初等多值函數(shù)

1、第一節(jié)第一節(jié) 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念與柯西與柯西黎曼條件黎曼條件1.1 復變函數(shù)的導數(shù)與微分1.2 解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)1.3 柯西柯西黎曼條件黎曼條件1.4 小結與思考 21.1 復變函數(shù)的導數(shù)與微分復變函數(shù)的導數(shù)與微分1.導數(shù)的定義導數(shù)的定義:00 ( ) , , wf zD zDzz D 設設 函函 數(shù)數(shù)定定 義義 于于 區(qū)區(qū) 域域為為 中中 的的 一一點點, )( . )( 00的導數(shù)的導數(shù)在在這個極限值稱為這個極限值稱為可導可導在在那末就稱那末就稱zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 記作記作000()( ) lim zf zzf zz 如如

2、果果極極限限存存在在且且有有限限定義定義2.13在定義中應注意在定義中應注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都都趨趨于于同同一一個個數(shù)數(shù)比比值值時時內(nèi)內(nèi)以以任任意意方方式式趨趨于于在在區(qū)區(qū)域域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可導可導在區(qū)域內(nèi)在區(qū)域內(nèi)就稱就稱我們我們內(nèi)處處可導內(nèi)處處可導在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf4例例1 .)(2的導數(shù)的導數(shù)求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上處處處處可可導導

3、52.可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系: 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導則在處可導則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù), 但但函數(shù)函數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導處可導.證證 , 0可導的定義可導的定義根據(jù)在根據(jù)在 z, 0, 0 , |0 時時使得當使得當 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令6, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因為因為 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續(xù)連續(xù)在在即即zzf證畢證畢 ,)( )(0zzzzf ( ) f

4、zzz 在在 平平面面上上處處處處連連續(xù)續(xù)但但卻卻處處處處不不可可導導例例2 解解 (1) f(z)= z的連續(xù)性顯然的連續(xù)性顯然 1 0,0(2) =10,0zxi yxxyfzzzzxi yzzzxyi y 1(0,0)fxyz 1(0,0)fxyz ( ) f zzz 處處處處處處處處不不可可在在 平平面面上上但但卻卻導導連連續(xù)續(xù)( ) f zzz 在在 平平面面上上處處處處不不可可導導7例例3 .Im)(的可導性的可導性討論討論zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(時時而而使使向向當當點點

5、沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方 zy8zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(時時而而使使向向當當點點沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0極極限限值值不不同同時時當當點點沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在復平面上處處不可導在復平面上處處不可導故故zzf 9例例4 是否可導？是否可導？問問yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著

6、平行于沿著平行于設設zxzz xyoz0 y10 xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導數(shù)的導數(shù)所以所以.2)(yixzf 113.求導法則求導法則: 由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復變函并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣, 因而因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣實

7、變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來到復變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的.求導公式與法則求導公式與法則: . , 0)()1(為復常數(shù)為復常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn 12 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數(shù)函數(shù)兩個互為反函數(shù)的單值兩個互為反函數(shù)的

8、單值是是與與其中其中134.微分的概念微分的概念: 復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致函數(shù)的微分概念完全一致.)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數(shù)稱為函數(shù)定定義義0000( ),()()()()wf zzwf zzf zfzzzz 設設函函數(shù)數(shù)在在可可導導 則則0lim()0,(), zzzzz 是是0 0時時的的高高階階無無窮窮小小0() ( ) .fzzwf zw 是是函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量的的線線性性部部分分+ 0000()( )( )lim.zf zzf zwf zzz .

9、 )( , 00可微可微在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)的微分存在的微分存在如果函數(shù)在如果函數(shù)在zzfz14特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內(nèi)內(nèi)可可微微區(qū)區(qū)域域在在則則稱稱內(nèi)內(nèi)處處處處可可微微區(qū)區(qū)域域在在如如果果函函數(shù)數(shù)DzfDzf151. 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義 000Analys( ) , is( ) .f zzzf zz如如果果函函數(shù)數(shù)在在及及的的處處處處可可 導導 那那末末稱稱在在解解析析鄰鄰域域

10、內(nèi)內(nèi)( ), ( ). ( ) ().f zDf zDf zD如如果果函函數(shù)數(shù)在在則則稱稱在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析 或或稱稱是是區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的的一一個個解解析析函函數(shù)數(shù) 全全純純區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)每每一一點點可可微微( (解解函函數(shù)數(shù)或或正正則則函函數(shù)數(shù)析析) )定義定義 2.2z0記作：記作：f(z)A(D):, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在區(qū)區(qū)域域閉閉區(qū)區(qū)域域且且則則稱稱在在閉閉區(qū)區(qū)域域 上上解解析析 記記作作DG1.2 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念16根據(jù)定義可知根據(jù)定義可知:函數(shù)在函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析區(qū)域內(nèi)解析與在與在區(qū)域內(nèi)可導區(qū)域內(nèi)可導是是等價等價的

11、的.但但是是函數(shù)解析比可是與區(qū)域密切相函數(shù)解析比可是與區(qū)域密切相伴的伴的,要比可導的要求要高得多要比可導的要求要高得多即函數(shù)在即函數(shù)在z0點解析點解析函數(shù)在函數(shù)在一點處解析一點處解析與在與在一點處可導一點處可導不等價不等價函數(shù)在函數(shù)在z0 0點可導點可導函數(shù)函數(shù)閉區(qū)域上解析閉區(qū)域上解析與在與在閉區(qū)域上可導閉區(qū)域上可導不等價不等價即函數(shù)在閉即函數(shù)在閉區(qū)域上解析區(qū)域上解析函數(shù)在函數(shù)在閉區(qū)閉區(qū)域上域上可導可導說說明明172. 奇點的定義奇點的定義000( ) , ( ) ( ).zf zf zzzf z不不解解析析都都有有如如果果函函數(shù)數(shù)在在但但在在 的的任任一一鄰鄰域域, ,那那末末稱稱解解析析點

12、點的的解解析析為為的的奇奇點點點點定義定義2.3例如例如:1wz 以以z=0為奇點為奇點:通常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點的通常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點的:例例5 22 ( ), ( )2 ( ).f zzg zxyih zz 研研究究函函數(shù)數(shù)和和的的解解析析性性解解由本節(jié)例由本節(jié)例1和例和例3知知: ; )( 2在復平面內(nèi)是解析的在復平面內(nèi)是解析的zzf ; 2)(處處不解析處處不解析yixzg 18 , )( 2的解析性的解析性下面討論下面討論zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zz

13、hzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趨于趨于沿直線沿直線令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 1119 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在復平面內(nèi)處處不解它在復平面內(nèi)處處不解根據(jù)定義根據(jù)定義不可導不可導而在其他點都而在其他點都處可導處可導僅在僅在因此因此 zzzh20例例6.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 解解 , 0 1 處處可導處處可導在復平面內(nèi)除在復平面內(nèi)除因為因為 zzw ,1dd 2zzw 且且

14、, 0 外處處解析外處處解析在復平面內(nèi)除在復平面內(nèi)除所以所以 zw . 0 為它的奇點為它的奇點 z21例例7.)Re()( 的可導性與解析性的可導性與解析性研究函數(shù)研究函數(shù)zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 處可導處可導在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()(22)Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因為因為,)()(lim 00 xzzzfzzfxy

15、 23 . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在復平面內(nèi)處處不解它在復平面內(nèi)處處不解根據(jù)定義根據(jù)定義可導可導而在其他點都不而在其他點都不處可導處可導僅在僅在因此因此 zzf , )( , 0 不可導不可導時時即當即當zfz 課堂練習課堂練習.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 答案答案處處不可導處處不可導, ,處處不解析處處不解析. .24定理定理 . )( )( )( )1(內(nèi)內(nèi)解解析析在在除除去去分分母母為為零零的的點點和和、差差、積積、商商的的與與內(nèi)內(nèi)解解析析的的兩兩個個函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域DzgzfD. )( , )( , . )(

16、 , )( )2(內(nèi)內(nèi)解解析析在在那那末末復復合合函函數(shù)數(shù)于于都都屬屬的的對對應應值值函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的每每一一個個點點對對如如果果內(nèi)內(nèi)解解析析平平面面上上的的區(qū)區(qū)域域在在函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析平平面面上上的的區(qū)區(qū)域域在在設設函函數(shù)數(shù)DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的證明以上定理的證明, 可利用求導法則可利用求導法則.()(h zddddwf hdzdzh 25根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知:(1) 所有多項式在復平面內(nèi)是處處解析的所有多項式在復平面內(nèi)是處處解析的. , )()( )2(它的奇點它的奇點使分母為零的點是使分母為零的點是的的零的點的區(qū)域內(nèi)是解析零的點的區(qū)域內(nèi)是解析在不含

17、分母為在不含分母為任何一個有理分式函數(shù)任何一個有理分式函數(shù)zQzP通過上述用定義討論函數(shù)的解析性，通過上述用定義討論函數(shù)的解析性，我們深深地體會到：我們深深地體會到：用定義討論函數(shù)的解析用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！性絕不是一種好辦法！尋求研究解尋求研究解析性的更好析性的更好的方法的方法任務！任務！261.3 C-R 條件條件目的：研究復變函數(shù)目的：研究復變函數(shù)w=f(z)可微或解析的條件?？晌⒒蚪馕龅臈l件。研究函數(shù)解析性的利器研究函數(shù)解析性的利器引言：設引言：設w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),則則 函數(shù)函數(shù)w=f(z)的連續(xù)性由的連續(xù)性由u(x,y),v(x,y)連續(xù)性

18、唯一確定。連續(xù)性唯一確定。那么那么w=f(z) 的解析性與的解析性與u(x,y),v(x,y)之間有什么關系之間有什么關系呢？呢？先看如下例子先看如下例子設設w= z=x-iyu(x,y)=x,v(x,y)=-y則：則：u(x,y)=x,v(x,y)=-y對對x,y的一切偏導數(shù)都存在且連的一切偏導數(shù)都存在且連續(xù)，但是續(xù)，但是w= z卻是一個處處不可微的函數(shù)卻是一個處處不可微的函數(shù)由此說明：由此說明：有必要探討函數(shù)有必要探討函數(shù)w=f(z) 的可微（解析性）的可微（解析性）與與u(x,y),v(x,y)之間的進一步的關系之間的進一步的關系27D1. 函數(shù)函數(shù)w=f(z)的在一點處的可微的在一點處

19、的可微 與與u(x,y),v(x,y)之間的關系之間的關系假設假設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一點在某一點z=x+iy可微可微0()( )lim( ) (2.3)zf zzf zfzz z= xi y = ( +,)( , )u u xx yyu x y =v( +,)( , )vxx yyv x y ()( )wf zzf zui v 代數(shù)化代數(shù)化00limxyuivixiy ( )fzi 圖圖2.12.1z+xzx y0 z 2.4因為因為z=x+iy無無論按什么方式趨論按什么方式趨于零于零, (2.4)總是成總是成立的立的, 于是，我們于是，我們可讓變點可讓變點z+z分別分

20、別沿著平行于實軸沿著平行于實軸與虛軸的方向趨與虛軸的方向趨于點于點z ，即分別讓，即分別讓（y=0,x0） （x=0,y0）,從而從而可得可得z+iy2800limxyuivixiy 000limlimxyxui vixi yiivxux 000limlimyxxui vixi yiiuyvy ,uvxxuvxx 存存在在且且,vuvyyuyy 存存在在且且 vxxvuyyu 稱為稱為Cauchy-Riemann條件，簡稱條件，簡稱C-R條件條件定理定理2.1 (可微的必要條件可微的必要條件) 設函數(shù)設函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有定義內(nèi)有定義,且在且在D內(nèi)內(nèi)一點

21、一點z=x+iy可微可微,則必有則必有: (1)偏導數(shù)偏導數(shù)ux,uy,vx,vy在點在點(x,y) 存在存在;(2)u(x,y),v(x,y)在點在點(x,y)滿滿 足足C-R條件條件: ux= vy uy=-vx 柯西介紹柯西介紹黎曼介紹黎曼介紹29 ( ) 0 0 .f zxyzz 證證明明函函數(shù)數(shù)在在點點滿滿足足 柯柯西西黎黎曼曼方方程程但但在在點點不不可可微微( (導導) )例例8 證證, )( xyzf 因為因為0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuu

22、yy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在點柯西黎曼方程在點 z30 , 趨于零時趨于零時沿第一象限內(nèi)的射線沿第一象限內(nèi)的射線但當?shù)攌xyz 0)0()( zfzf iyxxy |,1kik , 變化變化隨隨 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz . 0 )( 不可導不可導在點在點函數(shù)函數(shù) zxyzf將定理將定理2.1中的條件適當加強就得到可微的充要條件中的條件適當加強就得到可微的充要條件31( ).uvvvfziixxyxuuvuiixyyy 定理定理2.2(可微得充要條件可微得充要條件) ( )( , )( , ) , ( ) : ( , )

23、( , ) ( , ) , , . f zu x yiv x yDf zDzxyiu x yv xuvuvxyyyxx y 設設函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi) 則則在在內(nèi)內(nèi)一一點點可可( (微微) )導導的的是是與與在在點點可可微微 并并且且在在該該點點滿滿足足柯柯西西黎黎曼曼要要方方程程充充條條件件32 代數(shù)化代數(shù)化 證證(1) 必要性必要性. ( )( , )( , ) ,f zu x yiv x yDzxyi設設在在內(nèi)內(nèi)一一點點可可導導 0, yixz則對于充分小的則對于充分小的,)()()()( zzzzfzfzzf 有有, 0)(lim 0 zz 其中其中,)()( viuzfzz

24、f 令令,)(ibazf , )(21 iz ui v )(iba )(yix )(21 i )(yix )()(1221yxyaxbiyxybxa 33, 21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因為因為100lim yx所以所以200lim yx, 0 , ),( ),( ),( 可微可微在點在點與與由此可知由此可知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且滿足方程且滿足方程34(2) 充分性充分性. ( , ) ( , ) ( , ) , u x yv x yx y假假設設: :與與在在點點可可微微, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxy

25、yvxxvv 00 lim0, (1,2,3,4)kxyk 其其中中 )()( zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu , viu 由于由于 , uvuvxyyx 且且有有35 )()(zfzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi , , 2xvixvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 zzfzzf)()( xvixu.)()(4231zyizxi )()( zfzzf因此因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu 36 , 1, 1 zyzx因為因為, 0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(lim

26、)( 0所以所以.xvixu . ),(),()( 可導可導在點在點即函數(shù)即函數(shù)yixzyxivyxuzf 證畢證畢37 ( )( , )( , ) , ( ) : (1) , , ( , , .)2( , ), ( , )( , ) xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 設設函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi) 則則在在內(nèi)內(nèi)一一點點可可( (微微) )導導的的是是在在點點連連續(xù)續(xù) ( ) ( ) 在在點點滿滿足足C-RC-R條條件件充充分分條條件件382. 函數(shù)函數(shù)w=f(z)的在區(qū)域的可微性的在區(qū)域的可微性（解（解析性）

27、析性）(x,y),v(x,y)之間的關系之間的關系 ( )( , )( , ) , ( )(): (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) , . f zu x yiv x yDf zA Du x yv x yDuuvux yv xvxxDyyy 設設函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi) 則則的的是是與與在在 內(nèi)內(nèi)微微; ; 與與在在 內(nèi)內(nèi)滿滿足足C-RC-R條條件件充充要要條條件件定理定理2.4(函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)可微可微的充要條件的充要條件)39 ( )( , )( , ) , ( )(): (1) , , C()2( , ), ( , ) , . xyxyf z

28、u x yiv x yDf zA Du uvvDuvuvu x y v x yxyyxD 設設函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi) 則則的的是是 ( ) ( ) 在在 內(nèi)內(nèi)滿滿足足C-RC-R條條件件充充要要條條件件403.3.解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法: :. )( , )( )1(內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的在在解析函數(shù)的定義斷定解析函數(shù)的定義斷定則可根據(jù)則可根據(jù)內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在的導數(shù)在區(qū)域的導數(shù)在區(qū)域數(shù)數(shù)導法則證實復變函導法則證實復變函如果能用求導公式與求如果能用求導公式與求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(內(nèi)內(nèi)解解析析在在的的充充要要條條件件可可以以

29、斷斷定定那那么么根根據(jù)據(jù)解解析析函函數(shù)數(shù)方方程程并并滿滿足足可可微微因因而而、連連續(xù)續(xù)的的各各一一階階偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在內(nèi)內(nèi)在在中中如如果果復復變變函函數(shù)數(shù)DzfyxvuDvuivuzf 414. 例題選講例題選講例例9 判定下列函數(shù)在何處可導判定下列函數(shù)在何處可導, 在何處解析在何處解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不滿足柯西黎曼方程不滿足柯西黎曼方程, . ,處處不解析處處不解析在復平面內(nèi)處處不可導在復平面內(nèi)處處不可導故故zw 42)sin(cos)()2(yiy

30、ezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四個偏導數(shù)四個偏導數(shù)均連續(xù)均連續(xù) . ,)(處處解析處處解析在復平面內(nèi)處處可導在復平面內(nèi)處處可導故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)43)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個偏導數(shù)均連續(xù)四個偏導數(shù)均連續(xù) , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時時僅當僅當 yx ,0 )Re(處可導處可導僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) zzzw .在在復復平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不

31、不解解析析44例例10 . sin)2(;)1( 2在復平面上不解析在復平面上不解析證明證明zz證證,2)1(222xyiyxz ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時時僅當僅當 x ,0 2上可導上可導僅在直線僅在直線故函數(shù)故函數(shù) xzw .在在復復平平面面內(nèi)內(nèi)不不解解析析45,sinhcoscoshsinsin)2(yxiyxz ,coshsinyxu ,sinhcosyxv ,coshcosyxxu ,coshcosyxyv , ), 2, 1, 0(2 時時僅當僅當 kkx.yvxu .sin在復平面上不解析在復

32、平面上不解析z46? )( , , , , ),()( 2222解析解析在復平面內(nèi)處處在復平面內(nèi)處處取何值時取何值時問常數(shù)問常數(shù)設設zfdcbaydxycxibyaxyxzf 例例11 解解,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求47. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析內(nèi)解內(nèi)解在區(qū)域在區(qū)域設設 例例12解解)1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入將將, 0 x

33、u, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由48, 0 (2) yu得得由由 ),( 常數(shù)常數(shù)所以所以cu ).( )( 2常數(shù)常數(shù)于是于是icczf 課堂練習課堂練習. , , , )( 2323的值的值試確定試確定函數(shù)函數(shù)為解析為解析設設nmllxyxiynxmy 答案答案. 1, 3 mnl49例例6. )( , )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)區(qū)域區(qū)域在在則則內(nèi)處處為零內(nèi)處處為零在區(qū)域在區(qū)域如果如果DzfDzf 證證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf50參照

34、以上例題可進一步證明參照以上例題可進一步證明: . , )( 則以下條件彼此等價則以下條件彼此等價內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域如果如果Dzf ;)( )1(恒取實值恒取實值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常數(shù)常數(shù) zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常數(shù)常數(shù) zf ;)(Im )6(常數(shù)常數(shù) zf;)7(2uv .)( arg )8(常數(shù)常數(shù) zf51例例7 7. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121為常數(shù)為常數(shù)其中其中必相互正交必相互正交與與那末曲線族那末曲線族且且為一解析函數(shù)為一解析函數(shù)設設cccyxvcyxuzfivuzf 證證 )( zf因為因為

35、, 01 yuiyv , 不全為零不全為零與與所以所以yuyv , 都不為零都不為零與與如果在曲線的交點處如果在曲線的交點處yuyv 根據(jù)隱函數(shù)求導法則根據(jù)隱函數(shù)求導法則,52線的斜率分別為線的斜率分別為中任一條曲中任一條曲與與曲線族曲線族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根據(jù)柯西黎曼方程得根據(jù)柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交與與故曲線族故曲線族cyxvcyxu . , , , , 它們?nèi)匀幌嗷フ凰鼈內(nèi)匀幌嗷フ灰粭l是鉛直的一條是鉛直的另另的切線一條是水平的的切線一條是水平的兩族中的曲線在交點處兩族中的曲線在交點處則另一個必不為零則另一個必不為零中有一個為零中有一個為零和和如果如果yyvu53例例8. 0 , 0 Im)( 2不可微不可微但在點但在點滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程的實、虛部在點的實、虛部在點證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf證證, 2)( xyzf 因為因為0, , 2 vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),