第6章應力應變分析

1、第六章 應力應變狀態(tài)分析PPAAAA應力分析：應力分析：研究一點的應力狀態(tài)研究一點的應力狀態(tài)目的：目的：1）為判斷受力構件哪一點，什么方向最危險；）為判斷受力構件哪一點，什么方向最危險； 2）為復雜受力情況下的強度計算作好準備。）為復雜受力情況下的強度計算作好準備。第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析xyzxyxzxyzyxyzzxzy 圍繞構件內一點截取一無限小正圍繞構件內一點截取一無限小正六面體稱為六面體稱為。1）單元體尺寸無限小，可代表一點； 2）有三組互相垂直的面，其上應力代表了三組互相平行的面上應力，大小相等，方向相反；3）當單元體應力確定，其它平面上的應力可用截面法根據(jù)靜

2、力平衡方程求出。描述一點應力狀態(tài)：9個應力分量 6個獨立應力分量 第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析單元體利用單元體的理由：利用單元體的理由：第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析 若所取單元體各面上只有正若所取單元體各面上只有正應力，而無剪應力，此單元體稱應力，而無剪應力，此單元體稱為為。123 只有正應力，而無剪應力的只有正應力，而無剪應力的截面稱為截面稱為。 主平面上的正應力稱為主平面上的正應力稱為。 一點的應力狀態(tài)有三個主應力，按其一點的應力狀態(tài)有三個主應力，按其代數(shù)值排列代數(shù)值排列：321第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析0031or000321oro

3、r123、 均不為零FFxxxxxx0nFdA x y xy yx n y y x x xy xy yx yx x y yx xy x y yx xy sin)cos(dAxy cos)cos(dAx cos)sin(dAyx sin)sin(dAy00 FdA cos)cos(dAxy sin)cos(dAx sin)sin(dAyx cos)sin(dAy0 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2sin2cos22xyyxyx22)2sin2cos2()2( xyyxyx22)2cos2sin2(xyyx2

4、222)2()2(xyyxyx y y x x xy xy yx yx 1,xxyD 2(,)yxyDCx xy y yx x xy y yx n 2 D 單元體與應力圓之間的一一對應關系：點面對應點面對應倍角對應倍角對應轉向一致轉向一致0tan2主應力公式：主應力公式：22maxmin22xyxyxy主平面方位：主平面方位：y y x x xy xy yx yx 1D2DCx xy y yx x xy y yx 022xyxymaxminn 2 D y y x x xy xy yx yx 1n1 1 2 2 例例試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力試用圖解法求圖

5、示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。的方位。MPa50MPa30MPa30解：已知,50MPax,30MPax,30MPayo1B2B1D2DC50303030,501OB;3011DB,302OB;3022DB取: 連接D1D2交橫軸于C ，以C為圓心，CD1為半徑作圓。第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析o1B2B1D2DC503030301A2A13,10OC503040)()(2221121DBCBr,6050101MParOC,4050103MParOC, 0202,75. 0403021110CBDBtg,87.3620,43.180MPa50MP

6、a30MPa3011330=18.43MPa50)4060(21)(2131max第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析MPa20例試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。解：已知, 0 x,20MPax, 0y, 01OB;2011DB, 02OB;2022DB取: 連接D1D2交橫軸于C ，以C為圓心，CD1為半徑作圓。o1B2BC1D2D2020第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析MPa20o1B2BC1D2D1A2A132020, 0OC20r,201MPar ,203MPar, 02MPa20)2020(21)(2131max,90

7、20 4500=45201133第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析12xyz3123第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析yxyzxyxzxzyxyzzxzy123三向應力圓三向應力圓123123123123第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析123maxmin231max最大剪應力最大剪應力123 最大剪應力所在的截面與2平行，與第一、第三主平面成45角。第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析PPEE1 1 2 2 3 3 1 1123221333121()1()1()EEE 1 1 2 2 3 3 1E2E

8、3EOR1122331111Ex y z xy xz yx yz zy zx xyxyyzyzzxzxGGG1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 平面應力狀態(tài)下的廣義胡克定律平面應力狀態(tài)下的廣義胡克定律第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析111()xxyyyxxyxyzxyEEGE 000zzxzy 這表明，對于各向同性材料，三個彈性常數(shù)這表明，對于各向同性材料，三個彈性常數(shù)中，只有兩個是獨立的。中，只有兩個是獨立的。第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析例例邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為模量

9、為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的作用，求鋼塊的應力應力 x 、 y 、 z 和應變和應變 x 、 y 、 z 。Pxyzxyz解：解： 由已知可直接求得：,2aPAFNy, 0z, 0 x第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析Pxyzxyz,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析例97已知E=10GPa、=0.2，求圖示梁nn 截面上 k 點沿30方向的線應變 30。nnk1m1m2mAB2001507575kkNP

10、1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223bhQbbhhbhQbISQnnzzn89)8/3()4/(123*nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223MPabhQn1125. 030020086000989nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230MPaMPaxyx1125. 0, 0,130-6030-60MPaxxx847. 0234260sin60cos2230MPaxxx153. 02342)120sin()120cos(2

11、260nnk1m1m2mAB2001507575kkNP123030-6030-60,847. 030MPaMPa153. 060536030301016. 81010)153. 0(2 . 0847. 0)(1Edxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzdV )()(dzdzdydydxdxdV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydz第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析單元體單位體積的改變單元體單位體積的改變dVdV變形前：變形前：變形后：變形后：)1 (321 dV略去高階小量略去高階小量321dVdVdV代入廣

12、義胡克定律代入廣義胡克定律dxdydzdV 變形前：變形前：變形后：變形后：)1 (321 dVdVdVdV)(21321E第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析令令)(31321m)21 (3EKKmm稱為，K 稱為。體積應變取體積應變取決于三個主決于三個主應力的代數(shù)應力的代數(shù)和，與三主和，與三主應力之間的應力之間的比值無關。比值無關。純剪切狀態(tài)：純剪切狀態(tài)：321, 0, 可見可見剪應力并不引起體積應變剪應力并不引起體積應變，對于非主應力單元體，對于非主應力單元體，其體積應變可改寫為其體積應變可改寫為0)(21zyxE 第一不變量：第一不變量：)(21321E第六章第六章 應力應變

13、狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析321zyx某點正應力之和為常數(shù)某點正應力之和為常數(shù)應變能：應變能：構件在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力在構件在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力在相應的位移上作功，此功將轉變?yōu)橐环N能力儲存在相應的位移上作功，此功將轉變?yōu)橐环N能力儲存在構件中，把構件因發(fā)生彈性變形而儲存的能量稱為構件中，把構件因發(fā)生彈性變形而儲存的能量稱為應變能。應變能。應變能密度（比能）：應變能密度（比能）：單位體積內儲存的應變能。單位體積內儲存的應變能。第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析dxdzdy dxdydzlddFdWdVN21)(21d(l)2121dxdydzdxdydzdVdVVdx

14、dydz )(21)(21dxdydzdxdydzdV21dxdydzdVdVdVV第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析)(21332211V)(221133221232221E第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析12xyz3yxyzxyxzxzyxyzzxzy)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxV22222221)(221zxyzxyxzzyyxzyxGE 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+ud 狀態(tài)狀態(tài)1受平均正應力受平均正應力 m作用，因各向均勻受力，故只有作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應的比能稱為體積改

15、變，而無形狀改變，相應的比能稱為。 狀態(tài)狀態(tài)2的的體積應變：體積應變：0)()()(213212mmmE 狀態(tài)狀態(tài)2無無體積改變，只有形狀改變，相應的比能稱為體積改變，只有形狀改變，相應的比能稱為。 第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+ud2321222)(6213221)323(21EEEVmmmV2321133221232221)(621)(221EEVVVVd)()()(61213232221EVd第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析例例邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模的一立

16、方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的體積作用，求鋼塊的體積應變應變 V 和形狀改變比能和形狀改變比能uf 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x第六章第六章 應力應變狀態(tài)分析應力應變狀態(tài)分析 x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf例例910證明彈性模量證明彈性模量E 、泊桑比、泊桑比

17、 、剪切、剪切彈性模量彈性模量G 之間之間的關系為的關系為 。)1 (2EG 3 1證明：證明： 純剪應力狀態(tài)比能為純剪應力狀態(tài)比能為212121Gu321, 0,用主應力計算比能用主應力計算比能222213322123222121)00(2)(021)(221EEEu21uu 22121EG)1 (2EG第五章第五章 桿件的變形與剛度計算桿件的變形與剛度計算98 平面應力狀態(tài)下的應變分析平面應力狀態(tài)下的應變分析 任意方向的線應變任意方向的線應變KABCxyxyd(x)Rd(R)coscos)()(xxdRdxcosxR2coscoscos)(xxxxRRd x 對對 的影響的影響KABCxy

18、xyd(y)Rd(R)sinsin)()(yydRdysinyR2sinsinsin)(yyyyRRd y 對對 的影響的影響KABCxyxyyx yRd(R)cos)(xyyRdsinyRcossinsincos)(xyxyyyRRd x y對對 的影響的影響x yx ycossinsincos22xyyx cossinsincos22xyyx改寫為改寫為2sin22cos22xyyxyx主應變主應變22)2()2(2xyyxyx主應變（主應力）的方位角主應變（主應力）的方位角yxxytg02第五章第五章 桿件的變形與剛度計算桿件的變形與剛度計算98 平面應力狀態(tài)下的應變分析平面應力狀態(tài)下的

19、應變分析 任意方向的線應變任意方向的線應變KABCxyxyd(x)Rd(R)coscos)()(xxdRdxcosxR2coscoscos)(xxxxRRd x 對對 的影響的影響KABCxyxyd(y)Rd(R)sinsin)()(yydRdysinyR2sinsinsin)(yyyyRRd y 對對 的影響的影響KABCxyxyyx yRd(R)cos)(xyyRdsinyRcossinsincos)(xyxyyyRRd x y對對 的影響的影響x yx ycossinsincos22xyyx cossinsincos22xyyx改寫為改寫為2sin22cos22xyyxyx主應變主應變2

20、2)2()2(2xyyxyx主應變（主應力）的方位角主應變（主應力）的方位角yxxytg02第五章第五章 桿件的變形與剛度計算桿件的變形與剛度計算第五章第五章 桿件的變形與剛度計算桿件的變形與剛度計算第五章第五章 桿件的變形與剛度計算桿件的變形與剛度計算1 Mpa30Mpa30Mpa120Mpa40 1D2D3D12 23 13 xDyDMpa1302 Mpa303 Mpa3023 Mpa3012 Mpa5013 Mpa8013 Mpa80max 321 9102001125.025.025.0125.025.025.01610303013031035.0025.065.041105.6 52

21、105.2 42105.3 41max105.6 oxyMN LUuvMNLxyyyvvyxxyyyuxxvxxuujviuU),(yxuu ),(yxvv 點的橫向位移：點的橫向位移：N),(yxxuuxxuu點的縱向位移：點的縱向位移：N),(yxxvvxxvv的長度近似認為：的長度近似認為：NMuxxuuxNMxxuxMNMNNMMNxlim0 xxxxuxxlim0 xuyvxuyxxuxyvy同理可得：同理可得：oxyMN LUyxxyuvMNLxyyyvvyyuxxvxxuuyvxuyxxuxvxxuxxxvxyxy1tanxvxvxyyuyx同理可得：同理可得：)2(lim00N

22、MLLMMNxyyxxy)(yuxv)(yuxvyvxuxyyxxuxyvyzwz)(yuxvxy)(zvywyz)(xwzuzxzkyjxikwjviuUzzyzxyzyyxxzxyx212121212121)(21TUUOxyjvi uUyxOoxiyjrMMUvuv ux iyj jviuU jviujvi u ijviiuijvii u uvu sincosjyixrjyixr vvu cossin sincosyxx cossinyxyxux 而xyyuxxxu sincosyuxu sin)sincos(cos)sincos(yvyuxvxu cossinsincos22xyyx)

23、sin(coscossin)(222 xyyxyx同理得 cossinsincos22xyyxx)sin(coscossin)( 222 xyyxyx。則：，分別記為，若將 yxx 2sin22cos22xyyxyx 2cos22sin22xyyxxyyx 、22xyyx 、1 1 2 2 3 3 1 )(1)(1)(1213331223211 EEE1 1 2 2 3 3 E1 E2 E3 OR3213211111 E332211212121 u)(31321 m令令：)(21)(21)(21213313223211 EEE)(221133221232221 Efvuu mmmmmmvu 212121)(mmmmEE Em ）（ 21mm 2322)21 ( 3mE 2321)(6)21 ( 3 E)(31133221232221 Euf)()()(61213232221 E 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料bs 0n0 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料bs 0n0 bsbs ,1 2 pPP)(13211max E0 )(321 E0 23113m