第4章彎曲內(nèi)力.

1、第四章第四章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖第二節(jié)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩梁的剪力與彎矩第三節(jié)第三節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 第四節(jié)第四節(jié) 彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖一一、彎曲的概念、彎曲的概念第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 1.彎曲：彎曲：桿件承受垂直于其軸線方向的外力桿件承受垂直于其軸線方向的外力, ,或在其軸線或在其軸線平面內(nèi)作用有

2、外力偶時(shí)平面內(nèi)作用有外力偶時(shí), , 桿的軸線變?yōu)榍€桿的軸線變?yōu)榍€. .以軸線變彎為以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎主要特征的變形稱為彎 曲。曲。X桿軸線桿軸線縱向?qū)ΨQ面F1F2FAFB構(gòu)件幾何特征構(gòu)件為具有縱對(duì)稱面的等截面直桿構(gòu)件為具有縱對(duì)稱面的等截面直桿受力特征橫向外力（或外力合力）或外力偶均作用在桿的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)橫向外力（或外力合力）或外力偶均作用在桿的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)變形特征桿件軸線變形后為外力作用面內(nèi)的平面曲線桿件軸線變形后為外力作用面內(nèi)的平面曲線第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 2.對(duì)稱彎曲：對(duì)稱彎曲：yz形心形心對(duì)稱軸對(duì)稱軸(1

3、)對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲 構(gòu)件的幾何形狀、材料性能和外力作用均對(duì)稱于桿件的縱向構(gòu)件的幾何形狀、材料性能和外力作用均對(duì)稱于桿件的縱向?qū)ΨQ面。對(duì)稱面。(2)平面彎曲平面彎曲 梁變形后的軸線所在平面與外力所在平面相重合。梁變形后的軸線所在平面與外力所在平面相重合。qFeMAyFByFxBAy對(duì)稱面向縱 注：注：對(duì)稱彎曲必定是平對(duì)稱彎曲必定是平面彎曲，而平面彎曲不一面彎曲，而平面彎曲不一定是對(duì)稱彎曲。定是對(duì)稱彎曲。(3)非對(duì)稱彎曲非對(duì)稱彎曲 構(gòu)件不具有縱向?qū)ΨQ面，或構(gòu)件不具有縱向?qū)ΨQ面，或雖有縱向?qū)ΨQ面但外力不作雖有縱向?qū)ΨQ面但外力不作用在縱向?qū)ΨQ面時(shí)的彎曲變用在縱向?qū)ΨQ面時(shí)的彎曲變形形3.彎曲相關(guān)概念對(duì)比

4、彎曲相關(guān)概念對(duì)比二、二、 梁的荷載及計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的荷載及計(jì)算簡(jiǎn)圖 梁：發(fā)生以彎曲變形為主的構(gòu)件，稱為梁梁：發(fā)生以彎曲變形為主的構(gòu)件，稱為梁 1.梁的梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。 2.梁的支座簡(jiǎn)化：梁的支座簡(jiǎn)化：彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力a)滑動(dòng)鉸支座滑動(dòng)鉸支座(roller support)b)固定鉸支座固定鉸支座pin supportc)固定端固定端（fixed support)RFRyFRxFRyFRxFRM彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 3.靜定梁靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁懸臂梁Cant

5、ilever beam(b)簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁Simply supported beam(c)外伸梁外伸梁Beam with an overhang 4.作用在梁上的荷載可分為作用在梁上的荷載可分為:(a)集中荷載集中荷載F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷載分布荷載q(x)任意分布荷載任意分布荷載q均布荷載均布荷載(d)連續(xù)梁連續(xù)梁第二節(jié)第二節(jié) 梁的剪力梁的剪力(Shear force)與彎矩與彎矩(Bending moment)一一、截面法：、截面法：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy

6、0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 剪力剪力平行于橫截面的內(nèi)力，符號(hào)：平行于橫截面的內(nèi)力，符號(hào)： FS ;正負(fù)號(hào)規(guī)定：正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)(左截面上的左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正)； MMMMFSFSFSFS 彎矩彎矩繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：M;正負(fù)號(hào)規(guī)定：使正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)(梁上壓下拉的彎矩梁上壓下拉的彎矩為正為正)。剪力為

7、正剪力為正剪力為負(fù)剪力為負(fù)彎矩為正彎矩為正彎矩為負(fù)彎矩為負(fù)二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力： ABFACF1F2F3F4qFB321FFFFFACS 4FqlFFBCS FAFBM1ABF1CF2111MdFdFMAAC 22dFdFMBBC kN29030kN1502335 .460yBBAAABFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例 求下圖所示簡(jiǎn)支梁求下圖所示簡(jiǎn)支梁1 1與與2 2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力2112

8、m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、計(jì)算、計(jì)算1-1截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力3、計(jì)算、計(jì)算2-2截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力)()(SSxMMxFF1.剪力、彎矩方程剪力、彎矩方程： 2.剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例例: 作圖示懸臂梁作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。的剪力圖和彎矩圖。第三節(jié)第三節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力)0()()0

9、()(SlxFxxMlxFxF剪力、彎矩方程：xFFlFlMFFmaxmaxS|FlABFSMFSM2qlFFBA由對(duì)稱性知：222)(2)(22AASqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例例 圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載q的作用，作該梁的剪的作用，作該梁的剪力圖和彎矩圖。力圖和彎矩圖。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程2/ql2/ql8/2ql 例例 在圖示簡(jiǎn)支梁在圖示簡(jiǎn)支梁AB的的C點(diǎn)處作用一集中力點(diǎn)處作用一集中力F，作，作該梁的剪力圖和彎矩圖。該梁的剪力圖和

10、彎矩圖。 由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向變方向沿集中力作用的方向。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段BBS)()(:FSlFb/lFa/MlFab/彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力

11、由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大??；剪力圖不發(fā)生變生突變，其突變值為集中力偶的大小；剪力圖不發(fā)生變化?；?。 例例 在圖示簡(jiǎn)支梁在圖示簡(jiǎn)支梁AB的的C點(diǎn)處作用一集中力偶點(diǎn)處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:FSlM /MlMa/lMb/

12、一一、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系 1.假設(shè)：規(guī)定假設(shè)：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其上上q(x)為常數(shù)，無(wú)集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。為常數(shù)，無(wú)集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。 2.微分關(guān)系推導(dǎo)：微分關(guān)系推導(dǎo)：第四節(jié)第四節(jié) 彎矩、剪力與分布荷載集度間彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用的關(guān)系及其應(yīng)用彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy

13、：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：(1)梁上無(wú)分布荷載作用：梁上無(wú)分布荷載作用：q（x）=0 0 dxxdFxqS剪力圖斜率為零，剪力圖斜率為零，F(xiàn)S（x）圖為平行于）圖為平行于x軸的直線軸的直線。 contxFdxxdMS contxFS 彎矩圖斜率為常量彎矩圖斜率為常量cont，M （x）為斜直線。）為斜直線。二、討論微分關(guān)系的幾何意義及應(yīng)用二、討論微分關(guān)系的幾何意義及應(yīng)用1.微分關(guān)系的幾何意義：微分關(guān)系的幾何意義： 剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大?。患袅D上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大??；彎矩圖上某點(diǎn)處

14、的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。 2.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：)()()(22xqdxxdFdxxMds載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：(2)(2)梁上作用均布荷載：梁上作用均布荷載：q（x）=cont contdxxdFxqS M （x）取得極值。）取得極值。彎矩圖彎矩圖M （x）為二次拋物線。）為二次拋物線。 0 xFdxxdMS剪力圖斜率為剪力圖斜率為cont，F(xiàn)S（x）圖為）圖為斜直線斜直線。(3)其它規(guī)律其它規(guī)律： 在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于在集中力作

15、用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。 在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。 |M|max可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處；可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處； q方方向突變處，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖凸凹方向改變，出現(xiàn)拐點(diǎn)；向突變處，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖凸凹方向改變，出現(xiàn)拐點(diǎn)； 荷載圖關(guān)于梁左右對(duì)稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)荷載圖關(guān)于梁左右對(duì)稱

16、，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱。對(duì)稱。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力無(wú)載荷無(wú)載荷(q=0)(q=0)均布載荷均布載荷(q=c)(q=c)0QF0QFmCPC0QF0QF尖角尖角突變突變P PC無(wú)變化無(wú)變化突變突變m0q0q0q0q載荷情況載荷情況剪力圖剪力圖彎矩圖彎矩圖各種形式荷載作用下的剪力、彎矩圖各種形式荷載作用下的剪力、彎矩圖2.選定外力的不連續(xù)點(diǎn)選定外力的不連續(xù)點(diǎn)(如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等的起點(diǎn)和終點(diǎn)等

17、)為控制截面，求出控制截面的為控制截面，求出控制截面的FS、M值。值。3.利用微分關(guān)系判斷各控制截面之間的利用微分關(guān)系判斷各控制截面之間的FS、M圖的形狀并畫圖的形狀并畫出。出。三三、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖步驟步驟:注意剪力為零的點(diǎn)，其彎矩值需求出，因其可能是注意剪力為零的點(diǎn)，其彎矩值需求出，因其可能是彎矩的極值。彎矩的極值。1.確定梁的支反力，即外力分析。確定梁的支反力，即外力分析。例例 外伸梁外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的承受荷載如圖所示，作該梁的FS，M圖。圖。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF3、根據(jù)微

18、分關(guān)系連線得彎矩圖和剪、根據(jù)微分關(guān)系連線得彎矩圖和剪力圖如圖示。力圖如圖示。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C2、確定控制截面的確定控制截面的FS 、M值值FS+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFBmkN41. 1mkN2 . 2mkN3kN8 . 3-kN3-kN8 . 3EDASDSASDMMMFFF左右左ql / 2sFM8/2qlAFBFqll2ACB8/ l q858qlFqlFBA例例. .作外伸梁的內(nèi)力圖作外伸梁的內(nèi)力圖+_解:(1)計(jì)算梁的支反力(2)確定控制截面的FS 、M值(3)根據(jù)微分關(guān)系連線得彎矩圖和剪力圖如圖示

19、。8-M 2Bql兩條線段的在此點(diǎn)處的斜率是相兩條線段的在此點(diǎn)處的斜率是相同的，彎矩圖在此處沒有拐點(diǎn)。同的，彎矩圖在此處沒有拐點(diǎn)。qSF38qlq l838ql8ql12892ql162qlM例例. .畫出如圖梁的內(nèi)力圖畫出如圖梁的內(nèi)力圖+_+解:(1)計(jì)算梁的支反力883qlFqlFBA(2)確定控制截面的FS 、M值128916822qlMqlMql- FDCSCDl2l2ACB例例. .畫出如圖梁的內(nèi)力圖畫出如圖梁的內(nèi)力圖SFqaqaqaqa2/2qaM2/2qa兩條線段的在此點(diǎn)處的斜兩條線段的在此點(diǎn)處的斜率是不相同的，彎矩圖在率是不相同的，彎矩圖在此處有拐點(diǎn)。此處有拐點(diǎn)。_+_+aaa

20、qa22/qqaACBD0BMkN7AR0yFkN5BR例 一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，其集度 q=1kN/m ,如圖所示。試用簡(jiǎn)易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。解:(1)計(jì)算梁的支反力(2)確定控制截面的FS 、M值(3)根據(jù)微分關(guān)系連線得彎矩圖和剪力圖如圖示。mkN5 .20M mkN6mkN16mkN20kN3kN3FBDCSDSCMMMFF左左FSM連續(xù)梁內(nèi)力圖的繪制連續(xù)梁內(nèi)力圖的繪制解:(1)計(jì)算連續(xù)梁的支反力注意:(1)中間鉸處的彎矩為零。 (2)也可以先部分分析后整體分析，確定支反力。0, 0CxXF055 . 23205, 0CBym0320, 0yCByRFkN29,kN31, 0B

21、cCRyX研究CB梁，由平衡方程0, 0AxXFkN813150, 0AyRFmkN5 .961505 . 131, 0AAmm研究 AC 梁，由平衡方程kN29BR0AXmkN5 .96Am(1)連續(xù)梁的支反力kN81AR(2)確定控制截面的FS 、M值(3)根據(jù)微分關(guān)系連線得彎矩圖和剪力圖。1.疊加原理疊加原理：當(dāng)梁在各項(xiàng)荷當(dāng)梁在各項(xiàng)荷載作用下載作用下,某一橫截面上的某一橫截面上的彎矩等于各荷載彎矩等于各荷載單獨(dú)單獨(dú)作用作用下同一橫截面上的彎矩的下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。代數(shù)和。2.疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖： 設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載載q與端部力矩與端部力矩M

22、A、MB的作用的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即：圖疊加得到。即：第五節(jié)第五節(jié) 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖+MAMBM0+MAMBM0 xMxMxM0（1）繪制每一個(gè)力單獨(dú)作用時(shí)梁的彎矩圖。）繪制每一個(gè)力單獨(dú)作用時(shí)梁的彎矩圖。（2）疊加同一截面上的彎矩值，分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截）疊加同一截面上的彎矩值，分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面之間無(wú)荷載時(shí)，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之面之間無(wú)荷載時(shí)，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之間有荷載時(shí)，用疊加法作

23、該段的彎矩圖。間有荷載時(shí)，用疊加法作該段的彎矩圖。利用疊加法繪制彎矩圖的步驟利用疊加法繪制彎矩圖的步驟:彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 注意注意：這里所說的彎矩疊加，是這里所說的彎矩疊加，是縱坐標(biāo)的疊加縱坐標(biāo)的疊加而不是指圖形而不是指圖形的拚合。圖中的縱坐標(biāo)如同的拚合。圖中的縱坐標(biāo)如同M圖的縱坐標(biāo)一樣，也是垂直于桿圖的縱坐標(biāo)一樣，也是垂直于桿軸線軸線AB。 例例:作圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖作圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。2FCl/2ABFl/2l/2 注意注意：這里這里所說的彎矩所說的彎矩疊加，是疊加，是縱縱坐標(biāo)的疊加坐標(biāo)的疊加2F單獨(dú)作用+2/Fl2/FlF單獨(dú)作用_4/FlM2/Fl2/Fl4/Fl共同作用疊加法作彎矩圖lABqFlABFAlBqFqLF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL選選 擇擇 題題aaa2qaqqaB、A、C、D、B 分析：約束反力不變，剪力圖不變。分析：約束反力不變，剪力圖不變。2.2.靜定梁上無(wú)力偶和集中荷載作用，梁的剪力圖如圖靜定梁上無(wú)力偶和集中荷載作用，梁的剪力圖如