導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用(畢業(yè)論文)

1、河南師范大學本科畢業(yè)論文 學號： 0901114152導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用學院名稱： 數(shù)學與信息科學學院 專業(yè)名稱： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 年級班別： 09級應(yīng)數(shù)一班 姓 名： 張亞賓 指導(dǎo)教師： 李靜 2013年4月河南師范大學本科畢業(yè)論文導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用摘 要 不等式的證明是數(shù)學學習中的重要內(nèi)容之一，其常用方法有：比較法、分析法、綜合法、歸納法、特殊不等式法等。導(dǎo)數(shù)作為微積分學的基本內(nèi)容，利用其證明不等式是一種行之有效的好方法，它能將某些不等式的證明化難為易，迎刃而解，本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極值，冪級數(shù)展開式，凹凸性等進行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的

2、適用范圍和證明步驟，總結(jié)了應(yīng)用各種方法進行證明的基本思路.使用這些方法可以簡潔、快速地解決一些不等式的證明問題，尋找一些規(guī)律，這對以后的教學研究會有很大的幫助。關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù); 不等式; 證明; 函數(shù);單調(diào)性；拉格朗日中值定理The application of derivate in the inequality provingAbstract The proof of inequality is one of the important contents of the mathematics learning. The commonly used methods are comparison

3、, analysis, synthesis method, inductive method and special inequality method. As the basic content of derivative of calculus, use it to prove inequality is a kind of effective method. It make the proof of inequalities is more easier.，This paper discusses the use of Lagrange mean value theorem, the m

4、onotonicity of functions, extremum, power series expansion, concave and convex inequality proof of specific methods, such as, the applicability of various methods is given and proved steps, summarizes the application of various methods to prove the basic train of thought.By using those methods, some

5、 inequality proof questions can be proved quickly and compactly and find some skills.It is of great help to future teaching research.Keywords derivate ; inequality; proof; function; Monotonicity; Lagrange mean value theorem 前 言導(dǎo)數(shù)最早是由法國數(shù)學家費馬為研究極值問題而提出的，無論在初等數(shù)學還是在高等數(shù)學中，導(dǎo)數(shù)都處于重要的地位。導(dǎo)數(shù)是微積分的初步基礎(chǔ)知識，是研究函數(shù)、解

6、決實際問題的有力工具。它包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。微分中值定理有：Rolle定理、lagrange中值定理、Cauchy中值定理。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值和凹凸性。不等式的證明在數(shù)學課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。在不等式的證明中不同的類型有不同的解法，如果題目給出的函數(shù)可導(dǎo)時，利用導(dǎo)數(shù)去證明不等式是一種行之有效的辦法。用導(dǎo)數(shù)證明不等式最主要的是要先構(gòu)建一個函數(shù)。本文針對微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性、泰勒公式、兩導(dǎo)數(shù)的不等性在不等式證明中的應(yīng)用進行了舉例。1 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式該方法使用于某區(qū)間上成

7、立的函數(shù)不等式,一般地,證明區(qū)間上的不等式時,可以選擇作為輔助函數(shù).對求導(dǎo)，判斷是大于或小于,判定的單調(diào)性,從而證明不等式.定理 1.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),則在上遞增（遞減）的充要條件是,1.2 若在上單調(diào)增加，則，反之亦然1.3 若在上單調(diào)遞減，則，反之亦然.例1. 已知，求證.證： 構(gòu)造函數(shù)，容易看出在區(qū)間上可導(dǎo)，且，由于可得 當時， 所以在上是增函數(shù)， 所以， 所以 所以當，求證.例2. 設(shè),證明不等式成立.證明 令,顯然當時,有從而在內(nèi)嚴格遞增,又在處連續(xù),所以,當時,即 （1）設(shè),則時,所以在內(nèi)遞減,又在處連續(xù),故時,有即 （2）由（1）、（2）可知,當時,有.注 當要證明的不等式

8、兩端是給定的兩個表達式，或者不等式一端或兩端含，且知道（或）時，構(gòu)造適當?shù)妮o助函數(shù),使得證明簡潔些是很有必要的，為此,往往對待證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃?，則需要用函數(shù)的單調(diào)性區(qū)證明。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式最主要的是構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法： （1）用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù). （2）用不等式兩邊適當“求商”構(gòu)造輔助函數(shù). （3）根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)，構(gòu)造“形似”輔助函數(shù). （4）如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式，則可通過取對數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).2 利用微分中值定理證明不等式若函數(shù)含有一二階導(dǎo)數(shù)，而要證的不等式的兩端含有的函數(shù)值

9、，特別是的表達式不知道時，或不等式中含有的導(dǎo)數(shù)時，常用lagrange中值定理去證明。定理2（拉格朗日中值定理） 若函數(shù)滿足以下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使.在拉格朗日公式中由于是內(nèi)的一個點，故可以表示成的形式，于是定理的結(jié)論就可以改為在中至少存在一個值，使.例3. 證明對一切 成立不等式 證 設(shè)，則 ，當時，由可推知 ，.當時，由可推得 ，從而得到所要證明的不等式.例4. 設(shè)為非線性函數(shù),在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明:使.證明 引入輔助函數(shù)由于非線性,故,使得,而.設(shè),（類似可證）,在與上分別使用拉格朗日中值定理,得即 所以 .令 故 .由上可知：當所要證明的不等

10、式與朗格朗日公式在形式上相似、但不完全相同時，則可以利用朗格朗日定理證明。其一般步驟如下：(1) 分析不等式的具體特點，構(gòu)造一個函數(shù)， 。這是證明的關(guān)鍵一步。(2) 判斷函數(shù)在區(qū)間上是否符合拉格朗日定理的兩個條件；若滿足，得出結(jié)果：。(3) 根據(jù)欲證不等式的特點，利用及的性質(zhì)，將上式進行適當變形，使不等式得以證明。 注意 一般地,若函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的條件,則有不等式,它是利用拉格朗日中值定理證明許多具體函數(shù)的不等式的主要思想. 定理3 柯西中值定理：函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；在內(nèi)每一點處，則在內(nèi)至少存在一點，使得.例5. 設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù)，且，證明：當時，證：因為故單調(diào)增加，

11、所以當時，即.又在上滿足柯西中值定理的條件.故由柯西中值定理知從而故原不等式成立.當不等式含有兩個函數(shù)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時可用柯西中值定理證明。證明步驟有：（1）、構(gòu)造兩個函數(shù)和，并確定它們的區(qū)間；（2）、對與在上用柯西中值定理；（3）、利用與a，b的關(guān)系，對柯西公式進行加強不等式。3 利用函數(shù)的極值證明不等式 此法使用范圍也是在某區(qū)間上成立的不等式,這里所作的輔助函數(shù)比較的不是函數(shù)的端點,而是極值和最值. 由待證不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷極大值還是極小值，再求出最大值或最小值，從而證明不等式，這就是利用函數(shù)的最值（或極值）證明不等式的思路.定理

12、4 設(shè)函數(shù)在點連續(xù),在某鄰域內(nèi)可導(dǎo), 若當時,當時,則在點取得極小值. 若當時,當時,則在點取得極大值.例6. 證明：.提示：由待證不等式建立輔助函數(shù),當在定義域內(nèi)可導(dǎo)時,只須解方程得出穩(wěn)定點,再對每個穩(wěn)定點應(yīng)用定理3或定理4判定是否為極值點,求出極大（小）值,再借助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立，具體視情況而論。證明 引入輔助函數(shù)=,則有,求得穩(wěn)定點,又故是在的唯一極值點,且有極小值,而為在上最大值,于是有 .例7. 設(shè)為任一常數(shù),試證：當時，. 證明 問題是證明當時,.因,所以只要證明當時,或令 ,解得穩(wěn)定點 當時, 時,所以,是的最小值點.即有 故 當時,成立.注 （1）利用最值證明不等式,

13、如果函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù),要證在上有成立,不妨證明在上的最小值；要證在上有成立,不妨證明在上的最大值.（2）當函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在所要求證的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的符號改變，也就是說出現(xiàn)了單調(diào)性改變的情況時，就可以考慮利用函數(shù)在區(qū)間的最值(或極值)來進行證明。利用函數(shù)的最值性或極值性證明不等式的一般步驟是，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般以作差或作商為主，然后對輔助函數(shù)在需要證明的區(qū)間內(nèi)找出極值或者最值，然后用極值或最值跟需要證明的條件比較，從而使命題得證。4 利用函數(shù)的凸凹性證明不等式函數(shù)的凸凹性的重要應(yīng)用之一是證明不等式,許多不等式問題用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）證明起來十分困難,但利用函數(shù)的凸凹性質(zhì),

14、可以方便、快捷地得到結(jié)論.這是一個非常重要的結(jié)論。定理5：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，對內(nèi)的任意不同的兩點，：1) 若，則在內(nèi)上凹，有2) 若，則在內(nèi)上凸，有例8. 設(shè)，證明不等式.證： ，由于，所以，在區(qū)間或，是凹的，于是 ，即所以原不等式成立.例9. 利用是凸函數(shù),證明： .其中,.證明 因為是凸函數(shù),所以詹森不等式成立.即 亦即 從而 注意 利用函數(shù)的凹凸性證明不等式，關(guān)鍵是要根據(jù)所要證明不等式選取相關(guān)的函數(shù)及適當?shù)?，選取。特別是引進了輔助函數(shù)時，要注意考察它的上凸和下凹的特征，并要注意函數(shù)的定義域，如果是上凸（凹）函數(shù),那么由定義,對于上的任意兩點,總有,所以只需證明在上是凸（凹）函

15、數(shù)即可證上述不等式.5 利用泰勒公式證明不等式如果所給的不等式與給定的條件涉及函數(shù)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù),再可考慮應(yīng)用泰勒公式.如果有帶拉格朗日余項的泰勒公式,若能對余項給出估計就可得到相應(yīng)的不等式. 定理 若在上有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù),且,當時,則對時,有 . 例10. 求證： , . 證明 原不等式等價于=. 因 ,由定理可知,當時,即 .注 此題可將不等式變形,使用函數(shù)單調(diào)性方法或中值定理證明.例11.當時，證明不等式成立.證 由于故顯然有 ，即兩邊乘以，得所以不等式成立.如果函數(shù)的二階和二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界可以利用泰勒公式證明這些不等式。證題思路：（1）、寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階上的泰勒展開式；（2

16、）、恰當選擇等式兩邊與（3）、根據(jù)最高階導(dǎo)數(shù)的大小或界對展開式進行放縮。值得說明的是泰勒公式有時要結(jié)合其它知識一起使用，如當使用的不等式中含有積分號時，一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進行證明；當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合式時，需要作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。6利用兩導(dǎo)數(shù)的不等性證明不等式定理 7 1設(shè)函，滿足： 在區(qū)間上可導(dǎo)，在區(qū)間上有，則在上有. 2 設(shè)函，滿足： 在區(qū)間上可導(dǎo)，在區(qū)間上有，則在上有.例12. 證明,.證 設(shè),顯然，求導(dǎo)，得：,.為在上判斷與的大小，再求一次導(dǎo)，得:因，即，故即.又因為，在上應(yīng)用

17、定理即知.再在上應(yīng)用定理，知，即，利用兩導(dǎo)數(shù)的不等性證明不等式時，一定要注意，對應(yīng)的區(qū)間上所需要的條件是否滿足該定理的要求。其主要步驟是:（1）、由不等式建立兩個端點值相同的函數(shù)并確定其對應(yīng)的區(qū)間；（2）、比較兩個函數(shù)在其對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的大?。海?）、在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)使用定理比較不等式的大小。以上介紹了六種應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法,并且舉例說明了其證明思路及方法,體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用.證明不等式的方法有很多種,在這里只介紹了其中的五種方法.在證明不等式中，通常需要根據(jù)待證不等式構(gòu)造輔助函數(shù),然后借助導(dǎo)數(shù)知識分別利用相應(yīng)的方法去證明,許多情況下可以應(yīng)用多種方法綜合地進行證明.參考文獻 1 華東

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