福建省2016屆高三4月質(zhì)量檢查 數(shù)學(xué)理

1、2016年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（A）（B）（C）（D）（2）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若要使輸出的的值等于3，則輸入的的值可以是 （A） （B） （C）8 （D）（3）已知，則的值等于（A） （B） （C） （D）（4）已知，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（5）若滿(mǎn)足約束條件則的取值范圍為（A） （B） （C） （D）（6）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1，前項(xiàng)積為，

2、且，則使得的的最小值為（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面的面積中，最小的值為（A） （B）8 （C） （D）（8）在中，則（A）（B）（C）（D） （9）若橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（A） （B） （C） （D）（10）在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為 （A） （B） （C） （D）（11）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)是以為直徑的圓與右支的一個(gè)交點(diǎn)， 交于另一點(diǎn)，且，則的漸近線方程為 （A） （B） （C） （D）（12）已知是定義在上的

3、減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（A）對(duì)于任意， <0 （B）對(duì)于任意， >0 （C）當(dāng)且僅當(dāng)，<0 （D）當(dāng)且僅當(dāng)，>0第卷注意事項(xiàng)： 第卷共3頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答若在試題卷上作答，答案無(wú)效本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）若隨機(jī)變量，且，則 （14）若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則 （15）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且，則 （16）已知點(diǎn)，且平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則四邊形的面積為 三解答題：

4、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿(mǎn)分12分）在中，點(diǎn)在邊上，且（）若的面積為，求； （）若，求 （18）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，三棱柱中，底面為等腰直角三角形，（）證明：；（）若，求與平面所成角的正弦值 （19）（本小題滿(mǎn)分12分）甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪70元，每單抽成2元；乙公司無(wú)底薪， 40單以?xún)?nèi)(含40單)的部分每單抽成4元，超出40單的部分每單抽成6元假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其100天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：（）現(xiàn)從甲公司記錄的這100天中隨機(jī)抽取兩天，求這兩天送餐

5、單數(shù)都大于40的概率；（）若將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題：（）記乙公司送餐員日工資為(單位：元), 求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （）小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由.（20）（本小題滿(mǎn)分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以為圓心的圓過(guò)點(diǎn)，且（）求拋物線和圓的方程；（）設(shè)是圓上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線交于兩點(diǎn)，證明：（21）（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，曲線與在原點(diǎn)處的切線相同（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若時(shí)，求的取值范圍請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分

6、，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。 （22）（本小題滿(mǎn)分10分）選修：幾何證明選講如圖，的兩條中線和相交于點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓（）求證：；（）若，求 （23）（本小題滿(mǎn)分10分)選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為. （）求的普通方程和的傾斜角；（）設(shè)點(diǎn)，和交于兩點(diǎn)，求（24）（本小題滿(mǎn)分10分）選修：不等式選講已知函數(shù).（）求不等式的解集；（）設(shè)，證明：2016年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考 評(píng)分說(shuō)明： 1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容

7、比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則 2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù) 4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分 一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿(mǎn)分60分 （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿(mǎn)分20分 （13）

8、（14） （15） （16） 三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等滿(mǎn)分12分解法一：（）因?yàn)? 即，2分又因?yàn)?，所以 3分在中,由余弦定理得，,5分即，解得6分（）在中，可設(shè)，則，又，由正弦定理，有，7分所以8分在中, ，由正弦定理得，即，10分化簡(jiǎn)得，于是11分因?yàn)?，所以，所以? 解得，故12分解法二：（）同解法一（）因?yàn)?，所以取中點(diǎn)，連結(jié)，所以7分設(shè)，因?yàn)?，所以在中?分以下同解法一（18）本小題主要考查空間直線與

9、直線、直線與平面的位置關(guān)系及直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿(mǎn)分12分解法一：（）連結(jié)，在中，由余弦定理得， ，1分，2分又為等腰直角三角形，且，又，平面4分又平面，5分（），6分如圖，以為原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，7分則， 8分設(shè)平面的法向量，由得令，得平面的一個(gè)法向量為 9分，10分，.11分與平面所成角的正弦值為12分解法二：（）同解法一（）過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連結(jié)，則為與平面所成的角6分由（） 知，又，平面，7分8分取中點(diǎn)，連結(jié)，又在中，9分， ，即，10分平面，平面，三棱柱中，11分

10、在中，所以與平面所成的角的正弦值為12分（19）本小題主要考查古典概型、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查分類(lèi)與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想滿(mǎn)分12分解：（） 記“抽取的兩天送餐單數(shù)都大于40”為事件，則4分（）（）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以的所有可能取值為152,156,160,166,1726分故的分布列為：1521561601661728分 9分（）依題意， 甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為10分所以甲公司送餐員日平均工資為元11分由（）得乙公司送餐員日平均工資為元因?yàn)?，故推薦小明

11、去乙公司應(yīng)聘12分（20）本小題考查圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)與整合思想等滿(mǎn)分12分解法一：()將代入，得，所以，1分又因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以拋物線，3分此時(shí)圓的半徑為，所以圓的方程為4分 ()設(shè)，依題意，即5分（）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得不妨設(shè)，則即 當(dāng)時(shí)，同理可得，.6分（）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以直線斜率不為零，且 因?yàn)?，所以，所以?7分直線由得， ，8分即，所以，9分所以10分，所以 12分解法二：()同解法一()設(shè)

12、，依題意，即， （*） 5分設(shè)，則，6分由于，所以 7分注意到， 8分由（1）知，若，則，此時(shí)不滿(mǎn)足（*），故，從而（1），（2）可化為9分以下同解法一.（21）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等滿(mǎn)分12分解法一：（）因?yàn)椋?分依題意，解得，3分所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為， 單調(diào)遞增區(qū)間為5分（）由（）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值0 所以，即，從而設(shè)則，6分（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），此時(shí)在上單調(diào)遞增，從而，即7分（）當(dāng)時(shí)，由于，所以8分

13、由（）知，所以，故，即9分（）當(dāng)時(shí)， 令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，所以在上存在唯一零點(diǎn)，10分 當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，從而，即所以在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，即，不合題意11分綜上， 實(shí)數(shù)的取值范圍為12分解法二：（）同解法一 （）由（）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值0 所以，即，從而設(shè)則，6分（）當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞增 所以，即9分（）當(dāng)時(shí)，由（）知，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以當(dāng)時(shí)，所以10分于是當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，即，不合題意11分綜上， 實(shí)數(shù)的取值范圍為12分解法三：（）同解法一 （）（）當(dāng)時(shí)，由（）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值0所以，即，從而，即所以，6分（）當(dāng)時(shí)，設(shè)則，令，

14、則顯然在上單調(diào)遞增7分當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，；故，所以在上單調(diào)遞增，即9分當(dāng)時(shí)，由于，所以在上存在唯一零點(diǎn)，10分當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，從而，即在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，即，不合題意11分綜上， 實(shí)數(shù)的取值范圍為12分請(qǐng)考生在第（22），（23），（24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)（22）選修：幾何證明選講 本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿(mǎn)分10分解法一：（）連結(jié)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，則2分又因?yàn)闉榈膬蓷l中線，所以點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，故3分所以，4分從而5分（）因?yàn)闉榕c的交

15、點(diǎn)，故為的重心，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，且6分在與中，因?yàn)椋裕?分所以，即9分因?yàn)椋?，即，又，所?0分解法二：（）同解法一5分 () 由() 知，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，6分所以，所以，7分由割線定理，9分又因?yàn)槭堑闹芯€，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?0分（23）選修；坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題考查直線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等 滿(mǎn)分10分解法一：（）由消去參數(shù)，得，即的普通方程為2分由，得，（）3分將代入（），化簡(jiǎn)得，4分所以直線的傾斜角為 5分 （）由（）知，點(diǎn)在直線上， 可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即（為參數(shù)），7分代入并化簡(jiǎn)，得8分設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以9分所以10分解法二：（）同解法一. 5分（）直線的普通方程為.由消去得，7分于是.設(shè)，則，所以，8分故.10分（24）選修：不等式選講本小題考查絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類(lèi)與