《結(jié)構(gòu)動力學(xué)》-第二章-單度線性系統(tǒng)自由振動

1、第二章單度線性系統(tǒng)自由振動第二章單度線性系統(tǒng)自由振動2-1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型kmx(t)xm靜力平衡位置k0 kxxm 1 力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型復(fù)擺復(fù)擺sinmgdJ sin0mgdJ 1 力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型aLmk022kamL EI從材料力學(xué)知，簡支梁跨中受到力P作用時，跨中撓度為：kPEIPL且483348LEIPk0kxxm 1 力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型T)(0rkmgTmx200()JTrkr220012JMrmgrkr222(0.5)0Mrmrkr質(zhì)量m：滑輪：廣義數(shù)學(xué)模型為：廣義數(shù)學(xué)模型為：式中：式中：廣義質(zhì)量廣義質(zhì)

2、量 廣義剛度廣義剛度 廣義位移廣義位移0 KXXM 2 微分方程的解微分方程的解以廣義數(shù)學(xué)模型說明以廣義數(shù)學(xué)模型說明0 KXXM 02XXn 或或MKn稱為固有頻率或圓頻率稱為固有頻率或圓頻率)Sin(CosSin)(tCtBtAtXnnn積分常數(shù)積分常數(shù)C和和由初始條件確定：由初始條件確定：000XXXXt，時，3 自由振動的特征量自由振動的特征量（1） 固有頻率固有頻率n，周頻率，周頻率f，周期，周期TnnTTff/2/12（2）振幅振幅22BAC（3）周期性周期性: x(tT)x(t)（4） 初相位初相位其中其中 固有頻率固有頻率n的求解最重要的求解最重要4 求固有頻率求固有頻率n的幾種

3、常用方法的幾種常用方法（1） 建立運(yùn)動微分方程建立運(yùn)動微分方程（2）利用串并聯(lián)關(guān)系求合成剛度利用串并聯(lián)關(guān)系求合成剛度（a）并聯(lián)并聯(lián)（b）串聯(lián)串聯(lián)（c）并聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)：位移相等：位移相等eekFkkFFkFkFXXkXkkFFF212122112121)(串聯(lián)串聯(lián)：力相等：力相等21212121221121111)11(kkkkkkkkFkkFkFkFXXXeeX1與與X2為彈簧變形為彈簧變形4 求固有頻率求固有頻率n的幾種常用方法的幾種常用方法（3）對于垂直振動系統(tǒng)，有對于垂直振動系統(tǒng)，有（4） 能量法能量法其中其中 （1）與（）與（4）用得最多）用得最多（5） 能量能量折算法求彈簧等效質(zhì)量

4、折算法求彈簧等效質(zhì)量gMKgMKststn例例 已知：已知：m，R和和k，純滾動。，純滾動。 求：固有頻率求：固有頻率n解：動能定理解：動能定理)21(4321212222RvmRImvImvTccccc221kxU ckxmvUTc222143常數(shù)兩邊求導(dǎo)：兩邊求導(dǎo)：023023kxxmxkxxmvc 例例 已知：均質(zhì)滑輪，已知：均質(zhì)滑輪，M，m，r和和k，繩索不可伸長，且，繩索不可伸長，且與滑輪間無相對滑動。與滑輪間無相對滑動。 求系統(tǒng)固有頻率求系統(tǒng)固有頻率n解：系統(tǒng)動能：解：系統(tǒng)動能： 系統(tǒng)勢能：系統(tǒng)勢能： 22222011113222216TmxMyJmxMx221128Vkykx由由

5、 ()0dTVdt(41.5)0mM xkx41.5nkmM例例 已知：無重直角曲桿，已知：無重直角曲桿，m，k1，k2，a，b。 求求n)(axkxm akbmkOx)(axkx直角曲桿直角曲桿解：解：物塊物塊mkb)(axkObkbaaxkJ)(0 00Jabax220222kbbam ）（)(222bamkb例例 已知：無重直角曲桿，已知：無重直角曲桿，m，k1，k2，a，b。 求求nakbmkOx直角曲桿直角曲桿解：解：物塊物塊m)(222bamkb)(0 axkmg)(0 axk)(1bk)(0axkmgxm 0kmg bbkaaxkJ)()(100 010bkak00J 實際系統(tǒng)，

6、振動不會永遠(yuǎn)下實際系統(tǒng)，振動不會永遠(yuǎn)下去，振幅會逐漸衰減，直至振動去，振幅會逐漸衰減，直至振動停止，表明有阻力，設(shè)阻力與速停止，表明有阻力，設(shè)阻力與速度的一次方成正比，即度的一次方成正比，即2-2 有阻尼自由振動有阻尼自由振動1 阻尼阻尼k)(txcmkxxc)(txVcRC為阻尼系數(shù)，力學(xué)模型如圖。為阻尼系數(shù)，力學(xué)模型如圖。2 運(yùn)動微分方程及其解運(yùn)動微分方程及其解kxxcxm 0kxxcxm 即(*)022xxnxn 或(1) 大阻尼及臨界阻尼情況大阻尼及臨界阻尼情況2 幾種情況幾種情況）式，有，代入（設(shè)*)(t retx0222nnrr222, 1nnnrtrtreCeCtx2121)(n

7、tntnntnntneCeCentCCetxnn大阻尼臨界阻尼)()()(22222121這時系統(tǒng)不發(fā)生振動，這里不作討論。這時系統(tǒng)不發(fā)生振動，這里不作討論。2 幾種情況幾種情況C、D或或A、由初始條件確定由初始條件確定。(2) 小小阻尼情況阻尼情況mkcnn2或222, 1-ninrn此時22-nnd記)sin()cossin()()(222221tAetDtCeeCeCetxdtnddtntnitnitnnnnnndddTnTT/2-/2222得由即衰減振動周期即衰減振動周期Td大于無阻尼時的振動周期大于無阻尼時的振動周期Tn。表明有阻尼時頻率下降。表明有阻尼時頻率下降。22-nndn但是

8、為臨界阻尼），于是為小阻尼，為大阻尼，（稱為臨界阻尼，稱為阻尼比，且有，則若令11122mkcccmkcnccn222-1-1-11ndndndffTT一般，由于一般，由于，故有，故有ndndndffTT阻尼對系統(tǒng)的周期和固有頻率影響不大，但阻尼對系統(tǒng)的周期和固有頻率影響不大，但對振幅的影響卻很大。對振幅的影響卻很大。)(1)(dnnnTtidtittndAeATtAeAtAeAeA時刻：時刻：振幅：稱為振幅減縮率dnTiieAA12T=-ntAeAAotxAiAi+1如：如：0.02時時%02. 011-2ndn2845. 0882. 0101iiiiAAAA 即頻率下降了即頻率下降了0.02，而振幅一個周期后下降了，而振幅一個周期后下降了12，10個周期后則下降到原來的個周期后則下降到原來的28.45。 當(dāng)當(dāng)0.05時，頻率僅下降時，頻