第4章-頻域變換20161014

1、第四章第四章 頻域變換頻域變換Chapter 4 Fourier TransformContents背景知識(shí)傅里葉變換離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換利用正變換算法計(jì)算傅里葉逆變換3背景知識(shí)背景知識(shí)三棱鏡可以將白色入射光分解成單色光。一窄束白色光入射到透明棱鏡，一小部分光被反射，其余大部分因折射分解為其組成光譜顏色的光，這也是彩虹的顏色。每一種光譜顏色的光對(duì)應(yīng)可見(jiàn)光光譜中具體的頻率，光的分解實(shí)際上是一種頻率分析。傅里葉變換可以看成是傅里葉變換可以看成是數(shù)學(xué)的棱鏡數(shù)學(xué)的棱鏡，將一個(gè)函數(shù)分解成不同的頻率成分?？梢酝ㄟ^(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)，這是線性濾波的重要概念。4Jean B

2、aptiste Joseph FourierFourier was born in Auxerre, France in 1768 Most famous for his work “La Thorie Analitique de la Chaleur” published in 1822 Translated into English in 1878: “The Analytic Theory of Heat”Nobody paid much attention when the work was first publishedOne of the most important mathem

3、atical theories in modern engineering5The Big Idea=Any function that periodically repeats itself can be expressed as a sum of sines and cosines of different frequencies each multiplied by a different coefficient a Fourier series6The Big Idea (cont)Notice how we get closer and closer to the original

4、function as we add more and more frequenciesTaken from www.tfh-berlin.de/schwenk/hobby/fourier/Welcome.html7連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換連續(xù)函數(shù)傅里葉變換及其逆變換連續(xù)函數(shù)傅里葉變換及其逆變換 一維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換 及其逆變換為 二二維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換 及其逆變換為8連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換圖像本身為空域，圖像信號(hào)的頻率為其組成函數(shù)中各個(gè)正弦分量的頻率。對(duì)于具有純頻率的正弦函數(shù)：該正弦函數(shù)的頻率只在 和對(duì)稱位置 存在非零值。在頻域中，頻率坐標(biāo) 和 處有兩個(gè)

5、脈沖。頻域中頻率系數(shù)實(shí)際上反映的是空域圖像和不同頻率的正弦分量 的相關(guān)性，由頻率系數(shù)的模值可以看出圖像中相應(yīng)頻率成分的能量。模值越大，表明圖像中相應(yīng)頻率成分的灰度變化越多。頻率系數(shù)的相位反映不同頻率正弦分量的相移。9 (u0, v0) = (8, 0) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換空間頻率的直觀解釋 10 (u0, v0) = (0, 4) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換空間頻率的直觀解釋 11(u0, v0) = (8, -4) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換空間頻率的直觀解釋 12連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換二維矩形函數(shù)及其傅里葉系數(shù)的模值 二維矩形函數(shù) 傅里葉

6、系數(shù)的模值13離散函數(shù)離散函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換離散離散函數(shù)傅里葉變換及其逆變換函數(shù)傅里葉變換及其逆變換 一維離散函數(shù) 的傅里葉變換 及其逆變換為 是周期為1的復(fù)值、連續(xù)函數(shù)。 二維離散函數(shù) 的傅里葉變換 及其逆變換為14 是周期為1的周期函數(shù)，在基本頻率區(qū)間 內(nèi)抽取 個(gè)等間距采樣點(diǎn)，采樣間隔為 ， 為頻率采樣的樣本數(shù)。離散傅里葉變換離散傅里葉變換離散函數(shù)傅里葉變換具有連續(xù)譜。由于，計(jì)算機(jī)只能處理離散數(shù)據(jù)；傅里葉變換計(jì)算具有很大的計(jì)算量，需要對(duì)連續(xù)譜采樣而獲得離散譜。傅里葉變換的頻域采樣15一維離散函數(shù) 的離散傅里葉變換及其逆變換為常量 可以放在正變換前，也可以放在逆變換前。傅里葉變換 是復(fù)

7、數(shù)，在極坐標(biāo)下表示為復(fù)數(shù)的模值稱為幅度譜，相角稱為相位譜，傅里葉變換的功率譜定義為離散傅里葉變換離散傅里葉變換16離散傅里葉變換離散傅里葉變換二維離散函數(shù) 的二維離散傅里葉變換及其逆變換為二維離散傅里葉變換的幅度譜 、相位譜 、功率譜 定義為17二維矩形圖像的傅里葉變換離散傅里葉變換離散傅里葉變換白色矩形沿水平方向的灰度級(jí)剖面是窄脈沖，沿垂直方向的灰度級(jí)剖面是寬脈沖，窄脈沖比寬脈沖具有更多的高頻成分。二維矩形圖像 傅里葉譜DFTThe DFT of a two dimensional image can be visualised by showing the spectrum of the

8、images component frequencies18DFT的的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性頻譜是一種在頻域中描述圖像特征的方法，它反映了圖像的幅度和相位隨頻率的分布情況。頻譜的低頻成分取決于圖像中灰度的總體分布，而高頻成分取決于圖像中的邊緣和細(xì)節(jié)。 圖像中灰度平坦或灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)頻譜的低頻成分； 圖像中灰度突變或灰度變化快速的區(qū)域，對(duì)應(yīng)頻譜的高頻成分。通常情況下，圖像具有很強(qiáng)的空域相關(guān)性，換句話說(shuō)，相鄰像素一般具有相同或相近的灰度值，反映在頻域中就是圖像的能量主要集中于低頻成分。19DFT的的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性傅里葉變換的零頻率成分 等于一幅圖像的像

9、素灰度值之和，也稱為直流成分直流成分。傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性：式中， 表示復(fù)數(shù)的共軛。傅里葉譜是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的：共軛對(duì)稱性和周期性示意圖20DFT的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性一幅圖像的傅里葉譜關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，低頻成分反映在傅立葉譜的4個(gè)角部分，且由于圖像的能量主要集中于低頻成分，因此，4個(gè)角部分的幅度較大。為了便于觀察頻譜分布以及進(jìn)行頻域?yàn)V波等頻域處理與分析，必須對(duì)頻譜進(jìn)行中心移位變換中心移位變換，將直流成分移動(dòng)到頻譜 的中心 。二維離散傅里葉譜的頻率成分分布圖21二維離散傅里葉變換的傅里葉譜DFT的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性的頻譜分布與統(tǒng)計(jì)特性灰度較平坦圖像 直接變換的傅里葉譜

10、 中心移位后的傅里葉譜22DFT的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性傅里葉變換是作用于整幅圖像的變換，每一 個(gè) 包含了所有 值。一般不能建立圖像特定像素或區(qū)域與其傅里葉變換之間的直接聯(lián)系。從直觀上理解，傅里葉變換的頻率成分與圖像中的灰度變化率直接相關(guān)。 低頻成分與灰度平坦或灰度變化緩慢的區(qū)域相關(guān)聯(lián)； 高頻成分則與灰度突變或灰度變化快速的區(qū)域相關(guān)聯(lián)，圖像邊緣、細(xì)節(jié)和紋理具有高頻成分特征。23不同細(xì)節(jié)程度圖像的傅里葉譜比較DFT的的幅頻特性和幅頻特性和相頻特性相頻特性細(xì)節(jié)較豐富圖像灰度較平坦圖像 24DFT的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性DFTScanning electron mic

11、roscope image of an integrated circuit magnified 2500 timesFourier spectrum of the image25突出頻率特征的傅里葉譜DFT的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性 方形儀表指針圖像 圓形儀表指針圖像26DFT的的幅頻特性和幅頻特性和相頻特性相頻特性離散傅里葉變換是頻域?yàn)V波的基礎(chǔ)。允許低頻成分通過(guò)而限制高頻成分通過(guò)的濾波器稱為低通濾波器低通濾波器，具有相反特性的濾波器稱為高通濾波器高通濾波器。低通濾波器的作用是濾除圖像中的邊緣和細(xì)節(jié)，平滑和模糊圖像；而高通濾波器濾除整體灰度水平，突出灰度的變化。27由原相位譜和

12、常數(shù)幅度譜重構(gòu)的圖像DFT的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性傅里葉變換的頻譜是由幅度譜和相位譜構(gòu)成，幅度譜幅度譜能夠直觀表現(xiàn)出高低頻率成分的能量分布能量分布，而相位譜相位譜看似是完全隨機(jī)的，沒(méi)有表現(xiàn)出任何信息沒(méi)有表現(xiàn)出任何信息。實(shí)際上，幅度譜表明了各個(gè)正弦分量的相對(duì)強(qiáng)度，而相位譜表明了在圖像中各個(gè)正弦分量之間的位置關(guān)系。圖像 相位譜 由相位譜重構(gòu)的圖像28頻譜混疊二維采樣理論二維采樣理論：空域信號(hào)以基 延拓進(jìn)行離散采樣，在傅里葉域中頻譜以對(duì)偶基 進(jìn)行周期性重復(fù)。二維平面上的像素位置可以用二維向量空間的兩個(gè)基向量的線性組合來(lái)表示，則一個(gè)規(guī)則的采樣網(wǎng)格 可以表示為， 其倒易網(wǎng)格（對(duì)偶網(wǎng)格）

13、可以表示為，定義 ，對(duì)自然圖像 進(jìn)行采樣可以簡(jiǎn)單地表示為 ，則采樣圖像 的傅里葉變換可表示為，狄拉克梳狀函數(shù)與采樣過(guò)程狄拉克梳狀函數(shù)與采樣過(guò)程： 一維狄拉克梳狀函數(shù)表示沿x軸分布的間隔為1、強(qiáng)度為1的 函數(shù)的無(wú)窮序列，可以用如下形式表示為，29 (a) 原采樣網(wǎng)格 (b) 降采樣網(wǎng)格 (c) (d)混疊頻譜的形成Gpure(u;v)Gpure(u;v)+ Gal i as(u;v)混疊圖像的復(fù)原30圖6 27 采樣圖像頻譜的組成 (a) (b) (c)G (u;v)Gpure(u;v)Gal i as(u;v)混疊圖像的復(fù)原31圖6 29 采樣圖像頻譜中的錯(cuò)位高頻信息 (a) 降采樣圖像頻譜

14、(b) 周期延拓的降采樣圖像頻譜混疊圖像的復(fù)原32混疊圖像的復(fù)原圖6 30 混疊放大的解釋33在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT由離散傅里葉變換的卷積定理可知，兩個(gè)離散傅里葉變換的乘積等效于對(duì)應(yīng)空域的循環(huán)卷積。線性濾波對(duì)輸入圖像的響應(yīng)是計(jì)算線性卷積的結(jié)果。使用離散傅里葉變換無(wú)法直接在頻域中進(jìn)行線性濾波處理。34在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT 離散傅里葉變換能否應(yīng)用于線性濾波中？ 答案是肯定的。 通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行零延拓使循環(huán)卷積等效于線性卷積。 在零延拓的基礎(chǔ)上，離散函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)可以適用于離散傅里葉變換。35在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT由離散函數(shù)傅里葉變換的卷積定理可

15、知，兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域中的卷積等效于這兩個(gè)信號(hào)在頻域中的乘積。對(duì)于離散傅里葉變換，兩個(gè)信號(hào)在頻域中的乘積等效于這兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域中的循環(huán)卷積。根據(jù)線性卷積的定義，若兩個(gè)離散序列的長(zhǎng)度分別為A和B，則線性卷積的序列長(zhǎng)度等于 。36在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT37在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT通過(guò)對(duì)離散信號(hào)零延拓，可以在線性濾波中直接使用離散傅里葉變換。設(shè) 和 分別為A和B點(diǎn)序列。對(duì)兩個(gè)序列同時(shí)補(bǔ)零，使它們達(dá)到相同的長(zhǎng)度P，滿足 ，循環(huán)卷積的結(jié)果等于線性卷積的結(jié)果。38在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT39在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT二維序列零延拓設(shè) 表示尺寸為AB的輸入

16、圖像， 表示尺寸為CD的卷積函數(shù)。在x和y方向上分別對(duì)行和列補(bǔ)零到相同的長(zhǎng)度P和Q，滿足對(duì) 和 零延拓的擴(kuò)展表示如下：40在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT由卷積定理可知，在空域中輸入圖像與空域模板的卷積等效于在頻域中圖像頻譜與頻率響應(yīng)函數(shù)的乘積。零延拓是在頻域中實(shí)現(xiàn)空域?yàn)V波的前提，若沒(méi)有執(zhí)行正確的擴(kuò)展，則濾波結(jié)果就是錯(cuò)誤的。未經(jīng)適當(dāng)擴(kuò)展的濾波圖像與輸入圖像的尺寸相同，從圖中可以看到，圖像前面部分因混疊引入錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，后面部分則將丟失數(shù)據(jù)。未擴(kuò)展的頻域?yàn)V波圖像適當(dāng)擴(kuò)展的圖像適當(dāng)擴(kuò)展的頻域?yàn)V波圖像41離散傅里葉變換的零延拓在線性濾波中的應(yīng)用適當(dāng)擴(kuò)展的頻域?yàn)V波圖像未擴(kuò)展的頻域?yàn)V波圖像裁剪出的有效

17、圖像區(qū)域在線性濾波中使用在線性濾波中使用DFT42離散傅里葉變換離散傅里葉變換的卷積定理的卷積定理離散函數(shù)的卷積定義為卷積定理表明空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積，等效于這兩個(gè)函數(shù)在頻域中的乘積，可表示為式中， 表示互為傅里葉變換。在圖像處理中，空域卷積的主要作用是空域?yàn)V波。43離散傅里葉變換離散傅里葉變換的相關(guān)定理的相關(guān)定理離散函數(shù)的相關(guān)定義為空域中兩個(gè)函數(shù)的相關(guān) 和頻域乘積 .互為傅里葉變換對(duì)：空域相關(guān)的主要作用是圖像匹配。利用 表示待檢測(cè)目標(biāo)或感興趣區(qū)域，通常稱為模板。若輸入圖像 中包含匹配的模板，則在 和 完全匹配的位置上這兩個(gè)函數(shù)的相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大值。44模板匹配示例離散傅里葉變換離散傅里葉變換

18、的相關(guān)定理的相關(guān)定理 字符圖像 字符模板圖(a)與圖(b)相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果 閾值化處理的結(jié)果45離散傅里葉變換離散傅里葉變換的投影的投影定理定理投影定理是圖像重建的基礎(chǔ)。圖像重建是利用物體在多個(gè)軸向上的一維投影數(shù)據(jù)來(lái)恢復(fù)物體二維信息。46離散傅里葉變換離散傅里葉變換的投影的投影定理定理二維函數(shù) 在x軸和y軸上的一維投影函數(shù) 和 分別定義為當(dāng) 沿任意方向s投影到與其垂直的t軸時(shí)，則其一維投影函數(shù)可表示為47離散傅里葉變換離散傅里葉變換的投影定理的投影定理t、s軸與x、y軸之間的關(guān)系為當(dāng)夾角 一定時(shí)， 在t軸上的投影函數(shù) 僅是關(guān)于t的函數(shù)。根據(jù)一維連續(xù)函數(shù)傅里葉變換的定義，可得 的傅里葉變換 為48

19、離散傅里葉變換離散傅里葉變換的投影定理的投影定理投影定理表明， 在與 軸成 角的 軸上投影的傅里葉變換，等效于 的二維傅里葉變換 沿與 軸成 角度方向上的取值，也就是二維傅里葉變換的一個(gè)徑向剖面。49二維二維離散傅里葉變換線性性質(zhì)離散傅里葉變換線性性質(zhì)線性性：傅里葉變換的線性性表明，兩個(gè)或者多個(gè)函數(shù)線性組合的傅里葉變換等于各個(gè)函數(shù)傅里葉變換的線性組合。50二維二維離散傅里葉變換平移離散傅里葉變換平移性質(zhì)性質(zhì)平移性： (空移性) (頻移性)傅里葉變換的空移性表明，圖像在空域中平移 等效于在頻域中頻譜乘以因子 ，也就是說(shuō)圖像平移后，其幅度譜保持不變，而相位譜產(chǎn)生附加變化 。傅里葉變換的頻移性表明，

20、圖像乘以因子 等效于在頻域中頻譜平移 ，或者說(shuō)在頻域中將頻譜平移 等效于在空域中圖像乘以因子 。51二維離散傅里葉變換平移性質(zhì)二維離散傅里葉變換平移性質(zhì)當(dāng) 和 時(shí)，則有頻移性公式可簡(jiǎn)化為即為對(duì)頻譜進(jìn)行中心移位變換所使用的性質(zhì)。52二維離散傅里葉變換尺度變換性質(zhì)二維離散傅里葉變換尺度變換性質(zhì)尺度變換性：傅里葉變換的尺度變換性表明在空域中圖像沿空間坐標(biāo)軸的壓縮（ ， ）等效于在頻域中沿頻率軸的拉伸，同時(shí) 幅度的壓縮。傅里葉變換尺度變換性示意圖二維矩形圖像 傅里葉譜二維矩形圖像 傅里葉譜53二維離散傅里葉變換旋轉(zhuǎn)性質(zhì)二維離散傅里葉變換旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性：引入極坐標(biāo)變換則 和 分別可表示為 和 傅里葉變換

21、的旋轉(zhuǎn)性表明當(dāng)圖像在空域中旋轉(zhuǎn)角度 時(shí)，在頻域中頻譜將旋轉(zhuǎn)相同的角度 。傅里葉變換旋轉(zhuǎn)性示意圖二維矩形圖像 傅里葉譜54離散傅里葉變換離散傅里葉變換周期和對(duì)稱性質(zhì)周期和對(duì)稱性質(zhì)周期性：對(duì)稱性：傅里葉譜是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即55離散傅里葉變換離散傅里葉變換可分離性質(zhì)可分離性質(zhì)可分離性：一維行變換一維列變換F (x;v)F (u;v)f (x;y)yx56快速快速傅里葉變換傅里葉變換一維離散傅里葉變換，其中， 稱為相位因子， 。對(duì)于每一個(gè)u值，直接計(jì)算涉及N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，不是一種有效方法，因?yàn)樗鼪](méi)有利用相位因子的對(duì)稱性：和周期性： 利用這兩個(gè)性質(zhì)，基2 FFT算法適用于計(jì)算長(zhǎng)度 的離

22、散傅里葉變換，2稱為FFT算法的基數(shù)。57快速快速傅里葉變換傅里葉變換將長(zhǎng)度為N的序列分解成2個(gè)長(zhǎng)度分別為N/2的子序列，分別對(duì)應(yīng) 中的偶數(shù)和奇數(shù)序號(hào)，N 點(diǎn)離散傅里葉變換用2個(gè)抽取序列的離散傅里葉變換可表示為，58快速快速傅里葉變換傅里葉變換由于 ，上式中的 簡(jiǎn)化為式中， 和 分別為偶序列 和奇序列 的傅里葉變換。由于它們是周期性的，周期為n，且59快速傅里葉變換快速傅里葉變換N點(diǎn)離散傅里葉變換可分解成兩個(gè)部分，使用一次按時(shí)間抽取算法后，分別對(duì) 和 重復(fù)上述過(guò)程，直至將序列分解為1點(diǎn)序列。對(duì)于長(zhǎng)度為 的序列，這種抽取執(zhí)行 次。60快速快速傅里葉變換傅里葉變換8點(diǎn)序列的按時(shí)間抽取FFT算法的3

23、個(gè)階段： 計(jì)算4個(gè)2點(diǎn)離散傅里葉變換； 計(jì)算2個(gè)4點(diǎn)離散傅里葉變換； 計(jì)算1個(gè)8點(diǎn)離散傅里葉變換。8點(diǎn)序列的按時(shí)間抽取FFT算法的三個(gè)階段61快速傅里葉變換快速傅里葉變換第一階段第二階段第三階段f (0)f (4)f (2)f (6)f (1)f (5)f (3)f (7)F (0)F (1)F (2)F (3)F (4)F (5)F (6)F (7) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1W08W18W28W38W08W28W08W28W08W08W08W088點(diǎn)序列的按時(shí)間抽取FFT算法的計(jì)算過(guò)程62快速快速傅里葉變換傅里葉變換蝶形運(yùn)算與FFT算法 上述過(guò)程中每一階段執(zhí)行的基本運(yùn)算，是對(duì)于一對(duì)復(fù)數(shù)(a,b)，將 與a相乘，然后將a與該乘積相加和