彈性力學張量分析學習—對于初學者很有用

1、Advanced Mechanics of Composite Materials1目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數及其微積分Appendix Au 廣義相對論（1915）、理論物理u 連續(xù)介質力學（固體力學、流體力學）u 現(xiàn)代力學的大部分文獻都采用張量表示主要參考書:W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972.黃克智等，張量分析，清華大學出版社，2003.張量基本概念

2、標標 量量（零階張量）（零階張量）例如：質量，溫度例如：質量，溫度質量密度質量密度應變能密度應變能密度等等。等等。其值與坐標系選取無關。其值與坐標系選取無關。 1 0 ijijije e張量基本概念矢矢 量量（一階張量）（一階張量）例如：位移，速度，例如：位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量法向矢量, ,等等。等等。矢矢 量量（一階張量）（一階張量）矢量矢量u在笛卡爾坐標系中分解為在笛卡爾坐標系中分解為31 12 23 31iiuuuuiueeee其中其中u1, u2, u3 是是u的三個分量，的三個分量，e1, e2, e3是單位基矢量。是單位基矢量。張量基本概念矢矢 量量（一階張量

3、）（一階張量）n既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量; ;n其分量與坐標系選取有關，滿其分量與坐標系選取有關，滿足坐標轉換關系；足坐標轉換關系；n 遵從相應的矢量運算規(guī)則。遵從相應的矢量運算規(guī)則。張量基本概念矢矢 量量( (可推廣至張量可推廣至張量) )的三種記法：的三種記法： 實體記法實體記法： u 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：Appendix A.1iu張量基本概念31 12 23 31iiuuuuiueeeeAppendix A.131 1223 31= iiia ba ba baba b張量基本概念指標符號用法 三維空間中任意點三維空間中任意點 P 的坐標

4、（的坐標（x, y, z）可縮寫成可縮寫成 xi , 其中其中x1=x, x2=y, x3=z。 兩個矢量兩個矢量 a 和和 b 的分量的的分量的點積點積(或稱或稱數量積數量積)為：為： 愛因斯坦求和約定 如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求和。該重復的指標稱為和。該重復的指標稱為啞指標啞指標，簡稱，簡稱啞標啞標。31 1223 3131 1223 31 = =iiiiiiiiiiuuuuuaba ba bababueeeeea b張量基本概念 由于由于aibi=

5、biai，即矢量點積的順序可以交換：，即矢量點積的順序可以交換：由于啞標由于啞標 i 僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如換。例如：只要指標只要指標 j 或或 m 在同項內僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍在同項內僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和和 i 相同。相同。 iiaba b = b a =張量基本概念= jjmma ba ba b約定： 如果不標明取值范圍，則拉丁指標如果不標明取值范圍，則拉丁指標 i, j, k, 表示三維指標，取值表示三維指標，取值1, 2, 3；希臘指標希臘指標, , , 均為二維指標，取值均為二維指標，取值1, 2。張量基本概念1 1223

6、31 1223 3= = iikkuuuua ba ba ba bueeeea b 拉丁指標拉丁指標1 1221 122= uuua ba ba bueeea b 希臘指標希臘指標張量基本概念二階張量二階張量應變應變 ，應力，速度梯度，變形梯度，等。，應力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量三階張量壓電張量，等。壓電張量，等。四階張量四階張量彈性張量，等。彈性張量，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來源二階（或高階）張量的來源 描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量；描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量； 低階張量的梯度；低階張量的梯度； 低階張量的并積；低階張量的并積； 更高階張量

7、的縮并，等。更高階張量的縮并，等。張量基本概念應力張量應力張量張量基本概念張量的三種記法：張量的三種記法： 實體記法實體記法： 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：ij 張量基本概念11 1 112 1 213 1 321 2 122 2 223 2 331 3 132 3 233 3 3 + + e ee ee ee ee ee ee ee ee e張量基本概念愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定1 12233ijjiiiinnnnT11 11221331nnnT21 12222332nnnT31 13223333nnnT采用指標符號后，線性變換表示為采用指標符號后，線性變換表示為111

8、11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 利用愛因斯坦求和約定，寫成：利用愛因斯坦求和約定，寫成：iijjxa x 其中其中 j 是啞指標，是啞指標，i 是自由指標。是自由指標。張量基本概念 例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為有二重方向性的二階張量，記為 （或（或 ）。）。 矢量和標量是特殊的張量，矢量為矢量和標量是特殊的張量，矢量為一階張量一階張量，標量，標量為為零階張量零階張量。Appendix

9、A.1張量基本概念 在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內出現(xiàn)兩次，若在同項內出現(xiàn)兩次則是啞指在同項內出現(xiàn)兩次，若在同項內出現(xiàn)兩次則是啞指標。例：標。例：,0ji jif 若若i為自由指標為自由指標,0ji jiif張量基本概念自由指標表示：若輪流取該指標范圍內的任何值，自由指標表示：若輪流取該指標范圍內的任何值，關系式將始終成立。關系式將始終成立。例如：表達式例如：表達式 在自由指標在自由指標 i 取取1，2，3時該式始終成立，即有時該式始終成立，即有iijjxa x 111 11221331221 12222332331 13223

10、333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 張量基本概念同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應防止重名。標應防止重名。 自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)的同名自由指標全部改成同一個新名字。的同名自由指標全部改成同一個新名字。,0ji jif,0jk jkfi 換成換成k張量基本概念,0ji jif指標符號也適用于微分和導數表達式。例如，三維指標符號也適用于微分和導數表達式。例如，三維空間中線元長度空間中線元長度 ds 和其分量和其分

11、量 dxi 之間的關系之間的關系2222123ddddsxxx可簡寫成：可簡寫成：2dddiisxx場函數場函數 f (x1, x2, x3) 的全微分：的全微分：ddiiffxx張量基本概念24可用同項內出現(xiàn)兩對可用同項內出現(xiàn)兩對( (或幾對或幾對) )不同啞指標的方法來不同啞指標的方法來表示多重求和。表示多重求和。例如：例如：3311ijijijijija x xa x x若要對在同項內出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，若要對在同項內出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，一般應加求和號。如：一般應加求和號。如：31 1 12223 3 31iiiia bca b ca b cabc張量基本概念25

12、一般說不能由等式一般說不能由等式iiiiabac兩邊消去兩邊消去ai導得導得iibc但若但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立。殊值使得上式成立。張量基本概念26小結通過通過啞指標啞指標可把許多可把許多項項縮寫成一項，通過縮寫成一項，通過自自由指標由指標又把許多又把許多方程方程縮寫成一個方程?？s寫成一個方程。一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有若有 k 個獨立的自由指標，其取值范圍是個獨立的自由指標，其取值范圍是1n，則這個方程代表了則這個方程代表了n k 個分量方程。在方程的某項個分

13、量方程。在方程的某項中若同時出現(xiàn)中若同時出現(xiàn) m 對取值范圍為對取值范圍為1n 的啞指標，則的啞指標，則此項含相互迭加的此項含相互迭加的 n m 個項。個項。張量基本概念27目 錄Appendix A 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數及其微積分28符號ij 與erstij 符號 (Kronecker delta) 定義定義(笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系)1 ( = )0 ()ijijij(i, j=1, 2, , n) 特性特性1. 對稱性，由定義可知指標對稱性，由定義

14、可知指標 i 和和 j 是對稱的，即是對稱的，即 ijji293. 換標符號，具有換標作用。例如：換標符號，具有換標作用。例如：2. ij 的分量集合對應于的分量集合對應于單位矩陣單位矩陣。例如在三維空間。例如在三維空間111213212223313233100010001即：如果符號即：如果符號 的兩個指標中，有一個和同項中其它的兩個指標中，有一個和同項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成 的另一個指標，而的另一個指標，而 自動消失。自動消失。符號ij 與erst2dddddddijijiijjsxxxxxx30 類似地有類似地有

15、 ; ; ; ijjkikijikjkijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaaaaa 符號ij 與erst31 erst 符號 (排列符號或置換符號，Eddington) 定義定義(笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系)110rste 當當r, s, t為正序排列時為正序排列時當當r, s, t為逆序排列時為逆序排列時當當r, s, t中兩個指標值相同時中兩個指標值相同時(1,2,3)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)稱為稱為正序排列正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)稱為稱為逆序排列逆序排列。

16、12rster s s t t r或或符號ij 與erst32 特性特性 共有共有27個元素，其中三個元素為個元素，其中三個元素為1，三個元素為，三個元素為-1，其余的元素都是其余的元素都是0 對其任何兩個指標都是對其任何兩個指標都是反對稱反對稱的，即的，即 當三個指標輪流換位時當三個指標輪流換位時(相當于指標連續(xù)對換兩次相當于指標連續(xù)對換兩次)，erst的值不變的值不變 rststrtrseeerstsrtrtstsreeee 符號ij 與erst33 常用實例常用實例 三個相互正交的單位基矢量構成正交標準化基。三個相互正交的單位基矢量構成正交標準化基。它具有如下重要性質：它具有如下重要性質

17、： 每個基矢量的模為每個基矢量的模為1，即，即ei ej1 (當當ij時時) 不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即ei ej0 (當當ij時時) 上述兩個性質可以用上述兩個性質可以用ij 表示統(tǒng)一形式：表示統(tǒng)一形式：ei ej ij符號ij 與erst34 當三個基矢量當三個基矢量ei , ej , ek 構成右手系時，有構成右手系時，有 ijijkkeeee 而對于左手系，有：而對于左手系，有： ijijkke eee1e3e2e1e2e3e符號ij 與erst352. 矢量的矢量的點積點積：3. 矢量的矢量的叉積叉積(或稱矢量積或稱矢量積) ： () ()() jjkkjkjkjk

18、jkjjkkaba ba ba ba ba beeee() ()()()jjkkjkjkijkjkiaba be a babeeeeen 如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。符號ij 與erst36()ijkjkie a bcabe叉積的幾何意義是叉積的幾何意義是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量 a 和和 b 構成的平行四邊構成的平行四邊形面積，方向沿該面元的形面積，方向沿該面元的法線方向。法線方向。ijkijkjkjkica b ea b e符號ij 與erst37cosa ba bsinaba b()()0abaabb符號

19、ij 與erst38三個矢量三個矢量a, b, c的的混合積混合積是一個標量，其定義為：是一個標量，其定義為： , , ()a b c = abcab c符號ij 與erst若交換混合積中相鄰兩個矢量若交換混合積中相鄰兩個矢量的順序，混合積的值反號。的順序，混合積的值反號。當當a, b, c構成右手系時，混合構成右手系時，混合積表示這三個矢量所構成的平積表示這三個矢量所構成的平行六面體體積。若構成左手系，行六面體體積。若構成左手系，則為體積的負值。則為體積的負值。39 , , () ()mmijkjkiijkmjkmiijkijkae b ce a b ce ab ca b cab c =ee

20、(1) (2) () ijijijkjkie a be eabe由此可見符號由此可見符號ij 和和 erst 分別與矢量代數中的點積和叉分別與矢量代數中的點積和叉積有關。積有關。利用利用(1)和和(2)式有式有符號ij 與erst404. 三階行列式的值三階行列式的值11121321222311223321321331 1223313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa31221321 1233113223a a aa a aa a a123123ijkijkijkijke a a ae a a a符號ij 與erst41111213212223123123313233ijk

21、ijkijkijkaaaaaae a a ae a a aaaa111222123333rstrstrstijkijkrstaaaaaae e a a aaaa123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaaaaee e a a aaaa符號ij 與erst4. 三階行列式的值三階行列式的值42123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtee e 123opqrstee eopqrstee符號ij 與erst4. 三階行列式的值三階行列式的值435. e- 恒等式，其一般形式為：恒等式，其一般形式為：即即退化形式為：退化形式為：irisitijk

22、rstjrjsjtkrkskte e26ijkrjkirijkijke ee eijkistjsktksjte e 符號ij 與erst44000yxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzfxyzfxyzfxyz1. 平衡方程平衡方程： 如何用張量改寫彈性力學基本方程？45xyz2. 幾何方程幾何方程： 1, 21, 21, 2yxxxxxyyxyyzyyyzzyxzzzzzxxzuuuxyxuuuyzyuuuzxz如何用張量改寫彈性力學基本方程？463. 本構方程（各向同性材料）本構方程（各向同性材料）： 如何用張量改寫彈性力學基本方程？1 1 1 xyxxxxyyzzxyyzyyyyxxz

23、zyzzxzzzzxxyyzxEGEGEG提示：可以用到 kk 和 ij ij =2 ij G=E/2(1+)474. 變形協(xié)調方程（平面應變）變形協(xié)調方程（平面應變）： 如何用張量改寫彈性力學基本方程？22222yyxyxxyxx y 提示：二維指標為希臘字母, , , ，取值1, 2。48目 錄Appendix A 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數及其微積分49坐標與坐標轉換1231 1223 3( ,)iix xxxxxxreeee笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系(

24、(單位直角坐標系單位直角坐標系) )501231 1223 3( ,)iix xxxxxxreeee 笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系( (單位直角坐標系單位直角坐標系) )坐標變化時，矢徑的變化為坐標變化時，矢徑的變化為 123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrre坐標與坐標轉換51 任意坐標系任意坐標系坐標變化時，矢徑的變化為坐標變化時，矢徑的變化為 123(,)x x xr = r123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrrg坐標與坐標轉換52 概念概念 坐標線坐標線 當一個坐標任意變化而另兩個坐標保持不變時，當一個坐標任意變化而另兩個坐標保持不變時，空間點的軌

25、跡，過每個空間點有三根坐標線?？臻g點的軌跡，過每個空間點有三根坐標線。 基矢量基矢量 矢徑對坐標的偏導數定義的三個基矢量矢徑對坐標的偏導數定義的三個基矢量gi (1,2,3)iiixrg坐標與坐標轉換53 參考架參考架空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或稱坐標架。任何具有方向性的物理量都可以對其相稱坐標架。任何具有方向性的物理量都可以對其相應作用點處的參考架分解。應作用點處的參考架分解。對笛卡爾坐標系：對笛卡爾坐標系：1231 1223 3(,)iix x xxxxxreeeeiiuug112233123; ; xxxrrrgege ge坐標

26、與坐標轉換54iiuug三個相互正交的單位基矢量三個相互正交的單位基矢量ei構成構成正交標準化基正交標準化基坐標與坐標轉換55 歐氏空間中的一般坐標系歐氏空間中的一般坐標系p 現(xiàn)在的坐標線可能現(xiàn)在的坐標線可能不再正交不再正交；p 不同點處的坐標線可能不同點處的坐標線可能不再平行不再平行；p 基矢量的基矢量的大小和方向大小和方向都可能隨點而異；都可能隨點而異；p 各點處的參考架各點處的參考架不再是正交標準化基不再是正交標準化基。 坐標與坐標轉換56 坐標轉換 ; ijijijije ee e坐標與坐標轉換57將新基將新基 對老基對老基 分解：分解：轉換系數：轉換系數：反之：反之： i eje1

27、12233iiiii jj eeeeecos(,)i jijijji=e eeeee112233jjjji jieeeee坐標與坐標轉換 ; ijijijije ee e58向新坐標軸向新坐標軸 投影，即用投影，即用 點乘上式兩邊，則左邊：點乘上式兩邊，則左邊：右邊：右邊： i ei00, , ()iijjiixxx rerere0rr + rikkikkiixxx r eee =000()()( )ijjikkiji jixxxxr+ reeeee坐標與坐標轉換 ; ijijijije ee e5900()()( )ikkikkiiijjikkiji jixxxxxxx 0r eee =r

28、+ reeeee由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式 經過類似推導可得經過類似推導可得老坐標用新坐標表示的表達式老坐標用新坐標表示的表達式 0( )ii jjixxx0()ji jijxxx坐標與坐標轉換6000()()ii jjiji jijxxxxxx坐標轉換的矩陣形式坐標轉換的矩陣形式(設新老坐標原點重合設新老坐標原點重合) 11 11 21 3122 12 22 3233 13 23 33xxxxxxxx 或或 11 12 13 11T21 22 23 2231 32 33 33xxxxxxxx或或坐標與坐標轉換61 坐標轉換的一般定義坐標轉

29、換的一般定義設在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標系，設在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標系， 和和 是同一空間點是同一空間點P的新、老坐標值，則方程組的新、老坐標值，則方程組定義了由老坐標到新坐標的坐標轉換，稱定義了由老坐標到新坐標的坐標轉換，稱正轉換正轉換。其逆變換為其逆變換為對對(*)式微分式微分ixjx ( ,1,2,3)jjixxxi j ( ,1,2,3)iijxxxi j(*)ddiijjxxxx 坐標與坐標轉換62處處不為零，則存在相應的逆變換，即可反過來用處處不為零，則存在相應的逆變換，即可反過來用 唯一確定唯一確定其系數行列式其系數行列式( (雅克比行列式雅克比行列式) )1

30、11123222123333123ijxxxxxxxxxxJxxxxxxxxxxdixdjx坐標與坐標轉換63 容許轉換容許轉換 由單值、一階偏導數連續(xù)、且由單值、一階偏導數連續(xù)、且 J 處處處處不為零的轉換函數所實現(xiàn)的坐標轉換不為零的轉換函數所實現(xiàn)的坐標轉換 正常轉換正常轉換 J 處處為正，把右手系轉換右手系處處為正，把右手系轉換右手系 反常轉換反常轉換 J 處處為負，把右手系轉換成左手系處處為負，把右手系轉換成左手系坐標與坐標轉換64目 錄Appendix A 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特

31、殊張量，主方向與主分量 張量函數及其微積分65 張量的分量轉換規(guī)律 張量張量，都不會因人為選擇不同參考坐標系而改變，都不會因人為選擇不同參考坐標系而改變其固有性質，然而其固有性質，然而其分量的值則與坐標選擇密切其分量的值則與坐標選擇密切相關相關。 所以，張量的分量在坐標轉換時應滿足一定的規(guī)所以，張量的分量在坐標轉換時應滿足一定的規(guī)律，以保證其律，以保證其坐標不變性坐標不變性。張量的分量轉換規(guī)律66 標量分量轉換規(guī)律標量分量轉換規(guī)律設一個標量在新、老坐標系中的值為設一個標量在新、老坐標系中的值為t 和和t ，則，則 矢量分量轉換規(guī)律矢量分量轉換規(guī)律 張量的分量轉換規(guī)律tt , ii jjji j

32、iaaaa67 張量分量轉換規(guī)律張量分量轉換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，其中，Tij 為為張量分量張量分量，eiej稱為稱為基矢量基矢量，就是把兩個，就是把兩個基矢量并寫在一起，不作任何運算，成為構成矢量的基?；噶坎懺谝黄?，不作任何運算，成為構成矢量的基。張量的分量轉換規(guī)律68張量的分量表示法張量的分量表示法張量的實體表示法張量的實體表示法（并矢表示法）（并矢表示法） 張量分量轉換規(guī)律張量分量轉換規(guī)律即即ijijTTe emnm in jijTT ji jieeijmimn jnTeem in jijmnT e e mni mj ni

33、jTT張量的分量轉換規(guī)律69高階張量的分量滿足如下轉換規(guī)律高階張量的分量滿足如下轉換規(guī)律KKKKijki rj sk trstrsti rj sk tijkTTTT 張量的分量轉換規(guī)律70注：在一個表示全部張量分量集合的指標符號在一個表示全部張量分量集合的指標符號 中，自由指標的數目等于張量的階數中，自由指標的數目等于張量的階數 K，每個自，每個自由指標的取值范圍等于張量的維數由指標的取值范圍等于張量的維數 n，各指標在其，各指標在其取值范圍內的任何一種可能組合都表示了張量的取值范圍內的任何一種可能組合都表示了張量的一個分量，所以一個分量，所以 n 維維 K 階張量共有階張量共有 nK 個分量

34、。個分量。ijkT張量的分量轉換規(guī)律71 張量方程 定義定義 每項都由張量組成的方程稱為每項都由張量組成的方程稱為張量方程張量方程。 特性特性 具有與具有與坐標選擇無關坐標選擇無關的重要性質，可用于的重要性質，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。 or : ijijklklC C , 0 or ij jif 0f 張量的分量轉換規(guī)律72目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數及其微積分73張量代數 & 商判則 相相 等等

35、若兩個張量若兩個張量 和和 相等相等則對應分量相等則對應分量相等若兩個張量在某個坐標系中的對應分量相等，則若兩個張量在某個坐標系中的對應分量相等，則它們在任何其他坐標系中對應分量也相等。它們在任何其他坐標系中對應分量也相等。ijijTTe eijijSSe eTSijijTS74 和、差和、差兩個同階張量兩個同階張量 與與 之和之和( (或差或差) )是另一個同階張量是另一個同階張量其分量關系為其分量關系為ijijAAe eijijBBe eijijTTe eTABijijijTAB張量代數 & 商判則75 數數 積積張量張量A和一個數和一個數 (或標量函數或標量函數) 相乘得另一同相乘得另一

36、同維同階張量維同階張量T其分量關系為其分量關系為=TAijijTA張量代數 & 商判則76 并并 積積兩個同維不同階（或同階）張量兩個同維不同階（或同階）張量 A 和和 B 的并積的并積 T是一個階數等于是一個階數等于 A、B 階數之和的高階張量。階數之和的高階張量。設設則則其分量關系為其分量關系為ijkijkAAe e elmlmBBe eijklmijklmTTAB =e e e e eijklmijklmTA BAB BA注意：注意：張量代數 & 商判則77 縮縮 并并若對基張量中的任意兩個基矢量求點積，在若對基張量中的任意兩個基矢量求點積，在張量將縮并為低二階的新張量。張量將縮并為低二

37、階的新張量。 其分量關系為其分量關系為ijijTS張量代數 & 商判則ijkijkijkikjijijjjTTTSSe e eeee78ijkijkiikkkkRTTRe e eee若在基張量中取不同基矢量的點積，則縮并的結若在基張量中取不同基矢量的點積，則縮并的結果也不同。例如若果也不同。例如若RSjiijRTjijiST張量代數 & 商判則 縮縮 并并ijkijkijijjjTTSSe e eee79 內內 積積并積加縮并運算稱為內積。例如并積加縮并運算稱為內積。例如 和和 的一種內積是的一種內積是其分量關系為其分量關系為ijkijkAAe e eiklijkljSA BlmlmBB =e

38、 e張量代數 & 商判則ijkijklmlmijkljiklikliklABA BSSe e ee ee e ee e e80 點點 積積前張量前張量 A 的最后基矢量與后張量的最后基矢量與后張量 B 的第一基的第一基矢量縮并的結果，記為矢量縮并的結果，記為 ，是最常用的，是最常用的一種內積。一種內積。兩個二階張量的點積相當于矩陣乘法。兩個二階張量的點積相當于矩陣乘法。A B=ijklmijklmijkkmijmijmijkA BA BRRA Be e ee ee e ee e eijmijkkmRA B張量代數 & 商判則81對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結對前、后張量中兩對近挨著的

39、基矢量縮并的結果稱為雙點積，共有兩種：果稱為雙點積，共有兩種： 并雙點積并雙點積 串雙點積串雙點積:ijkjkiiiA BTTA B =eeijkkjiiiSA BSA B =eeiijkjkTA B=iijkkjSA B=張量代數 & 商判則 雙點積雙點積82 并并 矢矢把把 K 個獨立矢量并寫在一起稱為并矢量，它個獨立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個們的并積是一個 K 階張量。階張量。iijjkkijkijk= abcab cTabceeee e eijkijkTab c矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調換。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意

40、調換。張量代數 & 商判則83和任意矢量的內積（包括點積）為和任意矢量的內積（包括點積）為 K-1 階張階張量的量一定是個量的量一定是個 K 階張量。階張量。一個一個 K 階張量連續(xù)地和階張量連續(xù)地和 n 個任意矢量求內積，個任意矢量求內積，其縮并的結果是一個其縮并的結果是一個 K-n 階張量。階張量。張量代數 & 商判則 商判則商判則84OperationNumber of order并并 積積差差 乘乘 -1點點 乘乘 -2雙點乘雙點乘 -485目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特殊張量，

41、主方向與主分量 張量函數及其微積分86特殊張量，主方向與主分量u 常用特殊張量 零零 張張 量量 則：則： 0T0, 0ijijTT 87 單位張量單位張量 笛卡爾坐標系中分量為笛卡爾坐標系中分量為ij的二階張量的二階張量 I，即，即1 1223 3ijijIe ee ee ee e ijijijijII 且且單位張量和任意張量的點積就等于該張量本身：單位張量和任意張量的點積就等于該張量本身：I aa， I AA特殊張量，主方向與主分量88SI特殊張量，主方向與主分量ijijS 球形張量球形張量主對角分量為主對角分量為 ，其余分量為零的二階張量。它其余分量為零的二階張量。它是數是數 與單位張量

42、的數積。即與單位張量的數積。即89 轉置張量轉置張量對于二階張量對于二階張量 ，由對換分量指標而基，由對換分量指標而基矢量順序保持不變所得到的新張量矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量稱為張量 T 的轉置張量。的轉置張量。ijijTTe eTjiijijjiTTTe ee e特殊張量，主方向與主分量90 對稱張量對稱張量 反對稱張量反對稱張量T ; ijjiTTTTT ; ijjiTT TT特殊張量，主方向與主分量91轉置張量等于其負張量的張量。即滿足轉置張量等于其負張量的張量。即滿足反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對稱張量的獨立分量只有三個

43、。稱張量的獨立分量只有三個。n 維二階對稱張量有維二階對稱張量有 個獨立分量。個獨立分量。T ; ijjiTT TT112n n特殊張量，主方向與主分量 反對稱張量反對稱張量92任意二階張量任意二階張量 T 均可分解為對稱張量均可分解為對稱張量 S 和反對稱張量和反對稱張量 A 之和：之和：TSAT12S =TTT12A=TT特殊張量，主方向與主分量 加法分解加法分解93任意二階對稱張量任意二階對稱張量 S 均可分解為球形張量均可分解為球形張量 P 和偏和偏斜張量斜張量 D 之和：之和： SPD13iiS ijijP ijijijijijDSPS其中其中 =0 iiiiiiDS特殊張量，主方向

44、與主分量 偏斜張量偏斜張量 94偏斜張量為偏斜張量為偏斜張量三個對角分量之和為零偏斜張量三個對角分量之和為零：;ijijijDSPDSP 1303iiiiiiDSS 1 313iiijijkkijSPS特殊張量，主方向與主分量 偏斜張量偏斜張量 95笛卡爾系中以笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱為分量的三階張量，又稱排列張量排列張量rstrsteee e e特殊張量，主方向與主分量 置換張量置換張量 96所有分量均不因坐標轉換而改變的張量。所有分量均不因坐標轉換而改變的張量。例如：單位張量例如：單位張量I、球形張量、置換張量等。、球形張量、置換張量等。標量是零階的各向同性張量，而矢量則

45、不是各向標量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。同性的。特殊張量，主方向與主分量 各向同性張量各向同性張量97u 主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量二階張量可定義為一種由矢量 a 到矢量到矢量 b 的線的線性變換，即性變換，即一般說，矢量一般說，矢量 a 與與 b 并不同向。對于給定的任并不同向。對于給定的任意二階張量意二階張量 T 能否找到某個矢量能否找到某個矢量 ，它在線性變，它在線性變換后能保持方向不變，即換后能保持方向不變，即 或或; ijjiT abT a = b ; ijjiTT= 0ijijjT特殊張量，主方向與主分量98(1,2,3)0 ijijjiT其中其中是

46、標量。上式是求是標量。上式是求 j 的線性齊次代數方程組，的線性齊次代數方程組，存在非零解的充分必要條件存在非零解的充分必要條件是系數行列式為零是系數行列式為零1112132122233132330TTTTTTTTT321230III特殊張量，主方向與主分量99這是關于這是關于的特征方程；其中的特征方程；其中是是Tij的主對角分量之和，稱為張量的主對角分量之和，稱為張量 T 的跡，記作的跡，記作trT是矩陣是矩陣Tij的二階主子式之和。的二階主子式之和。 1112233iiITTTT22231113111223233313321221()2iijjijjiTTTTTTIT TT TTTTTTT

47、特殊張量，主方向與主分量321230III100是矩陣的行列式，記作是矩陣的行列式，記作detT。 特征方程的三個特征根稱為張量特征方程的三個特征根稱為張量T 的的主分量主分量。當。當T是實對稱張量時，存在三個實特征根是實對稱張量時，存在三個實特征根 1112133212223123313233ijkijkTTTITTTe T T TTTT( )(1,2,3)kk。321230III特殊張量，主方向與主分量101(1,2,3)0 ijijjiT由特征方程求特征根：由特征方程求特征根：( )()0ijkijiT 321230III由每個由每個(k) 分別求特征方向：分別求特征方向：方向矢量方向矢

48、量 j(k) ()ijij特殊張量，主方向與主分量102由上述方法求得的三個單位矢量由上述方法求得的三個單位矢量 (k)j(k)ej 稱為稱為張量張量 T 的主方向。的主方向。注： 若若(1) , (2) , (3)互不相等，則互不相等，則 (1), (2), (3)互相垂直。互相垂直。 對于二重根情況，例如對于二重根情況，例如(1)(2)，則垂直于，則垂直于 (3)的任何方向都的任何方向都是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向作為作為 (1)和和 (2)。 對于三重根情況，例如對于三重根情況，例如(1)(2) (3)，則任何方向都是主方則任何方向都是主方向，

49、可任選三個互相垂直的方向作為向，可任選三個互相垂直的方向作為 (1), (2)和和 (3) 。特殊張量，主方向與主分量103u 主坐標系沿主方向沿主方向 (1), (2), (3)的正交坐標系稱為張量的正交坐標系稱為張量 T 的的主坐標系。在主坐標系中，有主坐標系。在主坐標系中，有(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)Te ee ee e當當T 為應力張量時，為應力張量時，(k) 就是三個主應力就是三個主應力1, 2和和3特殊張量，主方向與主分量104特征方程是一個與坐標選擇無關的普遍方程，它特征方程是一個與坐標選擇無關的普遍方程，它的三個系數的三個系數I1, I2和和I3分別

50、稱為張量分別稱為張量T的第一、第二的第一、第二和第三不變量。和第三不變量。 特征方程的根特征方程的根(k)也是三個不變量，相應的主方向也是三個不變量，相應的主方向 (k)也與坐標無關。也與坐標無關。 11222, (), d etiiiijjijjiITIT TT TIT特殊張量，主方向與主分量u 不變量105目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數及其微積分106張量函數及其微積分在空間所論域內在空間所論域內, , 每點定義的同階張量每點定義的同階張量, , 構構成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們從張量代數的領域進入張量分析的領域。從張量代數的領域進入張量分析的領域。這里簡要介紹這里簡要介紹笛卡兒