第四章方差分析

1、方差分析方差分析第四章第四章第一節(jié)第一節(jié) 單因子試驗的設(shè)計和方差分析單因子試驗的設(shè)計和方差分析 英國統(tǒng)計學(xué)家費歇在英國統(tǒng)計學(xué)家費歇在2020年代首先把方差分析應(yīng)用到農(nóng)業(yè)年代首先把方差分析應(yīng)用到農(nóng)業(yè)試驗中試驗中，經(jīng)過幾十年的發(fā)展其內(nèi)容已十分豐富經(jīng)過幾十年的發(fā)展其內(nèi)容已十分豐富，方差分析是方差分析是數(shù)理統(tǒng)計中具有廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)方法之一數(shù)理統(tǒng)計中具有廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)方法之一是工農(nóng)業(yè)生是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)試驗中分析數(shù)據(jù)的一個重要工具產(chǎn)和科學(xué)試驗中分析數(shù)據(jù)的一個重要工具。本章我們僅介紹本章我們僅介紹單因素和雙因素的方差分析單因素和雙因素的方差分析。 例例4.1.4.1. 為了研究用來處理水稻種子的四種不同藥

2、劑為了研究用來處理水稻種子的四種不同藥劑對水稻產(chǎn)量的影響對水稻產(chǎn)量的影響。選擇一塊各種條件（氣候選擇一塊各種條件（氣候、土質(zhì)土質(zhì)、管管理）基本相同的土地理）基本相同的土地，將其分成將其分成1616塊作為試驗田塊作為試驗田。在每四在每四塊試驗地里種下用同一種藥劑處理過的水稻種子塊試驗地里種下用同一種藥劑處理過的水稻種子。試驗的試驗的結(jié)果結(jié)果水稻產(chǎn)量（單位：水稻產(chǎn)量（單位：kgkg）。由下表給出由下表給出。一、一、試驗例子與基本概念試驗例子與基本概念表表4.14.1， 不同的藥劑處理種子的水稻產(chǎn)量不同的藥劑處理種子的水稻產(chǎn)量試驗中有一可控制的條件（因素）試驗中有一可控制的條件（因素）藥劑藥劑，用用

3、A表示表示。四種不同的藥劑稱為四種不同的藥劑稱為A 的四個不同的水平的四個不同的水平，分別記為分別記為4321,AAAAAi藥劑處理過的種子的水稻產(chǎn)量藥劑處理過的種子的水稻產(chǎn)量Xi是一個隨機變量是一個隨機變量，在該藥劑下經(jīng)試驗所得的水稻產(chǎn)量可以認為是來自總體在該藥劑下經(jīng)試驗所得的水稻產(chǎn)量可以認為是來自總體Xi的一個樣本的一個樣本。表中的四組數(shù)據(jù)可以看成是分別來自四個不同總體的樣本。表中的四組數(shù)據(jù)可以看成是分別來自四個不同總體的樣本。 Ai藥劑下的第藥劑下的第j 次試驗結(jié)果記為次試驗結(jié)果記為Xij 從表中數(shù)據(jù)可以看出從表中數(shù)據(jù)可以看出：不同藥劑處理過的種子不同藥劑處理過的種子，其平其平均產(chǎn)量是有

4、差異的均產(chǎn)量是有差異的。第二種藥劑和第四種藥劑處理過的水第二種藥劑和第四種藥劑處理過的水稻平均產(chǎn)量要明顯高于另兩種藥劑處理過的水稻平均產(chǎn)量稻平均產(chǎn)量要明顯高于另兩種藥劑處理過的水稻平均產(chǎn)量。此外此外，用同一種藥劑處理的四塊試驗田中水稻產(chǎn)量之間也用同一種藥劑處理的四塊試驗田中水稻產(chǎn)量之間也有差異有差異。 造成這些差異的原因有兩方面造成這些差異的原因有兩方面： 現(xiàn)在的問題是要通過試驗所得的數(shù)據(jù)來判斷產(chǎn)量之間現(xiàn)在的問題是要通過試驗所得的數(shù)據(jù)來判斷產(chǎn)量之間的差異主要是由試驗誤差造成的的差異主要是由試驗誤差造成的，還是由不同藥劑的變化還是由不同藥劑的變化造成的造成的。 一是由于因素一是由于因素A取不同水

5、平所引起的差異取不同水平所引起的差異。 另一方面另一方面，是由于隨機而引起的差異是由于隨機而引起的差異，是由于試驗誤是由于試驗誤差引起的這類差異差引起的這類差異。 單因子試驗名詞解釋單因子試驗名詞解釋指標(biāo)指標(biāo) 用于衡量試驗結(jié)果好壞的特性值稱為用于衡量試驗結(jié)果好壞的特性值稱為指標(biāo)指標(biāo)。在有些在有些設(shè)計中設(shè)計中，指標(biāo)又稱為指標(biāo)又稱為響應(yīng)響應(yīng)。 指標(biāo)的分類指標(biāo)的分類：定量指標(biāo)和定性指標(biāo)定量指標(biāo)和定性指標(biāo)。 定量指標(biāo)定量指標(biāo)：用測量結(jié)果表示的指標(biāo)稱為定量指標(biāo)用測量結(jié)果表示的指標(biāo)稱為定量指標(biāo)，如種子的苗高如種子的苗高，糧食的產(chǎn)量糧食的產(chǎn)量，橡膠件的強度等橡膠件的強度等。 定性指標(biāo)定性指標(biāo)：用等級評分等表

6、示的指標(biāo)稱為定性指標(biāo)用等級評分等表示的指標(biāo)稱為定性指標(biāo)，如藥物的療效如藥物的療效、物質(zhì)的光譜度物質(zhì)的光譜度、布料的柔軟度等布料的柔軟度等。 注意注意：由于測量數(shù)據(jù)含有的信息豐富由于測量數(shù)據(jù)含有的信息豐富，故在試驗中故在試驗中要盡量選用定量指標(biāo)要盡量選用定量指標(biāo)。 因子與水平因子與水平 不可控因子不可控因子：在實際操作中不能控制在實際操作中不能控制、或難以控或難以控制制、或要花費昂貴才能控制或要花費昂貴才能控制、或試驗人員尚未意識到或試驗人員尚未意識到對試驗結(jié)果會有影響的因子對試驗結(jié)果會有影響的因子，又稱為噪聲因子或誤差又稱為噪聲因子或誤差因子因子，如環(huán)境溫度與濕度如環(huán)境溫度與濕度、機器的老化等

7、。機器的老化等。 影響試驗結(jié)果的因素稱為影響試驗結(jié)果的因素稱為因子因子，因子所處的狀態(tài)因子所處的狀態(tài)（位級）稱為（位級）稱為水平水平。 可控因子可控因子：可用某種控制方式將其狀態(tài)（即水平）可用某種控制方式將其狀態(tài)（即水平）做審慎改變的因子做審慎改變的因子，簡稱因子簡稱因子，常用大寫字母表示常用大寫字母表示。如反應(yīng)時間如反應(yīng)時間、反應(yīng)溫度反應(yīng)溫度、原材料產(chǎn)地原材料產(chǎn)地、機器編號等機器編號等。 它是試驗誤差的源泉它是試驗誤差的源泉 注意注意：在試驗中在試驗中，噪聲因子會對試驗結(jié)果起干擾噪聲因子會對試驗結(jié)果起干擾作用作用，要消除這種干擾通常是不可能的要消除這種干擾通常是不可能的，只能盡量限只能盡量限

8、制它制它，使其減少干擾使其減少干擾 試驗設(shè)計的任務(wù)試驗設(shè)計的任務(wù)：是在盡量限制噪聲因子的條件是在盡量限制噪聲因子的條件下考察可控因子的變化對試驗結(jié)果（指標(biāo)值）的影響，下考察可控因子的變化對試驗結(jié)果（指標(biāo)值）的影響，從中尋找可控因子水平的最佳搭配，使產(chǎn)品的指標(biāo)值從中尋找可控因子水平的最佳搭配，使產(chǎn)品的指標(biāo)值接近目標(biāo)值，且指標(biāo)值的波動盡量小。接近目標(biāo)值，且指標(biāo)值的波動盡量小。 試驗誤差試驗誤差定義定義：試驗結(jié)果常用指標(biāo)的測量值（或評分值）試驗結(jié)果常用指標(biāo)的測量值（或評分值）y表示表示，測量值測量值y與指標(biāo)真值與指標(biāo)真值 之間的偏差之間的偏差 =y 稱為試驗誤差稱為試驗誤差，簡簡稱誤差稱誤差。 注意

9、注意：（1） 是一個隨機變量是一個隨機變量。 （2） 的分布的分布 根據(jù)中心極限定理根據(jù)中心極限定理，只要把每個不可控只要把每個不可控因子都限制在一定的范圍內(nèi)因子都限制在一定的范圍內(nèi)，隨機誤差隨機誤差 總可認為是總可認為是服從服從均值為均值為0 0，方差為方差為 2 的正態(tài)分布的隨機變量的正態(tài)分布的隨機變量。（3） 的意義的意義 標(biāo)準(zhǔn)差是衡量隨機誤差大小的尺度標(biāo)準(zhǔn)差是衡量隨機誤差大小的尺度。 越小試驗誤差越小試驗誤差就越小就越小，這說明試驗的組織實施很好這說明試驗的組織實施很好； 越大試驗誤差就越大越大試驗誤差就越大，這說明不可控因子干擾較這說明不可控因子干擾較大大，要努力改進試驗的實施要努力

10、改進試驗的實施。 過大會使試驗誤差淹沒了可控因子變化而產(chǎn)生的過大會使試驗誤差淹沒了可控因子變化而產(chǎn)生的影響影響，這將導(dǎo)致試驗失敗這將導(dǎo)致試驗失敗。 二、試驗設(shè)計二、試驗設(shè)計 定義定義：在明確所要考察的（可控）因子及其水平后在明確所要考察的（可控）因子及其水平后，對試驗進行總體安排稱為試驗設(shè)計對試驗進行總體安排稱為試驗設(shè)計。 有效試驗設(shè)計的注意點有效試驗設(shè)計的注意點： 要盡量減少試驗誤差要盡量減少試驗誤差。Fisher在進行農(nóng)業(yè)田間試驗發(fā)在進行農(nóng)業(yè)田間試驗發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，在田間試驗中在田間試驗中，環(huán)境條件難以嚴格控制環(huán)境條件難以嚴格控制，試驗誤差不試驗誤差不可忽視可忽視，故提出對試驗方案必須做合理安排故

11、提出對試驗方案必須做合理安排，以減輕隨機以減輕隨機誤差的影響誤差的影響。 盡量減少試驗次數(shù)盡量減少試驗次數(shù)。 便于對試驗結(jié)果（指標(biāo)值）進行統(tǒng)計分析便于對試驗結(jié)果（指標(biāo)值）進行統(tǒng)計分析。由于在試由于在試驗中存在隨機誤差驗中存在隨機誤差，并體現(xiàn)在指標(biāo)的測量值上并體現(xiàn)在指標(biāo)的測量值上，所以對指所以對指標(biāo)值的分析需用統(tǒng)計方法標(biāo)值的分析需用統(tǒng)計方法。 試驗基本原則試驗基本原則 1. 重復(fù)重復(fù) 定義定義：在相同條件下進行若干次試驗。在相同條件下進行若干次試驗。 三個基本原則三個基本原則：重復(fù)、隨機化和區(qū)組。重復(fù)、隨機化和區(qū)組。這三個基本原則在每個試驗中都必須考慮這三個基本原則在每個試驗中都必須考慮 若重復(fù)

12、進行若重復(fù)進行n次試驗，試驗結(jié)果分別記為次試驗，試驗結(jié)果分別記為x1,xn，它就是一個樣本。它就是一個樣本。 通常假定通常假定：Xi= + i , i N(0, 2), i=1,2,n重復(fù)有兩個作用重復(fù)有兩個作用： 提供標(biāo)準(zhǔn)差提供標(biāo)準(zhǔn)差 的估計的估計2/112)(1 niiyyns )/,(2nNy niiyny11其中其中 提供均值提供均值 的更為精確的估計的更為精確的估計 2. 隨機化隨機化 定義定義：試驗材料的分配和各試驗點的試驗次序都試驗材料的分配和各試驗點的試驗次序都要隨機確定要隨機確定。 意義意義： 隨機化常能使各次試驗結(jié)果相互獨立隨機化常能使各次試驗結(jié)果相互獨立，這是試驗這是試驗

13、設(shè)計中正確使用統(tǒng)計方法分析試驗結(jié)果的基石設(shè)計中正確使用統(tǒng)計方法分析試驗結(jié)果的基石； 可以使不可控因子的影響部分可以使不可控因子的影響部分“抵消抵消”，不至于不至于積累成災(zāi)積累成災(zāi)；可使試驗誤差得到準(zhǔn)確的估計可使試驗誤差得到準(zhǔn)確的估計。 3. 區(qū)組區(qū)組 定義定義：把試驗單元分為若干個小組把試驗單元分為若干個小組，使每組內(nèi)的使每組內(nèi)的試驗條件相同或近似相同試驗條件相同或近似相同，而組與組之間在試驗條件而組與組之間在試驗條件上允許有較大差異上允許有較大差異，這樣的小組在試驗設(shè)計中被稱為這樣的小組在試驗設(shè)計中被稱為區(qū)組區(qū)組。 如如 農(nóng)田試驗中按地的肥沃農(nóng)田試驗中按地的肥沃、日照和水分等日照和水分等，將

14、試將試驗田分成若干區(qū)組驗田分成若干區(qū)組；工業(yè)試驗中工業(yè)試驗中，按操作時間（早按操作時間（早、晚晚、晚）把試驗單元分成若干個區(qū)組晚）把試驗單元分成若干個區(qū)組。 實施區(qū)組技術(shù)的意義實施區(qū)組技術(shù)的意義：把區(qū)組間的差異估計出來把區(qū)組間的差異估計出來，從而有可能把區(qū)組對試驗結(jié)果的干擾排除或減少到最從而有可能把區(qū)組對試驗結(jié)果的干擾排除或減少到最低程度低程度，保證統(tǒng)計分析結(jié)果的正確性保證統(tǒng)計分析結(jié)果的正確性。 歷史回顧歷史回顧 Ronald A. Fisher爵士是一位在試驗設(shè)計中應(yīng)用爵士是一位在試驗設(shè)計中應(yīng)用統(tǒng)計方法的創(chuàng)新者統(tǒng)計方法的創(chuàng)新者。 多年來多年來，他在英國倫敦的他在英國倫敦的Rothamsted

15、農(nóng)業(yè)站擔(dān)負起統(tǒng)計和數(shù)據(jù)分析的任務(wù)農(nóng)業(yè)站擔(dān)負起統(tǒng)計和數(shù)據(jù)分析的任務(wù)。Fisher開發(fā)了并首先應(yīng)用了方差分析作為試驗設(shè)計的開發(fā)了并首先應(yīng)用了方差分析作為試驗設(shè)計的統(tǒng)計分析的基本方法統(tǒng)計分析的基本方法。 于于1933年年，F(xiàn)isher在倫敦大學(xué)在倫敦大學(xué)取得教授職位取得教授職位。隨后隨后，他在劍橋大學(xué)任教并成為世界他在劍橋大學(xué)任教并成為世界上很多大學(xué)的客座教授上很多大學(xué)的客座教授。除了開拓者除了開拓者Fisher外，許多外，許多學(xué)者也對試驗設(shè)計文獻做出了顯著的貢獻學(xué)者也對試驗設(shè)計文獻做出了顯著的貢獻。 在早期在早期，試驗設(shè)計方法多數(shù)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)和生物科試驗設(shè)計方法多數(shù)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)和生物科學(xué)學(xué)。在二十世紀(jì)

16、在二十世紀(jì)3030年代年代，試驗設(shè)計開始應(yīng)用工業(yè)試驗設(shè)計開始應(yīng)用工業(yè)，它它起始于英國的紡織業(yè)和毛紡工業(yè)起始于英國的紡織業(yè)和毛紡工業(yè)。第二次世界大戰(zhàn)后第二次世界大戰(zhàn)后，在美國和西歐的化工工業(yè)中引進了試驗設(shè)計的方法在美國和西歐的化工工業(yè)中引進了試驗設(shè)計的方法。其后，半導(dǎo)體工業(yè)和電子工業(yè)也使用了試驗設(shè)計方法其后，半導(dǎo)體工業(yè)和電子工業(yè)也使用了試驗設(shè)計方法，多年來取得了顯著的成功多年來取得了顯著的成功。 近年來，在美國對試驗設(shè)計的興趣又重新流行起近年來，在美國對試驗設(shè)計的興趣又重新流行起來來，因為很多工業(yè)界發(fā)現(xiàn)因為很多工業(yè)界發(fā)現(xiàn)，他們的海外競爭者已經(jīng)應(yīng)他們的海外競爭者已經(jīng)應(yīng)用設(shè)計的試驗許多年用設(shè)計的試驗

17、許多年，并且這是他們競爭成功的一個并且這是他們競爭成功的一個重要的因素重要的因素。Douglas C. MontgomeryDouglas C. Montgomery認為認為“所有的所有的工程師接受試驗設(shè)計的正規(guī)訓(xùn)練作為他們大學(xué)教育的工程師接受試驗設(shè)計的正規(guī)訓(xùn)練作為他們大學(xué)教育的一部分的日子已為期不遠了一部分的日子已為期不遠了。 試驗設(shè)計在工程專業(yè)上的試驗設(shè)計在工程專業(yè)上的成功積累是美國工業(yè)基礎(chǔ)未來競爭的關(guān)鍵因素成功積累是美國工業(yè)基礎(chǔ)未來競爭的關(guān)鍵因素”。 單因子試驗是最常見和最簡單的一種試驗單因子試驗是最常見和最簡單的一種試驗。它它的設(shè)計較為單純的設(shè)計較為單純，主要采用隨機化技術(shù)主要采用隨機

18、化技術(shù)，又稱完全又稱完全隨機設(shè)計隨機設(shè)計。 為了測定試驗誤差為了測定試驗誤差，需要重復(fù)需要重復(fù)。重復(fù)數(shù)相等的等重復(fù)數(shù)相等的等重復(fù)試驗或設(shè)計稱為平衡設(shè)計重復(fù)試驗或設(shè)計稱為平衡設(shè)計， 重復(fù)數(shù)不等的設(shè)計稱重復(fù)數(shù)不等的設(shè)計稱為不平衡設(shè)計為不平衡設(shè)計。 例如例如：茶是世界上最為廣泛的一種飲料茶是世界上最為廣泛的一種飲料，但很少人知但很少人知其營養(yǎng)價值其營養(yǎng)價值。任一種茶葉都含有葉酸任一種茶葉都含有葉酸，它是一種維他它是一種維他命命B 。如今已有測定茶葉中葉酸含量的方法如今已有測定茶葉中葉酸含量的方法。這里將這里將要研究各產(chǎn)地的綠茶的葉酸含量是否有顯著差異要研究各產(chǎn)地的綠茶的葉酸含量是否有顯著差異？設(shè)計設(shè)

19、計 在這個問題中在這個問題中，綠茶是一個因子綠茶是一個因子，用用A表示表示。它它的產(chǎn)地是水平的產(chǎn)地是水平, ,如今選了四個產(chǎn)地如今選了四個產(chǎn)地, ,分別記為分別記為 它就是因子它就是因子A的四個水平的四個水平。,4321AAAA 為了測定試驗誤差為了測定試驗誤差，需要重復(fù)需要重復(fù)。我們選用不平衡我們選用不平衡設(shè)計設(shè)計, ,即即A1 1制作了制作了7 7個樣品個樣品，A2 2制作了制作了5 5個樣品，個樣品，A3 3與與A4 4各制作了各制作了6 6個樣品個樣品，共有共有2424個樣品等待測試個樣品等待測試。 一次測試就是一次試驗一次測試就是一次試驗。試驗次序要隨機化試驗次序要隨機化，為此把這為

20、此把這2424個樣品按序編號個樣品按序編號，結(jié)果見下表結(jié)果見下表： 試驗想法試驗想法1 1：若試驗就按樣品號的順序進行若試驗就按樣品號的順序進行, ,如如1-81-8號在上午進行號在上午進行，9-169-16號在下午進行號在下午進行，17-2417-24號在晚間進行。號在晚間進行。 問題問題：一天從早到晚一天從早到晚，人的注意力的程度不同人的注意力的程度不同，光線不同光線不同，操作者的熟練程度和厭倦程度等都不同操作者的熟練程度和厭倦程度等都不同。 若若A4的葉酸含量較低的葉酸含量較低，這是由于第四個產(chǎn)地造成的這是由于第四個產(chǎn)地造成的，還是還是晚間進行試驗引起的晚間進行試驗引起的？ 這種混雜現(xiàn)象

21、在設(shè)計中要盡量避免這種混雜現(xiàn)象在設(shè)計中要盡量避免，隨機化是防止此種混隨機化是防止此種混雜的一種有效辦法雜的一種有效辦法。 試驗想法試驗想法2 2：進行隨機化進行隨機化 方法之一方法之一，可以將可以將2424個樣品中一個接一個地隨個樣品中一個接一個地隨機抽取出來機抽取出來，如得到如下序列如得到如下序列：9 9，1313，2 2 ，2020，1818，1010，5 5，7 7，1414，1 1，6 6，1515，2323如此安排后如此安排后，若若A4 4的葉酸含量較低的葉酸含量較低，就不能責(zé)怪就不能責(zé)怪時間了時間了，只能說只能說 A4 4 的葉酸含量本身是較低的的葉酸含量本身是較低的。試驗按照這個

22、序列逐一進行試驗按照這個序列逐一進行，上午做上午做8 8個個，下午下午做做8 8個個，晚上做晚上做8 8個個。這樣安排的單因子試驗稱為不平衡完全隨機設(shè)計這樣安排的單因子試驗稱為不平衡完全隨機設(shè)計。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)：可以將數(shù)據(jù)對應(yīng)樣品一一記錄成表可以將數(shù)據(jù)對應(yīng)樣品一一記錄成表問題問題：由直觀發(fā)現(xiàn)的差異由直觀發(fā)現(xiàn)的差異，它們是本質(zhì)的嗎它們是本質(zhì)的嗎？這要在排除了試驗誤差后才能認清這要在排除了試驗誤差后才能認清，這就需要應(yīng)這就需要應(yīng)用統(tǒng)計方法用統(tǒng)計方法，如方差分析方法進一步分析數(shù)據(jù)如方差分析方法進一步分析數(shù)據(jù)。 單因子試驗的一般概述單因子試驗的一般概述 設(shè)在一個試驗中只考察一個因子設(shè)在一個試驗中只考察一個因

23、子，記為記為A， A有有k個水平個水平，分別記為分別記為A1, A2，, Ak。 又設(shè)在水平又設(shè)在水平Ai下重復(fù)進行下重復(fù)進行ri次試驗次試驗，i=1,2,k, 總試驗次數(shù)為總試驗次數(shù)為r1+ r1 +rk= n 。 先用平衡設(shè)計（等重復(fù)試驗）即先用平衡設(shè)計（等重復(fù)試驗）即r1=rk= r ， 設(shè)設(shè)Xij是在第是在第i個水平下的第個水平下的第j 次重復(fù)試驗的結(jié)果次重復(fù)試驗的結(jié)果。這里這里 i 是水平號是水平號， j是試驗號是試驗號。 對于等重復(fù)試驗對于等重復(fù)試驗，將數(shù)據(jù)一般列表如下將數(shù)據(jù)一般列表如下： rjijixrX11其中其中 kXXXX321三、單因素等方差分析三、單因素等方差分析因素水

24、平因素水平kiAAAA21數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)kiXXXX21112111kiXXXX222212kiXXXX2 2試驗試驗kjijjjXXXX21jkrirrrXXXX21r 1 1重復(fù)重復(fù)（一）數(shù)學(xué)模型與假設(shè)檢驗（一）數(shù)學(xué)模型與假設(shè)檢驗1 1. .數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)模型（I I）因素因素A 水平水平 kiAAAA21數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)X kiXXXX21前提假設(shè)前提假設(shè) ki,NXii 12 kXX,X21相互獨立。相互獨立。樣本樣本.2 , 1, ),(21kiXXXirii rjkiNXiij 1,1, ),(2 kH 210:iH :1不全相等不全相等， 2. 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型（II）), 0

25、(,2 NXijijiij 其中其中 i , 2為常數(shù)為常數(shù)，且且 ij , i=1,2,k; j=1,2,r 相互獨立相互獨立。 由于由于Xij 取自總體取自總體Xi，因而可以把因而可以把 Xij 表示表示 為為Xi 的均的均值值 i與隨機誤差與隨機誤差 ij 之和之和rjki, 2 , 1;, 2 , 1 3.3.模型（模型（ ）顯然有顯然有0)(11 kiikii 檢驗假設(shè)等價為檢驗假設(shè)等價為, 0:210 kH iH :1 不全為不全為0 00H 為了檢驗為了檢驗 ，考慮分解總變差考慮分解總變差,ijiijX ), 0(2 Nij,1 ki ,1 rj ij 互相獨立互相獨立。令令（稱

26、為總平均）稱為總平均） kik11 ii 稱稱 為水平為水平 的水平效應(yīng)的水平效應(yīng)，（主效應(yīng)）（主效應(yīng)）i iA., 2 , 1ki 則模型可改為則模型可改為（二）離差分析法（二）離差分析法總變差（總離差平方和）總變差（總離差平方和）211)(XXSkirjijT 其中其中 kirjijXkrX111引起總變差的原因有二個引起總變差的原因有二個：由隨機波動引起變差（組內(nèi)隨機誤差）由隨機波動引起變差（組內(nèi)隨機誤差）；因素各水平效應(yīng)引起的變差因素各水平效應(yīng)引起的變差（組間不同的水平引起效應(yīng)差）（組間不同的水平引起效應(yīng)差）。所以它反映數(shù)據(jù)的波動程度。所以它反映數(shù)據(jù)的波動程度。TS是整批數(shù)據(jù)樣本方差的

27、是整批數(shù)據(jù)樣本方差的n-1 -1 倍倍，看出看出費歇發(fā)現(xiàn)費歇發(fā)現(xiàn)：對總變差的以上原因分開研究對總變差的以上原因分開研究，就得到一個檢驗方法就得到一個檢驗方法。1 1、分析總變差分析總變差211)(XXSkirjijT 211)()(XXXXiikirjij )( )(211XXXXikirjiij 211)( ikirjijXX kirjiXX112)(AESS 記記注意上式中間項注意上式中間項： rjiijkiiiikirjijXXXXXXXX1111)()()( )(1 rjiijiXrXXX0 其中其中 是是 的樣本均值的樣本均值，可反映可反映 水平的量水平的量。 rjijiXrX11i

28、AiAAS稱為稱為組間離差平方和組間離差平方和，反映了樣本之間的差異反映了樣本之間的差異，它是它是由由iA水平不同引起的變差。水平不同引起的變差。稱為稱為組內(nèi)離差平方和組內(nèi)離差平方和，反映組內(nèi)隨機波動反映組內(nèi)隨機波動；ES引入引入,111 rjijkikr )1(11.kirrjiji 若用模型若用模型IIIIII，P.135P.135，討論看其實際含義討論看其實際含義。只有隨機誤差只有隨機誤差 kirjiijES112)( kiiiArS12)( 除了除了 還有水平效應(yīng)還有水平效應(yīng) 。 i ,ijiijX ,.iiiX 代入得代入得 X211211)()(XXSXXSkirjiAikirji

29、jE 假設(shè)假設(shè)ijijN , ), 0(2獨立獨立，,1ki rj 1),0(121rNrrjiji kirjiijEEES112)( kirjiijE112)( kiirjijrE1212)( kirjrr1122 )0()0( )()1()1(2212knrkrki 2 2、考察、考察 、 、 的關(guān)系及分布。用總變差的關(guān)系及分布。用總變差 來檢驗來檢驗 ，此法叫方差分析。此法叫方差分析。 TSASESTS0H.)1(212 krkirkrEErrikiki2112)1()(2 kiiikiikirEErr12112)()(2 kiiiiirE122)()(2 kiiiArEES12)( 0

30、H當(dāng)當(dāng) 為真即為真即 時知時知：021 k 012 kiir 故故 為真時為真時，0H2)1( kESA)(102為為真真HkSEA 式即是式即是式即是式即是2)1( rkSEE。比值來表示兩者的差異程度比值來表示兩者的差異程度。)r(kSkSEA11 所以可以用所以可以用選其為選其為檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量。理應(yīng)這兩個量相差不大理應(yīng)這兩個量相差不大，二者之比應(yīng)近似二者之比應(yīng)近似1 ?？芍?dāng)可知當(dāng) 為真時為真時 都是都是 的無偏估計的無偏估計，0H11 kS,)r(kSAE2 ,) 1()(22 rkknESE為真時為真時0H2) 1( kESA 為真為真 比值比值 理應(yīng)接近理應(yīng)接近10H) 1(

31、1 rkSkSEA什么叫什么叫 顯著地大于顯著地大于 ？怎么找小概率事件怎么找小概率事件？需要有個需要有個界定界定，為此必須找有關(guān)的統(tǒng)計量及其分布為此必須找有關(guān)的統(tǒng)計量及其分布。ASES若比值比若比值比1 1顯著小顯著小，說明說明 ，這可反映這可反映 影響小影響小。AESS AS如果比值顯著地比如果比值顯著地比1 1大得多大得多，說明說明 這可反映組間差這可反映組間差異大異大，即即 有問題有問題；0HEASS ”是小概率事件是小概率事件。0H故當(dāng)故當(dāng) 為真時為真時，AS顯著地大于顯著地大于ES則則 “)1(1 rkSkSFEA拒絕域取為拒絕域取為： ，其中其中 CFW :0由費歇定理可知由費歇

32、定理可知當(dāng)當(dāng) 真時真時，0H)1()(21122 krXXSkirjijT 無論無論 是否為真是否為真，0H)1()(211222 rkXXSkirjiijE 為真為真）0H222 AETSSS （由由P.136P.136定理定理4.14.1柯赫倫分解定理知道柯赫倫分解定理知道)k(SA122 2 AS與與2 ES相互獨立相互獨立自由度滿足自由度滿足11 k)kkr()kr()r(kS)k(S)r(kS)k(SFEAEA111122 0H當(dāng)當(dāng) 為真時，由為真時，由F 分布的定義知分布的定義知)1(,1( rkkFSSEA記記選為檢驗統(tǒng)計量選為檢驗統(tǒng)計量為真為真0H222 AETSSS 用樣本值

33、計算用樣本值計算 時時，拒絕拒絕H0)1(, 1( rkkFSSFEA 所以拒絕域中的臨界值滿足所以拒絕域中的臨界值滿足：可知可知 H0 的拒絕域為的拒絕域為： .)1(, 1(:0 rkkFFW 即認為即認為 i 中至少有一個不等于零中至少有一個不等于零，因素因素A對試驗結(jié)果對試驗結(jié)果有顯著影響有顯著影響，也就是水平也就是水平Ai 不全相同不全相同。 ,0 HCFP于是于是 )1(, 1 rkkFC 表表4-3單因素等重復(fù)試驗方差分析表單因素等重復(fù)試驗方差分析表050. ，查表查表)1(, 1( rkkF ，計算計算0F的值的值。若若 FF 0，說明水平間有顯著差異說明水平間有顯著差異； F

34、F 0，水平相同水平相同總和總和TEATSSS 因素因素A kiiAXXrS12)(k-1AASkS 1EASS方差來源方差來源均方和均方和平方和平方和自由度自由度WF誤差誤差Ek(r-1)EESrkS )1( kirjiijEXXS112)(上述全過程就是單因子方差分析的全過程上述全過程就是單因子方差分析的全過程，它可總結(jié)在如它可總結(jié)在如下一張方差分析表中下一張方差分析表中作方差分析的步驟如下作方差分析的步驟如下：填寫方差分析表填寫方差分析表 計算各水平下數(shù)據(jù)和及其平均值計算各水平下數(shù)據(jù)和及其平均值 。XXi, 計算各類平方和計算各類平方和212112,XXXkiikirjij 按公式計算各

35、類平方和按公式計算各類平方和ATESSS,對給定的顯著水平對給定的顯著水平 ，查臨界值查臨界值 ，根據(jù)根據(jù) 與與 的關(guān)系的大小的關(guān)系的大小，做出是否拒絕原假設(shè)做出是否拒絕原假設(shè) 的結(jié)論。的結(jié)論。 )1(, 1( rkkF 0F F0HP150 例例4.1. 為了研究用來處理水稻種子的四種不同為了研究用來處理水稻種子的四種不同藥劑對水稻產(chǎn)量的影響。選擇一塊各種條件（氣候藥劑對水稻產(chǎn)量的影響。選擇一塊各種條件（氣候、土質(zhì)、管理）基本相同的土地，將其分成、土質(zhì)、管理）基本相同的土地，將其分成16塊作塊作為試驗田。在每四塊試驗地里種下用同一種藥劑處為試驗田。在每四塊試驗地里種下用同一種藥劑處理過的水稻

36、種子。試驗的結(jié)果理過的水稻種子。試驗的結(jié)果水稻產(chǎn)量（單位：水稻產(chǎn)量（單位：kg）。由表）。由表4.1給出。給出。表表4.1 不同的藥制處理的水稻產(chǎn)量不同的藥制處理的水稻產(chǎn)量例例4.1解：由表解：由表4.1可計算出可計算出 等值等值. 如下表如下表 XXi,將以上數(shù)值填入方差分析表將以上數(shù)值填入方差分析表給定給定=0.05， 查表知查表知 F0.05(3,12)=3.49。由于。由于F0=6.893.49，故拒絕，故拒絕H0。在顯著水平。在顯著水平=0.05下，下，認為不同藥劑對水稻的產(chǎn)量有顯著影響。認為不同藥劑對水稻的產(chǎn)量有顯著影響。例例：P.150 例例4.1表表4.4 在單因子方差分析中在

37、單因子方差分析中，若若 經(jīng)經(jīng)F 檢驗判定檢驗判定 H0 不真不真，則則說明說明 i , i=1, 2, ,k中至少有一個不為零中至少有一個不為零。等價地等價地，也就是判定假設(shè)也就是判定假設(shè)H0： 1= 2= k不成立不成立。這表這表明明A的的k個水平下的指標(biāo)均值個水平下的指標(biāo)均值 1, 2, k不全相同不全相同。但這不但這不一定兩兩之間都有差異一定兩兩之間都有差異。 故還要進一步研究故還要進一步研究：對各指標(biāo)均值對各指標(biāo)均值 i 之間的差異進行比較之間的差異進行比較 。要確認那些水平下的指標(biāo)均值間確有顯著差異要確認那些水平下的指標(biāo)均值間確有顯著差異，那些水平那些水平下的指標(biāo)均值間無顯著差異下的

38、指標(biāo)均值間無顯著差異。這就要進行多重比較這就要進行多重比較。同時比較任意兩個水平下的指標(biāo)均值間有無差異的問題稱同時比較任意兩個水平下的指標(biāo)均值間有無差異的問題稱為多重比較問題為多重比較問題 。各水平指標(biāo)均值各水平指標(biāo)均值 i 的點估計的點估計? i 多重比較多重比較介紹法（一）介紹法（一）：最小顯著差數(shù)法最小顯著差數(shù)法（LSD法法）liH :0liH :1li kli2 , 1, ， 1.檢驗檢驗選取有關(guān)統(tǒng)計量選取有關(guān)統(tǒng)計量rjkiNXiij 1,1),(2 點估計點估計iiXE iiX k,i21 ，且且 與與 獨立，獨立， iX lX),(, ),(22rNXrNXllii 有有于是于是)

39、,(22rrNXXlili ) 1 , 0(2)()(2NrXXulili 也即也即 當(dāng)當(dāng)為真時為真時，0H)1 , 0(22.NrXXuli 又又)r(kSvE122 且且u與與v獨立獨立，)1() 1(2) 1(. rktTrrkSXXrkvuEli記記構(gòu)造的檢驗構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量由于由于 分別是分別是 i 和和 l 的無偏估計的無偏估計，所以所以 當(dāng)當(dāng)H0成立時成立時，T 的取值將會集中在零附近的取值將會集中在零附近，其絕對值較大的可能性較小其絕對值較大的可能性較小，于是我們采用如下形式的拒絕域于是我們采用如下形式的拒絕域：.liXX 和和給定顯著水平給定顯著水平 ，控制第一類錯誤控

40、制第一類錯誤 )|(|0成成立立HcTP)1(2/ rktc )1(:20 rktTW 故故 cTW kliliHHlili, 2 , 1,:,:10 ),1()1(/2)(. rktrkrSXXTEli)1(|2/ rktTW 為了方便比較，稱為了方便比較，稱判斷判斷：如果由樣本計算如果由樣本計算 的觀測值的觀測值|.liXX LSDxxli |.)1(/2)1(2/ rkrSrktLSDE 最小顯著差數(shù)最小顯著差數(shù)。則拒絕則拒絕H0，認為認為 。否則接受否則接受H0。li 根據(jù)前方差分析知根據(jù)前方差分析知：SE=76, k=r=4, 查表知查表知t0.025(12)=2.1788?？蓪Ω魉?/p>

41、平間均值差進行比較列成表可對各水平間均值差進行比較列成表，均值由大到小排序均值由大到小排序。P.150 P.150 例例4.1 4.1 中各均值的比較表為中各均值的比較表為從表中可知從表中可知 均大于均大于, 4, 5, 6,732123414xxxxxxxx8772. 3 LSD8772. 3)14(442)12(025. 005. 0 EStLSD所以所以. iX均值均值水平水平差數(shù)差數(shù)A1A3A4A22523191875461 2 1XXi 3XXi 2XXi可見可見 與與 與與 與與 與與 間差異顯著間差異顯著。4A,1A4A,3A2A,1A3A2A多重比較一般均值比較表為多重比較一般

42、均值比較表為 顯然顯然LSD法實際上只適用于兩個獨立樣本的均值差的法實際上只適用于兩個獨立樣本的均值差的檢驗和比較檢驗和比較，只不過是找到一個公共的只不過是找到一個公共的LSD , 多次重復(fù)比多次重復(fù)比較而已較而已。 該方法不適用同時對多個樣本的所有均值間的差異進該方法不適用同時對多個樣本的所有均值間的差異進行比較行比較。為此為此，后面我們再介紹后面我們再介紹LSR法法，而且僅介紹由而且僅介紹由J.W.Tukey提出的提出的 q 法法。水平水平均值均值差數(shù)差數(shù)查表查表 iX* kiXX*1* kiXX LSD*A1*1 X*A2*kA*2 X* kX置信度置信度，使使給定給定 1 11rkt1

43、rkrS2XXP2Elili)()()()(._得到得到li 的置信度為的置信度為 1的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是可討論可討論：02 若若，知知0 li ，即即li 若若01 0 li ，知知li ，即即2.li 的置信區(qū)間的置信區(qū)間),(21 aLSD._liXX （）)()()()()(._1rkt1rkrS2XX1rkvuElili 已知已知 包含包含0，無法判斷無法判斷 21, 方法（二）最小顯著極差法（方法（二）最小顯著極差法（LSR法）。法）。（1 1）kjijiHHjiji, 2 , 1,:,:10 （2）選取有關(guān)統(tǒng)計量選取有關(guān)統(tǒng)計量)1(/. rkrSXXEji 當(dāng)當(dāng) 為真時為真時

44、0H ,)1(, rkpq服從的分布記為服從的分布記為), 2 , 1,(kji 其中其中，P 是將所有均值按大至小排序后是將所有均值按大至小排序后， 與與 之間之間（包含（包含 和和 在內(nèi)）所含均值的個數(shù)，且設(shè)在內(nèi)）所含均值的個數(shù)，且設(shè). jX. iX. iX. jX.jiXX 對給定對給定 ，可有可有 )1(,(rkpqP)1(,( rkpq 查附表查附表可知可知0H的拒絕域的拒絕域 LSRXXwji .0: LSRrkrSrkpqE )1()1(,(稱稱.jiXX 為為 的最小顯著極差的最小顯著極差)1(,()1(/0. rkpqrkrSXXHEji為真為真 例例4.14.1 最小顯著差

45、數(shù)法最小顯著差數(shù)法.(LSR.(LSR法法) )p p. .163163如果給定顯著水平如果給定顯著水平=0.01，類似上述過程也可比較，類似上述過程也可比較A1，A2，A3與與 A4之間是否有顯著差異。下面將例之間是否有顯著差異。下面將例4.1中的中的q和和LSR值列表供討論。值列表供討論。表表4.5例例4.1中的中的q和和LSR值值四、單因素不等重復(fù)試驗四、單因素不等重復(fù)試驗 irjijiixrX1.1，且且nrkii 1其中其中 kiXXXX21kiAAAA21kiXXXX21112111kiXXXX222212kiXXXXkjijjjXXXX21kikrirrrXXXX2121irj2

46、1 kiiikirjiAXXrXXSi12112)()(（自由度為自由度為 k-1）2112112)()(XnXXXSkirjijkirjijTii （自由度（自由度 ）111 nrkii), 1()()1(knkFknSkSFEA ), 1(:0knkFFW 討論方法完全同等重復(fù)試驗討論方法完全同等重復(fù)試驗，不同處是不同處是j取值由取值由1到到 ，如如：ir kirjiijEiXXS112)( (自由度自由度 ) )kn p.146. 例例4.2注意注意：不等重復(fù)試驗不等重復(fù)試驗，在進行多重比較時在進行多重比較時， 所用公式中所用公式中 的自由度的自由度 要修改要修改。ESr kiihrk1

47、1 常用的方法之一是常用的方法之一是 以以 的調(diào)和值的調(diào)和值 代替代替 krrr,11r參見參見：劉光祖主編劉光祖主編概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計書書第二節(jié)第二節(jié) 雙因素方差分析雙因素方差分析在實際問題中在實際問題中，影響試驗結(jié)果的因素往往不只一個影響試驗結(jié)果的因素往往不只一個，而而是有兩個或更多個是有兩個或更多個，這就要同時考察幾個因素對試驗指這就要同時考察幾個因素對試驗指標(biāo)的影響標(biāo)的影響，這就要討論多因素方差分析這就要討論多因素方差分析。我們僅討論雙我們僅討論雙因素方差分析因素方差分析。例例4.3. 要進行大豆品種和施肥的試驗。某村在面積相同土質(zhì)一要進行大豆品種和施肥的試驗。某村在面積

48、相同土質(zhì)一樣等相同條件下的樣等相同條件下的12塊試驗田上，將大豆的四個品種甲、乙、塊試驗田上，將大豆的四個品種甲、乙、丙、丁分別施用丙、丁分別施用，號不同的磷肥進行試驗，其產(chǎn)量，號不同的磷肥進行試驗，其產(chǎn)量如表如表4.9所示。試問大豆不同品種和施磷肥對產(chǎn)量是否有顯著所示。試問大豆不同品種和施磷肥對產(chǎn)量是否有顯著影響？（影響？（=0.05） 表表4.9品種和磷肥與產(chǎn)量品種和磷肥與產(chǎn)量p.166.p.166.例例4.3. 4.3. 二個因素二個因素 大豆品種大豆品種A，水平水平321,BBB4321,AAAA磷肥磷肥B ，水平水平在每組合水平在每組合水平 上作一次試驗。上作一次試驗。不考慮交互作用

49、得不考慮交互作用得表表4 -9。檢驗不同磷肥和大豆品種對農(nóng)作物產(chǎn)量是否有顯檢驗不同磷肥和大豆品種對農(nóng)作物產(chǎn)量是否有顯著影響著影響。 ),(jiBA表表4.9品種和磷肥與產(chǎn)量品種和磷肥與產(chǎn)量因素因素A有有k個水平個水平 kiAAAA21B有有m個水平個水平 mjBBBB21一、無交互作用的雙因素方差分析一、無交互作用的雙因素方差分析數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型)(jiBA組合下的試驗結(jié)果為組合下的試驗結(jié)果為,ijx,1ki mj 1jB 與與 共有共有km 個水平組合個水平組合iA表表4-114-11jiij 0,0 ji ),(2 ijijNX,1ki mj 1假設(shè)假設(shè) ijjiijaX ijkm 1mj

50、BBBB21A1A2AiAkA iX iXBjX mjXXXX 21imijiiXXXX21kmkjkkXXXX21mjXXXX222221mjXXXX111211 1X 2X kXX)1(1 mjijiiim 稱為因素稱為因素 在水平在水平 的的效應(yīng)效應(yīng)，表示表示 在總體均值上引起的偏差且知在總體均值上引起的偏差且知 ；iAiA0 i A 稱為因素稱為因素B B 在水平在水平 的效的效應(yīng)應(yīng)，表示表示 在總體均值上引起的偏差且知在總體均值上引起的偏差且知 。 jB0 j jB)1(1 kiijjjjk mjki 1,1其中其中 獨立且獨立且ij ), 0(2 NijijjiijX 提出假設(shè)提出

51、假設(shè)0:2101 kH iH :11不全為不全為0 0 ； ，0:2102 mH jH :12不全為不全為0 0 。 ，推導(dǎo)出檢驗方法與一元方差分析類似推導(dǎo)出檢驗方法與一元方差分析類似 kimjijXkmX111 mjijiXmX11 kiijjXkX11 kimjijkm111 mjijim11 kiijjk11 離差分析法離差分析法1.1.分析總變差分析總變差 kimjijTXXS112)(= = 三個因式平方和及各二項乘積三個因式平方和及各二項乘積 kimjjiijjiXXXXXXXX112)()()(2)( XXXXjiij（可證明各二項交叉乘積和為可證明各二項交叉乘積和為0 0） k

52、imjjkimjiXXXX112112)()(EmjjkiiSXXkXXm 2121)()(EBASSS 記記BATESSSS 是隨機誤差是隨機誤差。可反映可反映 A 水平引起的偏差水平引起的偏差；,)(12 kiiAXXmS,)(12 mjjBXXkS可反映可反映 B 水平引起的偏差水平引起的偏差；其理由見參考書其理由見參考書P.153P.153，將數(shù)學(xué)模型將數(shù)學(xué)模型代入代入，看看 EBASSS,各量的含義可知。各量的含義可知。2.2.可用可用ASES01H是否成立，是否成立，與與的比來檢驗的比來檢驗BS02H與與ES的比來檢驗的比來檢驗是否成立是否成立?？芍芍?2H01H當(dāng)當(dāng)成立成立，成

53、立成立。),(2 NXij,1ki mj 1),(2mNXi ),(2kNXj ),(2kmNX )km(ST122 )mkkm(SE122 )k(SA122 )m(SB122 滿足柯赫倫分解定理滿足柯赫倫分解定理)m()k()mkkm(km1111 且且EBASSS,互相獨立互相獨立。),(2mNXi ),(2kNXj ),(2kmNX kimjijTXXS112)(21)(XXmSkiiA 21)(XXkSmjjB 給定顯著水平給定顯著水平 ，有有 )1)(1(),1()1)(1()1(22 mkkFSSmkSkSFEAEAA )1)(1(),1() 1)(1() 1(22 mkmFSSm

54、kSmSFEBEBB )1)(1(),1(mkkFFPA和和 )1)(1(),1(mkmFFPB得到得到 的拒絕域為的拒絕域為：01H )1)(1(),1( mkkFFA 的拒絕域為的拒絕域為：02H )1)(1(),1( mkmFFB 表表4-124-12無交互作用的雙因方差分析表無交互作用的雙因方差分析表方差來源方差來源 均方和均方和平方和平方和自由度自由度比比F總和總和T 22XkmXkSijT1 km因素因素A kiiAXXmS12.)(1 kSSAAEAASSF kiiXkmXm1221 k 書書p.171. p.171. 解例解例4.34.3BATESSSS 誤差誤差E) 1)(1

55、( mk) 1)(1( mkSSEE因素因素B mjjBXXkS12)( mjjXkmXk1221 m1 mSSBBEBBSSF 二、有交互作用的兩因素方差分析二、有交互作用的兩因素方差分析因素因素A，kiAAAA21,有有k個水平個水平,mjBBBB21,有有m個水平個水平。因素因素B，書書P.172.P.172.雙因素多水平等重復(fù)試驗結(jié)果雙因素多水平等重復(fù)試驗結(jié)果。m1jA與與B共有共有km個不同的水平組合個不同的水平組合),(jiBAk1i設(shè)試驗結(jié)果為設(shè)試驗結(jié)果為,2 , 1(ki ,2 , 1mj ),2 , 1tl ijlX每個水平組合獨立重復(fù)每個水平組合獨立重復(fù) 次試驗次試驗。tt

56、lmjkiXijl, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1 樣品樣品AB1BtXX111111A2AkAtXX21211tkkXX1112BtXX12121tXX22221tkkXX221mBmtmXX111mtmXX212kmtkmXX1表表4 413 13 雙因素多水平等重復(fù)試驗的試驗結(jié)果雙因素多水平等重復(fù)試驗的試驗結(jié)果總體總體ijX,2 , 1(ki )2 , 1mj 。樣本為樣本為ijtijijXXX,21,，互相獨立互相獨立。ijl 互相獨立互相獨立，都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布),(2o 。),(jiBAijX下的試驗結(jié)果記為下的試驗結(jié)果記為, 視為一個總體視為一個總體。組合組合假設(shè)假設(shè)ijl