飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)講義

1、飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)鄭曉亞 王燾西 北 工 業(yè) 大 學(xué)2011年6月1目 錄第一章 緒論11.1 結(jié)構(gòu)力學(xué)在力學(xué)中的地位11.2 結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究內(nèi)容11.3 結(jié)構(gòu)力學(xué)的計(jì)算模型11.4 基本關(guān)系和基本假設(shè)3第二章 結(jié)構(gòu)的組成分析52.1 幾何可變系統(tǒng)和幾何不變系統(tǒng)52.2 自由度、約束和幾何不變性的分析52.3 組成幾何不變系統(tǒng)的基本規(guī)則、瞬變系統(tǒng)的概念72.4 靜定結(jié)構(gòu)和靜不定結(jié)構(gòu)12第三章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及彈性位移133.1 引 言133.2 靜定桁架的內(nèi)力133.3 靜定剛架的內(nèi)力163.4 桿板式薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型193.5 桿板式薄壁結(jié)構(gòu)元件的平衡203.6 靜定薄壁結(jié)構(gòu)及其內(nèi)力253.7

2、靜定系統(tǒng)的主要特征343.8 靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移35第四章 靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及彈性位移454.1 靜不定系統(tǒng)的特性454.2 靜不定系統(tǒng)的解法力法454.3 對稱系統(tǒng)的簡化計(jì)算544.4 靜不定系統(tǒng)的位移574.5 力法的一般原理和基本系統(tǒng)的選取60第五章 薄壁梁的彎曲和扭轉(zhuǎn)645.1 引言645.2 自由彎曲時的正應(yīng)力655.3 自由彎曲時開剖面剪流的計(jì)算685.4 開剖面的彎心715.5 單閉室剖面剪流的計(jì)算775.6 單閉室剖面薄壁梁的扭角815.7 單閉室剖面的彎心825.8 多閉室剖面剪流的計(jì)算865.9 限制扭轉(zhuǎn)的概念91第六章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定946.1 引 言946.2 壓桿的穩(wěn)定性

3、956.3 薄板壓曲的基本微分方程956.4 薄板的臨界載荷996.5 板在比例極限以外的臨界應(yīng)力1026.6 薄壁桿的局部失穩(wěn)和總體失穩(wěn)1036.7 加勁板受壓失穩(wěn)后的工作情況有效寬度概念1046.8 加勁板受剪失穩(wěn)后的工作情況張力場梁概念108114第一章 緒論1.1 結(jié)構(gòu)力學(xué)在力學(xué)中的地位結(jié)構(gòu)力學(xué)是飛行器結(jié)構(gòu)計(jì)算的理論基礎(chǔ)。它研究飛行器在外載荷作用下，結(jié)構(gòu)最合理的組成及計(jì)算方法。所謂最合理的結(jié)構(gòu)是指：在滿足設(shè)計(jì)中關(guān)于強(qiáng)度與剛度的基本要求下，同時在結(jié)構(gòu)空間允許的情況下，具有最輕的重量。為了達(dá)到以上的目的，對從事結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)者來說，必須較熟練地掌握結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本原理與方法。對于本專業(yè)的學(xué)生來說，

4、結(jié)構(gòu)力學(xué)是飛行器強(qiáng)度與剛度計(jì)算的基礎(chǔ)課程，并且為學(xué)習(xí)飛行器部件設(shè)計(jì)及傳力分析打下必要的理論基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)力學(xué)具體來說由以下四部分組成：（1）研究結(jié)構(gòu)組成是否合理。主要指結(jié)構(gòu)在外力作用下是否幾何不變，同時內(nèi)力與變形又不至于過大。（2）結(jié)構(gòu)在外載荷作用下，結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算方法。（3）結(jié)構(gòu)在外載荷作用下，結(jié)構(gòu)剛度的計(jì)算方法。（4）研究結(jié)構(gòu)中某些元件及組合件的彎曲及穩(wěn)定性。1.2 結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究內(nèi)容不同的結(jié)構(gòu)有其不同的結(jié)構(gòu)力學(xué)，例如在建筑結(jié)構(gòu)中主要涉及桿系，因此桿系所需的力學(xué)知識構(gòu)成建筑結(jié)構(gòu)力學(xué)。船舶結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和制造中，主要涉及開口薄壁桿件，因此開口薄壁桿件的彎曲和扭轉(zhuǎn)便構(gòu)成船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)的主要內(nèi)容。對于航天

5、領(lǐng)域，飛行器結(jié)構(gòu)大多是薄壁結(jié)構(gòu)，薄壁結(jié)構(gòu)力學(xué)構(gòu)成飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)的主要內(nèi)容。1.3 結(jié)構(gòu)力學(xué)的計(jì)算模型工程結(jié)構(gòu)，尤其是飛行器結(jié)構(gòu)往往是很復(fù)雜的，要考慮所有的因素來分析其內(nèi)力和變形幾乎是不可能的，也是沒有必要的。為了適應(yīng)實(shí)際計(jì)算，首先需要將真實(shí)的結(jié)構(gòu)加以簡化，保留起主要作用的因素，略去次要因素，用理想化的受力系統(tǒng)代替實(shí)際結(jié)構(gòu)，以得到所需要的計(jì)算模型。計(jì)算模型選取的原則是：（1）反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的主要受力和變形特征；（2）便于結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析。計(jì)算模型的簡化大致可分成以下5個方面的內(nèi)容。1.外載荷的簡化（1）略去對強(qiáng)度和剛度影響不大的外載荷，著重考慮起主要作用的外載荷。（2）將作用面積很小的分布載荷簡化成

6、集中載荷。（3）將載荷集度變化不大的分布載荷簡化成均布載荷。（4）將動力效應(yīng)不大的動力載荷簡化成靜力載荷。2.幾何形狀的簡化飛行器的外形大多由曲線或曲面所構(gòu)成，計(jì)算模型可以簡化成用折線代替曲線，用若干平面代替曲面。3.受力系統(tǒng)的簡化（1）略去結(jié)構(gòu)中不受力或受力不大的元件。（2）對元件的受力規(guī)律或受力類型作某些假設(shè)，抽象為理想元件。4.連接關(guān)系的簡化將實(shí)際結(jié)構(gòu)中所采用的鉚接、螺接或焊接等連接方式，按照其受力及構(gòu)造特點(diǎn)，可以簡化為沒有摩擦的鉸接或剛接。桿件的匯交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，其可以簡化為圖1.1所示的三種形式。（a） （b） （c）圖1.1鉸結(jié)點(diǎn)（見圖1.1（a），特征是被連接的桿件在連接處不能相對

7、移動，但可繞該結(jié)點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動。鉸結(jié)點(diǎn)可以傳遞力，但不能傳遞力矩。剛結(jié)點(diǎn)（見圖1.1（b），特征是被連接的桿件不能相對移動，且不能相對轉(zhuǎn)動。剛結(jié)點(diǎn)既可傳遞力，也可傳遞力矩。組合結(jié)點(diǎn)（見圖1.1（c），同一結(jié)點(diǎn)上某些桿件視為鉸結(jié)點(diǎn)，另一些桿件視為剛結(jié)點(diǎn)時，形成組合結(jié)點(diǎn)，此結(jié)點(diǎn)同時具有鉸結(jié)點(diǎn)和剛結(jié)點(diǎn)的特征。5.支座的簡化將結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)連接起來的裝置稱為支座。以平面支座為例，將支座簡化為以下四種形式。（1）可動鉸支座（見圖1.2（a），幾何特征是結(jié)構(gòu)可以繞鉸A轉(zhuǎn)動以及沿水平方向移動，但不能在豎直方向移動。（2）固定鉸支座（見圖1.2（b），幾何特征是結(jié)構(gòu)可以繞鉸A轉(zhuǎn)動，但不能作水平和豎直方向移動。（3）固

8、定支座（見圖1.2（c），幾何特征是結(jié)構(gòu)在點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動、水平和豎直方向的移動均受到限制。（4）定向支座（見圖1.2（d），幾何特征是結(jié)構(gòu)限制繞鉸A轉(zhuǎn)動及一個方向的移動，但允許在另一個方向的移動。 (a) (b)(c) (d)圖1.21.4 基本關(guān)系和基本假設(shè)飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)中存在不同的計(jì)算模型，而各類計(jì)算模型都是建立在各自不同的基本假設(shè)上的。這里，強(qiáng)調(diào)一下基本關(guān)系和基本假設(shè)。1.基本關(guān)系（1）作用在結(jié)構(gòu)上的力是平衡的，結(jié)構(gòu)所有元件受力也是平衡的；（2）結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時，其各部分之間一定是協(xié)調(diào)的，即不允許發(fā)生斷裂或重疊現(xiàn)象；（3）結(jié)構(gòu)元件的應(yīng)力和應(yīng)變之間，存在著反映材料物理性質(zhì)的對應(yīng)關(guān)系。歸納起來就是

9、平衡關(guān)系、協(xié)調(diào)關(guān)系和物理關(guān)系。結(jié)構(gòu)力學(xué)的原理和計(jì)算方法均是基于這三種基本關(guān)系而建立起來的。2.基本假設(shè)（1）小變形假設(shè)。認(rèn)為結(jié)構(gòu)在載荷作用下變形很小，假設(shè)它不影響結(jié)構(gòu)的外形幾何尺寸。這樣，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)變形前的幾何形狀建立平衡方程式，這種簡化處理不會引起太大的誤差；（2）線彈性假設(shè)。彈性是指在載荷作用下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力及變形；當(dāng)載荷去掉后，內(nèi)力與變形也隨著消失，結(jié)構(gòu)仍會恢復(fù)到原始狀態(tài)，無殘余變形。線性是結(jié)構(gòu)的外載荷與變形以及元件的內(nèi)力與變形之間符合虎克定律，即為直線關(guān)系。第二章 結(jié)構(gòu)的組成分析2.1 幾何可變系統(tǒng)和幾何不變系統(tǒng)工程結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞外載荷的系統(tǒng)。一個工程結(jié)構(gòu)通常是由若干個構(gòu)件用某

10、種方法聯(lián)結(jié)而成的。它在承受載荷作用時，各構(gòu)件只允許發(fā)生材料的彈性變形，而不應(yīng)發(fā)生構(gòu)件間相對的機(jī)械運(yùn)動。如圖2.1(a)所示的系統(tǒng)，如果不考慮彈性變形，系統(tǒng)也未發(fā)生破壞，則其幾何形狀與位置均保持不變，這樣的系統(tǒng)，我們稱之為幾何不變系統(tǒng)。但是，對如圖2.1（b）所示的系統(tǒng)，在載荷作用下，即使不考慮彈性變形，它的形狀和位置也將改變，這樣的系統(tǒng)，我們稱之為幾何可變系統(tǒng)，它是不能用來承受和傳遞外載荷的。所以，凡是工程結(jié)構(gòu)必須是幾何不變系統(tǒng)。圖2.1對系統(tǒng)進(jìn)行幾何組成分析的目的在于：判斷該系統(tǒng)是否為幾何不變系統(tǒng)，以決定其能否作為工程結(jié)構(gòu)使用；研究并掌握幾何不變系統(tǒng)的組成規(guī)則，以便合理安排構(gòu)件，設(shè)計(jì)出合理的

11、結(jié)構(gòu)；根據(jù)系統(tǒng)的組成規(guī)則，確定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)（靜定系統(tǒng)還是靜不定系統(tǒng)），以便選用相應(yīng)的計(jì)算方法。2.2 自由度、約束和幾何不變性的分析為了研究系統(tǒng)的幾何不變性，可以引用“自由度”和“約束”的概念。將結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件看成是具有自由度的自由體，而將構(gòu)件間的結(jié)點(diǎn)看成是約束裝置（簡稱約束），或者把結(jié)點(diǎn)看成是自由體，而將構(gòu)件看成是約束。在一個系統(tǒng)中，若沒有足夠的約束去消除自由度，則系統(tǒng)一定是幾何可變的；假若有足夠的約束去消除自由度，而構(gòu)件安排又合理，則系統(tǒng)是幾何不變的。自由度：確定一物體在某一坐標(biāo)系中位置所需的獨(dú)立參數(shù)的個數(shù)，稱為該物體的自由度。平面上一點(diǎn)具有兩個自由度，空間一點(diǎn)具有三個自由度；平面上一物體具有

12、三個自由度，即兩個平動自由度和一個轉(zhuǎn)動自由度；空間一個物體具有六個自由度，即三個平動自由度和三個轉(zhuǎn)動自由度；空間一桿（只具有一根軸線）具有五個自由度；一個平面剛性結(jié)點(diǎn)具有三個自由度；一個空間剛性結(jié)點(diǎn)具有六個自由度。一個平面鉸具有兩個約束；一個空間鉸具有三個約束。一根兩端帶鉸的桿具有一個約束。如圖2.2所示的平面上任一點(diǎn)A，本來有兩個自由度xA、yA。如果用一根兩端帶鉸的桿把A點(diǎn)連接在坐標(biāo)系原點(diǎn)上，點(diǎn)A就不能在平面內(nèi)任意移動，而只能在桿端所畫的圓周上運(yùn)動，這時只要一個獨(dú)立變量就可確定它的位置，即只剩下一個自由度了。所以，一根兩端帶鉸的桿具有一個約束。同理，一根兩端帶鉸的空間桿也只具有一個約束。一

13、個平面剛結(jié)點(diǎn)具有三個約束。如圖2.3所示，一個平面構(gòu)件m具有三個自由度，若用一個平面剛結(jié)點(diǎn)連接于坐標(biāo)系上，則構(gòu)件m就沒有自由度了。所以，一個平面剛結(jié)點(diǎn)具有三個約束。同理，一個空間剛結(jié)點(diǎn)具有六個約束。圖2.2 圖2.3有了自由度和約束的概念，就可以用它來分析系統(tǒng)的幾何組成。設(shè)系統(tǒng)的總自由度數(shù)為N，總約束數(shù)為C，則1若C<N，約束不足，因而是幾何可變系統(tǒng)。2若C=N，且構(gòu)件安排合理，系統(tǒng)的約束正好能完全消除自由度，則系統(tǒng)是具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)。3若C>N，且構(gòu)件安排也合理，則系統(tǒng)為具有“多余約束”的幾何不變系統(tǒng)。所謂“多余約束”是指除去后系統(tǒng)仍是幾何不變的那些約束?？梢姡珻N

14、0是組成幾何不變系統(tǒng)的必要條件，而其充要條件還要考察系統(tǒng)的構(gòu)件是否安排合理。對于沒有用支座連接于基礎(chǔ)的可移動平面幾何不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)是自由的，有三個自由度，因此，自由度和約束數(shù)應(yīng)符合下列關(guān)系。1C（N3）<0，約束不足，因而是幾何可變系統(tǒng)。2C（N3）=0，且構(gòu)件安排又合理，則系統(tǒng)是具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)。3C（N3）>0，且構(gòu)件安排也合理，則系統(tǒng)為具有“多余約束”的幾何不變系統(tǒng)。例2.1 分析圖2.1(a)所示系統(tǒng)的幾何不變性。解 該系統(tǒng)是平面桁架結(jié)構(gòu)，可將結(jié)點(diǎn)看成具有自由度的分離體，把桿件看成約束。它用四根兩端帶鉸鏈的桿（稱為鏈桿）將兩個自由結(jié)點(diǎn)連接到基礎(chǔ)上，總自由度數(shù)

15、N=2×2=4，總約束數(shù)C=4×1=4，所以，CN=0。該系統(tǒng)的構(gòu)件安排合理，因此，是具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)。該系統(tǒng)亦可將桿件看成具有自由度的自由體，把鉸鏈（結(jié)點(diǎn)）看成約束。在分析時注意區(qū)分單鉸和復(fù)鉸。連接兩個構(gòu)件的鉸鏈稱為單鉸，連接多于兩個構(gòu)件的鉸鏈稱為復(fù)鉸，一個連接n個構(gòu)件的復(fù)鉸相當(dāng)于(n1)個單鉸。因此，該系統(tǒng)有四根桿，每根桿在平面中有3個自由度，故總自由度數(shù)N=4×3=12，兩個單鉸和兩個復(fù)鉸，每個單鉸在平面中可提供兩個約束，故總約束數(shù)C=2×2+2×（31）×2=12。分析結(jié)果同上面的一樣。圖2.4在分析系統(tǒng)的幾何不

16、變性時，除了要滿足CN0的必要條件（對于可移動的平面系統(tǒng)為C（N3）0，對于可移動的空間系統(tǒng)為C（N6）0）外，還要考察系統(tǒng)中各構(gòu)件安排是否合理。如圖2.4所示系統(tǒng)，從總體上看，該系統(tǒng)有4個自由結(jié)點(diǎn)和8根鏈桿。雖然滿足幾何不變的必要條件，但從局部2-3-4-5部分來看，它缺少一個約束，是幾何可變的，而局部1-2-5-6部分，是具有一個多余約束的幾何不變部分，整個系統(tǒng)約束安排不合理，仍不能作為可承受任意載荷的幾何不變結(jié)構(gòu)。2.3 組成幾何不變系統(tǒng)的基本規(guī)則、瞬變系統(tǒng)的概念下面主要討論平面幾何不變系統(tǒng)的組成規(guī)則，這些基本規(guī)則是進(jìn)行幾何組成分析的基礎(chǔ)。在進(jìn)行幾何組成分析之前先介紹幾個名詞。剛片幾何形

17、狀不變的平面體，簡稱為剛片。在幾何組成分析中，由于不考慮材料的彈性變形，一根桿件在平面中就可視為一個剛片，基礎(chǔ)也可看作是一個大剛片。鏈桿一根兩端用鉸鏈連接兩個剛片的桿件稱為鏈桿。虛鉸如果兩個剛片用兩根鏈桿連接，則這兩根鏈桿的作用就和一個位于兩桿交點(diǎn)處的鉸鏈的作用完全相同，交點(diǎn)處的鉸鏈?zhǔn)菍?shí)鉸。若交點(diǎn)處并沒有真正的鉸，則稱其為虛鉸，連接兩個剛片的兩根鏈桿相當(dāng)一個虛鉸，虛鉸的位置在這兩根鏈桿的交點(diǎn)o處，如圖2.5(a)。如果連接兩個剛片的兩根鏈桿并沒有相交，則虛鉸在這兩根鏈桿延長線的交點(diǎn)o處，如圖2.5(b)所示。若連接兩個剛片的兩根鏈桿是平行的，也可以認(rèn)為它們相當(dāng)于一個虛鉸，只不過虛鉸的位置在無窮

18、遠(yuǎn)處，如圖2.5（c）所示。(a) (b) (c)圖2.5一、幾何不變系統(tǒng)組成的幾個基本規(guī)則【規(guī)則一】一個平面結(jié)點(diǎn)只用兩根不共線的鏈桿連接在支座上或一個剛片上，則所組成的是平面幾何不變系統(tǒng)，平面鉸接三角形是一個最簡單的平面幾何不變系統(tǒng)。如圖2.6所示，從支座或一鉸接三角形開始，每增加一個結(jié)點(diǎn)，用兩根不共線的鏈桿連接在一平面幾何不變系統(tǒng)上，所形成的仍是平面幾何不變系統(tǒng)?？梢酝普?，用不在一平面的三根鏈桿將一個空間結(jié)點(diǎn)連接在基礎(chǔ)上或一個剛體上，則所組成的是空間幾何不變系統(tǒng)，如圖2.7所示。圖2.6 圖2.7【規(guī)則二】兩個剛片用不全交于一點(diǎn)也不全平行的三根鏈桿連接，則組成的是平面幾何不變系統(tǒng)。一個剛片

19、用一鉸和一根鏈桿連接在基礎(chǔ)上，且鏈桿的軸線不通過那個鉸鏈，則形成具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)，如圖2.8所示。若將剛片用兩根不平行的鏈桿連接在基礎(chǔ)上，當(dāng)剛片運(yùn)動時，其中b點(diǎn)將沿與ab桿垂直的方向運(yùn)動，而其上d點(diǎn)將沿與cd桿垂直的方向運(yùn)動，此時剛片將繞ab和cd兩桿延長線的交點(diǎn)o轉(zhuǎn)動。這就相當(dāng)于將剛片I和剛片在o點(diǎn)用鉸相聯(lián)一樣，又一次證實(shí)兩根鏈桿的作用相當(dāng)一個單鉸，不過現(xiàn)在這個鉸的位置是在兩根鏈桿延長線的交點(diǎn)處，它是虛鉸，且這個交點(diǎn)的位置隨著鏈桿的轉(zhuǎn)動是變動的，也稱瞬時轉(zhuǎn)動中心，如圖2.9(a)所示。為了制止剛片的運(yùn)動，還需再加一根鏈桿，如果這鏈桿的延長線不通過o點(diǎn)，它就能阻止剛片的運(yùn)動，這時

20、所組成的是平面幾何不變系統(tǒng)，如圖2.9(b)所示。圖2.8 圖2.9【規(guī)則三】三個剛片兩兩之間用一鉸鏈連接，三個鉸鏈不在一直線上，則所組成的系統(tǒng)是平面幾何不變的。如圖2.10(a)所示，剛片、和用A、B、C三個鉸兩兩相聯(lián)，由于三個鉸不在一直線上，則AB、BC和CA三直線便形成一個三角形，由幾何學(xué)可知，所組成的三角形是唯一的，也就是說三個剛片之間無相對運(yùn)動。因此，這樣組成的系統(tǒng)是幾何不變的。圖2.10由于兩根鏈桿的作用相當(dāng)一個單鉸，故可將A、B、C三個鉸化為分別由兩根鏈桿所構(gòu)成的虛鉸，若此三個虛鉸不在一直線上，所構(gòu)成的系統(tǒng)也是幾何不變的。如圖2.10(b)所示是平面幾何不變系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的幾何組成

21、不符合上述基本規(guī)則時，則成為幾何可變系統(tǒng)。二、瞬變系統(tǒng)如圖2.11(a)所示，剛片用三根鏈桿與基礎(chǔ)相連，三個鏈桿交于剛片上點(diǎn)o的鉸鏈，剛片可繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動，圖2.11(b)所示，剛片用三根平行且等長的鏈桿與基礎(chǔ)相連，剛片可以移動，顯然，這樣的系統(tǒng)都是幾何可變系統(tǒng)。而圖2.12(a)所示，剛片與基礎(chǔ)之間用三根延長線交于一點(diǎn)o的鏈桿相連，此是剛片可繞o點(diǎn)有微小運(yùn)動，但在發(fā)生微小運(yùn)動后，三根桿就不再交于一點(diǎn)，剛片不再運(yùn)動成為不變系統(tǒng)，這種可變系統(tǒng)發(fā)生微小位移后即成為不變的系統(tǒng)，稱為瞬時可變系統(tǒng)或瞬變系統(tǒng)。又如圖2.12(b)所示，剛片I用互相平行但不等長的三根鏈桿與剛片（或基礎(chǔ)）相聯(lián)，剛片I有微小的水平

22、位移后，三桿不再平行，故這種系統(tǒng)也是瞬變系統(tǒng)。 圖2.11 圖2.12圖2.13(a)所示桿AC（剛片I）、桿CB（剛片）及基礎(chǔ)（剛片）兩兩相連，三鉸A、B、C在一直線上。此時C點(diǎn)位于以AC、BC為半徑的兩圓弧的公切線上，故在這一瞬時，C點(diǎn)可沿此公切線作微小的移動，但在發(fā)生微小位移后，三鉸就不再位于一直線上了，因此這種體系也是瞬變系統(tǒng)。圖2.13雖然瞬變系統(tǒng)只在某一瞬時產(chǎn)生微小位移，隨即成為幾何不變的，但是，進(jìn)一步考察其受力情況，可發(fā)現(xiàn)瞬變系統(tǒng)在受力時會產(chǎn)生顯著的位移和相當(dāng)大的內(nèi)力。如圖2.13(b)所示，在P力作用下，C點(diǎn)發(fā)生一垂直方向的微小位移到C點(diǎn)，由結(jié)點(diǎn)C的平衡條件可得解得因?yàn)闉橐缓苄?/p>

23、的量，所以，桿件AC和BC內(nèi)將產(chǎn)生相當(dāng)大的內(nèi)力，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的破壞。綜上所述，系統(tǒng)可分為：（1）幾何不變系統(tǒng)；（2）幾何可變系統(tǒng)。而幾何可變系統(tǒng)又分為常變系統(tǒng)和瞬變系統(tǒng)。工程結(jié)構(gòu)是不能采用可變系統(tǒng)的，即使是接近瞬變的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)中也必須避免，因?yàn)樗牧W(xué)性能很不好。三、幾何組成分析的舉例結(jié)構(gòu)的幾何組成分析主要依據(jù)以上所述的基本規(guī)則，由于常見的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，剛片數(shù)往往超過兩個或三個，在具體分析時往往會發(fā)生困難，因此，分析時必須將實(shí)際體系的剛片數(shù)進(jìn)行簡化，將所分析體系中某些剛片之間的聯(lián)系符合上述規(guī)則的，先將它們合成一個大剛片，這樣可使剛片數(shù)目減少，從而簡化組成分析，便于根據(jù)以上基本規(guī)則進(jìn)行幾何組成分

24、析。例2.2 試分析圖2.14(a)所示系統(tǒng)的幾何組成。解 分別將圖2.14(a)中構(gòu)件AEC、BFD和基礎(chǔ)視為剛片、，剛片和以鉸A相連，剛片和以鉸B相連，剛片和是鏈桿CD和EF相連，兩桿的交點(diǎn)O相當(dāng)于一個虛鉸，如圖2.14(b)所示，連接三剛片的三個鉸不在一直線上，該系統(tǒng)是平面幾何不變的，且無多余約束。圖2.14例2.3 判斷圖2.15（a）所示平面系統(tǒng)的幾何不變性。圖2.15解 首先把結(jié)點(diǎn)看作自由體，把桿看作約束物，檢查系統(tǒng)約束是否足夠。因?yàn)樽杂山Y(jié)點(diǎn)數(shù)Y=9, 2Y=18。約束數(shù)，桿數(shù) C=18 , 所以滿足式C=2Y, 系統(tǒng)具有最少必需的約束數(shù)。其次再檢查約束安排是否合理，可以把桿1-2

25、看作基礎(chǔ)，逐次增加結(jié)點(diǎn)3，47，8，9，10，每增加一個結(jié)點(diǎn)都是增加兩根不共線的桿，這樣組成的結(jié)構(gòu)1-2-8-10是一個本身幾何不變的自由結(jié)構(gòu)，它相對于基礎(chǔ)還有三個自由度，而鉸1和桿10-11提供三個約束把它與基礎(chǔ)相連，因此，系統(tǒng)是幾何不變且不可移動的。如果把桿10-11布置成水平的，如圖2.15（b）所示，則系統(tǒng)是瞬變的。因?yàn)槲覀兛梢园严到y(tǒng)、桿10-11和基礎(chǔ)分別看成三個剛片，它們用三個鉸（1、10、11）互相連接，由于三鉸共線，故系統(tǒng)為瞬變系統(tǒng)。如果把系統(tǒng)的桿4-6移到結(jié)點(diǎn)7、8之間，若把明顯的幾何不變部分看成剛片（圖2.15（c），則系統(tǒng)顯然成為幾何可變的。因?yàn)閯偲c共有六個自由度，而把

26、它們與基礎(chǔ)相連的約束僅有五個（一個鉸三根桿），系統(tǒng)還有一個自由度，所以它是幾何可變的。2.4 靜定結(jié)構(gòu)和靜不定結(jié)構(gòu)工程上用來承受和傳遞載荷的結(jié)構(gòu)必須是幾何不變系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)又分為無多余約束的靜定結(jié)構(gòu)和具有多余約束的靜不定（或稱超靜定）結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的約束數(shù)C與總自由度數(shù)N相等的系統(tǒng)，稱為具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)，這種結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的約束數(shù)C多于總自由度數(shù)N的系統(tǒng)，稱為具有多余約束的幾何不變系統(tǒng)，這種結(jié)構(gòu)是超靜定結(jié)構(gòu)。其多余約束數(shù)稱為靜不定度數(shù)，用K表示。在結(jié)構(gòu)分析求解系統(tǒng)內(nèi)力時，一個約束表示有一個未知內(nèi)力（或反力）；一個自由度表示可列出一個獨(dú)立的平衡方程式。因此，對于CN=0的幾何不變系

27、統(tǒng)，其可列出的獨(dú)立平衡方程式數(shù)正好等于系統(tǒng)的未知內(nèi)力數(shù)，即只用平衡方程就可以求得系統(tǒng)的全部內(nèi)力，而且解是唯一的。對于CN>0的幾何不變系統(tǒng)，其可列出的獨(dú)立平衡方程式數(shù)少于系統(tǒng)的未知內(nèi)力數(shù)，因而只用平衡方程式無法求得系統(tǒng)的全部內(nèi)力，還必須補(bǔ)充變形方程才能求解。第三章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及彈性位移3.1 引 言在第二章中已經(jīng)闡明，所謂靜定結(jié)構(gòu)，在幾何組成上是指具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)；在力學(xué)上是指它在外力作用下處于平衡時，只用平衡方程就可求得全部內(nèi)力的系統(tǒng)。靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的基本原理就是利用結(jié)構(gòu)的平衡。當(dāng)結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡時，結(jié)構(gòu)在整體上要平衡，任何一部分要平衡，任何一個結(jié)點(diǎn)也要平衡

28、。在平衡狀態(tài)下，作用在結(jié)構(gòu)上的外力、內(nèi)力和支反力構(gòu)成平衡力系。靜定結(jié)構(gòu)是工程上經(jīng)常采用的，研究它的內(nèi)力的計(jì)算方法，不僅在工程設(shè)計(jì)中有現(xiàn)實(shí)意義，而且也為求解靜不定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。3.2 靜定桁架的內(nèi)力桁架是由某些桿系結(jié)構(gòu)經(jīng)過簡化而得到的計(jì)算模型，其特點(diǎn)是：（1）各元件均為直桿；（2）各桿兩端均用沒有摩擦的理想鉸鏈相連接；（3）桿的軸線通過鉸心，稱鉸心為桁架的結(jié)點(diǎn)；（4）載荷和支座反力僅作用在各結(jié)點(diǎn)上。由于理想鉸鏈沒有摩擦力，故不能傳遞力矩。顯然，在載荷僅作用在結(jié)點(diǎn)上時，若不計(jì)桿的自重，各桿都只受到兩端結(jié)點(diǎn)的作用力，且在此二力作用下處于平衡。因此，桁架的桿件均為“二力桿”，即桿兩端受到大小相等、方向

29、相反、沿著桿軸線的兩個力作用。桿子橫截面上只有軸力，這些軸力就是所要計(jì)算的桁架內(nèi)力。靜定桁架是一種沒有多余約束的結(jié)構(gòu)，它的內(nèi)力計(jì)算原則上，只要把桁架分解為若干自由體（結(jié)點(diǎn)）和約束（桿），用未知力代替約束的作用，對所有的自由體列出全部靜力平衡方程式，所得方程式數(shù)與包含的未知力數(shù)相等。由于結(jié)構(gòu)是幾何不變的，方程組有唯一解。解這聯(lián)立方程組就可得到靜定桁架的內(nèi)力。但在工程實(shí)際中，往往可以運(yùn)用下述兩種方法：結(jié)點(diǎn)法和截面法。一、結(jié)點(diǎn)法結(jié)點(diǎn)法是取單個結(jié)點(diǎn)作為自由體，用未知力代替與結(jié)點(diǎn)相連的桿的約束。這樣，結(jié)點(diǎn)就在作用于其上的外力和未知力共同作用下處于平衡。由于這些力交于結(jié)點(diǎn)，是共點(diǎn)力系，運(yùn)用共點(diǎn)力系的平衡條

30、件，就可求出結(jié)點(diǎn)上的未知力。為了便于計(jì)算，應(yīng)該按一定的順序來分離結(jié)點(diǎn)。對于平面桁架，一個結(jié)點(diǎn)可列出兩個平衡方程。應(yīng)該先從只有兩個未知力的結(jié)點(diǎn)開始，然后逐次轉(zhuǎn)到剩下兩個未知的結(jié)點(diǎn)上去。對于空間桁架，一個結(jié)點(diǎn)可列出三個平衡方程。則應(yīng)該先從只有三個未知力的結(jié)點(diǎn)開始，然后再逐次轉(zhuǎn)到只剩下三個未知力的結(jié)點(diǎn)上去。為了防止在列平衡方程時內(nèi)力發(fā)生正、負(fù)號錯誤，通常假設(shè)桿中的未知內(nèi)力都是拉力，即內(nèi)力箭頭背離結(jié)點(diǎn)。用Nij表示，i表示力的作用點(diǎn)，j表示力作用線方向。如果求出的未知力是正號，表示未知力的方向與假設(shè)方向相同，未知力是拉力。如為負(fù)值，則表示其方向與假設(shè)方向相反，是壓力。在用結(jié)點(diǎn)法解桁架時，可利用按結(jié)點(diǎn)平

31、衡條件得到的零力桿的結(jié)果，先判斷零力桿，以減少計(jì)算量。零力桿的判斷：（1）一個平面結(jié)點(diǎn)只與兩桿相連，若沒有載荷作用，且兩桿不共線，則該兩桿此端的桿力必為零。如圖3.1中的結(jié)點(diǎn)4，N4-3=N4-5=0。圖3.1（2）一個平面結(jié)點(diǎn)與三根桿相連，且其中兩桿共線，當(dāng)結(jié)點(diǎn)沒有外力作用時，則不共線的第三桿此端的軸力必為零。如圖3.1中的結(jié)點(diǎn)6，N6-1=0。圖3.1（3）一個空間結(jié)點(diǎn)只與不共面的三根桿相連，當(dāng)結(jié)點(diǎn)無外力作用時，則此三桿在該端的軸力必為零。（4）一個空間結(jié)點(diǎn)與n根桿相連，其中有n-1根桿在一平面內(nèi)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)無外力作用時，則不共面的“孤立桿”該端軸力必為零。例3.1 求圖3.2所示桁架的內(nèi)力。

32、解 （1）判斷結(jié)構(gòu)的靜定性。用逐次連接結(jié)點(diǎn)的方法，每增加一個結(jié)點(diǎn)，用兩根不共線的桿相連接，可得到靜定的平面桁架?？膳卸ㄔ撹旒苁庆o定結(jié)構(gòu)。圖3.2（2）判斷零力桿。利用前面的結(jié)論可知，結(jié)點(diǎn)9只連接不共線的二桿，且無結(jié)點(diǎn)載荷，故桿7-9、桿8-9均為零力桿。對于結(jié)點(diǎn)8，因?yàn)橐阎獥U8-9內(nèi)力為零，所以結(jié)點(diǎn)8也相當(dāng)只連接不共線的二桿的結(jié)點(diǎn)，且無外載荷，所以桿7-8、桿6-8也是零力桿。而結(jié)點(diǎn)5，有三桿相連，桿4-5桿5-7共線，故桿5-6為零力桿。同理?xiàng)U1-4、桿4-6和桿3-6也是零力桿。判斷出零力桿后，計(jì)算將大為簡化。（3）取結(jié)點(diǎn)7的平衡，可求桿軸力N7-1和N7-5。由， 得由， 得再分別由結(jié)點(diǎn)

33、5、4的平衡，得N4-2=N5-4=P二、截面法截面法就是用一適當(dāng)?shù)慕孛?，將桁架的一部分切出作為分離體，用未知力代替所切斷的桿的約束作用。分離體在外載荷和未知力作用下處于平衡，利用平衡方程就可求出這些未知力。對于平面問題，分離體的平衡可列出三個獨(dú)立平衡方程；對于空間問題，分離體的平衡可列出六個獨(dú)立平衡方程。如果取分離體時所切斷的桿子數(shù)剛好等于平衡方程數(shù)，則未知力即可求出。例3.2 求圖3.3（a）所示桁架的內(nèi)力。圖3.3解 （1）判斷結(jié)構(gòu)的靜定性。用鉸接三角形組成法規(guī)則，可知該桁架為幾何不變的靜定桁架。（2）判斷零力桿。結(jié)點(diǎn)7：由不共線的兩桿連接，又沒有結(jié)點(diǎn)外力，因此N7-5=N7-8=0；結(jié)

34、點(diǎn)8：利用結(jié)點(diǎn)7的結(jié)論，可知N8-5=N8-6=0;結(jié)點(diǎn)5：利用結(jié)點(diǎn)7和結(jié)點(diǎn)8的結(jié)論，可知N5-3=N5-6=0。（3）利用截面I-I將桁架右邊部分切出作分離體，設(shè)被切斷桿的未知軸力為N4-2、N4-1和N2-1，如圖3.3(b)所示。由分離體的平衡，得 得 （拉力） 得 （壓力） （壓力）（4）同理，利用截面-將2將桁架 右邊部分切出作分離體，可得桿軸力（拉力）（壓力）（5）結(jié)點(diǎn)3的平衡， 3.3 靜定剛架的內(nèi)力一、剛架結(jié)構(gòu)的組成剛架也是由桿系結(jié)構(gòu)簡化而得到的計(jì)算模型，各桿可以是直桿也可以是曲桿，各桿之間采用剛性連接。所謂剛性連接是指能保證所連接的元件，在連接接頭處不產(chǎn)生相對位移，包括線位移

35、和角位移。例如圖3.4（a）所示剛架，在載荷P作用下發(fā)生彈性變形。桿ab和桿bc在接頭b處，變形后仍然連續(xù)，且二桿之間的夾角保持不變。因此，平面內(nèi)的一個剛接頭相當(dāng)于三個約束，空間內(nèi)的一個剛接頭相當(dāng)于六個約束。圖3.4剛性連接與鉸接不同，它不僅能傳遞集中力，還能傳遞力矩。例如圖3.4(b)所示剛架，在載荷 P1和P2作用下，在ab段內(nèi)的內(nèi)力有軸力N，剪力Q和彎矩M，在bc段內(nèi)有剪力Q、彎矩M和扭矩MT。因此，剛架能承受任意形式的外載荷，且載荷可以作用在剛架的任何部位上。剛架分為平面剛架和空間剛架。平面剛架是指所有桿件的軸線以及作用在剛架上的載荷均在同一平面上，否則即為空間剛架，如圖3.5（b）所

36、示的剛架就是一個空間剛架。剛架的組成方法有兩種。圖3.51逐次連接桿件法，就是將桿件用剛性接頭逐次連接起來。對于平面剛架，每增加一個桿件就增加三個自由度，每增加一個剛接頭則增加三個約束；對于空間剛架，每增加一個桿件則增加六個自由度，而增加一個剛接頭則增加六個約束。因此，只要不形成封閉的框形結(jié)構(gòu)，增加桿件所增加的自由度數(shù)恰好與增加剛接頭所增加的約束數(shù)相等。這樣所得的剛架一定是靜定的，這種剛架亦稱為簡單剛架。圖3.5(a)所示的都是靜定剛架。如果形成了封閉的框形結(jié)構(gòu)，就相當(dāng)在于封閉處多用了約束，就成了具有多余約束的靜不定剛架。對于平面剛架，形成一個封閉框形結(jié)構(gòu)，相當(dāng)于有三個多余約束，是一個三度靜不

37、定結(jié)構(gòu)，若形成兩個封閉的框形結(jié)構(gòu)，就是六度靜不定結(jié)構(gòu)，如圖3.5(b)所示。對于空間剛架，每封閉一次，就相當(dāng)于有六個多余約束，因而增加六度靜不定。2逐次連接剛架法，將簡單剛架用足夠的約束（剛接或鉸接）相互連接組成的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)稱為復(fù)雜剛架。在用鉸鏈連接剛架時，應(yīng)注意避免出現(xiàn)幾何可變或瞬變系統(tǒng)。在剛架相互連接時，若用了多余約束，則將會增加剛架的靜不定度數(shù)。在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，理想的鉸接或剛接是沒有的。在模型簡化時，通過可把剛性較強(qiáng)的接頭簡化為剛接，把剛性較小或比較薄弱的接頭簡化為鉸接。二、靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算剛架的每一桿件的任一橫截面上，通常都同時存在幾種類型的內(nèi)力。對于平面剛架，桿件的橫截面上一

38、般有三個內(nèi)力分量，即軸力N，剪力Q和彎矩M，如圖3.6(a)所示。圖3.6對于空間剛架的桿件的橫截面上，一般有六個內(nèi)力分量，軸力N、沿橫截面兩個主軸方向的剪力Q1和Q2、繞橫截面兩個主軸的彎矩M1和M2以及繞桿軸線的扭矩MT，如圖3.6(c)所示。剛架內(nèi)力的方向?qū)τ诖_定的橫截面只可能有兩個方向，習(xí)慣上用正負(fù)號加以區(qū)域，如果規(guī)定某一方向?yàn)檎?，則相反的方向就為負(fù)。軸力N以拉力為正、壓力為負(fù)。剪力Q以對微段產(chǎn)生的力矩順時針方向旋轉(zhuǎn)時為正、逆時針方向旋轉(zhuǎn)為負(fù)。見圖3.6(b)。彎矩M則不標(biāo)明正負(fù)，而把彎矩圖畫在桿件受壓的一側(cè)。對于空間剛架，扭矩MT按右手螺旋法則，矢量箭頭向外為正、反之為負(fù)。剪力圖也不

39、標(biāo)注正負(fù)號，但需事先規(guī)定桿軸線正向和正面（截面的外法線與桿軸正方向一致時為正面），剪力圖畫在剪力所指的一側(cè)。剛架的內(nèi)力計(jì)算就是要求出上述各種內(nèi)力，并以內(nèi)力圖的形式表示出來。靜定剛架的內(nèi)力僅用平衡條件就可求得。在具體計(jì)算時，通常采用截面法，采用材料力學(xué)中關(guān)于梁的平截面假定，即在欲求內(nèi)力處把剛架截開，用未知力代替另一部分對截取部分的作用，以截取部分作為分離體，列出靜力平衡方程式，就可求出該截面上的內(nèi)力。最后繪制內(nèi)力圖。例3.3 求圖3.7(a)所示平面剛架的內(nèi)力，并作內(nèi)力圖。圖3.7解 （1）求支座反力。設(shè)支座反力分別為XA、YA和YC，其所設(shè)正方向如圖3.7(a)上所示，由整體平衡，得 （2）作

40、彎矩M圖。設(shè)AB段和CB段的流動坐標(biāo)為s,如圖3.7(a)上所示，得AB段： 在A處， 在B處 ，CB段：在C處，s=0,M=0 在B處 ，s=a,M=qa2/2彎矩圖如圖3.7(b)所示。（3）作剪力Q圖。AB段：Q(s)=XA-qa=qa-qs 在A處,s=0 Q=qa 在B處，s=a Q=0CB段：Q(s)=-YA=-qa/2剪力圖如圖3.7（c）所示。（4）作軸力N圖。AB段：N=YA=qa/2CB段：N=0軸力圖如圖3.7(d)所示。（3）校核結(jié)點(diǎn)B的平衡。如圖3.7(e)和(f)所示，滿足 3.4 桿板式薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型在飛機(jī)結(jié)構(gòu)中廣泛采用薄壁結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)是由橫向骨架（機(jī)身的隔框

41、、機(jī)翼的翼助）、縱向骨架（機(jī)身的桁梁、桁條，機(jī)翼的梁、桁條）和金屬薄板（蒙皮、腹板）所組成。圖3.8是一個機(jī)翼結(jié)構(gòu)圖。這種結(jié)構(gòu)各元件之間的連接是比較復(fù)雜的，在結(jié)構(gòu)分析中既要保證能滿足工程計(jì)算的精度要求，又要使計(jì)算簡單方便，因而必須采用一些簡化假設(shè)，以便建立適用的計(jì)算模型，圖3.8其簡化假設(shè)如下：1.骨架是主要承力構(gòu)件，它在總體受力中，上下緣條及桁條（骨架）主要是以軸力的形式來承受或傳遞彎矩，可以略去圖3.8緣條和桁條的局部彎曲作用，因而骨架的受力與桁架中桿的受力相同。因此，可假設(shè)薄壁結(jié)構(gòu)中骨架的交叉點(diǎn)是鉸結(jié)點(diǎn)，分布的氣動外載荷都等效地簡化到結(jié)點(diǎn)上，認(rèn)為外載荷只作用在結(jié)點(diǎn)上。如圖3.9（a）所示

42、。圖3.92.組成骨架的緣條（桿）只承受軸力，鑲在骨架上的壁板四邊只受剪切，即每塊板與周圍的桿子之間以剪力（剪流）相互作用，如圖3.9(b)所示。3.由于薄壁結(jié)構(gòu)中所用的板，其厚度與長、寬的尺寸相比是很小的，故可設(shè)板截面中剪應(yīng)力沿厚度t是均勻分布的，如圖3.10(a)所示。這樣板截面上單位長度的剪力用表示，式中q稱為剪流。剪流的單位通常為N/cm，如圖3.10(b)所示。圖3.10圖5-144.板截面上剪流的方向總是與截面中線的切線方向一致。這是因?yàn)榧僭O(shè)外載荷只作用在結(jié)點(diǎn)上，因而板表面沒有任何載荷作用，根據(jù)剪應(yīng)力互等定律，垂直于截面中線的剪應(yīng)力分量也就不存在，因此，剪流方向只可能與板截面中線的

43、切線方向一致。5.因?yàn)橥廨d荷只有結(jié)點(diǎn)載荷，因此，在結(jié)點(diǎn)之間的每塊板，作用在板邊上的剪流沿板邊長度不變（稱常剪流）。這樣，板的每個邊上只有一個未知剪流。采用上述簡化假設(shè)的受剪板式薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型，只含有兩類受力元件，即承受軸力的桿（緣條、桁條）和承受常剪流的板，有時也將這種計(jì)算模型稱為“桿板式薄壁結(jié)構(gòu)”或“常剪流板薄壁結(jié)構(gòu)”。3.5 桿板式薄壁結(jié)構(gòu)元件的平衡桿板式薄壁結(jié)構(gòu)可看成是僅由板、桿和結(jié)點(diǎn)所組成的受力系統(tǒng)。外力只作用在結(jié)點(diǎn)上，而結(jié)點(diǎn)又以集中力（桿端軸力）形式傳遞給所連接的桿，桿又把結(jié)點(diǎn)傳來的集中力以剪流形式傳遞給所連接的板。因此，結(jié)點(diǎn)只受到外力和桿端軸力的作用；桿受桿端軸力和沿桿軸方向剪流

44、的作用；板只受由桿傳遞的剪流作用。例如圖3.11所示的桿板式平面薄壁結(jié)構(gòu)，當(dāng)受結(jié)點(diǎn)外力P作用時桿3-2、結(jié)點(diǎn)3和板2-3-4-5的受力情況分別由圖3.11(b)、(c)、(d)所示。圖3.11當(dāng)結(jié)構(gòu)在外載荷作用下處于平衡狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)中的每個元件亦處于平衡狀態(tài)，本節(jié)將研究組成薄壁結(jié)構(gòu)的各種元件的平衡情況。一、板元件的平衡鑲在飛行器薄壁結(jié)構(gòu)中的板元件，按其平面形狀，一般有三角形板、矩形板、平行四邊形板和梯形板，如圖3.12所示。至于任意四邊形板和其他形狀的板，比較少見，其平衡情況較為復(fù)雜，這里就不作介紹了。另一方面，如果按板的曲度，又可分為平板和曲板。當(dāng)蒙皮的曲度較小時，亦可作平板處理。（1）三角

45、形板把三角形板從薄壁結(jié)構(gòu)中取出作分離體，作用在三角形板上的力只有和它相連的三個桿的作用剪流，而且每邊的剪流為一常值。設(shè)q1-2、q2-3 和q3-1分別表示桿作用在板三邊上的未知剪流，剪流指向由qij的腳碼ij表示，即表示剪流由i指向j ，如圖3.13所示。圖3.12 圖3.13三角板僅在q1-2、q2-3和q3-1作用下平衡，因此 （3.1） 由式（3.1）式可知，在桿板薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型中，三角形板各邊剪流均為零。這表明它在結(jié)構(gòu)中是不受力的。這是因?yàn)殂q接三角形骨架（桿）本身是幾何不變的靜定系統(tǒng)，它可以承受結(jié)點(diǎn)外力，而不可能以剪流形式傳給三角形板。但是這個結(jié)論只是在板較薄而且采用了剪流假設(shè)時才

46、正確。如果壁板較厚，或者板周圍又沒有骨架加強(qiáng)的情況下，這時，板內(nèi)除剪流外還將出現(xiàn)正應(yīng)力，因而，板只受剪切的假設(shè)將不能采用，三角形板不受力的結(jié)論就不適用了。在實(shí)際的薄壁結(jié)構(gòu)中，三角形板還起著傳遞氣動力和增強(qiáng)剛性的作用。（2）矩形板設(shè)矩形板四個邊的未知剪流為q2-1、q 2-3、q4-1和q4-3，如圖3.14所示。板在這四個剪流作用下處于平衡，則 故 （3.2）圖3.14由式（3.2）可知，矩形板四邊剪流相等。一塊常剪流矩形板只有一個獨(dú)立未知的內(nèi)力q。在幾何上，一塊矩形板相當(dāng)于起一個約束作用。剪流的方向在四個角點(diǎn)上箭頭總是相對或相背。（3）平行四邊形板用平衡條件同樣可以得到它的四邊剪流也是相等的

47、結(jié)論，即 （3.3）所以一個平行四邊形板也只有一個獨(dú)立的未知內(nèi)力。但是它與矩形板所不同的是，在垂直平行邊的截面上還有正應(yīng)力，如圖3.15所示。圖3.15（4）梯形板梯形板如圖3.16所示，也有四個未知剪流，設(shè)兩底邊剪流為q4-1和q2-4，兩腰邊剪流為q2-1和q4-3。圖3.16梯形板在四邊剪流作用下處于平衡，由平衡條件 ， 得 (a) 得 (b) 得 (c)由上式可知梯形板平衡時各邊剪流的幾個特點(diǎn)：梯形板各邊剪流是不等的。但四邊的剪流都可用一個剪流q來表示。由(a)、(b)、(c)式可得 稱為梯形板的幾何平均剪流，即等于兩相對邊剪流的平均值。因此，梯形板也只有一個獨(dú)立的未知力，因而在幾何上

48、它也相當(dāng)于具有一個約束作用。梯形板兩腰邊上的剪流相等，等于幾何平均剪流，即 （3.4）梯形板底邊（平行邊）上的剪力（剪流乘邊長）等于幾何平均剪流乘對邊的長度，即 （3.5） （3.6）梯形板剪流的方向，在四個角點(diǎn)上箭頭總是相對或相背。圖3.16應(yīng)當(dāng)指出，梯形板兩腰邊上的剪流并不是常值，我們用幾何平均剪流來表示，其剪流分布如圖3.16陰影線所示。因此，常剪流的假設(shè)對梯形板是近似的，當(dāng)角較大時會引起較大的誤差。（5）曲板圖3.17所示的四邊形曲板。圖3.17(a)為基面是矩形的曲板，圖3.17(b)為基面是梯形的曲板。由平衡條件可知，它們的四邊剪流關(guān)系與相對應(yīng)的平板相同。因此，一塊曲板也只有一個獨(dú)

49、立未知力q，也相當(dāng)于具有一個約束作用。圖3.18圖3.17為解題計(jì)算方便，下面將分析曲邊上剪流合力的大小和作用線位置。圖3.18所示為某一曲邊，設(shè)曲邊上剪流為q，曲邊的弦長為h。先求曲邊剪流合力大?。涸谇吷先∫晃⒍蝑s，微段剪流合力為qds，沿曲邊切線方向。其水平分量為qdx,垂直分量為qdy，沿曲邊積分，得 所以曲邊剪流合力平行于弦線，指向與q的流向相同，剪流合力值為剪流與弦線長度的乘積，即 (3.7)再求曲邊剪流合力Q作用線位置：設(shè)剪流合力Q的作用線與弦線的距離為，如圖3.18所示。由于剪流q與其合力Q是等效的，對o點(diǎn)取力矩，得式中為微段ds的切線到矩心的垂直距離。ds為底邊為ds的小三

50、角形面積的二倍，如圖3.18中陰影線所示，所以，積分為曲邊與弦線所圍面積的二倍，用表示， (3.8)所以得 (3.9)式中Fo為曲邊與弦線所圍的面積，若面積Fo的平均高度為H，則 所以，曲邊剪流合力作用線位置在曲邊周線外側(cè)，為曲邊弓形面積平均高度的2倍。二、桿元件的平衡桿板式薄壁結(jié)構(gòu)中的桿元件，除了在桿端承受結(jié)點(diǎn)傳來的軸力外，還存在桿板間相互作用的剪流。設(shè)任一桿i-j，兩端軸力為Nij和Nji（受拉為正，受壓為負(fù)），板對桿的作用剪流為q，如圖3.19所示。由平衡條件得 (3.10) （3.11）為剪流為常值，因此薄壁結(jié)構(gòu)中桿的軸力是線性變化的，如圖3.19所示。若剪流已知時，桿一端軸力就可用另

51、一端軸力來表示。所以，桿兩端的兩個軸力，只有一個是獨(dú)立變量，一個桿也只有相當(dāng)于一個約束作用。當(dāng)結(jié)構(gòu)在承受外力作用時，桿端軸力可為正，可為負(fù)，也可為零，圖3.19畫出了桿的不同受力情況。3.6 靜定薄壁結(jié)構(gòu)及其內(nèi)力圖3.19一、桿板式薄壁結(jié)構(gòu)的組成分析研究結(jié)構(gòu)的組成，是為了判定系統(tǒng)是否為幾何不變的受力結(jié)構(gòu)，是靜定的還是靜不定的，若是靜不定結(jié)構(gòu)，則其靜不定度又是多少。下面將分別研究平面薄壁結(jié)構(gòu)和空間薄壁結(jié)構(gòu)。1.平面薄壁結(jié)構(gòu)的組成圖3.19平面薄壁結(jié)構(gòu)，是指結(jié)構(gòu)中的板、桿和結(jié)點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，而且結(jié)點(diǎn)外力也作用在同一平面內(nèi)的系統(tǒng)。桿板式薄壁結(jié)構(gòu)在組成分析時，可看成是由板、桿和結(jié)點(diǎn)所組成的受力系統(tǒng)。

52、把結(jié)點(diǎn)看作自由體，而把板和桿看成約束。一個平面結(jié)點(diǎn)有2個自由度。一塊四邊形板只有一個獨(dú)立的未知剪流，因而相當(dāng)于具有一個約束作用。一根桿也只有一個獨(dú)立的未知力，也相當(dāng)于具有一個約束作用。因此和桁架的組成分析作用一樣，也可用自由度和約束概念來分析薄壁結(jié)構(gòu)的組成。例如圖3.20(a)，是由三根桿和二個結(jié)點(diǎn)組成的幾何可變系統(tǒng)。圖3.20(b)加了一根斜桿，系統(tǒng)便成為幾何不變的靜定系統(tǒng)，依靠斜桿2-4限制了各桿之間夾角的任意改變。假如鑲進(jìn)一塊矩形板來代替圖3.20(b)中的斜桿，如圖3.20(c)所示，則靠矩形板的抗剪作用也能限制各桿之間夾角的任意改變，使系統(tǒng)成為幾何不變的系統(tǒng)?？梢姀募s束作用的意義上說，薄壁結(jié)構(gòu)中的四邊形板與桁架中的斜桿的作用相當(dāng)。因此，圖3.20(c)是幾何不變的靜定的平面薄壁結(jié)構(gòu)。圖3.20對于圖3.21所示的平面薄壁結(jié)構(gòu)，在組成分析時可用斜桿代替四邊形板，然后按桁架那樣進(jìn)行分析，可