高中數(shù)學(xué)必修一《集合與函數(shù)》

1、課程信息集合的概念與集合的表示集合概念把研究對象的總體稱為集合，把研究對象統(tǒng)稱為元素。元素的性質(zhì)1確定性；2互異性；3無序性表示 方 法列舉法兀素不重復(fù)元素?zé)o順序元素間用，隔開描述法寫清楚集合中元素的代號，如x R|x>0，不能寫成x>2；說明該集合中元素的性質(zhì)；所有描述的內(nèi)容都寫在大括號內(nèi)。元素與集合的關(guān)系一般地，用大與拉丁字母如A、B、C表示集合，用小與拉丁字母a、b、c表示集合中的兀素，如果a是集合A中的兀素就說 a屬于集合A，記作a A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA。常用數(shù)集及其記法N為零和正整數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集，N*或N+為正整數(shù)組成的集合；Z為

2、整數(shù)組成的集合； Q為有理數(shù)組成的集合， R為實(shí)數(shù)組成 的集合。例題1判斷以下命題是否正確，并說明理由。1R=R ；2方程組 y 2X的解集為x=1，y=2；y x 13x|y=x 2- 1=y|y=x 2- 1= x, y|y=x2 1;4平面內(nèi)線段 MN的垂直平分線可表示為P|PM=PN。答案：1R=R是不正確的，R通常為R=x|x為實(shí)數(shù),即R本身可表示為全體實(shí)數(shù) 的集合，而R那么表示含有一個字母R的集合，它不能為實(shí)數(shù)的集合。2方程組 y 2x的解集為x=1 , y=2是不對的，因?yàn)榻饧脑厥怯行驅(qū)崝?shù)對y x 1x 1x, y，正確答案應(yīng)為x, yI= 1, 2。y 23x|y=x 2

3、1=y|y=x 2 1= x, y|y=x2 1是不正確的。x|y=x 2- 1表示的是函數(shù)自變量的集合，它可以為x|y=x 2- 1=x|x R=R。y|y=x 2 1表示的是函數(shù)因變量的集合，它可以為y|y=x 2- 1=y|y a 1。 x, y|y=x2 1表示點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)在二次函數(shù)y=x2 1的圖象上。4平面上線段 MN的垂直平分線可表示為P|PM=PN,該命題是正確的。知識點(diǎn)撥：正確理解集合的表示方法對以后的學(xué)習(xí)有極大幫助。特殊數(shù)集用特定字母表x ?示有特別規(guī)定，不能亂用；二元一次方程組的解集必須為x, yI的形式；對描y ?述法表示的集合一定要認(rèn)清豎杠前面的元素是誰，豎杠后其

4、特征又是什么。例題2 a 1 , 1, a2，那么a的值為。答案：/a 1 , 1, a2, a可以等于1, 1, a2。1當(dāng)a=1時，集合那么為1 , 1, 1，不符合集合元素的互異性。故a工12同上，a= 1時也不成立。3a=a2時，得a=0或1, a=1不滿足，舍去，a=0時集合為1 , 1, 0。綜上，a=0。知識點(diǎn)撥：集合元素的互異性指集合中的元素必須互不相同，無序性指集合中的元素與順序無關(guān)。因此在處理元素為字母的集合問題時，既要注意對字母進(jìn)行討論，又要自覺注意集合元素的互異性、確定性。隨堂練習(xí)：以下各組對象中不能構(gòu)成集合的是A. 高一1班全體女生B.高一1班全體學(xué)生的家長C.高一1

5、班開設(shè)的所有課程D.高一1班身高較高的男同學(xué)知識點(diǎn)撥：根據(jù)集合的概念進(jìn)行判斷。因?yàn)锳、B、C中所給對象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而 D中所給對象不確定，原因是找不到衡量學(xué)生身高較高的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu) 成集合。假設(shè)將D中身高較高的男同學(xué)改為 身高175 cm以上的男同學(xué)那么能構(gòu)成集合。答案：Drtfi i/ 可 HT7 I i判斷某組對象是否為集合必須同時滿足三個特征：1確定性，2互異性，3無序性，特別是確定性比擬難理解， 是指元素和集合的關(guān)系是非常明確的，要么該元素屬于集合，要么該元素不屬于集合，而不是模棱兩可。例題 判斷以下對象能否組成集合。1高一1班的身高大于1.75 m的學(xué)生；2高一1

6、班的高個子學(xué)生。答案：1高一1班中身高大于1.75 m的學(xué)生是確定的，因此身高大于1.75 m的學(xué)生可以組成集合。2高一1班中的高個子學(xué)生沒有具體身高標(biāo)準(zhǔn)，因此高個子學(xué)生不能組成集合。答題時間：15分鐘1. 以下集合表示法正確的選項(xiàng)是A. 1，2, 3, 3B. 全體有理數(shù)C. 0= 0D. 不等式x 3>2的解集是x|x>52. 以下語句 集合x|0<x<1可以用列舉法表示； 集合1 , 2, 1含有三個元素； 正整數(shù)集可以表示為1 , 2, 3, 4,; 由1, 2, 3組成的集合可表示為1 , 2, 3或3 , 2, 1。正確的選項(xiàng)是A.只有和B.只有和C.只有D

7、.只有和3.集合1 , 3 , 5 ,7 , 9用描述法表示應(yīng)是A. x|x是不大于9的非負(fù)奇數(shù)B. x|x<9 x NC. x|1 *9 x ND. x|0 奚x Z4. 以下集合中，不同于另外三個集合的是A. x|x = 1B. y|y 1D D 解析：表示無限集，不能一一列舉，故不正確；含有相同的元素，不正確; 、正確。 A C 解析：A、B、D三項(xiàng)表示的集合都是1，而C選項(xiàng)表示含有一個方程的集合。 D 解析：xy<0表示x>0且y<0或x<0且y>0。因此集合 M表示第二、四象限內(nèi)的點(diǎn) 集。 0 , 6, 1 , 5， 2 , 4, 3 , 3， 4

8、 , 2， 5 , 1, 6 , 0= 0C. x = 1D. 15. 集合 M = x, y|xy<0, x R, y R是指A. 第一象限內(nèi)的點(diǎn)集B. 第三象限內(nèi)的點(diǎn)集C. 第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)集D. 第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集6. x, y|x+ y= 6, x, y N用列舉法表示為 課程信息稱為集合O3圖形語言Venn圖表示:2.交集的概念1自然語言表示:A與B的交集。2符號語言表示:由屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合,稱為集合3圖形語言表示AA B=x|x A，且 x B。Venn 圖：OA集合的運(yùn)算考點(diǎn)精講重點(diǎn)突破11子集1真子集定義對于兩個集合 A、B,如果集合A中的

9、 任意一個兀素都是集合B中的兀素，稱集合A為集合B的子集假設(shè)集合AB，但存在元素x B，且x A，稱集合A是集合B的真子集符號語言假設(shè)任意x A，有x B，貝U A B。假設(shè)集合AB，但存在元素x B，且x A，貝U AB表示方法A為集合B的子集，記作 A B或BA。A不是B的子集時，記作A王B或B屯A。假設(shè)集合A是集合B的真子集，記作A S B或B壬A。性質(zhì)AAA AB，B C A CA呈B，且B筆CA呈C子集個數(shù)|含n個元素的集合 A的子集個數(shù)為2n含n個元素的集合 A的真子集個數(shù)為_ n2 1空 集不含任何元素的集合，記為。空集是任何集合的子集，用符號語言表示為A ;假設(shè)A非空即AK ，

10、那么有Sa。集合的運(yùn)算：1.并集的概念1自然語言表示：由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合, A與B的并集。2符號語言表示：A U B=x|x A，或x B。3. 補(bǔ)集的概念1自然語言表示：對于集合A，由全集U中不屬于集合 A的所有元素所組成的集I A =x|x U，且 x A。合，稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合 A的補(bǔ)集。2符號語言表示：3圖形語言表示例題1判斷以下說法是否正確，如果不正確，請加以改正。1表示空集；2空集是任何集合的真子集；31，2, 3不是3，2，1；40,1的所有子集是0，1，0,1;5如果A B且AT ,那么B必是A的真子集；6A B與B A不能同

11、時成立。思路導(dǎo)航：對每個說法按照相關(guān)的定義進(jìn)行分析，認(rèn)真地與定義中的要素進(jìn)行比照，即答案：1不正確。應(yīng)該改為： ，表示這個集合的元素是。2不正確。空集是任何非空集合的真子集，也就是說空集不能是它自身的真子集。 這是因?yàn)榭占c空集相等，而兩個相等的集合不能說其中一個是另一個的真子集。由此也發(fā)現(xiàn)了，如果一個集合是另一個集合的真子集，那么這兩個集合必不相等。3不正確。1，2，3與3，2，1表示同一集合。4不正確。0，1的所有子集是0，1，0，1，。5正確。6不正確。A=B時，A B與B A能同時成立知識點(diǎn)撥：結(jié)合此題，要注意以下幾點(diǎn)：1不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以1不正確。空集有專用的

12、符號“不能寫成 ，也不能寫成 。2分析空集、子集、真子集的區(qū)別與聯(lián)系。3不正確。兩個集合是不是相同，要看其中一個集合的每個元素在另一個集合中是 不是都有相同的元素與之對應(yīng)，而不必考慮各元素的順序。4不正確。注意到是每個集合的子集。所以這個說法不正確。5正確。A B包括兩種情形：A B和A=B。6不正確。A=B時，A B與B A能同時成立。例題2集合A=x|ax 2 3x+2=0， a R，假設(shè)A中元素至多只有一個，求 a的取 值范圍。知識點(diǎn)撥：對于方程ax2 3x+2=0,a R的解，要看這個方程左邊的二次項(xiàng)的系數(shù)，a=0或aO寸，方程的根的情況是不一樣的。那么集合A的元素也不相同，所以首先要

13、分類討論。2答案：1a=0時，原方程為3x+2=0 x=，符合題意；32aO時，方程 ax2 3x+2=0 為一元二次方程， =9- 8a<0 a9 。8當(dāng)a9時，方程ax2 3x+2=0無實(shí)根或有兩個相等實(shí)數(shù)根，這都符合題意。8綜合1 2，知 a=0 或 a>9。例題 3 設(shè)集合 A= x|X a|<1, x R , B= x|1<x<5, x R。假設(shè) AAB= ?，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. a|0 « 6C. a|a<0或 a> 6B. a|a<2或 a > 4D. a|2 << 4知識點(diǎn)撥：此題主要考查絕對值

14、不等式的根本解法與集合交集的運(yùn)算，屬于中等題。由 |x a|<1 得一1<x a<1，即 a 1<x<a +1。/ AAB= ?可以分兩種情況來討論，一種是 A集合在B集合的左邊，一種是 A集合在B集合的右邊。如圖，由圖可知 a+ 1 <1或a 1所以a<0或a?6a-1答案：C隨堂練習(xí):A. 1滿足1 ,B. 23 U A=1 , 3, 5的所有集合A的個數(shù)是C. 3D. 4知識點(diǎn)撥：根據(jù)A U B的定義可知，集合1 , 3, 5應(yīng)該是集合1 , 3和A的元素并在 一起構(gòu)成的集合，所以A中必有元素5,且其他元素只能從1, 3中選出一個或兩個或不選，

15、因此 A 有四種可能：5 , 1 , 5, 3 , 5 , 1 , 3 , 5。答案：D答題時間：15分鐘1. 集合A=2 , 3 , 5，當(dāng)x A時，假設(shè)x 1?A , x+ 1?A，那么稱x為A的一個 孤立元那么A中孤立元的個數(shù)為 個。2. 設(shè)5 x|x2 ax 5 = 0，那么集合x|x2 4x a = 0中所有元素之和為 。3. 用另一種方法表示以下集合。1絕對值小于2的整數(shù);2能被3整除，且小于10的正數(shù);3x|x= |x|, x<5 且 x Z;4 3, 1, 1, 3, 5。4. 下面三個集合x|y = x2+ 1:y|y= x2 + 1:x, y|y= x2+ 1。1它們

16、是不是相同的集合？2它們各自的含義是什么？5. Um 1 , 2, 3,，9,假設(shè)a M且10 aM ,那么集合M的個數(shù)為A. 29B.30C.32D.316. 設(shè)集合S= A 0, A1, A2, A3，在S上定義運(yùn)算為:Ai Aj = Ak，其中k為i+j被4除的余數(shù)，i, j = 0, 1, 2, 3,那么滿足關(guān)系式x xA2= A0的xx S的個數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 47. 設(shè)全集1 = 1 , 2, 3,，9, A, B是I的子集，假設(shè) APB = 1 , 2, 3，就稱集對A , B為 好集那么所有 好集的個數(shù)為A. 6!B. 62C. 26D. 36岸巾h 1, 71

17、LJZ=t /12 liQf J/l1. 1解析：當(dāng) x= 2 時，X 1 = 1?A, x+ 1 = 3 A, 2不是孤立元；當(dāng) x = 3 時，X 1= 2 A，x+ 1 = 4?A, 3不是孤立元；當(dāng) x = 5 時，x 1= 4?A, x+ 1= 6?A, - 5是孤立元。2. 2解析：T 5 x|x2 ax 5= 0, 5是方程 x2 ax 5= 0的根。一 52+ 5a 5= 0, a = 4。 x2 4x a= 0 即 x2 4x+ 4 = 0, X1 = x2= 2。又集合中的元素是互異的， x|x2 4x a = 0 = 2。3. 解：1列舉法表示為 1, 0, 1。2列舉法

18、表示為3 , 6, 9。3列舉法表示為0 , 1, 2, 3, 4。4描述法表示為x|x= 2n 1， 1qwj n Z。4.解:1是互不相同的集合。2集合x|y= x2 + 1的代表元素是x,滿足條件y= x2 + 1中的x R, x|y= x2 + 1 = R;集合y|y = x2 + 1的代表元素是y,滿足條件y= x2 + 1的y的取值范圍是y?1 y|y= x2+ 1 = y|y> 1;集合x, y|y= x2 + 1的代表元素是x, y，是滿足y= x2 + 1的數(shù)對x, y的集 合；也可以認(rèn)為是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x, y，由于這些點(diǎn)的坐標(biāo)滿足y= x2 +1, x, y|y =

19、 x2+ 1 = 拋物線 y = x2+ 1 上的點(diǎn)。5. D解析：由題意，知 W 且1與9, 2與8, 3與7, 4與6這4組數(shù)都要滿足：每組數(shù) 的某一個數(shù)在集合M中，這組數(shù)的另一個也必定在集合M中，所以集合 M的個數(shù)為C； c；cf C； C?25 131 06. B解析：此題考查學(xué)生閱讀理解能力與根據(jù)信息解決問題的能力。x = A。時，x xA2= A2 MAo ;x= A1 時，XXA2= A2A2= A0；x= A2 時，XXA 2= A0A 2= A2 MA0 ；x= A3 時，XXA 2= A2A2= Ao；所以選B。7. D 解析：要使APB = 1 , 2, 3，必須滿足集合

20、 A , B中都含有元素1 , 2, 3，且對全集 中的其他6個元素中的每一個，要么在集合 A中，要么在集合 B中，或既不在 A中也不在 B中，于是這6個元素所在集合的不同情況有 3 X 3 X 3 X 3 x=33>6種。而這6個元素所在集合 的不同情況種數(shù)即為 好集的個數(shù)。應(yīng)選D。I課程信息集合的應(yīng)用考點(diǎn)精講重點(diǎn)突破有關(guān)集合運(yùn)算的性質(zhì)1A U B=B U A ;OAP B=BAA345心AU A=R ;h AP A=AP B=AA B ; A U B=BEu A U B=貼 APCub，h APB=I AU B。例題1設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A. AU B=IC. A PLB

21、=B.D.A B：A囤AI，那么以下各式中錯誤的選項(xiàng)是UD B=IP薦 BAPB= 'A;A U B=;答案：對A選項(xiàng)， A U B= AP 對B選項(xiàng)，卜AU B=' 對C選項(xiàng)，AP忖B= 思對D選項(xiàng),nr IB A U B 血。綜上所述，應(yīng)選B。知識點(diǎn)撥：1可根據(jù)題意畫出韋恩圖，借助于圖形的直觀性，對照選項(xiàng) 即可求解。2根據(jù)題意A B I構(gòu)造集合A、B、I，不妨設(shè)A= 1, B= 1 , 2, I= 1, 2, 3,利用特殊值代入法可求解。臨A U B=齢An臨B； C； AnB=爲(wèi) A3根據(jù)集合的反演律求解，即 UE B。例題2 集合 A=a , b, B=x|x A, C

22、=x|x A，試判斷 A、B、C之間的關(guān) 系。知識點(diǎn)撥：B中元素x的取值來源于 A , C中元素是A的子集。集合 B中的代表元素 是x, x滿足的條件是x A，因此x=a或x=b，即B=a , b=A，而集合C那么不然，集合 C 的代表元素雖然也是 x,但x代表的是集合，x A，因此，x=a或x=b或x=a , b或x=，即C=, a , b , a , b，此時集合 C中的元素是集合，故B C, A C。 A=B , B C, A Co答案：A=B , B C, A C。知識點(diǎn)撥：對于元素與集合、集合與集合之間的、關(guān)系要理解透徹， 用于描述元素與集合之間的關(guān)系，即只要元素a是構(gòu)成集合A的一個

23、元素，那么a A，如1與1,2,盡管1是一個集合，但1是構(gòu)成集合1 , 2的一個元素，故1 1 , 2,“ 用于描述集合與集合之間的關(guān)系，女口1 , 2, 3 1 , 2, 3, 4。例題3 某班舉行數(shù)理化競賽，每人至少參加一科，參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，參加物理競賽的有 25人，參加化學(xué)競賽的有 27人，其中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，參加物理、化學(xué)兩科的有 7人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，畫出集合關(guān)系圖，并求出全班人數(shù)。思路導(dǎo)航：此題考查集合的運(yùn)算， 解題的關(guān)鍵是把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言，借助于韋恩圖的直觀性把它表示出來，再根據(jù)集合中元素的互異性求出問題的

24、解。設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽的同學(xué)組成的集合分別為 A、B、C,由題意可知A、B、C三集合中元素的個數(shù)分別為 27、25、27, AQB、BQC、AQC、An Bnc的元素個數(shù)分 別為10、7、11、4。畫出韋恩圖：可知全班人數(shù)為 10+13+12+6+4+7+3=55人。答案:全班人數(shù)55人。點(diǎn)評：能正確使用一些集合符號把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言、圖形語言，是我們把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，它實(shí)現(xiàn)了實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。1解有關(guān)集合的交、并、補(bǔ)集時，可根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式韋恩圖或符合題設(shè)條件的集合 A、B、丨丨，并借助它認(rèn)識和解決原問題，這種構(gòu)造法對解好選擇題有很

25、大的幫助。2. 一般來說，元素與集合之間應(yīng)該用“或主而“，應(yīng)該出現(xiàn)于集合與集合之間；作為特殊集合應(yīng)遵從A , 論A非空。但這不是絕對的，選擇的關(guān)鍵在于具體分析二者的關(guān)系。例1 , 2 1 , 2, 1,而 , 1，回, 1都是對的。答題時間：15分鐘1假設(shè)A、B、C為三個集合，AB= BAC ,那么一定有A. A CB. C AC. A 工 CD. A =2假設(shè)集合A = 1 , 2, x, 4, B = x2, 1, APB = 1 , 4，那么滿足條件的實(shí)數(shù) x的值為 A. 4B. 2 或2C. - 2D. 23. 設(shè)集合 S= 2, 1, 0, 1 , 2 , T = x R|x+1 &

26、lt; 2，那么 A SPT等于A.B. 2C. 1 , 2D. 0 , 1 , 24. 設(shè)U為全集，M、P是U的兩個子集，且L MPP = P,貝U MAP等于A. MB. PC. II；>JpD.5. 設(shè)集合 M = x|x 且一1 vxv 2 , N = x|x 且兇> a, a>0，假設(shè) MQN = ，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. av 1B. a< 1C. a> 2D. a > 26. 設(shè)滿足y?|x 1|的點(diǎn)x, y的集合為A，滿足yw |x|+2的點(diǎn)x, y的集合為B,那么APB所表示圖形的面積是。7. 設(shè) A = x|x2+4x = 0, B

27、= x|x2+2a+1x+a2 1 = 0，假設(shè) APB = B，求 a 的值。1. A 解析：由 A U B = BQC,知 A U B B , A U B C,. A B C。應(yīng)選 A。2. C 解析：由AQB = 1 , 4, B = x2 , 1，得x2 = 4，得x = ±2又由于集合元素互異，x = 2 o3. B 解析：由題意，知 T = x|x < 1 . SAT= 2, 1, 0, 1LSQT= 2。4. D 解析：由丨MQP= P,知P ； M，于是PAM = 。應(yīng)選D。5. D 解析：M = x| 1 v xv 2, N= x|x < a 或 x&g

28、t; a。假設(shè) MQN=，那么一a< 1且a>2，即a> 1且a>2，綜上a>2。36. 解析：畫出y > |x 1|及yw|x|+2的圖象，貝U AAB表示的圖形為矩形；由交點(diǎn)23坐標(biāo)及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)簡單計(jì)算即得S矩形o形 27. aw 1 或 a= 1。解：A = x|x 2+4x = 0 = 0， 4 o1由 AAB = B ,得 B A o.B= 或 B = 0或 B = 4或 B= 0， 4 o假設(shè) B =，那么 4a+124a2 1v 0,貝U av 1o假設(shè)B = 0，那么2(a1) 0,0,.a= 1 o2(a1)8,假設(shè)B = 4，

29、貝U2無解。a 116,2(a 1)4,假設(shè) B = 0， 4，貝U2 ')a 10.解得a= 1 o.所求a的范圍是aw 1或a= 1。課程信息函數(shù)概念及函數(shù)的表示mR不冃函數(shù)的定義設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù) X,在集合B中都有唯一確定的數(shù) fX和它 對應(yīng)，那么就稱f: AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作 y=fx函數(shù)的三要素函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，符號表示為f: AB , A為定義域，B為值域C的一個擴(kuò)集，即C為B的子集f為對應(yīng)關(guān)系y=fx的內(nèi)涵當(dāng)自變量為X時，經(jīng)過f對應(yīng)的函數(shù)值為 有具體解析式f X，即 y-f x不

30、一疋兩個函數(shù)相等兩個函數(shù)的三要素相同定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域相同定義域、對應(yīng)關(guān)系相同例題1以下對應(yīng)是從集合 M到集合N的函數(shù)的是1A. M=R , N=R , f: xt y=一x 1B. M=R , N=R+正實(shí)數(shù)組成的集合，f: xty= . xC. M=x|x > 0N=R , f: xTy 2=xD. M=R , N=y|y > Q f: xt y=x2思路導(dǎo)航：此題主要考查函數(shù)的定義。A.對于M中的元素一1, N中沒有元素與之對應(yīng)，故該對應(yīng)不是從 M到N的函數(shù)。B.對于M中任意值為負(fù)數(shù)的元素，N中沒有元素與之對應(yīng)，該對應(yīng) f: MTN 不是函數(shù)。C.對于M中的任一元素，如

31、x=4,通過對應(yīng)法那么 f: xTy 2=x得到N中有兩個元素±2與之對應(yīng)，故f: xTy2=x不是從M到N的函數(shù)。答案：D點(diǎn)評：判斷一個對應(yīng)法那么是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵是看給出定義域內(nèi)的任意一個值，通過給出的對應(yīng)法那么，看是否有且只有一個元素與之對應(yīng)。例題2 以下四組函數(shù)中，有相同圖象的一組是A.y=x 1, y= .(x 1)2B. y= X 1 ,X 1y= .X 12x24C.y=2 , y=廠x 2思路導(dǎo)航：A. y=x 1與y=X 1D. y=1 , y=xQ2X 1) =|x 1|的對應(yīng)法那么不同;B. y= . X 1的定義域?yàn)?, +Q, y=的定義域?yàn)?, +s，兩函

32、數(shù)的定義域不同；D. y=1的定義域?yàn)镽,lx 1y=xQ的定義域?yàn)?汽0U 0, +R，兩函數(shù)定義域不同；C. y=2與y= 4是兩相等的函數(shù)，答案：點(diǎn)評：X 2C。所以圖象相同。選C1. 定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域分別相同的函數(shù)有相同的圖象，三要素中只要有一項(xiàng)不同，兩個函數(shù)就不相等。由于值域由定義域與對應(yīng)關(guān)系所確定，所以判斷函數(shù)是否相等, 只要判斷定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同即可。2. 判斷對應(yīng)法那么是否相同，可以化簡以后再判斷，但是必須通過原函數(shù)解析式求函數(shù)的 定義域。例題3如圖，有一塊半徑為 R的半圓形鋼板，方案剪裁成等腰梯形 ABCD的形狀， 其下底AB是O O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上

33、，梯形周長 y是否是腰長X的函數(shù)？如 果是，寫出函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域。思路導(dǎo)航：判定兩個變量是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵看兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義。該題中的每一個腰長都能對應(yīng)唯一的周長值，因此周長y是腰長x的函數(shù)。假設(shè)要用腰長表示周長的關(guān)系式，應(yīng)知等腰梯形各邊長，下底長為2R，兩腰長為2x，因此只需用量半徑 R和腰長x把上底表示出來，即可寫出周長與腰長的函數(shù)關(guān)系式。如上圖，AB=2R , C、D在O O的半圓周上，設(shè)腰長 AD=BC=x，作DE丄AE，垂足為 E,連結(jié) BD，那么/ ADB是直角，由此 Rt ADE s Rt ABD。2x AD2=AE- Ab 即 AE=2R2x CD

34、=AB 2AE=2R 。R周長y滿足關(guān)系式22X xy=2R+2x+2R=+2x+4R ,RR2x即周長y和腰長x間的函數(shù)關(guān)系式 y= +2x+4R。Rx 0/ ABCD是圓內(nèi)接梯形， AD>0 , AE>0 , CD>0，即卩 2，解不等式組，得函x0,2 R -0.R數(shù)y的定義域?yàn)閤|0<x< . 2 R。2答案：函數(shù)關(guān)系式為y= 2x 4R , y的定義域?yàn)閤|0<x<、. 2 R。R點(diǎn)評：該題是實(shí)際應(yīng)用問題，解題過程是從實(shí)際問題出發(fā)，禾U用函數(shù)概念的內(nèi)涵，判斷 是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系， 進(jìn)而引進(jìn)數(shù)學(xué)符號， 建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并

35、 結(jié)合問題的實(shí)際意義作出答復(fù)。這個過程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的最簡單的情形。幾何三要素定義域A對應(yīng)法那么f值域Bf是聯(lián)系x和y的紐帶，是對應(yīng)得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，所以必須是確定的， 且使集合A中的每一個元素在 B中都有唯一的元素與之對應(yīng)。hjrI * 甫- ®1l' I * , ' *-J ，«NJtliJ ( 旳J更2條答題時間：15分鐘1. 以下四組中fx，gx表示相等函數(shù)的是A. fx= x, gx=，xB 解析：對于A、C,函數(shù)定義域不同；對 D，兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同。 B 解析：選項(xiàng)A、C都是整式函數(shù)，符合題意，選項(xiàng)D中，對任意實(shí)數(shù)x都成立。B. fx=

36、x, gx= 1, 1, 3解析： 當(dāng) x = 1 時，f 1= 2XI 3 = 1,當(dāng) x = 2 時，f 2= 2X2- 3 = 1 , 當(dāng) x = 3 時，f 3= 2X3- 3 = 3, f x的值域?yàn)?- 1, 1, 3。4. 解：1f 2= 22 + 2 - 1 = 5, x3xC. fx= 1, gx= x D. fx= x, gx= |x|2. 以下函數(shù)中，定義域不是 R的是kA. y = kx + bB. y =-x + 12 1C. y = x 一 cD. y = 2 Ix2+ x+13. 函數(shù)fx= 2x 3, x 1 , 2, 3，那么fx的值域?yàn)?. 函數(shù) f x=

37、x2 + x 1.1求 f2，f1，fa。x2假設(shè) f x= 5，求 x.5. 以下式子中不能表示函數(shù) y= fx的是A. x = y2 + 1 B. y = 2x2+ 1C. x 2y = 6 D. x = l >'yf1= 12+ - 1= + X2 x , f a= a2 + a- 1. xxxx2T fx= x2+ x- 1= 5,/ x2 + x 6= 0, x = 2 或 x=- 3.5. A 解析：對于A ,由 x = y2 + 1 得 y2= x 1.當(dāng)x = 5時，y= ±2故y不是x的函數(shù)；對B，y = 2x2 + 1是二次函數(shù)；1對 C, x 2y

38、= 6? y= x 3 是一次函數(shù)；2對D，由x =筋得y= x2 x>O0是二次函數(shù)。應(yīng)選 A.函數(shù)的單調(diào)性O(shè)旺X陰冷單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū) 間D上的任意兩個自變量的值 X1、X2,當(dāng)X1VX2時，都有 f X1v f X2，那么就說函數(shù)f X在區(qū)間D上是增函 數(shù)。設(shè)函數(shù)fX的定義域?yàn)镮。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū) 間D上的任意兩個自變量的值 X1、X2,當(dāng)X1V X2時，都有 f X1 f X2，那么就說函數(shù)f X在區(qū)間D上是減函 數(shù)。如果一個函數(shù)在某個區(qū)間 M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就 說這個函數(shù)在這個區(qū)間 M上具有單調(diào)性，區(qū)間 M稱為單 調(diào)區(qū)

39、間。例題解析真題模擬例題1利用單調(diào)性定義證明：函數(shù) f XX 1在其定義域內(nèi)是增函數(shù)。思路導(dǎo)航：此題是利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的一個典型例子，由于函數(shù)的定義域沒有給出，證明前要先求出定義域，然后證明。答案：證明：證法一：函數(shù)f x- X 1的定義域是x : 1, +8，任取XI、X2 : 1 , + 8且 X1V X2，貝y f X2一 fXI= x2 1 、X 1_C.X2 1 X1 1)( X2 1)X1 1)X2 X1=.X2 1 '.-/X1 1 : X2 1 i X1 1T X1、X2 1 , +8，且 X1V X2,.Jx2 1 + (Xr 1 > 0 , X2

40、X1 > 0。 f X1v fX2，即函數(shù)f Xk'XI在其定義域上是增函數(shù)。證法二：函數(shù)VX2,貝鵲f x= Jx 1 的定義域是 X 1, +8,任取 X1、X2 1, +8且 X1 站 1，X1 1X2 1. X2 1 'T X1、X2 1 , +8，且 X1V X2,. 0<X 1 V X2 1。二 0W 1V 1 O 卜 1 V 1 oT f X2= Jx21 > 0, f X1V f X2。X?1:; x?1函數(shù)f X= '.X 1在其定義域1, +8上是增函數(shù)。點(diǎn)評：函數(shù)的單調(diào)性是在某指定區(qū)間上而言的，自變量X的取值必須是連續(xù)的。 用定義

41、證明函數(shù)的單調(diào)性的根本步驟是取值一一作差或作商一一變形一一定號判斷當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間上恒正或恒負(fù)時，也常用作商判1的方法來解決，特別是函數(shù)中含有指數(shù)式時常用此法。解決帶根號的問題，常用的方法就是將分子、分母有理化。從形式上看是由變成“ +。'例題2 fX是定義在0 ,+8上的增函數(shù)，且f X= fX f y y1求f 1的值。12假設(shè) f 6= 1，解不等式 f x+ 3 f < 2。X思路導(dǎo)航：1禾U用賦值法，在等式中令x=y=1，那么f 1=0。2在等式中令 x=36 , y=6，那么 f (36) f (36) f(6), f(3® 2f (6) 2。 6故原不等式

42、為：f(x3)心Xf (36),即 fxx+ 3 V f 36，又 f 乂在0+ 8上為增函數(shù)，X3 011533故不等式等價于00 x。X20x(x3)36答案：1020 x 15332點(diǎn)評：對于這種抽象函數(shù)問題，常利用賦值法解題。例題3作出函數(shù)fx= ； x2 2x 1 - x2 2x 1的圖象，并指出函數(shù)fx的 單調(diào)區(qū)間。思路導(dǎo)航：由于所給的函數(shù)是兩個被開方數(shù)和的形式，而被開方數(shù)恰能寫成完全平方的形式，因此可先去掉根號，轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式，再作圖寫出單調(diào)區(qū)間。原函數(shù)可化為1,1,1.1,點(diǎn)評：假設(shè)所給的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，可先化簡函數(shù)解析式，的定義域和圖象的直觀性寫出單調(diào)區(qū)間。去絕對值

43、的關(guān)鍵是令每一個絕對值等于 界點(diǎn)，再討論去絕對值。+8。作出草圖,再根據(jù)函數(shù)0,找到分2x,答題時間：15分鐘1. 設(shè)fX、gX都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題，其中正確的命題為 假設(shè)f X單調(diào)遞增，g X單調(diào)遞增，那么f x g X單調(diào)遞增 假設(shè)f X 單調(diào)遞增，g X單調(diào)遞減，那么f X g X單調(diào)遞增 假設(shè)f X單調(diào)遞減，g X 單調(diào)遞增，那么f X g X單調(diào)遞減 假設(shè)f X單調(diào)遞減，g X單調(diào)遞減，那么f X g X單調(diào)遞減A.B.C.D.2. 函數(shù)fX在2, 3上單調(diào)，且f 2f30,那么方程fX=0在2, 3內(nèi)A.至少有一實(shí)根B.至多有一實(shí)根C.沒有實(shí)根D.必有唯一實(shí)根3. 設(shè)函數(shù)f

44、x是8 +Q 上的減函數(shù)，那么A. f af 2aB. f a2f aC. f a2+af aD. f a2+1f a14. fx是定義在R上的增函數(shù)，有以下函數(shù)： y= fx2是增函數(shù)；y=是f(x)減函數(shù)；y= fx是減函數(shù)；y=|fx|是增函數(shù)。其中錯誤的結(jié)論是 。5. 函數(shù)f fx=x2+mx在f 8, 1上遞減，在1, +8 上遞增，那么f fx在:2, 2 上的值域?yàn)椤? x6. 函數(shù) y=的單調(diào)遞減區(qū)間是 1 x7. 用定義證明y= x3+1在+8是遞減函數(shù)。8. 求函數(shù)y=2x 1 -.13 4x的最大值。1. C 解析：由函數(shù)單調(diào)性定義可得：正確，也可舉反例否認(rèn)命題。2. D

45、 解析：由于 fx在2, 3上單調(diào)，又 f一 2f 3<0,. y=f X在2, 3上必與x軸有一交點(diǎn)，如以下列圖。應(yīng)選D。1'TI 23 X21、2 33. D 解析：I a2+1 a= a2+ >0,24/ a2+1>a。 fx在, +8上為減函數(shù)， fa2+1<fa,選 D。4. 解析：禾U用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。5.1, 8解析：由條件知: f x=x2+2x , ymin =6. 一 8, 1和1 , +81 x2解析：解y= 1+，可得單調(diào)遞減區(qū)間是 8, 1和1, +8。1 x x 17. 證明：設(shè) X1<X2 R，貝U x=x X1>

46、0, y=fx2一 fX1=一 x23+1一一 x13+1=X13 X23= f X1 X2f X12+X1X2+X22X1 X2X1+22+X2224 X1 X2= - x<0rX2X1+232?0, X22 >0且 X1x,24 X1 +-2+ - X22>0 ,24 y<0 即函數(shù) fx= x3+1 在m, +8上是遞減函數(shù)。2 2 2 13 t213 t2t2118. 解法一：令 t=j13 4x t貝U x=, y= 1 t= 1+一 =44221丄t+12+6。21t y= - t+12+6 在0, +8上為減函數(shù),2當(dāng)t=0時，y有最大值112解法二：函數(shù)

47、的定義域?yàn)橐?,匹。413 2x 1在一 8,丨上遞增,4/13 4x在8,丨上遞減,413/. y=2x 1 13 4x 在8, 一上為增函數(shù)。41311當(dāng) x=一 時，y有最大值 一42課程信息函數(shù)的奇偶性二:"謀d lJ 彳戰(zhàn) 1F5 Hr JI 1j / t % /性質(zhì)定義偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱； 疋義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。如果對于函數(shù)f X的定義域內(nèi)任意一個X，都有f一 X=fX，那么函數(shù)f X 就叫偶函數(shù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；定義域關(guān)于原 點(diǎn)對稱；定義域中有零，那么其圖象 必過原點(diǎn)，即f 0=0。如果對于函數(shù) f X的定義域內(nèi)任意一個X，都有f一 X= f X，那么函數(shù)f X

48、 就叫奇函數(shù)注意：在公共定義域內(nèi)，1奇函數(shù)與奇函數(shù)之積是偶函數(shù);2奇函數(shù)與偶函數(shù)之積是奇函數(shù)；3偶函數(shù)與偶函數(shù)之積是偶函數(shù)；4奇函數(shù)與奇函數(shù)的和差是奇函數(shù)；5偶函數(shù)與偶函數(shù)的和差是偶函數(shù)。例題解析真題樓擬例題1fx是偶函數(shù)，且在0, +8上是減函數(shù)，判斷 fx在汽0 上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。思路導(dǎo)航：利用函數(shù)奇偶性及圖象特征比擬容易對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷，但是證明單調(diào)性必須用定義證明。答案：f X在8 0上是增函數(shù)。證明如下：設(shè) Xl<X2<0, X1> X2>0, f一 Xi<f一 X2。由于 f X是偶函數(shù)，因此f一 Xi=f Xi，f一X2=f X2。 f Xi<f X2，即 f X在一8, 0上是增函數(shù)。點(diǎn)評：利用函數(shù)的奇偶性研究關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的問題，需特別注意求解哪個區(qū)間的問題，就設(shè)哪個區(qū)間的變量， 然后利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)到區(qū)間上去，進(jìn)而利用去解決問題。例題2 假設(shè)fX是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XV 0時，fx=x 1 x，求