結構動力學基礎(new)2

1、結 構 動 力 學 基 礎1.1 無阻尼單自由度體系的自由振動在研究振動問題時，為了簡化計算，往往把具體的振動體系抽象為振動模型。結構發(fā)生運動時，確定其全部質量位置所需的獨立幾何參變量的數(shù)量，稱為體系的自由度。單自由度體系的振動問題在工程上是常見的。例如，基礎與地基之間的彈性支承（圖1.11a），當只考慮鉛直方向的振動時，就是單自由度體系的振動。又如，圖1.11b所示的鋼架，假定橫梁為剛體，則在考慮橫梁的水平振動時也屬于單自由度體系的振動。這些單自由度體系，可以很方便地用圖1.12所示的數(shù)學模型來描述，它包括下列單元： (a) (b)圖1.11 (a) (b)圖1.12 單自由度體系數(shù)學模型的

2、兩種表示（1） 質量塊m，用來表示結構的質量和慣性特性；（2） 彈簧系數(shù)k，用來表示結構的彈性回復力和勢能；（3） 阻尼器c，用來表示結構的摩擦特性和能量損耗；（4） 激勵荷載，用來表示作用于結構體系上的外力，力通常可寫成時間函數(shù)的形式。利用牛頓運動第二定律或者達朗貝爾原理（該原理表明，把慣性力作為附加的虛擬力，可使體系處于動力平衡狀態(tài)。）得到無阻尼單自由度體系的運動微分方程： （1.1-1）令，運動微分方程式（1.1-1）成為： （1.1-2）這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為： （1.1-3）上式中，為積分常數(shù)，由物體運動的初始條件時， 來確定：， ，將和帶入式（1.1-3），得

3、到： （1.1-4）或等價寫成： （1.1-5）其中：， （1.1-6）式（1.1-4）或（1.1-5）即為無阻尼單自由度體系的振動方程。下面簡述自由振動的特性。1. 振幅和初位相式（1.1-5）中C為自由振動的振幅；角（）為相位，其中為初相位。由（1. 1-6）式可知，自由振動的振幅和初位相與物體運動的起始條件、物體的質量m和彈簧的剛度系數(shù)k有關。2. 周期和頻率從式（1.1-4）或（1.1-5）可以看出，由該式所描述的運動是簡諧運動，因此也是周期性運動，即可以用同一頻率的正弦或余弦函數(shù)來表示。物體振動一次所需的時間稱為周期，以T表示： （1.1-7）周期T的常用單位是秒。每秒內物體振動的次

4、數(shù)稱為頻率，以f表示，常用單位是赫茲（Hz）。頻率與周期的關系為： （1.1-8）由（1.1-8）式得：，可見，是秒內振動的次數(shù)，稱為圓頻率，它的單位是弧度秒（注：在一些書中常把圓頻率的單位簡寫成為1秒）。從上述關系式可以看出，系統(tǒng)自由振動的周期、頻率或圓頻率與運動的起始條件無關，而只與體系的質量m和剛度系數(shù)k有關，即與體系的慣性及彈性有關。由于質量m和剛度系數(shù)k是振動體系本身所固有的特性，所以自由振動的圓頻率也稱為固有頻率。如欲降低振動體系的固有頻率，可減小彈簧的剛度系數(shù)或加大物體的質量。 1.2 有阻尼單自由度體系的自由振動前面討論的自由振動，其振幅始終不變，振動能持續(xù)進行而永不停止。但實

5、際上這種情況是不存在的。因為體系振動時必然要受到阻力的影響，從而使它的振幅逐漸衰減，以致停止振動。阻尼有各種不同的形式，例如，粘滯阻尼（空氣、水或油質等流體介質的阻尼），干摩擦（物體于其它固體之間的摩擦）和材料的內摩擦等。這里我們只討論粘滯阻尼，因為在許多情況下，粘滯阻尼的假定是真實的，然而，粘滯阻尼的假定卻往往忽略了體系的實際耗散特性。這種方法之所以得到如此廣泛應用，主要是因為它可以得到一種相對簡單的數(shù)學分析方法。如果物體在流質介質中運動的速度不大，阻尼力近似地與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為線性阻尼。假設把一結構體系簡化為如圖1.21所示的具有粘滯阻尼的簡單振子，圖中m和k分別為振子的質

6、量和彈簧常數(shù)，c是粘滯阻尼系數(shù)。運用牛頓定律或達朗貝爾原理得到有阻尼單自由度體系的運動微分方程： （1.2-1） (a) 粘滯阻尼振子 (b)隔離體簡圖圖1.21令，則運動微分方程式（1.2-1）成為： （1.2-2）這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程，設其解 代入上式可得特征方程： （1.2-3）該二次方程的兩個根是： （1.2-4）于是方程（1.2-2）的通解為： （1.2-5）隨著n、值的不同，、也具有不同的值，因而方程（1.2-2）也有不同的解，表示著不同的運動，下面分別討論。1，臨界阻尼體系這時，特征方程的根為兩個相等的實根，方程（1.2-2）的通解為： （1.2-6）由上式可知，這

7、種運動是非周期性運動，這時阻尼的大小正好是系統(tǒng)在衰減過程中振動與不振動的分界線，故稱為臨界阻尼體系。在該體系下，阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，以表示，即： （1.2-7）在實際問題中，常常不直接使用阻尼系數(shù)c，而是用阻尼系數(shù)c和臨界阻尼系數(shù)的比值作為阻尼的基本參數(shù)，稱為阻尼比。 （1.2-8）2，過阻尼體系在過阻尼體系中，其阻尼系數(shù)大于臨界阻尼系數(shù)（），這時特征方程有兩個不等的實根，從而可以直接用式（1.2-5）給出振動方程的解。對于過阻尼體系或臨界阻尼體系，產生的運動是不振蕩的，其振幅隨時間按指數(shù)衰減到零。圖1.22描繪了具有臨界阻尼的簡單振子的反應。過阻尼體系的反應與圖1.22所示臨界阻尼體系

8、的運動相類似，但是隨著阻尼的增加，恢復到平衡位置將需要更多的時間。圖1.22 臨界阻尼的自由振動3，小阻尼體系小阻尼體系也稱為亞阻尼體系，其阻尼系數(shù)小于臨界阻尼值（），這時方程（1.2-2）的通解為： （1.2-9）式中： ，圖1.23給出了一個具有初始位移，但初始速度為零（）的小阻尼體系的反應曲線，該運動是振動的，在運動過程中，振幅不是常數(shù)，而是隨循環(huán)次數(shù)依次遞減。盡管如此，振動還是發(fā)生在相等的時間間隔內，該時間間隔稱為振動的阻尼周期。 （1.2-10）圖1.23 小阻尼體系的自由振動反應阻尼對自由振動的影響，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：（1） 振動周期增大，但是在較小的情況下，阻尼對周期的影響

9、很小，在小阻尼情況下，可近似地認為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。（2） 振幅按幾何級數(shù)衰減。設相鄰兩次振動的振幅分別為 和，由式（1.2-9）可知，這兩個相鄰振幅的比值為： （1.2-11）用實驗方法確定體系阻尼系數(shù)的一種切實可行的方法是讓體系作自由振動可得到振動記錄如圖1.24所示，并測出運動振幅的衰減率。這樣衰減可以很方便地用對數(shù)衰減率來表示，它等于在自由振動中任意兩個相鄰最大振幅和之比取自然對數(shù)，即： （1.2-12）實際應用中，常?。?（1.2-13）圖1.24 峰值位移和切點位移曲線因此用實驗方法確定了體系自由振動兩相鄰的峰值后，便可用式（1.2-13）計算出阻尼比

10、。1.3 簡諧荷載作用下單自由度體系的反應本節(jié)，我們將研究理想化為單自由度體系的結構在簡諧激勵作用下的運動，即結構所受的力或位移幅值可以用正弦或余弦的時間函數(shù)來表示的運動。這種激勵形式，在機械振動及結構動力學中也將產生一種非常重要的運動。由于在旋轉機械的轉動件中不可避免的質量偏心將產生簡諧激勵使結構經常受到轉動件的動力作用。此外，即使在激勵不是簡諧函數(shù)的情況下，應用傅立葉方法也可以得到結構的反應，即對外部激勵簡諧分量的各個反應的疊加。1.3.1 無阻尼簡諧激勵假設作用在圖1.3-1中的簡單振子上的外力是等于的簡諧力，其中為峰值，為力的頻率。該體系的運動微分方程為： （1.3-1）圖1.3-1

11、簡諧激勵無阻尼振子及其隔離體簡圖式（1.3-1）是一個二階常系數(shù)非齊次微分方程，其通解為： （1.3-2）上式表明，在恢復力和干擾力的作用下，體系的振動由兩部分組成，第一部分為自由振動，第二部分為受迫振動。由于阻尼的存在，自由振動將迅速衰減，因此，下面只討論受迫振動部分。由式（1.3-2）的第二部分可知，在簡諧干擾力作用下的受迫振動是簡諧振動，而且與起始條件無關，受迫振動的圓頻率與干擾力的圓頻率相等。如果以表示受迫振動的振幅與靜變形的比值（這里靜變形等于），稱為動力放大系數(shù)，則有： （1.3-3）式中，稱為頻率比，表示干擾力的圓頻率與受迫振動的圓頻率之比。分別以和為縱向及橫向坐標，將式（1.3

12、-3）繪成振幅頻率特性曲線，如圖1.32所示。圖1.32 振幅頻率特性曲線從圖1.32可以看出：1當（即干擾力圓頻率等于零）時，；當01時，動力放大系數(shù)隨頻率比的增大而增大，該區(qū)域為低頻區(qū)。2當時，這說明當干擾力的圓頻率接近體系的固有頻率時，在無阻尼情況下，振幅將無限地增大，這種現(xiàn)象稱為共振。工程中將0.751.25的區(qū)域稱為共振區(qū)。當體系發(fā)生共振時，由于阻尼的影響，盡管振幅不會無限增大，但會達到相當大的數(shù)值，致使結構物受損。因此，如何避免或消除共振，是工程上的一個重要課題。3時，動力放大系數(shù)隨頻率比的增大而減小，直到靜止，該區(qū)域稱為高頻區(qū)。在彈簧質量體系中，如果由于外界的干擾，使彈簧的支承點

13、發(fā)生簡諧運動，那么，將同樣引起受迫振動。例如，由地震荷載引起的結構物的振動，由路面不平引起的車輛的振動等，都屬于這一類情況。1.3.2 有阻尼簡諧激勵考慮圖圖1.33中有粘滯阻尼影響下單自由度振動體系，其運動微分方程為： （1-3.4）圖1.33 簡諧激勵有阻尼振子這是一個二階常系數(shù)非齊次微分方程，其通解為： （1-3.5） 其中：振幅 ： 相位差： 、為積分常數(shù)，由運動的初始條件決定。由（1-3.5）式可知，在彈性力阻尼力和周期干擾力的作用下，體系的運動由兩個部分組成：一部分是自由衰減振動，這一部分運動將很快消失；另一部分是受迫振動，在干擾力的作用下，這一部分運動將持久地進行，所以也稱為穩(wěn)態(tài)

14、振動。下面將討論有阻尼受迫振動的有關性質。一阻尼對受迫振動振幅的影響如果振幅超過了允許的限度，就會在構件中產生過大的交變應力，使構件發(fā)生疲勞破壞，因此在受迫振動中，振幅的大小對工程問題是十分重要的。用表示有阻尼時的動力放大系數(shù)（即有阻尼受迫振動的振幅與靜變形的比值），則有： （1-3.6）其中：；以頻率比為橫坐標，動力放大系數(shù)為縱坐標，將式（1-3.6）繪成不同阻尼情況下的幅頻特性曲線，如圖1.34所示。圖1.34 不同阻尼情況下的幅頻特性曲線圖1.34與無阻尼受迫振動的幅頻特性曲線圖1.32相比較，有如下特點：1在共振區(qū)，振幅的增大非常明顯，但不是無限制地擴大而是有限值。從圖中可以看出，動力

15、放大系數(shù)的最大值并不在1的縱軸上。為求的最大值，對式（1-3.6）進行極值運算，即由，求得共振時的和分別為： （1-3.7） （1-3.8）由于大多數(shù)工程問題都屬于小阻尼情況，阻尼比很小，可以將略去不計，于是可得到最大振幅時，。即可以近似地把共振時的動力放大系數(shù)作為體系的最大放大系數(shù)。2圖1.34反應曲線的分析表明，這些曲線的形狀由體系阻尼的大小所決定，特別是頻帶寬度（即相應于同一反應幅值的兩個頻率之差）與體系的阻尼密切相關，因此，在工程實際中，我們常用帶寬法（半功率法）計算阻尼。圖1.35給出一中等阻尼結構由實驗方法得到的一條典型幅頻特性曲線，在阻尼計算中，可以方便地量出圖中倍峰值處的頻帶寬

16、度，相應于該頻帶寬度上的頻率和叫做半功率點。該頻帶寬度的頻率值，可以通過體系的反應幅值等于共振幅值的倍關系來確定。通過運算得到：阻尼比可以近似地用兩個半功率頻率比差值的一半來表示，即： （1-3.9）圖1.35 實驗幅頻特性曲線二阻尼對相位差的影響將相位差寫成： （1-3.10）分別以和為縱橫坐標，根據(jù)式（1-3.10）可畫出在不同阻尼情況下的相位差頻率特性曲線，如圖1.36所示。圖1.36 不同阻尼情況下的相位差頻特性曲線從圖1.36中可以看出：當遠小于1時，這時受迫振動與干擾力可近似認為是同相的，隨著的增加，相位差也隨之增大。在共振區(qū)附近，的變化最為劇烈，當發(fā)生共振時，它與阻尼的大小無關。

17、這時干擾力的相位比受迫振動的相位超前，或者說干擾力與振動的速度同相，因此出現(xiàn)了很大的振幅。經過共振區(qū)后，隨著的增加，也增加，并趨向于。這時，受迫振動的位移與干擾力反向。1.4 任意荷載作用下單自由度體系的反應由于實際結構所受到的荷載往往并不是簡諧荷載，本節(jié)研究任意荷載作用下單自由度體系的反應，可以看到，對于能用解析方法計算的一些簡單荷載函數(shù)，其反應可以通過直接積分來求得，然而，對于一般荷載情況，借助于數(shù)值積分方法是必要的。一沖擊荷載和杜哈梅積分沖擊荷載是在一段很短的時間內作用的荷載，這種荷載相應的沖量等于力與其持續(xù)時間的乘積。如圖1.41所示，在時間為時，力在時間間隔內的沖量可以用陰影部分的面

18、積表示，其值為。根據(jù)動量定理得到速度增量為： （1-4.1） 圖1.41 沖擊荷載的一般荷載函數(shù)由于瞬時沖量作用的時間極短，可以認為該體系在瞬時沖量作用下的振動是以，為初始條件的自由振動，將這種速度變化引入無阻尼單自由度體系的位移響應方程，作為時間時的初始速度，這樣在稍后的某一時刻時產生的位移為： （1-4.2）因此，在荷載的連續(xù)作用下，在時間時刻所產生的總位移可以用微分位移從時刻到時刻進行積分來表示： （1-4.3）式（1-4.3）表示作用于無阻尼振子上的激勵荷載所產生總位移，它包括相應于零初始條件和的運動的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分。為了計入時的初始位移和初始速度的效果，只需要把由初始條件所得到的解

19、（1.1.4）式與（1-4.3）相加即可，因此，任意荷載作用下的無阻尼單自由度體系的總位移為： （1-4.4）對于一些簡單的外力函數(shù)如恒力、矩形荷載、三角形荷載等可以通過式（1-4.4）得到其顯式積分，當動力荷載較復雜時，有時不可能求出解析解，在實際運用中，對于所給定的時程，常常使用數(shù)值積分法。二無阻尼體系杜哈梅積分的數(shù)值計算應用三角函數(shù)關系和零初始條件，將式（1-4.4）的杜哈梅積分寫成如下形式： （1-4.5）式中： （1-4.6）由此可見，動力反應的計算歸結為計算積分和，可以使用任何數(shù)值積分方法來完成其計算。為了得出動力反應的時程曲線，一個基本思想是把所給定的時程劃分為許多區(qū)間（即時間間

20、隔），然后計算對應于所有區(qū)間端點的動力反應。顯然，區(qū)間的劃分越細，計算結果越精確。通常要使區(qū)間的長度小于體系固有周期的110。常用于杜哈梅積分的數(shù)值計算方法是梯形法和辛普森法。對于一般函數(shù)，設： （1-4.7）用梯形法所進行的基本運算是： （1-4.8） 用辛普森法所進行的基本運算是： （1-4.9）對于辛普森法，必須是偶數(shù)。由于梯形法基于用函數(shù)代替分段線性函數(shù)，而辛普森法則基于用函數(shù)代替分段拋物線函數(shù)，所以其解都是近似的。計算杜哈梅積分的另一種方法是基于假定加載函數(shù)由一給定的分段線性連續(xù)函數(shù)來獲得積分的解析解。該方法除了原有的舍入誤差之外，不會造成積分的數(shù)值近似。 圖1.42 分段線性荷載函

21、數(shù)假設動力函數(shù)可以用圖1.42所示的分段線性函數(shù)來近似，為了得到一條完整的反應時程曲線，將式（1-4.6）以增量的形式來表示： （1-4.10）式中和代表時的積分值，假設動力函數(shù)可以用分段線性函數(shù)逼近，即可寫成： （1-4.11）式中： ，將式（1-4.11）代入式（1-4.10）積分得： （1-4.12）式（1-4.12）即為（1-4.6）在任意時刻時計算積分的遞推公式。三有阻尼體系杜哈梅積分的數(shù)值計算由杜哈梅積分所表示的有阻尼體系的反應，將產生初始速度 的沖量代入相應的有阻尼自由振動方程，便可以得到當時間為時的微分位移： （1-4.13）對整個荷載區(qū)間上的這些微分項求和得到杜哈梅積分所表示

22、的有阻尼體系的反應： （1-4.14）在數(shù)值計算時，可以按無阻尼體系的情況進行，請自己推導。1.5 傅立葉變換和頻域反應一般說來，可以把任一周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)形式： （1-5.1）對于給定函數(shù)的系數(shù)和可由下式確定： （1-5.2）一用傅立葉級數(shù)表示的荷載作用下的反應無阻尼單自由度體系用傅立葉級數(shù)表示的周期力的總反應，由該級數(shù)各項反應的疊加組成，包括恒力的反應（穩(wěn)態(tài)反應），即： （1-5.3）式中：，有阻尼單自由度體系用傅立葉級數(shù)表示的周期力的總反應，也由該級數(shù)各項反應的疊加組成，可表示為： （1-5.4）式中：為阻尼比二分段線性函數(shù)的傅立葉系數(shù)如前面杜哈梅積分所述，可以用圖1.42所示的

23、分段線性函數(shù)來表示外力函數(shù)，這樣就可以把傅立葉系數(shù)的計算式（1-5.2）用外力函數(shù)的各分段積分和來表示： （1-5.5）式中N是外力函數(shù)的分段數(shù)，任意時間間隔ti-1tti的外力函數(shù)可由式（1-4.11） 表示。將式（1-4.11） 代入式（1-5.5），積分得到分段線性函數(shù)的傅立葉系數(shù)為： （1-5.6）三離散傅立葉變換將傅立葉系數(shù)拓展到非周期函數(shù)所得到的積分稱為傅立葉變換。級數(shù)，（j=0,1,2N-1）的傅立葉變換常常通過歐拉公式用指數(shù)形式來表示： （1-5.7）式中： （1-5.8）它的離散傅立葉逆變換為： （1-5.9）用有限和的形式，給出了任意離散函數(shù)，就可以得到受荷載函數(shù)的簡諧分量

24、激勵的簡單振子的反應。在有阻尼簡諧激勵的運動微分方程中，引入單位指數(shù)外力函數(shù)便得到： （1-5.10）其穩(wěn)態(tài)解為： （1-5.11）把式（1-5.11）代入式（1-5.10），便得到函數(shù)H(n)，稱為復頻反應函數(shù)，其表達式為： （1-5.12）式中：為頻率比，為阻尼比。因此，由式（1-5.9）給定的具有幅值的簡諧分量在時的反應可表示為： （1-5.13）于是，由N個簡諧分量得到的總反應為： （1-5.14）1.6 反應譜反應譜是單自由度體系在特定荷載作用下的最大反應曲線（最大位移最大速度和最大加速度等）。反應譜的橫坐標是體系的自振頻率（或周期），縱坐標是最大反應。考慮圖1.61所示無阻尼振子受

25、半周期正弦荷載的激勵作用，假設體系初始處于靜止狀態(tài)，正弦波的持續(xù)時間為，其運動微分方程為： （1-6.1）其中： 圖1.61 荷載F(t)作用下的無阻尼簡單振子該運動微分方程的解可以用直接積分法求得，它分為兩部份： （1-6.2）式中：；。由式（1-6.2）可以看出，按表示的反應是脈沖持續(xù)時間與系統(tǒng)自振周期比（）和時刻與周期的比值（）的函數(shù)。因此對于參數(shù)的任一給定值，由式（1-6.2）可得到其最大反應，圖1.62即為函數(shù)的最大反應值，它也就是半正弦荷載時程的反應譜。圖1.62 持續(xù)時間為td的半正弦荷載的反應譜從圖1.62可以看出，反應譜的最大值（放大系數(shù)）1.76，位于0.8處。由于輸入荷載

26、簡單，這時有可能得到封閉解，并畫出按無量綱比值表示的反應譜，該譜曲線對任何用半正弦波描述的脈沖荷載都是有效的。但是，對于隨機輸入荷載，不能期望得到一般的反應譜曲線，通常反應譜曲線應針對特殊激勵給出。一、支座受激振的反應譜結構動力學中的一個重要問題就是結構的基礎或支座受到激振時體系的反應分析。如圖1.63所示有阻尼振子的結構在基礎輸入一激振力，激振力由圖1.64表示的加速度函數(shù)來給定。 圖1.63 基礎激振的有阻尼簡單振子 圖1.64 基礎激振的加速度函數(shù)由圖1.63相應的隔離體圖中的合力為零得到其運動微分方程為： （1-6.3）式（1-6.3）是用絕對運動表示的有阻尼振子的運動微分方程，更實用

27、的是由它得到的質點對于支座的相對運動表達式，相對位移，代入（1-6.3）式得到： （1-6.4）式中：；。微分方程（1-6.4）的解可以用前面介紹的單自由度體系的求解方法得到，例如用杜哈梅積分得出： （1-6.5）二、三聯(lián)反應譜使用對數(shù)可以把最大加速度相對位移和相對擬速度的最大反應畫在同一張紙上，即把加速度譜、位移譜和速度譜畫在一起，稱為三聯(lián)反應譜。這里擬速度并不是精確的實際速度，但它們之間聯(lián)系密切，是真實速度的一種較方便的代換。對于支座受激振的無阻尼體系的運動微分方程，用相對位移表示為： （1-6.6）從上式中可見，絕對加速度總是與相對位移成正比的，特別是在最大值時，加速度譜與位移譜成正比，

28、即： （1-6.7）式中：，是體系的自振頻率；。為了方便起見，定義擬速度的最大值為速度譜，即： （1-6.8）彈性體系單自由度動力反應譜由輸入運動的數(shù)字來計算。單自由度受支座運動的三聯(lián)反應譜典型例子如圖1.66。該反應譜是輸入1940年埃爾森特羅地震地面加速度記錄的運動反應，這個地震加速度記錄廣泛應用于地震工程研究之中，該地震加速度記錄圖形如圖1.65所示。在1971年加州的圣費爾南多地震以前，埃爾森特羅地震記錄是已有的最長和最強烈的地震記錄之一。圖1.66是將式（1-6.7）和式（1-6.8）用自振頻率來表示（），并對各項取對數(shù)而得到的，因此其縱橫坐標均采用對數(shù)坐標，并通過位移橫坐標傾斜，加

29、速度橫坐標傾斜而畫出以對角線為橫軸的坐標，這樣就可以從一張圖上同時讀出加速度速度和位移譜值。圖1.65 1940年5月6日Elecentro地震南北分量地面加速度記錄 圖1.66 1940年Elecentro地震彈性體系的反應譜三非線性體系的反應譜一般來說，反應譜來自不同阻尼單自由度體系特殊激振計算的反應，并用短時間間隔數(shù)值積分來計算體系的反應。對于非線性體系，體系的反應采用逐步積分法計算，其基本思路是：將振動微分方程用增量形式表示，為計算方便，通常將所要計算的時程劃分成許多相等的時間間隔（即步長），在每一個連續(xù)的時間增量上計算反應值。在每一個時間間隔開始時已經建立了動力平衡條件，因此對時間增量的反應是基于剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)在上保持不變的條件下近似計算出來的。在分析中，通過在每一個時間增量的起點重新計算這些系數(shù)來考慮它們的非線性特性。而反應值是用上一時間間隔結束時的位移和速度作為下一時間步長的初始條件而計算得到。由此可見，對于每一個時間間隔，是在其開始時來計算系數(shù)和的，并假定直到下一個時間步長，它們都保持不變，所以體系的非線性特性近似于依次連續(xù)變化的線性體系，常用線性加速