分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用

1、分類號密級U D C 編號本科畢業(yè)論文(設(shè)計)題目分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用學(xué)院數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)院專業(yè)名稱應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)年級 2013級學(xué)生姓名劉欣2017 年 4 月文獻綜述一、概述矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具。分塊矩陣是矩陣的一種特殊形式，對于一些高階矩陣，形式表達上就比較抽象，運算上就更為繁雜，然而通過矩陣分塊的方法達到降階的目的。分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用是一個應(yīng)用型的課題，是通過對分塊矩陣的若干性質(zhì)的掌握并應(yīng)用于現(xiàn)實生活上的實際問題，它的應(yīng)用范圍非常廣，遠遠不止于本文所列出的這幾個方面，還有更廣闊的應(yīng)用有待于我們更加深入地去研

2、究與探索。二、正文通過閱讀居余馬著作的線性代數(shù)一書中了解到，“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術(shù)語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。但是追根溯源，矩陣最早是出現(xiàn)在我國的九章算術(shù)中，在九章算術(shù)方程一章中，就提出了解線性方程各項系數(shù)、常數(shù)按順序排列成一個長方形的形狀，隨后移動，就可以求出這個方程。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的?，F(xiàn)階段，分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用在各個方面都起著至關(guān)重要的作用，分塊矩陣的應(yīng)用

3、非常廣泛和深刻，特別是在高等代數(shù)和線性代數(shù)中的應(yīng)用更加廣闊，例如在計算行列式以及矩陣的秩等方面，都有著很重要的應(yīng)用。但國內(nèi)一些專家對其研究主要還是在證明和計算方面。林瑾瑜在分塊矩陣的若干性質(zhì)及其在行列式計算中的應(yīng)用中，從行列式計算中的經(jīng)常用到的性質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)出分塊矩陣的若干性質(zhì)，并舉例說明這些性質(zhì)在行列式計算和證明問題中的應(yīng)用。蔡銘晶在例說分塊矩陣的應(yīng)用中論述了分塊矩陣的概念，舉例說明和分析了分塊矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用，包括利用分塊矩陣求逆矩陣、求高階行列式、證明矩陣的秩、解決矩陣的特征值計算和有關(guān)矩陣證明等問題中的應(yīng)用。利用分塊矩陣可以使階數(shù)比較高、比較復(fù)雜的矩陣和抽象矩陣的特征值問題的解決

4、變得簡明而清晰。徐天保在分塊矩陣的應(yīng)用中，主要證明了分塊矩陣在高等代數(shù)中的應(yīng)用，包括用分塊矩陣求矩陣的行列式問題，討論了分塊矩陣與秩的關(guān)系，用分塊矩陣求逆矩陣問題，對分塊矩陣的若干性質(zhì)進行了總結(jié)和推廣。胡景明在分塊矩陣在求高階行列式中的應(yīng)用中，介紹了幾個利用分塊矩陣求解高階行列式的方法。此方法的主要手段是將高階行列式通過矩陣分塊的方法來達到降階的目的，從而簡化高階行列式的運算。這些都是他們關(guān)于分塊矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用這個課題探究的理論成果。他們每個人都有自己的研究點和研究方向，他們的研究有他們的優(yōu)點，同時也有他們的欠缺之處。分塊矩陣的若干性質(zhì)的探究及其矩陣分塊不僅是一種解題方法，更是一種技巧，我們

5、必須掌握并應(yīng)用于現(xiàn)實生活中，但它的應(yīng)用范圍非常廣，遠遠不止于專家們所列出的這幾個方面，還有更廣闊的應(yīng)用有待于我們更加深入地去研究與探索。三、總結(jié)通過上面對矩陣的歷史以及現(xiàn)狀的了解，我們發(fā)現(xiàn)矩陣還是很容易理解和掌握的。然而，矩陣在實際應(yīng)用中還會遇到很多問題。在實際生活中，我們的很多問題可以用矩陣抽象的描述出來，但是這些矩陣一般都是高階矩陣，行數(shù)和列數(shù)都是一個相當大的數(shù)字，因此，我們在計算和證明這些矩陣時，會遇到很多很繁瑣的任務(wù)。這時，我們得有一個新的矩陣處理工具，來使這些問題得到更好地解決，而分塊矩陣能夠形象的揭示了一個復(fù)雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu)，從而能充分體現(xiàn)出分塊矩陣在代數(shù)計算與證明方面

6、所具有的優(yōu)越性。既然分塊矩陣理論的應(yīng)用如此廣泛，因而即使矩陣理論的研究已相當成熟，我們?nèi)杂斜匾钊塍w會分塊矩陣的應(yīng)用技巧，歸納總結(jié)分塊矩陣在不同類型題目當中發(fā)揮出的巨大應(yīng)用。 四、參考文獻1居余馬.線性代數(shù)M.清華大學(xué)出版社,1992.2穆大祿，裴惠生.高等代數(shù)教程M.山東大學(xué)出版社,1900.3蔡鳴晶.例說分塊矩陣的應(yīng)用J.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院(讀與寫雜志),2014.4，11(04);5253.4林瑾瑜.分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用J.廣東廣播電視大學(xué)報,2006,(02):109112.5張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第四版）M.北京：人民教育出版社,1995:199208.6北京大

7、學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社.2001.7胡景明.分塊矩陣在求高階行列式中應(yīng)用J.河北工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2004,(4):5053.8徐天保.分塊矩陣的應(yīng)用J.安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,2010,(05)：106109.9劉紅旭.利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組.遼寧師專學(xué)報,2003.6.10喬占科.矩陣分塊方法的應(yīng)用J.高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(1):8990.11秦小二.分塊矩陣的幾種用法J.數(shù)學(xué)教學(xué)與研究,2007,41 (2) :6869.摘要：本文主要探究了高階矩陣降階的分塊方法、分塊矩陣的運算性質(zhì)、分塊矩陣的初等變換以及由分

8、塊矩陣的若干性質(zhì)得出一些推論等，并舉例說明了分塊矩陣在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，分析了分塊矩陣在求取矩陣的逆、計算行列式，在證明矩陣的秩的性質(zhì)上的問題以及在求解非齊次線性方程組中的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)上，矩陣就是由若干個方程所組成的方程組的系數(shù)以及常數(shù)所構(gòu)成的方陣，把矩陣用在解線性方程組的問題上，運用起來既方便又直觀。分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用又是高等代數(shù)中的一個重要的內(nèi)容，是解決行列式計算問題的一個很重要的工具，不僅僅只是針對行列式得運算，更為重要的是，解決各種數(shù)學(xué)問題都要會用到它，特別是在處理級數(shù)比較高的矩陣時候，將高階的矩陣分塊降階之后，能使各子矩陣塊或者使高階矩陣的內(nèi)部各元素之間的關(guān)系變得更清晰明了。

9、為解決一些高階矩陣問題的需要，適當?shù)貙Ω唠A矩陣進行分塊，從而把一個復(fù)雜的矩陣簡化成由一些小矩陣塊為元素組成，這樣就可以使高階矩陣的結(jié)構(gòu)看得更加清晰，解題的脈絡(luò)也就更加一目了然，從而使得復(fù)雜的高等代數(shù)的問題簡單化，我們利用矩陣也就更加便捷了。關(guān)鍵詞：分塊矩陣初等變換行列式運算性質(zhì)應(yīng)用Abstract: this paper mainly explores the reduced order of high-order matrix partition method, the property of the partitioned matrix operation, the elementary

10、transformation of partitioned matrix and the partitioned matrix of some properties to draw some inferences, etc., and illustrates the partitioned matrix in real life, the application of partitioned matrix is analyzed in calculating matrix inverse, calculating the determinant, the proof of matrix ran

11、k on the nature of the problem and its application in solving the non-homogeneous linear equations. In mathematics, the equations of the matrix is composed of a number of equations of coefficients and constants of square, the matrix on the problem of solving linear equations, convenient to use and i

12、ntuitive. Some properties and applications of partitioned matrix is an important content of higher algebra, is a very important to solve the problem of the determinant calculation tool, not only for determinant computing, even more important, various mathematical problems is to use it, especially in

13、 dealing with the matrix series is higher, the high-order matrix block after the order reduction, can make each matrix to block or make high order matrix of the relationship between the internal elements become more clear. For the need to solve the problem of some high order matrix, appropriately to

14、 block of high order matrix, thus a complex matrix is simplified into a small matrix for elements, so that you can make the high-order matrix structure more clear, the problem solving context is more obvious, so as to make the complex problem of higher algebra simplification, we make use of the matr

15、ix is more convenient. Keywords: Partitioned matrix elementary transformation The determinantOperation properties application目錄1.分塊矩陣的概念及性質(zhì)························11.1分塊矩陣的定義·

16、·························1 1.2分塊矩陣常見的分塊方法·····················

17、83;11.3分塊矩陣的運算性質(zhì)························31.3.1分塊矩陣的加法·····················&

18、#183;·31.3.2分塊矩陣的數(shù)量乘法·····················31.3.3分塊矩陣的乘法······················

19、83;61.3.4分塊矩陣的轉(zhuǎn)置·······················31.3.5分塊矩陣的初等變換·····················72.分塊

20、矩陣的應(yīng)用····························92.1利用分塊矩陣求矩陣的逆··················

21、3;···92.2利用分塊矩陣簡化高階行列式的計算·················112.3分塊矩陣在證明矩陣的秩的性質(zhì)上的應(yīng)用···············132.4分塊矩陣在矩陣特征值問題中的應(yīng)用····

22、·············152.5分塊矩陣在求解非齊次線性方程組上的應(yīng)用···············173.全文總結(jié)················

23、3;···············19參考文獻·································20致謝

24、···································211、分塊矩陣的概念及性質(zhì)1.1 分塊矩陣的定義     定義：把一個矩陣，在矩陣行的方向分成塊，在矩陣列的方向分成塊

25、，稱為矩陣的分塊矩陣，記作，其中稱為的子矩陣塊，它們分別是各種類型的小矩陣。例1：將一個四階矩陣進行分塊（1）用水平和垂直的虛線將矩陣分成以下四塊，如下:，如果將這四塊分別記成：,就可以把上面的四階矩陣換寫成由四個小矩陣塊所組成的分塊矩陣，記作：,也就是，并將此矩陣稱作是的一個的分塊矩陣，其中的每一個小矩陣塊稱為分塊矩陣的一個子塊，這四個小矩陣就分別為的四個子塊。1.2 分塊矩陣常見的分塊方法除了上面的分塊方法，常用的分塊方法還有下面的：按行分塊、按列分塊、按對角線分成對角矩陣，如下:按行分塊:按列分塊：按對角線分塊：當階矩陣中的非零元素均集中在主對角線的附近時，那么，我們可以將高階矩陣分塊成

26、下面的對角塊矩陣，又可稱為準對角矩陣。例2：有一個矩陣將矩陣分塊，矩陣分塊的好處有：（1） 分塊矩陣能夠使得高階矩陣通過矩陣分塊降階，從而使得矩陣的結(jié)構(gòu)顯得更加清楚，如上面的矩陣（1）中，的左上角是一個3階單位矩陣，而左下角則是一個2階零矩陣。（2） 可以通過對小矩陣的運算從而進行對分塊矩陣的運算，把高階矩陣的運算過程轉(zhuǎn)化為低階矩陣的運算進而得到分塊矩陣的運算結(jié)果。實質(zhì)上，高階矩陣的分塊目的就在于簡化矩陣，使得高階矩陣運算變得簡便。1.3 分塊矩陣的運算性質(zhì)以上已經(jīng)對矩陣的分塊方法進行了探究，下文將對分塊矩陣的運算性質(zhì)進行研究，包括分塊矩陣的加法、乘法、數(shù)量乘法、轉(zhuǎn)置以及初等變換等。1.3.1

27、分塊矩陣的加法假設(shè)、均是矩陣，并且用相同的分塊方法對、矩陣進行分塊：其中各子塊和都是矩陣，即和是同型矩陣，那么就有1.3.2分塊矩陣的數(shù)量乘法假設(shè)有矩陣是矩陣，將矩陣進行分塊，得到分塊矩陣，再根據(jù)以上（1）中分塊矩陣的加法，可以得到，即有1.3.3分塊矩陣的乘法本文試著探究分塊矩陣的乘法的應(yīng)用規(guī)則是將分塊矩陣的每一個子塊看成一個元素，從而將分塊矩陣看成以數(shù)作為元素的矩陣，從而進行乘法運算。那么，我們假設(shè)為矩陣，為,矩陣，分別對矩陣，作如下矩陣分塊：，而 (1)則有其中 (2)例3：有矩陣，將其進行分塊得到,請證明將的每一個子矩陣塊均看作數(shù)，從而將看作以數(shù)作為元素的低階矩陣，存在的矩陣和的矩陣

28、,使得.證明：首先，是一個矩陣，根據(jù)（1）式中的分塊矩陣、以及（2）式，則為矩陣，而且有；故將看作是以數(shù)作為元素的低階矩陣，同時可稱作矩陣；再者，的元必定位于分塊矩陣的某一個子塊之中，可以設(shè)是的元素，則有：（3）而由（2）式可以得到:可以知道的元應(yīng)該是的第行分別和的第列的對應(yīng)元素乘積之和。由（3）式可以知道，的第行元素是位于中的第行，的第列是位于中的第列，由（1）式中對的分塊方法，可以得到其中；從而可以說明矩陣的元素是恰好等于矩陣的元素，以上兩點足以證明了為檢驗以上探究的結(jié)論是否正確，舉下例檢驗結(jié)論；例4：假設(shè)有矩陣首先對矩陣進行分塊，其中為三階單位矩陣，為二階單位矩陣，且,再對對矩陣進行分塊

29、，其中為二階單位矩陣，且計算時依舊按照常用的矩陣乘法法則進行運算，即將矩陣的各子塊看作元素，將看作是以數(shù)作為元素的矩陣，于是有：而按照矩陣乘法法則直接計算得到：；根據(jù)以上計算結(jié)果一致，從而驗證了分塊矩陣的乘法性質(zhì)與通常的矩陣的乘法性質(zhì)一致。從上例中可以看到矩陣和分塊方法是一致的，也就是說分塊矩陣的乘法運算需要遵守一定的規(guī)則。值得注意的是：分塊矩陣的列的組數(shù)應(yīng)該等于分塊矩陣的行的組數(shù)；分塊矩陣的每個子塊的列組所含的列的數(shù)目應(yīng)該等于分塊矩陣的每個子塊相對應(yīng)的行組所含的行的數(shù)目。1.3.4分塊矩陣的轉(zhuǎn)置我們可以先看一個例子：例5：設(shè)有矩陣解：首先對矩陣進行分塊=，其中先求矩陣的轉(zhuǎn)置而即有通過上述實例

30、，我們可以對分塊矩陣求轉(zhuǎn)置的規(guī)則進行初步總結(jié)：把分塊矩陣的每個子矩陣塊都看成元素，首先對每一個子矩陣塊進行求取轉(zhuǎn)置；將分塊矩陣看成是以數(shù)作為元素的矩陣，再進行求取轉(zhuǎn)置。1.3.5分塊矩陣的初等變換在行列式計算中，我們經(jīng)常會用到下面三條性質(zhì):(1 )如果某行列式的某行有公因子，那么則可以將公因子提到行列式號外面；(2)把行列式中的某行乘上某一個非零倍數(shù)，再加到另一行中去，則行列式的值不變；(3)把行列式中的某兩行的位置互換，那么行列式的值符號要變。利用矩陣的分塊，我們可以把上面行列式的三條性質(zhì)分別在分塊矩陣應(yīng)用中進行推廣?？偨Y(jié)相關(guān)分塊矩陣在行列式計算方面的相關(guān)性質(zhì)，并將其應(yīng)用在解決某些行列式計算

31、問題上。分塊矩陣的初等變換是用來處理分塊矩陣相關(guān)問題的重要工具之一。由以上探求的行列式的若干性質(zhì)，我們大致的可以總結(jié)得到分塊矩陣的初等行變換的定義（同樣，我們由此得出分塊矩陣的初等列變換的定義），進而探究分塊矩陣的性質(zhì)，以下三種變換規(guī)則便稱為分塊矩陣的初等行變換：用一個行列式不為零的方陣左乘（或右乘）分塊矩陣的某一個子塊的行；把一個子矩陣塊的行的（矩陣）倍（即這個子塊的行里每一個小矩陣都要左乘或右乘一個矩陣）加到另一個子矩陣塊的行上；互換兩個子塊行的位置。性質(zhì)1 設(shè)分塊矩陣是由如下分塊矩陣組成其中都是矩陣，且是任意一個方陣；對于分塊矩陣，則有證明：設(shè)為階單位矩陣，則有于是，即有，那么結(jié)論成立。

32、性質(zhì)2 設(shè)有分塊矩陣是由如下分塊矩陣組成其中都是矩陣，且是任意一個方陣；對于分塊矩陣，則有證明：設(shè)為階單位矩陣，則有其中為階單位矩陣，對上等式左右兩邊同時取行列式得到性質(zhì)3 設(shè)有分塊矩陣和寫成如下列形式其中都是矩陣，則證明：分塊矩陣可通過分塊矩陣中的子塊與子塊相應(yīng)的兩行相互對換而得到，根據(jù)行列式的初等變換法則可知，對換行列式的兩行，行列式符號相反，故當為偶數(shù)時，;當為奇數(shù)時，因此，由上可知，對于一般的分塊矩陣同樣也具有類似性質(zhì)，相關(guān)的性質(zhì)還有待于我們進一步的探尋。值得注意的是：這些性質(zhì)不僅僅對矩陣的行成立，對矩陣的列也同樣成立。2、分塊矩陣的應(yīng)用 行列式以及行列式的計算是高等代數(shù)的一

33、個重要組成部分，在高等代數(shù)中常常遇到一些計算高階行列式的問題，如果直接按照行列式運算法則去計算高階行列式的話，不但計算量非常大，而且花費時間較多，更糟糕的是極易出現(xiàn)錯誤。如果將高階矩陣進行降階，那么我們可以通過對高階矩陣進行分塊，便可以使高階矩陣復(fù)雜的結(jié)構(gòu)變得清晰明了，從而簡化高階行列式的運算；分塊矩陣是矩陣的一種推廣，與普通矩陣不同的是，分塊矩陣的元素不僅可以是簡單的數(shù)，也可以是小矩陣塊；分塊矩陣的引入使矩陣這一重要工具得到更加廣泛的應(yīng)用于實際問題之中，下文主要探究是幾種用分塊矩陣求取行列式的方法，即分塊矩陣在行列式計算和證明問題中的應(yīng)用。2.1利用分塊矩陣求矩陣的逆通常，我們在求一個較低階

34、矩陣的逆矩陣時，一般可以通過求取其伴隨矩陣和矩陣行列式進而來求得其逆矩陣。但對于一些高階矩陣求取逆矩陣時，求取其伴隨矩陣和行列式這兩個步驟是進行起來是非常復(fù)雜的。而如果我們對高階矩陣進行適當?shù)姆謮K，并利用分塊矩陣的一些性質(zhì)，求取高階矩陣的逆矩陣便有可能，這是探求一種使復(fù)雜的問題得到更佳的解決辦法。命題1：設(shè)是一個分塊矩陣，其中是階方陣，是階方陣，當與都是可逆矩陣時，那么是可逆矩陣，且有：，值得注意的是：（1）當都是可逆矩陣，那么就有；（2）當都是可逆矩陣，那么就有；（3）當都是可逆矩陣，那么就有。例6：設(shè)矩陣的逆矩陣。解：首先將矩陣進行分塊，令，則，由知可逆，則很容易求得逆矩陣，再利用分塊矩陣

35、的初等行變換：故有所以有2.2利用分塊矩陣簡化高階行列式的計算假設(shè)在計算高階行列式的時候，不進行化簡而直接進行繁雜的計算的話，計算量不僅非常大，而且計算極易出錯。而如果我們利用矩陣分塊的方法將高階的行列式簡化成幾個低階的矩陣塊組成的行列式，便可以使矩陣的結(jié)構(gòu)變得更簡單，將高階的行列式簡化成低階行列式，從而達到簡化行列式計算的目的。以下有兩個已知的結(jié)論：定理1設(shè)都是階方陣，其中有，并且，則有：證明：由已知條件可知是存在的，并且，用乘矩陣的第一行后加到矩陣的第二行中去之后得到矩陣：，從而就有：由上可知，結(jié)論得證。例7：計算行列式解：設(shè)，其中，由計算可知：并且；所以定理2 設(shè)分塊矩陣分別為階方陣，則

36、有證明：由上述分塊矩陣的乘法運算規(guī)則可知：，將兩邊分別取行列式，得到：。由上可知，結(jié)論得證。例8：試計算行列式的值解：首先將矩陣進行分塊，令，則由定理2得到：由上可見，對于解決一些特殊的高階行列式的計算問題，可以將高階行列式進行適當?shù)姆謮K，將高階行列式進行降階，會大大地簡化高階行列式的計算。使用這種簡化的方法，不僅可以使得行列式與矩陣這兩個非常重要的概念前呼后擁、相互承接，而且還可以使學(xué)習(xí)者能對分塊矩陣加深理解，同時，又能達到對高階行列式降階的目的，從而得以計算出高階行列式的結(jié)果。2.3分塊矩陣在證明矩陣秩的性質(zhì)上的應(yīng)用在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，得知矩陣的秩作為矩陣理論的一個基本概念，在矩陣計算過程

37、中起著非常重要的作用。在涉及矩陣以及矩陣的秩的命題的證明題目時，由于本身的抽象性而使矩陣的秩的問題證明起來感到十分困難，然而，利用矩陣的分塊方法可以使這些命題的證明得以簡單而直觀耳朵解決。通常采用的方法一般有以下兩種，一是：利用已知的矩陣作為矩陣的元素來構(gòu)成矩陣，進而進行命題的證明；二是：將已知高階矩陣拆分成級數(shù)較低的矩陣塊，再來證明有關(guān)矩陣秩的命題。以下有幾個已知的結(jié)論；結(jié)論1：設(shè)為矩陣，為矩陣，則有：證明：設(shè)有矩陣令，且表示的行向量，表示的行向量，則有：即的行向量組應(yīng)當可以由的行向量組線性表示，那么就有；同理，可令表示來的列向量，表示來的列向量，則有：那么就有；綜上所述，可得到結(jié)論2：矩陣的和的秩不會超過這兩個矩陣的秩之和，即有證明：設(shè)有分塊矩陣，對分塊矩陣作初等變換：所以有而又因為綜上，所以由上可知，推論結(jié)論得證。結(jié)論3：假設(shè)為矩陣，為矩陣，則有證明：假設(shè)有分塊矩陣，將其進行分塊矩陣的初等變換，得到：所以，又因為，所以，值得注意的是：當時，有高等代數(shù)中學(xué)習(xí)，可知有關(guān)矩陣秩的證明問題是一大難點，通過構(gòu)造適當?shù)姆謮K矩陣使高階矩陣達到降階的目的