第一節(jié)三角形常應(yīng)變單元

1、第三章 平面問題的有限元法本章通過三角形常應(yīng)變單元，介紹有限元法應(yīng)用于彈性體應(yīng)力分析的基本原理和方法：包括彈性體的離散化，單元特性的分析，剛度矩陣的建立，等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算，解答的收斂性以及實(shí)施步驟和注意事項(xiàng)，同時(shí)對形函數(shù)的性質(zhì)也作簡要的敘述。第一節(jié) 三角形常應(yīng)變單元一、 結(jié)構(gòu)離散化用有限元法分析彈性力學(xué)平面問題，第一步就是把原來的連續(xù)的彈性體離散化。 (a) (b)圖3.1 彈性體和有限元模型將整個結(jié)構(gòu)（平板）劃分成有限個三角形。這樣的三角形稱為單元（三角形單元）。三角形單元的頂點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)。3節(jié)點(diǎn)三角形單元用邊界節(jié)點(diǎn)間的直線段來近似板的曲線邊界。這些三角形在其節(jié)點(diǎn)處相互連接，組成一個單元集合體

2、，以代替原來的彈性體。注：1. 全部節(jié)點(diǎn)和全部單元一般由1開始按自然順序編號。2. 節(jié)點(diǎn)編碼： 總碼-用于整體分析，如1,2，按自然順序編號 局部碼-用于單元分析，i，j，m 要求按逆時(shí)針方向的順序進(jìn)行編碼每個單元的節(jié)點(diǎn)局部碼i，j，m和節(jié)點(diǎn)總碼有一一對應(yīng)的關(guān)系3. 單元間不能有重疊4. 一個單元的任一頂點(diǎn)不許為另一單元任一邊的內(nèi)點(diǎn)5. 所有作用在單元上的載荷，包括集中載荷、表面載荷和體積力，都按虛功等效的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，成為等效節(jié)點(diǎn)載荷。二、 位移模式1. 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣圖 3.2 平面三角形單元 設(shè)單元e的節(jié)點(diǎn)號碼為i，j，m。由彈性力學(xué)平面可知，單元內(nèi)任意一點(diǎn)有兩個位移分量u，v ，

3、記為 故每個節(jié)點(diǎn)也有兩個位移分量，因此稱節(jié)點(diǎn)自由度為2。3個節(jié)點(diǎn)得位移分量分別是 ，用列陣表示為 （3-1）稱單元自由度是6。其中任一子矩陣為 （i，j，m輪換）2. 位移模式結(jié)構(gòu)承受載荷以后發(fā)生位移，但位移分布事先并不知道。位移法有限元采用節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。因此，在應(yīng)用位移法有限元時(shí)，需要對單元內(nèi)部的位移分布進(jìn)行假定，使其滿足節(jié)點(diǎn)的位移連續(xù)條件和單元邊界的位移連續(xù)條件。單元位移分布的假定一般選用代數(shù)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)待定。這是一種近似方法。代數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)可以選擇很高，不過次數(shù)越高，分析越麻煩，但精確度越好。這種假定的單元位移分布形式稱為位移模式，它是坐標(biāo)x和y的函數(shù)，所以也稱為位移函

4、數(shù)。對于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，選用的位移模式是把單元中任一點(diǎn)的位移u，v表示為坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)，即 （3-2）式中為待定常數(shù)設(shè)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（xi,yi）,(xj,yj),(xm,ym)，同時(shí)設(shè)各節(jié)點(diǎn)位移為（ui ,vi）,(uj ,vj ),(um ,vm )代入式（3-2）得 由上式左邊的三個方程可以求得， 其中 式中為三角形面積，為了保證求得的面積為正值，三個節(jié)點(diǎn)i，j，m必須按逆時(shí)針編排，如圖3-2所示。將代入式（3-2），經(jīng)整理得其中 （i，j，m輪換） （3-3）同理得 若令 （i,j,m輪換） （3-4）則得位移模式為 （3-5）也可寫成矩陣形式 （3-6）式中是坐標(biāo)的線性函數(shù)，它

5、們反映了單元的位移狀態(tài)，所以稱為形函數(shù)，且稱 為形函數(shù)矩陣 。其中 例題1 圖示單元，已知各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)（單位: m），計(jì)算 ：1. 形函數(shù)的表達(dá)式；邊中點(diǎn)A的形函數(shù)。 2. 已知各節(jié)點(diǎn)的位移： 1（0，-0.001），2（0.002,0），3（0,0），計(jì)算邊中點(diǎn)A的位移。 圖3.3 例題1解：1. =1 因 （i,j,m輪換）， 得 在邊中點(diǎn)A有x=0, y=1 ，將其代入上式，的2. 單元節(jié)點(diǎn)位移由方程（3-5），得邊中點(diǎn)A的位移三、 應(yīng)變 有了單元位移模式（3-5），利用平面問題的幾何方程可以求得應(yīng)變分量。 而 （i，j，m輪換）所以寫成矩陣形式 簡寫成 (3-7)將其寫成分塊矩陣形式

6、(3-8)而子矩陣 （i，j，m輪換） (3-9)注：1. 式(3-9)是用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變的矩陣方程，其中矩陣稱之為單元應(yīng)變矩陣。 2. 由于等都是常數(shù)，所以矩陣中的元素都是常數(shù)，因而單元中各點(diǎn)的應(yīng)變分量也都是常數(shù)。故這種單元稱為常應(yīng)變單元。例題2 對于例1單元，試計(jì)算單元應(yīng)變。解： 所以單元應(yīng)變?yōu)樗摹?應(yīng)力求得應(yīng)變后，利用物理方程 便可導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力關(guān)系式中。把式（3-7）代入上式，得 （3-10）令 則 （3-11）上式表示的是應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。式中矩陣稱之為單元應(yīng)力矩陣，寫成分塊矩陣的形式 （3-12）對于平面應(yīng)力問題，其彈性矩陣為 代入式（3-12），得對應(yīng)于平面應(yīng)力問題的應(yīng)力矩陣（i,j, m輪換） (3-13) 對于平面應(yīng)變問題，只要把平面應(yīng)力問題的彈性矩陣中的E換成，換成，即得其彈性矩陣為 則對應(yīng)于平面應(yīng)變問題的應(yīng)力矩陣為 （i,j, m輪換） (3-14)注：1. 由(3-13) 和(3-14)式知，中的元素都是常數(shù)，所以每個單元中的應(yīng)力分量也是常數(shù)。故這種單元也稱為常應(yīng)力單元。2. 由于相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變。這樣越過公共邊界，即從一個單元過渡到另