 12.7 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施12.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿能否保持原有的直線平衡狀態(tài)的問題壓桿能否保持原有的直線平衡狀態(tài)的問題稱為稱為壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性問題。問題。干力擾(c)ljpp 壓桿喪失其原有的直線平衡狀態(tài)而過渡為微彎平衡狀態(tài)的現(xiàn)象,稱為失
2、穩(wěn)失穩(wěn)。 壓力P的極限值 稱為臨界壓力臨界壓力或臨界力臨界力。ljP(b)干力擾干力擾干力擾干力擾(a)12.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力ylppxxv如圖所示壓桿,取直角坐標系如圖如圖所示壓桿,取直角坐標系如圖距離原點為距離原點為x x的任意橫截面的撓度為的任意橫截面的撓度為v v,彎矩為彎矩為MPv (a)壓力P取絕對值。桿的撓曲線近似微分方程為 (b)令 ,則式(b)可以寫成為22d vPvdxEI 2PkEI2220d vk vdx(c)此微分方程的通解是sincosvakxbkx (d)邊界條件 a.代入(d)式有b=0 , (e) b. v(l) = 0代
3、入(e)式可得sincosvakxbkxsinvakxv( 0 ) = 0sin0akl (f) 由(e)式若 則知 ,即壓桿軸線上各點的撓度均等于零。這與壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡相矛盾,只能要求 。滿足這一條件的值應該為 ,其中 由此得 或 (g)0a 0v sin0kl kln0,1,2,nPnkEIl222nEIPlsin0akl 當 時 ,無意義,故取 時才使 為最小值。于是求得細長壓桿的臨界力為: (12-1)這就是兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力的計算公式,稱為歐拉公式歐拉公式。0n 1n 0P 22ljEIPlP力學家和材料力學史力學家和材料力學史Leonhard Euler (170
4、7-1783) Euler,瑞士人,數(shù)學家、力學家。在數(shù)學(數(shù)學分析、變分法、拓撲學)和力學(固體力學、剛體動力學、流體力學)的許多領(lǐng)域都有著開創(chuàng)性的貢獻。力學家和材料力學史力學家和材料力學史Leonhard Euler (1707-1783) Euler 在在 1744 年出版年出版的專著中,對柱的屈曲的專著中,對柱的屈曲問題進行了系統(tǒng)的研究。問題進行了系統(tǒng)的研究。 他以驚人的毅力和他以驚人的毅力和頑強的精神,克服重重頑強的精神,克服重重困難,堅持科學研究。困難,堅持科學研究。力學家和材料力學史力學家和材料力學史 他是迄今為止世界他是迄今為止世界上最為多產(chǎn)的科學家。上最為多產(chǎn)的科學家。他一生
5、的著述多達八百他一生的著述多達八百余件。在他去世后,俄余件。在他去世后,俄國科學院花了四十七年國科學院花了四十七年的時間,陸續(xù)出版了他的時間,陸續(xù)出版了他遺留下來的大量文稿。遺留下來的大量文稿。Leonhard Euler (1707-1783) 臨界壓力臨界壓力 與壓桿的抗彎剛度與壓桿的抗彎剛度 成正比,成正比,而與桿長而與桿長 的平方成反比。這就是說,桿愈細的平方成反比。這就是說,桿愈細長,其臨界壓力愈小,桿件就愈容易失穩(wěn)。長,其臨界壓力愈小,桿件就愈容易失穩(wěn)。在此臨界壓力的作用下,在此臨界壓力的作用下, ,將其代,將其代入(入(e e)式可得)式可得 (h) ljPEIlklsinaxl
6、上式說明,兩端鉸支細長壓桿的撓曲線是一條半波的正弦曲線。若令 ,將其代入(h)式可得可見 是壓桿中截面的撓度。2lx 12sin2xlaala12.3 12.3 其他約束情況下細長壓桿的臨界壓力其他約束情況下細長壓桿的臨界壓力對于其他約束情況下的細長壓桿對于其他約束情況下的細長壓桿 (12-212-2) 為不同約束條件下壓桿的為不同約束條件下壓桿的長度系數(shù)長度系數(shù), 為為相當長度相當長度。22()ljEIPll一端自由,一端固定一端自由,一端固定 2.0一端鉸支,一端固定一端鉸支,一端固定 0.7兩端固定兩端固定 0.5兩端鉸支兩端鉸支 1.0例例一端固定,一端自由的圓截面鑄鐵立柱l=3m,d
7、=0.2m,E=120GPa。試由式(12-2)計算立柱的臨界壓力解解 立柱的長度系數(shù) ,而截面慣性矩故臨界壓力為244540.27.85 106464dIm29523.141.20 107.85 102580(2 3)kN22()ljEIPl12.4 臨界應力總圖一、臨界應力與柔度一、臨界應力與柔度臨界應力臨界應力,用 表示。 (a) 引入截面的慣性半徑 可以得到 (b)22()ljljPEIAlA22()ljEli/iI Alj引用記號 (12-3)臨界應力的公式(b)可以寫為 (12-4)式中的是一個無量綱的量,稱為壓桿的柔柔度度或長細比長細比。li22ljE二、歐拉公式的適用范圍二、歐
8、拉公式的適用范圍歐拉公式的適用條件為 (c)引用記號 (12-5)歐拉公式的適用條件(c)可以寫成為 (12-6)這一類壓桿稱為大柔度壓桿大柔度壓桿或細長壓桿細長壓桿22ljpEppEp三、超過比例極限的臨界壓力三、超過比例極限的臨界壓力工程中的壓桿的臨界應力超過了比例極限,不能用歐拉公式來計算,一般采用以實驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗公式來確定其臨界應力, (12-7)式中的a和b是與材料力學性能有關(guān)的常數(shù) ljab塑性材料制成的壓桿 或 (d)引用記號 (12-8a)對于脆性材料制成的壓桿 (12-8b)于是(12-7)式的適用條件為 (或 )。這類桿件稱為中柔度壓桿中柔度壓桿或中長壓桿中長壓桿。l
9、jsabsabssabbbabspbp四、臨界應力總圖四、臨界應力總圖 將三種柔度范圍 內(nèi)壓桿的臨界應力與柔度的關(guān)系在直角坐標系中繪出,所得到的圖線稱為壓桿的臨界應力總圖臨界應力總圖,圖為塑性材料的臨界應力總圖。ljABCDOpssplj2Elj2lja b ljs五、拋物線公式及其臨界應力總圖五、拋物線公式及其臨界應力總圖 臨界應力超過比例極限時的拋物線公式是把反映臨界應力 與柔度表示成如下的拋物線關(guān)系 我國自己通過實驗建立的拋物線公式為 (12-9)對常用的結(jié)構(gòu)用鋼A2、A3、16錳鋼 (12-10)為材料的屈服極限。lj211ljab21() ljscc0.430.57csEs例例 兩端
10、固定的受壓的桿件,橫截面形狀分別采用矩形和圓形,截面面32102mm2。分別計算兩種情況下的臨界載荷。p3m解解 (1)矩形截面 由 , 得 截面的最小慣性半徑:22232 10Abbmm40bmmminIiA321211.55212b bbmmb bb2b壓桿柔度 壓桿為細長桿30.5 3 10129.911.55pli 22ljljEPAA29262210 1032 1010129.93393 10 Np3mb2b(2)圓形截面由 得 截面慣性半徑22232 104dAmm63.8dmmIiA42644dd15.954dmmp3mb2b壓桿柔度壓桿為中長桿liljljPA30.5 3 10
11、9415.95p 6263(304 1.12 94) 1032 1010636 10 N()abAp3mb2b壓桿的穩(wěn)定條件為 (12-11a)或使用安全系數(shù)表示 (12-11b)式中,n為壓桿的工作安全系數(shù) nw為規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。ljwPPnljwPnnP12-5 壓桿的穩(wěn)定性計算壓桿的穩(wěn)定性計算 幾種鋼制桿nw的參考值。金屬結(jié)構(gòu)中的壓桿 nw=1.83.0機床的絲桿 nw=2.54.0低速發(fā)動機的挺桿 nw=46磨床油缸的活塞桿 nw=46起重螺旋桿 nw=3.55壓桿的穩(wěn)定計算包括壓桿的穩(wěn)定校核、截面設(shè)計、確定許用載荷三個方面。一般設(shè)計中往往先按強度估算,初步確定壓桿截面尺寸,再校核
12、其穩(wěn)定性。 壓桿穩(wěn)定性計算的一般過程為:根據(jù)壓桿實際尺寸和桿端的約束情況,計算各彎曲平面內(nèi)柔度 。然后根據(jù)最大柔度確定臨界壓力的計算公式,最后進行穩(wěn)定計算。例例 蒸汽機的活塞桿受到蒸汽壓力P=120KN,桿長度180cm,E=210Gpa, nw8,設(shè)計活塞桿的直徑d。240pMPalABppp解:設(shè)壓桿為細長桿解得:P=120KN nw8L=180cm E=210Gpa240pMPa22()ljEIPl924210 10264(1 1.80)d3960 10ljWPPn3120 1083960 10960NNd 32439960 101.8640.07474210 10mmmlABppp柔度
13、為:再由公式(12-5)因 ,說明上面應用歐拉公式進行的試 算是正確的。P=120KN nw8L=180cm E=210Gpa240pMPali2ppEp/4ld1 180097.374/4296210 10240 1092.9lABppp12.6 折減系數(shù)法折減系數(shù)法用壓桿的橫截面積A去除式(12-13a)的兩端,得 或 (a) 記 (b)于是穩(wěn)定性條件以應力的形式表示為 (c) ljWPPAAnljWnljWWnW在結(jié)構(gòu)設(shè)計中規(guī)定將 表示為(d)通過引用折減系數(shù) ,應力形式的穩(wěn)定條件則可表示為 (12-12) PA ( )W W選定截面形式和支承形式選定截面形式和支承形式預選預選 0 =
14、0.5計算截面面積計算截面面積 ) (00FA 由面積由面積 A0 確定相應尺寸,并計算慣性矩確定相應尺寸,并計算慣性矩計算柔度計算柔度 根據(jù)柔度根據(jù)柔度 查表得值查表得值 1 1 0 小于規(guī)定值嗎小于規(guī)定值嗎?( 1+ 0 )/2 0后續(xù)計算后續(xù)計算結(jié)束結(jié)束折減系數(shù)法設(shè)計折減系數(shù)法設(shè)計壓桿尺寸的流程壓桿尺寸的流程解解:由于截面未確定,在穩(wěn)定條件A和 均為未知量,故只能用試算法來確定壓桿的截面。 一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長l=1.5m,材料為A3鋼,=160MPa試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號。 PA 假設(shè)截面: 查型鋼表,選截面與其接近的22b工字鋼,其截面積和慣性
15、半徑為例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長l=1.5m,材料為A3鋼,=160MPa,試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號。10.51 PA 246.4Acmmin2.27icm36350 100.5 160 10243.8cm按所選型號進行穩(wěn)定核算查表12-3,并插值得壓桿的穩(wěn)定許用應力 為例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長l=1.5m,材料為A3鋼,=160MPa,試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號。2 150132.22.27li10.39WW21 0.39 16062.4/MN m 工作應力是工作應力比穩(wěn)定許用應力大許多,應進行第二次選擇。第二次可取
16、例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長l=1.5m,材料為A3鋼,=160MPa,試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號。3350 10275.4/446.4 101PMN mA11()(0.5 0.39) 0.4422211再由穩(wěn)定條件得截面查表選用25b號工字鋼,進行穩(wěn)定核算:3350 10249.76 20.44 160 10PAcm 例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長l=1.5m,材料為A3鋼,=160MPa,試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號。253.5Acmmin2.404icm2 150124.82.404li由此柔度查表12-3,并插值得穩(wěn)定許用應力為工作應力此選用則安全。20.4353350 10265.4/453.5 102PMN mA例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350k
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