常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、 8.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1. 芝諾悖論芝諾悖論悖論：在邏輯上可以推導(dǎo)出相互矛盾之結(jié)果悖論：在邏輯上可以推導(dǎo)出相互矛盾之結(jié)果 ，但表面上，但表面上又能自圓其說的命題或理論體系。又能自圓其說的命題或理論體系。公元前五世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾用他關(guān)于無限、連續(xù)公元前五世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾用他關(guān)于無限、連續(xù)等知識(shí)，提出四個(gè)著名的關(guān)于運(yùn)動(dòng)不可分性的哲學(xué)悖論。等知識(shí)，提出四個(gè)著名的關(guān)于運(yùn)動(dòng)不可分性的哲學(xué)悖論。i. 二分法悖論二分法悖論ii. 阿基里斯追不上烏龜悖論阿基里斯追不上烏龜悖論iii. 飛矢不動(dòng)悖論飛矢不動(dòng)悖論

2、iv. 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論二分法悖論二分法悖論一位旅行者前往特定的地點(diǎn)，他必須先走完一半的路程，一位旅行者前往特定的地點(diǎn)，他必須先走完一半的路程，然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于他永遠(yuǎn)有剩下路程的一半要走，因而這位旅行者永遠(yuǎn)走不他永遠(yuǎn)有剩下路程的一半要走，因而這位旅行者永遠(yuǎn)走不到目的地。到目的地。TDABC2TE4T1+2482(1,2,3,)nTTTTTn總時(shí)間F8T2112TT0.33330.30.030.0030.000321 0.40.01 0.004 1114(1)35711111!2!3!e 231111xxxx

3、x 1211,nnnnnuuuuu記記作作即即一般地，對(duì)于給定的數(shù)列一般地，對(duì)于給定的數(shù)列12,nuuu12,nuuu稱稱為為常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),通項(xiàng)）通項(xiàng)）稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)（或稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)（或項(xiàng)項(xiàng)其中第其中第nun.,2121nnnnuuuSSuuun 即即記作記作稱為級(jí)數(shù)的部分和稱為級(jí)數(shù)的部分和項(xiàng)和項(xiàng)和級(jí)數(shù)的前級(jí)數(shù)的前2. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)0.3330.30.030.0030.00031310nn1114(1)3571114( 1)21nnn11111248162n11234n 1nn112nn1,nnnuSS對(duì)對(duì)于于給給定定的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)如如果果其其部部

4、分分和和數(shù)數(shù)列列有有極極限限1().,nnnSu如如果果部部分分和和數(shù)數(shù)列列沒沒有有極極限限 發(fā)發(fā)散散稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則3.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散limnnSS ，即即 1,nnuS則則稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)并并斂斂且且有有和和數(shù)數(shù)收收121lim.nnnnnuuuuSS記記作作11111112248162nnn111 ( )22lim112nn11nn(1)lim2nn n 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )lim()nnS存存在在 不不存存在在-1-111(),0,0.nnnaqaaqaqaq幾幾例例 無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為又又稱稱為為等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)其其中中試試討討

5、論論該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)何何級(jí)級(jí)的的斂斂散散性性數(shù)數(shù)-11111nnaqqaqq發(fā)散幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)112.(1)nn n例例判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性111(1)nn n“”利利用用 抵抵項(xiàng)項(xiàng)相相消消 求求和和11lnnnn練習(xí)發(fā)發(fā)散散113.nn例例證證明明調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1310nn1.1.討討論論級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性練習(xí)13發(fā)散二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)8.1則有則有與與的部分和分別為的部分和分別為與級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù),11nnnnnnScuu nnncScucucu 21 證明證明1111,.nnnnnnnnccuucucu設(shè)為非零常數(shù) 則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同

6、時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 且同時(shí)收斂時(shí) 有,由數(shù)列極限的性質(zhì)由數(shù)列極限的性質(zhì)于是于是,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n,同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散與與nnS ,11同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散與與即級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù) nnnnucu,limlimnnnnSc 且在收斂時(shí)有且在收斂時(shí)有.11 nnnnuccu即有即有.)(,)(,111111 nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且有且有收斂收斂則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)都收斂都收斂與級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)8.2則則有有與與為為的的部部分分和和分分別別與與設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), )(111nnnnnnnnnnTSvuvu )()()(2211nnnvuvuvu 證明證明

7、)()(2121nnvvvuuu nnTS 即有即有 111nnnnnnnvuvu）（,極限存在極限存在時(shí)時(shí)由于由于nnTSn nnnnnnTS limlimlim ,2 . 81 . 8 和和性性質(zhì)質(zhì)由由性性質(zhì)質(zhì).111 nnnnnnnvbuabvau）（且有且有極限也存在極限也存在知知,nnTS 且且有有也也收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)以以及及任任意意常常數(shù)數(shù)與與對(duì)對(duì)于于收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),)(,111nnnnnnnbvaubavu 線線性性運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)由例由例1和例和例2可知，可知，且有且有，收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 11)1(32)1(nnnnn 1111)1(132121)1(32)1(nnnnnnn

8、nnn32112121 ,617 ,11收斂收斂發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnvu.1發(fā)散發(fā)散）（必有必有nnnvu .,11時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同同與與則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)為任意正整數(shù)為任意正整數(shù)設(shè)設(shè) knnnnuuk,1 knnkuCk 記記對(duì)于任意給定的正整數(shù)對(duì)于任意給定的正整數(shù)kknnCS 性質(zhì)性質(zhì)8.3證明證明.,11有相同的斂散性有相同的斂散性與與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)因此因此 knnnnuu于是有于是有項(xiàng)部分和分別為項(xiàng)部分和分別為的前的前項(xiàng)部分和與項(xiàng)部分和與的前的前設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù), )(,11knSknunuknnknnnn 12311nkknnuuuuuuulimlimnn kknnSC.,

9、且收斂于原級(jí)數(shù)的和且收斂于原級(jí)數(shù)的和級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)仍然為收斂的級(jí)數(shù)仍然為收斂收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成得級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù)將相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)將相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)例如例如,)(1212 nnnuu: 2nnSS子列子列的的原級(jí)數(shù)部分和數(shù)列原級(jí)數(shù)部分和數(shù)列其部分和數(shù)列實(shí)際上是其部分和數(shù)列實(shí)際上是性質(zhì)性質(zhì)8.4,2也必然收斂也必然收斂其子列其子列nS,1收斂收斂必有部分和數(shù)列必有部分和數(shù)列收斂時(shí)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)當(dāng)級(jí)數(shù)于是于是nnnSu ,242nSSS.S且有相同的極限且有相同的極限 )()()(2124321nnuuuuuu 對(duì)于收斂級(jí)數(shù)，可以對(duì)它的項(xiàng)任意加括號(hào)，但要注意不能改變對(duì)于收斂級(jí)數(shù)，可以對(duì)它

10、的項(xiàng)任意加括號(hào)，但要注意不能改變相關(guān)項(xiàng)的次序相關(guān)項(xiàng)的次序.注意注意1注意注意2 加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂，不能推得原級(jí)數(shù)收斂加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂，不能推得原級(jí)數(shù)收斂 （即性質(zhì)的逆命題（即性質(zhì)的逆命題不一定成立）不一定成立）.的相鄰兩項(xiàng)合并得級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)合并得級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù) 11)1(nn )11()11()11(收斂，且和為零，收斂，且和為零，但原級(jí)數(shù)發(fā)散的但原級(jí)數(shù)發(fā)散的.1(),lim0.nnnnuu如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂則則其其級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂一一般般項(xiàng)項(xiàng)趨趨向向于于零零 即即有有的的必必要要條條件件,1收斂收斂由于級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù) nnuSSSnnnn 1limlim從而有從而有nnu lim

11、性質(zhì)性質(zhì)8.5證明證明)(lim1 nnnSS1limlim nnnnSS. 0 且有且有則有和數(shù)則有和數(shù),S （2）一般項(xiàng)趨于零只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件）一般項(xiàng)趨于零只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件.注意注意（1）如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ;( (逆否命題逆否命題) ) 1)1(433221,1nnn例如例如,01limlim nunnn有有 n131211例如調(diào)和級(jí)數(shù)例如調(diào)和級(jí)數(shù),1)1(1 nnunn.但級(jí)數(shù)是發(fā)散的但級(jí)數(shù)是發(fā)散的收收斂斂lim0nnulim0nnu發(fā)發(fā)散散五、小結(jié)1 1. .由由定定義義, ,若若ssn

12、, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法1nnu.,要要熟熟練練掌掌握握以以下下為為本本節(jié)節(jié)內(nèi)內(nèi)容容的的小小結(jié)結(jié)nuuu21級(jí)數(shù).為通項(xiàng)nu.:nkknuS1部分和.,lim11nnnnnnuSuSS記收斂則稱級(jí)數(shù)若.,lim發(fā)散則稱級(jí)數(shù)不存在若1nnnnuS:性質(zhì).)(,.21121111SSvuSvSunnnnnnn則若.,.同斂散與則設(shè)1102nnnnukuk.,1111nnnnnnnnukkukSkuSu即則若.同斂散與nnnuu13kn.n