學(xué)案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、學(xué)案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3理解指數(shù)函數(shù)的概念，并掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn).4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型自主梳理1指數(shù)冪的概念(1)根式如果一個數(shù)的n次方等于a(n>1且nN*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根也就是，若xna，則x叫做_，其中n>1且nN*.式子叫做_，這里n叫做_，a叫做_(2)根式的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時，a的n次方根用符號_表示當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)

2、的正的n次方根用符號_表示，負(fù)的n次方根用符號_表示正負(fù)兩個n次方根可以合寫成_(a>0)()n_.當(dāng)n為偶數(shù)時，|a|當(dāng)n為奇數(shù)時，_.負(fù)數(shù)沒有偶次方根零的任何次方根都是零2有理指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是_(a>0，m，nN*，n>1)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是_(a>0，m，nN*，n>1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是_，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras_(a>0，r，sQ)(ar)s_(a>0，r，sQ)(ab)r_(a>0，b>0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域

3、(1)_值域(2)_性質(zhì)(3)過定點(diǎn)_(4)當(dāng)x>0時，_；當(dāng)x<0時，_(5)當(dāng)x>0時，_；當(dāng)x<0時，_(6)在(，) 上是_(7)在(，) 上是_自我檢測1下列結(jié)論正確的個數(shù)是 ()當(dāng)a<0時，a3；|a|；函數(shù)y(3x7)0的定義域是(2，)；若100a5,10b2，則2ab1.A0B1C2D32函數(shù)y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有 ()Aa1或a2Ba1Ca2Da>0且a13如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是 ()Aa<b<1<c<dBa&l

4、t;b<1<d<cCb<a<1<c<dDb<a<1<d<c4若a>1，b>0，且abab2，則abab的值等于 ()A.B2或2C2D25(2011·六安模擬)函數(shù)f(x)axb的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0探究點(diǎn)一有理指數(shù)冪的化簡與求值例1已知a，b是方程9x282x90的兩根，且a<b，求：(1)；÷.變式遷移1化簡 (a、b>0

5、)的結(jié)果是 ()A.BabC.Da2b探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2已知函數(shù)y()|x1|.(1)作出函數(shù)的圖象(簡圖)；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時有最值，并求出最值變式遷移2(2009·山東)函數(shù)y的圖象大致為 ()探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3如果函數(shù)ya2x2ax1(a>0且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值變式遷移3(2011·龍巖月考)已知函數(shù)f(x)()x3.(1)求f(x)的定義域；(2)證明：f(x)f(x)；(3)證明：f(x)>0.分類討論思想的應(yīng)用例(12分)已知f(x)(axax)(a>

6、;0且a1)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)x1,1時f(x)b恒成立，求b的取值范圍【答題模板】解(1)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱又因為f(x)(axax)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)3分(2)當(dāng)a>1時，a21>0，yax為增函數(shù)，yax為減函數(shù)，從而yaxax為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)5分當(dāng)0<a<1時，a21<0，yax為減函數(shù)，yax為增函數(shù)，從而yaxax為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)故當(dāng)a>0，且a1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，f(1)

7、f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)·1.10分要使f(x)b在1,1上恒成立，則只需b1，故b的取值范圍是(，112分【突破思維障礙】本例第(2)(3)問是難點(diǎn)，討論f(x)的單調(diào)性對參數(shù)a如何分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一【易錯點(diǎn)剖析】在(2)中，函數(shù)的單調(diào)性既與axax有關(guān)，還與的符號有關(guān)，若沒考慮的符號就會出錯，另外分類討論完，在表達(dá)單調(diào)性的結(jié)論時，要綜合討論分類的情況，如果沒有一個總結(jié)性的表達(dá)也要扣分，在表達(dá)時如果不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯誤的1一般地，進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)

8、行乘、除、乘方、開方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡的目的2比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小3指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小；即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1函數(shù)y的值域是 ()A0，) B1，)C(，)D，)2(2011·

9、金華月考)函數(shù)y(0<a<1)的圖象的大致形狀是 ()3(2010·重慶)函數(shù)f(x)的圖象 ()A關(guān)于原點(diǎn)對稱B關(guān)于直線yx對稱C關(guān)于x軸對稱D關(guān)于y軸對稱4定義運(yùn)算ab則函數(shù)f(x)12x的圖象是()5若關(guān)于x的方程|ax1|2a(a>0，a1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是()A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D(0，)題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2011·嘉興月考)函數(shù)f(x)(a>0且a1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是_7(2010·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)，xR是偶函數(shù)，則實

10、數(shù)a_.8若函數(shù)f(x)ax1(a>0且a1)的定義域和值域都是0,2，則實數(shù)a的值為_三、解答題(共38分)9(12分)(2011·衡陽模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍10(12分)(2010·北京豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)3x，f(a2)18，g(x)·3ax4x的定義域為0,1(1)求a的值(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍11(14分)(2011·東莞模擬)函數(shù)y12x4xa在x(，1上y&

11、gt;0恒成立，求a的取值范圍答案 自主梳理1(1)a的n次方根根式根指數(shù)被開方數(shù)(2)±aa2.(1)0(2)arsarsarbr3.(1)R(2)(0，)(3)(0,1)(4)y>10<y<1(5)0<y<1y>1(6)增函數(shù)(7)減函數(shù)自我檢測1B只有正確中a<0時，>0，a3<0，所以a3；中，n為奇數(shù)時且a<0時，a；中定義域為2，)(，)2Cy(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，a23a31，解得a2或a1(舍去)3Dy軸左、右的圖象對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)按逆時針方向增大所以c>d>1,1>a>b>

12、;0.4D(abab)2(abab)244，a>1，b>0，ab>1,0<ab<1，abab2.5D由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1；函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引1.指數(shù)冪的化簡原則(1)化負(fù)數(shù)指數(shù)為正指數(shù)；(2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)2指數(shù)冪的化簡結(jié)果要求為有關(guān)有理指數(shù)冪的化簡結(jié)果不要同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不要既有分母又含有負(fù)指冪，即盡量化成與題目表示形式一致且統(tǒng)一的最簡結(jié)果解a，b是方程的兩根，而由

13、9x282x90解得x1，x29，且a<b，故a，b9，(1)化去負(fù)指數(shù)后求解ab.a，b9，ab，即原式.(2)原式·÷ (·).a，原式3.變式遷移1C原式ab1.例2解題導(dǎo)引在作函數(shù)圖象時，首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系，然后通過平移、對稱或伸縮來完成解(1)方法一由函數(shù)解析式可得y()|x1|其圖象由兩部分組成：一部分是：y()x(x0)y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x<0)y3x1(x<1)如圖所示方法二由y()|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故先作出y()x的圖象，保留x0的部分，當(dāng)x<0時，其圖象是將

14、y()x(x0)圖象關(guān)于y軸對折，從而得出y()|x|的圖象將y()|x|向左移動1個單位，即可得y()|x1|的圖象，如圖所示(2)由圖象知函數(shù)在(，1上是增函數(shù)，在1，)上是減函數(shù)(3)由圖象知當(dāng)x1時，有最大值1，無最小值變式遷移2Ay1，當(dāng)x>0時，e2x1>0，且隨著x的增大而增大，故y1>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，)上恒大于1且單調(diào)遞減又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確例3解題導(dǎo)引1.指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1與0<a<1來研究2指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)的性質(zhì)可通過換

15、元的方法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)解設(shè)tax，則yf(t)t22t1(t1)22.(1)當(dāng)a>1時，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3，滿足 a>1；(2)當(dāng)0<a<1時，ta，a1，ymax(a1)22a1114，解得a，滿足0<a<1.故所求a的值為3或.變式遷移3(1)解由2x10x0，所以定義域為(，0)(0，)(2)證明f(x)()x3可化為f(x)·x3，則f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)f(x)(3)證明當(dāng)x>0時，2x>1，x3>0，所以()x3>0.因為f(x)f(x)，所以當(dāng)x&l

16、t;0時，f(x)f(x)>0.綜上所述，f(x)>0.課后練習(xí)區(qū)1B由y中0，所以y201，即函數(shù)的值域為1，)2D函數(shù)的定義域為x|xR，x0，且y.當(dāng)x>0時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)a滿足0<a<1，所以函數(shù)遞減；當(dāng)x<0時，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)yax的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)遞增3D函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱4A當(dāng)x<0時，0<2x<1，此時f(x)2x；當(dāng)x0時，2x1，此時f(x)1.所以f(x)12x5D方程|ax1|2a有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與函數(shù)y2a

17、有兩個不同交點(diǎn)，作出函數(shù)y|ax1|的圖象，從圖象觀察可知只有0<2a<1時，符合題意，即0<a<.6，1)解析據(jù)單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足：即a<1.71解析設(shè)g(x)exaex，則f(x)xg(x)是偶函數(shù)g(x)exaex是奇函數(shù)g(0)e0ae01a0，a1.8.解析當(dāng)a>1時，f(2)2，a212，a，經(jīng)驗證符合題意；當(dāng)0<a<1時，f(0)2，即112，無解a.9解(1)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，f(0)0，即0，解得b1，(2分)從而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.經(jīng)檢驗a2適合題意，所求a、b的值分別為2

18、、1.(4分)(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上為減函數(shù)(6分)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)(8分)因為f(x)是減函數(shù)，由上式推得t22t>2t2k.即對一切tR有3t22tk>0.從而判別式412k<0，解得k<.(12分)10解方法一(1)由已知得3a2183a2alog32.(4分)(2)此時g(x)·2x4x，設(shè)0x1<x21，因為g(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以g(x1)g(x2)>0恒成立，(8分)即<恒成立由于2，所以，實數(shù)的取值范圍是2.(12分