專題數(shù)軸穿根法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題：數(shù)軸穿根法“數(shù)軸穿根法”又稱“”第一步：通過(guò)不等式的諸多性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)，使得右側(cè)為0。（注意：一定要保證x前的系數(shù)為正數(shù)）例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：將不等號(hào)換成等號(hào)解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x=2，x=1，x=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根。例如：-1 1 2 第三步：畫穿根線：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根”的右上方穿過(guò)根，往左下畫線，然后又穿過(guò)“次右跟”上去，一上一下依次穿過(guò)各根。第四步：觀察不等號(hào)，如果不等號(hào)為“>”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍；如果不等號(hào)為“<”則取

2、數(shù)軸下方，穿根線以內(nèi)的范圍。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。因?yàn)椴坏忍?hào)威“>”則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍。即：-1<x<1或x>2。穿根法的奇過(guò)偶不過(guò)定律： “奇穿過(guò)，偶彈回”。還有關(guān)于分式的問(wèn)題：當(dāng)不等式移項(xiàng)后，可能是分式，同樣是可以用穿根法的，但是注意，解不能讓原來(lái)分式下面的式子等于0專項(xiàng)訓(xùn)練：1、解不等式解析：1）一邊是因式乘積、另一邊是零的形式，其中各因式未知數(shù)的系數(shù)為正。31圖12）因式、的根分別是、。在數(shù)軸上把它們標(biāo)出（如圖1）。3）從最大根3的右上方開始，向左依次穿線（數(shù)軸上方有線表示數(shù)軸上方有函數(shù)圖象，數(shù)軸下方有線表示數(shù)軸下方

3、有函數(shù)圖象，此線并不表示函數(shù)的真實(shí)圖象）。4）數(shù)軸上方曲線對(duì)應(yīng)的的取值區(qū)間，為的解集，數(shù)軸下方曲線對(duì)應(yīng)的的取值區(qū)間，為的解集。不等式的解集為。在上述解題過(guò)程中，學(xué)生存在的疑問(wèn)往往有：為什么各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；為什么從最大根的右上方開始穿線；為什么數(shù)軸上方曲線對(duì)應(yīng)的的集合是大于零不等式的解集，數(shù)軸下方曲線對(duì)應(yīng)的集合是小于零不等式的解集。2、解不等式解析：1）一邊是因式乘積、另一邊是零的形式，其中各因式未知數(shù)的系數(shù)為正。2）因式、的根分別為、，在數(shù)軸上把它們標(biāo)出（如圖2）。3）從最大根3的右上方開始向左依次穿線，次數(shù)為奇數(shù)的因式的根一次性穿過(guò)，次數(shù)為偶數(shù)的因式的根穿而不過(guò)。322圖24）數(shù)軸

4、上方曲線對(duì)應(yīng)的的取值區(qū)間，為的解集，數(shù)軸下方曲線對(duì)應(yīng)的的取值范圍，為的解集。的解集為數(shù)軸標(biāo)根法、分式不等式、絕對(duì)值不等式一、數(shù)軸標(biāo)根法解不等式例1.解下列不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>0 2. （x-1）（x-2）(x+3)<03. （1- x）（x-2）(x+1) 4.（x- 1）2（x-2）3 (x+1) 二 分式不等式思考 （1）解集是否相同，為什么？（2）解集是否相同，為什么？ 解：方法1：利用符號(hào)法則轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，進(jìn)而進(jìn)行比較。方法2：在分母不為0的前提下，兩邊同乘以分母的平方。通過(guò)例1，得出解分式不等式的基本思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）：（1）

5、 （2）例2.解下列不等式 1. 2. 3. 4. 5. 6.三、含絕對(duì)值的不等式的解法|x|>a(a>0)_ |x|<a(a>0)_例3:解下列不等式1. 2. 3.|x2-2x|>x 2. 4.鞏固練習(xí)1. 解不等式 2. 解不等式 3.不等式的解集是 4 .（2012 山東理）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)_.5. 解不等式（2x- 1）2（x-2）3 (x+1) 6. 解不等式（3- x）2（x-2）(x+1) 7不等式解法15種典型例題典型例題一例1 解不等式：（1）；（2）分析：如果多項(xiàng)式可分解為個(gè)一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注

6、意處理好有重根的情況解：（1）原不等式可化為把方程的三個(gè)根順次標(biāo)上數(shù)軸然后從右上開始畫線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如下圖的陰影部分原不等式解集為（2）原不等式等價(jià)于 原不等式解集為 說(shuō)明：用“穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中的系數(shù)必為正；對(duì)于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如圖典型例題二例2 解下列分式不等式：（1）； （2）分析：當(dāng)分式不等式化為時(shí)，要注意它的等價(jià)變形 ； （1）解：原不等式等價(jià)于用“穿根法”原不等式解集為。（2）解法一：原不等式等價(jià)于 ，原不等式解集為。解法二：原不等式等價(jià)于用“穿根法”原不等式解集為典型例題三例3 解

7、不等式分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)有兩種方法：一是根據(jù)絕對(duì)值的意義；二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：或，因此本題有如下兩種解法解法一：原不等式，即或，故原不等式的解集為解法二：原不等式等價(jià)于 即 典型例題四例4 解不等式分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于二次式的商，由商的符號(hào)法則，它等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組：或，所以，原不等式的解集是上面兩個(gè)不等式級(jí)的解集的并集也可用數(shù)軸標(biāo)根法求解解法一：原不等式等價(jià)下面兩個(gè)不等式級(jí)的并集：或或或或或原不等式解集是解法二：原不等式化為畫數(shù)軸，找因式根，分區(qū)間，定符號(hào)符號(hào)原不等式解集是說(shuō)明：解法一要注意求兩個(gè)等價(jià)不等式組的解集是求每組兩個(gè)不等式的

8、交集，再求兩組的解的并集，否則會(huì)產(chǎn)生誤解解法二中，“定符號(hào)”是關(guān)鍵當(dāng)每個(gè)因式的系數(shù)為正值時(shí)，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負(fù)相間；也可以先決定含的區(qū)間符號(hào)，其他各區(qū)間正負(fù)相間在解題時(shí)要正確運(yùn)用典型例題五例5 解不等式分析：不等式左右兩邊都是含有的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解解：移項(xiàng)整理，將原不等式化為由恒成立，知原不等式等價(jià)于解之，得原不等式的解集為說(shuō)明：此題易出現(xiàn)去分母得的錯(cuò)誤解法避免誤解的方法是移項(xiàng)使一邊為再解另外，在解題過(guò)程中，對(duì)出現(xiàn)的二項(xiàng)式要注意其是否有實(shí)根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過(guò)程科學(xué)合理典型例題六例6 設(shè)，解關(guān)于的不等式分析：進(jìn)行分類討論求解解：

9、當(dāng)時(shí)，因一定成立，故原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，原不等式化為；若時(shí)，解得；若時(shí)，解得綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為說(shuō)明：解不等式時(shí)，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，原不等式化為，此時(shí)不等式的解集為，所以解題時(shí)應(yīng)分與兩種情況來(lái)討論在解出的兩根為，后，認(rèn)為，這也是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤之處這時(shí)也應(yīng)分情況來(lái)討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，典型例題七例7 解關(guān)于的不等式分析：先按無(wú)理不等式的解法化為兩個(gè)不等式組，然后分類討論求解解：原不等式或由，得：由判別式，故不等式的解是當(dāng)時(shí)，不等式組(1)的解是，不等式組(2)的解是當(dāng)時(shí)，不等式組(1)無(wú)解，(2)的解是綜上可知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解

10、集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是說(shuō)明：本題分類討論標(biāo)準(zhǔn)“，”是依據(jù)“已知及(1)中，(2)中，”確定的解含有參數(shù)的不等式是不等式問(wèn)題中的難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)一般地，分類討論標(biāo)準(zhǔn)（解不等式）大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對(duì)應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)”去確定本題易誤把原不等式等價(jià)于不等式糾正錯(cuò)誤的辦法是熟練掌握無(wú)理不等式基本類型的解法典型例題八例8 解不等式分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，再找它的等價(jià)組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可解答：去掉絕對(duì)值號(hào)得，原不等式等價(jià)于不等式組原不等式的解集為說(shuō)明：解含絕對(duì)值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對(duì)值的不等式，然后把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組

11、的解典型例題九例9 解關(guān)于的不等式分析：不等式中含有字母，故需分類討論但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論解：原不等式可化為(1)當(dāng)（即或）時(shí)，不等式的解集為：；(2)當(dāng)（即）時(shí)，不等式的解集為：；(3)當(dāng)（即或1）時(shí)，不等式的解集為： 說(shuō)明：對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對(duì)參數(shù)加以分類、討論比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大于大根但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，三種情況典型例題十例10 已知不等式的解集是求不等式的解

12、集分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)的正負(fù)，然后求出方程的兩根即可解之解：(解法1)由題可判斷出，是方程的兩根，又的解集是，說(shuō)明而，即， 即 又，的解集為(解法2)由題意可判斷出，是方程的兩根，又的解集是，說(shuō)明而，對(duì)方程兩邊同除以得令，該方程即為，它的兩根為，方程的兩根為，不等式的解集是說(shuō)明：(1)萬(wàn)變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，求出相應(yīng)的方程的根；(2)結(jié)合使用韋達(dá)定理，本題中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系數(shù)，的關(guān)系也用，表示出來(lái)；(3)注意解法2中用“變換”的方法求方程的根典型例題十二例12 若不等式的解為，求、的值分析：不等式本身比較

13、復(fù)雜，要先對(duì)不等式進(jìn)行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于、式子解：，原不等式化為依題意，說(shuō)明：解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)解典型例題十三例13 不等式的解集為，求與的值分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，解法一：設(shè)的兩根為，由韋達(dá)定理得：由題意：，此時(shí)滿足，解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應(yīng)為同解不等式，故需滿足：，說(shuō)明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時(shí)還考查逆向思維的能力對(duì)有關(guān)字母抽象問(wèn)題，同學(xué)往往掌握得不好典型例題十四例14 解關(guān)于的不等式分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式解法，因?yàn)楹凶帜赶禂?shù)，所以還考查分類思想解：分以下情況討論(1)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋海?2)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，式變?yōu)?，不等式的解為或?dāng)時(shí)，式變?yōu)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)的解為當(dāng)時(shí)，此時(shí)的解為說(shuō)明：解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來(lái)說(shuō)有三級(jí)分類：分類應(yīng)做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做