第二類曲線積分

1、第二類曲線積分第二類曲線積分第二節(jié)第二節(jié) 第十章第十章 一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 三、第二類曲線積分的計算三、第二類曲線積分的計算一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)1. 問題引入問題引入“分割，近似分割，近似, 求和求和, 取極限取極限” 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用L: A B,解決辦法解決辦法:求移動過程中變力求移動過程中變力),(, ),(),(yxQyxPyxF 聯(lián)想：恒力聯(lián)想：恒力沿直線做功沿直線做功所作的功所作的功W

2、. cosABFW ABFABF2 取近似取近似把把L分成分成 n 個小弧段個小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx 近似代替近似代替, ),(kk則有則有kkkkyQxP ),(),(kk所做的功為所做的功為,kW F 沿沿kkMM1 kkkkMMFW1k),( nkkWW1則則用有向線段用有向線段 kkMM1 kkMM1 在上任取一點在上任取一點1 kMkMABxyL),(kkF ky 1 分割分割 kx 4 取極限取極限 nkW1),(),(kkkkkkyQxP nkW10lim kkkkkky)Q(x)P,( 1kMkMABxyL),(kkFkykx( (其中其中 為為

3、n n 個小弧段的最大長度個小弧段的最大長度) )3 求和求和變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功設(shè)設(shè) L 為為xOy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條的一條有向光滑弧有向光滑弧,若對若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在都存在(與分割和取點無關(guān)與分割和取點無關(guān)), niiiiiiiyQxP10),(),(lim 在在L 上定義了一個有界上定義了一個有界向量函數(shù)向量函數(shù)極限極限),(, ),(),(yxQyxPyxF 2. 定義定義10.2 niiiirF10),(lim, jyixriii其其中中 LryxFd),(F(x,y)在有向曲線弧在

4、有向曲線弧 L 上的上的第二類曲線積分第二類曲線積分, LyyxQxyxPd),(d),(或或?qū)ψ鴺说那€積分，對坐標的曲線積分，記作記作 nikkkkkkyQxP10),(),(lim,| max1inir 則稱此極限值為向量值函數(shù)則稱此極限值為向量值函數(shù)積積分分曲曲線線 LryxFd),(第二類曲線積分的向量形式第二類曲線積分的向量形式 LyyxQxyxPd),(d),(第二類曲線積分的坐標形式第二類曲線積分的坐標形式 LxyxPd),( LyyxQd),(對對 x 的曲線積分的曲線積分;對對 y 的曲線積分的曲線積分.注注 1 關(guān)于第二類曲線積分的幾個術(shù)語關(guān)于第二類曲線積分的幾個術(shù)語2

5、若若 為空間曲線弧為空間曲線弧 , , ),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF d),(d),(d),(dzzyxRyzyxQxzyxPrF3如果如果L 是是閉曲線閉曲線, 則對坐標的曲線積分記為則對坐標的曲線積分記為 LLyyxQxyxPrFd),(d),(d4對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分必須注意必須注意積分弧段的積分弧段的方向方向! !5 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功 LyyxQxyxPWd),(d),(線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：)1(可加性：可加性：)2( 21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxF LLLryxFryxFryxFyxFd)

6、,(d),(d),(),(2121組成組成和和由由21LLL性質(zhì)性質(zhì)1R ，L1L2(3) 有向性有向性: 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 則則 LLryxFryxFd),(d),(這是第一類和這是第一類和第二類曲線積第二類曲線積分的一個重要分的一個重要區(qū)別區(qū)別對坐標的曲線對坐標的曲線積分必須注意積分必須注意積分弧段的方積分弧段的方向向.,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧設(shè)有向平面曲線弧的的方方向向角角同同方方向向的的切切向向量量處處與與上上點點LyxL),(二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系起點：起點： A a， 終點：終點： B b且且為端點的區(qū)間上連

7、續(xù)，為端點的區(qū)間上連續(xù)，在以在以batt,)(),( . 0)()(22 tt 定理定理，則，則為為 , LyyxQxyxPd),(d),( LsyxQyxPdcos),(cos),(曲線曲線L的方程的向量形式：的方程的向量形式：)(),()(tttrr :)()(lim)(0ttrttrtrt xyOABL)(trM(x, y)(ttr r )(tr 的終點處切向量，的終點處切向量，在在曲線曲線)(trL其其指向指向與與參數(shù)參數(shù) t 增大增大時曲線時曲線 L上的點移動上的點移動的的方向一致方向一致.)(ba )(ba )(tr 證證ttrrd)(d tttd)(),( )d,(dyx 22)

8、(d)(ddyxs |d|r.)(d的的方方向向一一致致同同方方向向，從從而而與與與與故故Ltrr 時時，當(dāng)當(dāng)ba 1沿著沿著L的方向移動時，參數(shù)的方向移動時，參數(shù) t 增加增加.于是于是)1(dedsrr 0d t另一方面，另一方面，一方面一方面時時，當(dāng)當(dāng)ba 20d t沿著沿著L的方向移動時，參數(shù)的方向移動時，參數(shù) t 減少減少.)2(d)e(dsrr 于于是是.)(d的的方方向向一一致致方方向向相相反反，而而與與與與故故Ltrr 綜合綜合(1)、 (2)，得得srLded .e同同方方向向的的單單位位切切向向量量是是與與其其中中LLttrrd)(d | )(|)(etrtrr 其其中中)

9、()()(,)()()(2222tttttt )cos,(cose LssrLd)cos,(cosded 時時當(dāng)當(dāng)，時時當(dāng)當(dāng)babarre,e LryxFd),( LLsyxFde),(),(, ),(),(yxQyxPyxF )d,(ddyxr )cos,(cose L LyyxQxyxPd),(d),(.dcos),(cos),( LsyxQyxP可以推廣到空間曲線上可以推廣到空間曲線上 從而從而,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt ,dcosdsx ,dcosdsy tttsd)()(d22 .”號號時時，取取“當(dāng)當(dāng)”號號；時時，取取“當(dāng)當(dāng) baba注注將積分將

10、積分yyxQxyxPLd),(d),( 化為對化為對弧長的積弧長的積分分, ,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到從從解解(方法方法1)oyxB,2:2xxyL 221xxxy 其中其中L 沿上半圓周沿上半圓周例例120:x)(ba 切向量切向量), 1()(yxrT 與與L方向一致方向一致.其方向余弦：其方向余弦：211cosy 221xxxy 22xx 21cosyy x 1syxQyxPyyxQxyxPLLdcos),(cos),(d),(d),( syxQxyxPxxLd),()1(),(22 oyxB,sincos1: tytxL0:t)(ba 切向量切向量)cos

11、,sin()(tttr 與與L方向相反方向相反.與與L同方向的切向量：同方向的切向量：)cos,(sin)(tttrT tsincos 其方向余弦：其方向余弦：y tcoscos x 1 .,22xx (方法方法2)sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),( syxQyxPLd),(),( 22xx )1(x ,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 oyxBBOLs弧弧長長(方法方法3)三、第二類曲線積分的計算三、第二類曲線積分的計算,),(, ),(上連續(xù)上連續(xù)在在LyxQyxP定理定理10.2 設(shè)設(shè) L 是一條平面有向

12、光滑曲線弧，是一條平面有向光滑曲線弧， )()(tytx,:bat, 0)()(22 tt 其其參數(shù)方程為參數(shù)方程為時時，當(dāng)當(dāng)單單調(diào)調(diào)bat:.: ),(BAyxML沿沿點點為為和和在在以以batt)(),( 連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且端點的區(qū)間上具有一階端點的區(qū)間上具有一階 LyyxQxyxPd),(d),(則有則有 battP )(),( )(t )(t td)(),(ttQ 首先證明：首先證明： LxyxPd),(ttttPbad)()(),( 由兩類曲線的關(guān)系，得由兩類曲線的關(guān)系，得 LLsyxPxyxPdcos),(d),(證證再由第一類曲線積分的計算法，得再由第一類曲線積分的計算

13、法，得 LsyxPdcos),( 時；時；當(dāng)當(dāng)ba battP)(),( )()()(22ttt tttd)()(22 時時；當(dāng)當(dāng)batt ,d)( .時時當(dāng)當(dāng)ba abttP)(),( )()()(22ttt tttd)()(22 .,d)(時時當(dāng)當(dāng)batt ttttPbad)()(),( 同理可證同理可證 LyyxQd),(tttQbad )(),( )(t LyyxQxyxPd),(d),(所以所以 battP )(),( )(t )(t td)(),(ttQ LxyxPd),(ttttPbad)()(),( ,d),(d),( LyyxQxyxP計計算算 ttttQtttPbad)(

14、)(),()()(),( 即可；即可；代入上式，且同時換限代入上式，且同時換限.注注 1 ),(),(tytxa不一定不一定小于小于 b !即計算定積分：即計算定積分：可將可將BLbALa的的終終點點上上限限的的起起點點下下限限2 如果如果 L 的方程為的方程為,:),(baxxy xxxQxxPbad )(,)(, )(x LyyxQxyxPd),(d),(3 對空間光滑曲線弧對空間光滑曲線弧 :zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( )(t)(tttttRtttQd)(, )(),()(, )(),( )(t )(, )(),(tttPttztytx :)()()(思考思考

15、定積分定積分第二類第二類曲線積分曲線積分是！是！ baxxfd)(是否可看作第二類曲線積分的特例是否可看作第二類曲線積分的特例 ? xO ba ABxxfd)(ABxO abAB baxxfd)(,d Lxyx其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解解(方法方法1) 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 則則OBAOL :01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxy xy 從點從點xxxd10 的一段的一段. )1,1()1,1(BA到到 )1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2 計算計算注意積分注意積分路徑的路徑的表示

16、形式表示形式y(tǒng)yyyxyxLd)(d2112 (方法方法2) 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 則則11:,:2 yyxL54d2114 yy)1 , 1(B)1, 1( Aoyx-11注意積分注意積分路徑的路徑的表示形式表示形式其中其中 L 為為,:, 0aaxy yBAoaax(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點的圓心在原點的 上半圓周上半圓周, 方向為逆時針方向方向為逆時針方向;(2) 從點從點 A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點軸到點 B ( a , 0 ). 解解 (1) L:,d2xyL 0:,sin,cos ttaytax xyLd2ttadsin22033 32a (2) L :

17、xyLd2ttatad)sin(sin202 132 334a aaxd00 則則則則例例3 計算計算沿不同的路徑沿不同的路徑積分，其結(jié)果積分，其結(jié)果不同不同yxo,dd22yxxyxL 其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ;10:,:2 xxyL(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2 yyxL(3) 有向折線有向折線 .:ABOAL 解解 (1) 原式原式22xx xx d4103 (2) 原式原式y(tǒng)yy222 yy d5104 (3) 原式原式 yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1 )0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)22 10(yyd)4 yxxyx

18、ABdd22 10d)102(yy1 1 例例4 計算計算沿不同的路徑沿不同的路徑積分，所得到積分，所得到結(jié)果相同結(jié)果相同例例5 計算計算,dd3d223zyxyzyxx 其中其中是從點是從點A (3, 2, 1)到點到點B (0, 0, 0)的直線段的直線段AB.解解 直線直線AB為為:. 01:,2,3 ttztytxzyxyzyxxdd3d223 01223d2)3(2)2(33)3(tttttt 013d87tt487 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),( nikkkkkkyQxP10),(),(lim1. 定義定義2. 性質(zhì)性質(zhì) LLLryxFryxFryxFyxFd),(d),(d),(),(2121 21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxF LLryxFryxFd),(d),(3. 計算計算 )()(tytx,:t LyyxQxyxPd),(d),( ttP )(),()(t )(t td)(),(ttQ 4. 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分必須注意必須注意積分弧段的積分弧段的方向方向! !5. 兩類曲線積分之間的關(guān)系兩類曲線積分之間的關(guān)系 LyyxQxy