橢圓的標準方程123.

1、（第一課時）（第一課時）如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？天體的運行天體的運行仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓1.橢圓的定義橢圓的定義 平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的距離之和等于常數(shù) （大于（大于|F1F2 |）的點的軌跡叫橢圓。）的點的軌跡叫橢圓。 定點定點F1、F2叫做橢圓的焦點。叫做橢圓的焦點。 兩焦點之間的距離叫做焦距。兩焦點之間的距離叫做焦距。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：橢圓定義的符號表述：繩長21MFMF注意！MF2F1 改變兩點之間的

2、距離，使其與繩長相改變兩點之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長能小于兩點之間的距離呢？繩長能小于兩點之間的距離呢？ 數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗:(1)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M點軌跡為橢圓. (3)若|MF1|+|MF2|2c，即，即ac，故，故a2-c20， 令令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式，代入上式 , 可得：可得：yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)1 1c ca ay ya ax x2 22 22 22 22 2兩邊同時除以兩邊同時除以a2(a2-c 2) 得：得：這就是所求橢圓的軌跡方程，它表示的橢圓的這就是所求

3、橢圓的軌跡方程，它表示的橢圓的焦點在焦點在x軸上，焦點是軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)這這里里c2=a2-b20 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 2直接平方直接平方，得：，得：2222222224)()(2)()(aycxycxycxycx222222222)()()(aycxycxcyx222222222)(2 )()(cyxaycxycx222222224222222)()(444)(cyxcyxaaxccyx2242222)(xcacyxa)()(22222222caayaxca2222222)()(44)(ycxycxaayc

4、x 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方分子有理化分子有理化，得：，得：)2(2)()(2222acxycxycx整理得acxaycx22)(2),2() 1 (22得再平方整理即得再平方整理即得aycxycxcx2)()(42222)()(22222222caayaxca) 1 (2)()(2222aycxycx思考思考:化簡有沒有第二種方法化簡有沒有第二種方法.它表示：它表示： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸軸 焦點坐標為焦點坐標為F1（-C，0）、）、

5、F2（C，0） c2= a2 - b2 ) 0(12222babyaxF1F2M0 xyaycxycx2)()(2222橢圓的標準方程橢圓的標準方程)0(12222babxay它表示它表示: 橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸軸 焦點是焦點是F1（0，-c）、）、 F2（0，c） c2= a2 - b2 xMF1F2yaxcyxcy2)()(2222.)0( 1 2222軸上的橢圓的標準方程即為焦點在方程xbabyaxxyF1F2所謂橢圓的標準方程，一定是所謂橢圓的標準方程，一定是焦點在坐標軸上，且兩焦點的焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點。中點為坐標原點。1A2FM1Fxyo1B2A2Bac

6、bc思考：在圖形中，思考：在圖形中，a,b,c分別代表哪段的分別代表哪段的長度？長度？0 12222babyax 0 12222babxay圖 形方 程焦 點a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定 義12yoFFMx1oFyx2FM注:共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點：焦點在x軸的橢圓 項分母較大. 焦點在y軸的橢圓 項分母較大.F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)11625)2(22yx2222(4 )1(0 )1xymmm11616)1

7、(22yx0225259)3(22yx1.下列方程哪些表示橢圓？若是,則判定其焦點在哪條坐標軸？ 牛刀小試判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。22222.153xy ，則a ，b ，3. 則a ，b ，5332焦點坐標為 _ , 焦距等于_.（- 4，0）（4，0）8焦點坐標為_ ,焦距等于_.(0,5) (0, 5)、52 牛刀小試.364922 yx例例1、填空：、填空：(1)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標，焦點坐標為：為：_焦距等于焦距等于_;若若

8、CD為過為過左焦點左焦點F1的弦，則的弦，則 F2CD的周長為的周長為_例題精析1162522yx543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。|CF1|+|CF2|=2axy12522yx(2)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ,則則 a=_，b=_，c=_， 焦點坐標為：焦點坐標為：_ _ _， 焦距等于焦距等于_; 若曲線上一點若曲線上一點P到左焦點到左焦點F1的距離為的距離為2，則，則 點點P到另一個焦點到另一個焦點F2的距離等于的距離等于_， 則則

9、F1PF2的周長為的周長為_1586410|PF1|+|PF2|=2a62)62, 0)(62 , 0(64xPF1F2y例例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-4，0）、（）、（4，0），）， 橢圓上一點橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10。(2)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-2，0）、（）、（2，0），）， 且橢圓經(jīng)過點且橢圓經(jīng)過點P 。)23,25(1)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-4，0）、（）、（4，0），橢），橢圓上一點圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點

10、距離之和等于10。解：因為橢圓的焦點在解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程軸上，所以可設(shè)它的方程 為：為：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標準方程為：所以橢圓的標準方程為：192522yx(2)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 橢圓經(jīng)過點橢圓經(jīng)過點P 。解：因為橢圓的焦點在解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：軸上，所以可設(shè)它的方程為：)0(12222babyax由橢圓的定義可知：又因又因 c=2，所以橢圓的標準方程為：所以橢圓的標準方程為：1 16

11、6y y1 10 0 x x2 22 2)23,25(102)23()225()23()225(22222a1010所以a所以a 故故 b2=a2-c2=10-22=65.求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程： a=4，b=1，焦點在，焦點在x軸上；軸上； ，焦點在，焦點在Y軸上；軸上； a+b=10， 。課堂練習課堂練習15, 4ca52c1163611636)3(116)2(116) 1 (22222222xyyxxyyx或：答案答案 4.動點動點P到兩個定點到兩個定點F1（- 4，0）、）、F2（4，0）的距離）的距離 之和為之和為8，則，則P點的軌跡為點的軌跡

12、為 （ ） A、橢圓B、線段F1F2 C、直線F1F2 D、不能確定B2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦點在 軸上的橢圓，則 的范圍為。方程表示焦點在 軸上的橢圓，則 的范圍為。0b3a3例例3 ： 已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一 個橢圓，個橢圓， 它的焦距為它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為 3m，求這個橢圓的標準方程，求這個橢圓的標準方程解：解：以兩焦點以兩焦點F1、F2所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為

13、y 軸，建立如圖所示的直角坐標系軸，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則這個橢圓的標準，則這個橢圓的標準方程可設(shè)為方程可設(shè)為222210 xyabab 根據(jù)題意有根據(jù)題意有23a ，22.4c 1.5a ，1.2c 即即222221.51.20.81bac因此，這個橢圓的標準方程為因此，這個橢圓的標準方程為2212.250.81xy xyOF1F20 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1 + MF2 =2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: : 共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點：焦點在不同點：焦