緒論數值計算方法的研究對象和特點

1、計算方法太原理工大學信息與計算科學Computing Methods數學學院 信息與計算科學系實際問題實際問題模型設計模型設計算法設計算法設計問題的解問題的解上機計算上機計算程序設計程序設計 在科學研究、工程實踐和經濟管理等工作中，存在科學研究、工程實踐和經濟管理等工作中，存在大量的科學計算、數據處理等問題在大量的科學計算、數據處理等問題. .應用計算機解應用計算機解決數值計算問題是科技工作者應當具備的基本能力決數值計算問題是科技工作者應當具備的基本能力. .數學學院 信息與計算科學系 計算方法計算方法是研究適合在計算機上使用的是研究適合在計算機上使用的實際可行、理論可靠、計算復雜性好的數值實

2、際可行、理論可靠、計算復雜性好的數值計算方法計算方法, , 也叫也叫數值分析數值分析. . 換句話說換句話說, , 計算方法是一種研究并解決計算方法是一種研究并解決數學問題的數值數學問題的數值近似解近似解的方法，是在計算機的方法，是在計算機上使用的解數學問題的方法上使用的解數學問題的方法. . 數學學院 信息與計算科學系1. 面向計算機面向計算機 要根據計算機的特點提供實要根據計算機的特點提供實際可行的算法際可行的算法, 即算法只能由計算機可執(zhí)行即算法只能由計算機可執(zhí)行的加減乘除四則運算和各種邏輯運算組成的加減乘除四則運算和各種邏輯運算組成.一、計算方法課程的特點一、計算方法課程的特點數學學院

3、 信息與計算科學系算法分類算法分類: : 分類方法分類方法2 2：從算法執(zhí)行所花費的時間：從算法執(zhí)行所花費的時間角度來講，若算術運算占絕大多數時間則稱角度來講，若算術運算占絕大多數時間則稱其為其為數值型算法數值型算法，否則為，否則為非數值型算法非數值型算法。 本課程介紹數值型串行算法。本課程介紹數值型串行算法。 分類方法分類方法1 1：若算法包含有一個進程則：若算法包含有一個進程則稱其為稱其為串行算法串行算法，否則為，否則為并行算法并行算法。數學學院 信息與計算科學系2. 要有可靠的理論分析要有可靠的理論分析 計算方法中的算法計算方法中的算法理論主要是連續(xù)系統(tǒng)的離散化和離散型方程理論主要是連續(xù)

4、系統(tǒng)的離散化和離散型方程的數值求解的數值求解. 包括誤差、穩(wěn)定性、包括誤差、穩(wěn)定性、 收斂性、收斂性、計算量、存儲量等計算量、存儲量等.3. 要有良好的計算復雜性要有良好的計算復雜性 計算復雜性是算計算復雜性是算法好壞的標志法好壞的標志, 它包括時間復雜性它包括時間復雜性 (計算時間計算時間多少多少) 和空間復雜性和空間復雜性 (占用存儲單元多少占用存儲單元多少).數學學院 信息與計算科學系 算法不同算法不同, 計算量大不相同計算量大不相同. 例如例如: 求解一個求解一個n階線性方程組階線性方程組, 用行列式用行列式解法的克萊姆法則要進行解法的克萊姆法則要進行 (n+1)n!(n-1)次乘除次

5、乘除運算運算. n=20時時, 大約進行大約進行1021 次運算次運算, 如用每秒如用每秒 3億次乘法運算的巨型計算機要連續(xù)工作億次乘法運算的巨型計算機要連續(xù)工作) (100365246060103101121年年 數學學院 信息與計算科學系完全沒有實際意義完全沒有實際意義, 而用而用Gauss消元法只需消元法只需3060 次乘法運算次乘法運算. 選擇算法非常重要！選擇算法非常重要！Cramer法則法則 vs Gauss消消元元法法.數學學院 信息與計算科學系數值逼近數值逼近數值代數數值代數微分方程數值解微分方程數值解二、計算方法的研究對象二、計算方法的研究對象 微積分、線性代數、微分方程中的

6、數學問微積分、線性代數、微分方程中的數學問題。題。數學學院 信息與計算科學系數值逼近數值逼近代數插值代數插值曲線擬合曲線擬合非線性方程求根非線性方程求根數值積分與數值微分數值積分與數值微分數學學院 信息與計算科學系線性方程組的數值方法線性方程組的數值方法矩陣特征值與特征向量矩陣特征值與特征向量問題問題數值代數數值代數數學學院 信息與計算科學系微分方程數值解微分方程數值解常微分方程數值解常微分方程數值解偏微分方程數值解偏微分方程數值解數學學院 信息與計算科學系三、計算方法講述的基本內容三、計算方法講述的基本內容1. 如何把數學模型歸結為數值問題如何把數學模型歸結為數值問題2. 如何制定快速的算法

7、如何制定快速的算法3. 如何估計一個給定算法的精度如何估計一個給定算法的精度3. 分析誤差在計算過程中的積累和傳播分析誤差在計算過程中的積累和傳播4. 如何構造精度更高的算法如何構造精度更高的算法5. 如何使算法較少的占用存儲量如何使算法較少的占用存儲量6. 如何分析算法的優(yōu)缺點如何分析算法的優(yōu)缺點數學學院 信息與計算科學系四、計算方法的意義與學習方法四、計算方法的意義與學習方法 1. 1. 意義意義 計算機的出現(xiàn)為大規(guī)模的數值計計算機的出現(xiàn)為大規(guī)模的數值計算創(chuàng)造了條件算創(chuàng)造了條件, , 研究適合于計算機的數值方研究適合于計算機的數值方法變得十分迫切和必要法變得十分迫切和必要. . 計算方法是

8、在大量計算方法是在大量的數值計算實踐和理論分析工作的基礎上發(fā)的數值計算實踐和理論分析工作的基礎上發(fā)展起來的展起來的, , 它不僅是一些數值方法的簡單積它不僅是一些數值方法的簡單積累累, ,而且揭示包含在多種多樣的數值方法之而且揭示包含在多種多樣的數值方法之間的結構和統(tǒng)一的原理間的結構和統(tǒng)一的原理. .數學學院 信息與計算科學系 2. 學習方法學習方法 (1) 認識建立算法和對每個算法進行理論認識建立算法和對每個算法進行理論分析是基本任務分析是基本任務, 主動適應主動適應“公式多公式多”和和“理理論分析論分析”的特點的特點. (2) 注重各章建立算法的問題的提出注重各章建立算法的問題的提出, 搞清搞清問題的基本提法、逐步深入的層次及提法的問題的基本提法、逐步深入的層次及提法的正確性正確性.數學學院 信息與計算科學系 (3) 理解每個算法建立的數學背景、數學理解每個算法建立的數學背景、數學原理和基本線索，而且對一些最基本的線索原理和基本線索，而且對一些最基本的線索要非常熟悉要非常熟悉. (4) 從各種算法的理論分析中學習理論推從各種算法的理論分析中學習理論推理方法理方法, 提高推理證明能力提高推理證明能力. (5) 認真進行數值計算的訓練認真進行數值計算的訓練, 學習各種算學習各種算法完全為了應用于實際法完全為了應用于實際, 因此必須真會算