離散變量和隨機變量的最優(yōu)化方法

1、第七章 離散變量和隨機變量的最優(yōu)化方法 7.1 7.1 引言引言 7.2 7.2 離散變量優(yōu)化設計的基本概念離散變量優(yōu)化設計的基本概念 7.3 7.3 離散變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型離散變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型 7.4 7.4 離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件 7.5 7.5 隨機變量優(yōu)化設計的基本概念隨機變量優(yōu)化設計的基本概念 7.6 7.6 隨機變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型隨機變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型 7.7 7.7 隨機變量概率約束問題的優(yōu)化設計模型及最優(yōu)解隨機變量概率約束問題的優(yōu)化設計模型及最優(yōu)解7.1 7.1 引言引言一一. . 變量類型：變量類型： 工程實際問

2、題中不是單一的連續(xù)變量，經(jīng)常是各種類工程實際問題中不是單一的連續(xù)變量，經(jīng)常是各種類型變量的混合。有：型變量的混合。有： 連續(xù)變量連續(xù)變量 確定型確定型 整型變量整型變量 離散變量離散變量 隨機變量隨機變量 不確定型不確定型 混合變量混合變量 所以需要相應的優(yōu)化方法。所以需要相應的優(yōu)化方法。 1 1、齒輪傳動裝置的優(yōu)化設計：齒數(shù)、模數(shù)、齒寬和變位系數(shù)為設計、齒輪傳動裝置的優(yōu)化設計：齒數(shù)、模數(shù)、齒寬和變位系數(shù)為設計 變量。齒數(shù)為整型變量，模數(shù)為離散變量，齒寬和變位系數(shù)為連變量。齒數(shù)為整型變量，模數(shù)為離散變量，齒寬和變位系數(shù)為連 續(xù)變量。續(xù)變量。2 2、橋式起重機主梁的優(yōu)化設計：板厚、橋式起重機主梁

3、的優(yōu)化設計：板厚t t1 1,t,t2 2,t,t3 3、主梁高度、寬度為、主梁高度、寬度為 設計變量。板厚為離散變量，設計變量。板厚為離散變量，H H和和B B為連續(xù)變量。為連續(xù)變量。二二. . 工程實際設計的需要：工程實際設計的需要：7.1 7.1 引言引言 三三. . 傳統(tǒng)方法的局限：傳統(tǒng)方法的局限： 例例，求離散問題的最優(yōu)解，傳統(tǒng)的方法是先用連續(xù)變量優(yōu)化求離散問題的最優(yōu)解，傳統(tǒng)的方法是先用連續(xù)變量優(yōu)化設計方法求連續(xù)變量的最優(yōu)解，然后圓整到離散值上。設計方法求連續(xù)變量的最優(yōu)解，然后圓整到離散值上。 弊?。嚎赡艿貌坏娇尚凶顑?yōu)解，或所得的解不是離散最優(yōu)解。弊?。嚎赡艿貌坏娇尚凶顑?yōu)解，或所得的

4、解不是離散最優(yōu)解。 x* X(1) X(2) X(3) x x* * 是連續(xù)變量最優(yōu)點；是連續(xù)變量最優(yōu)點； x x(1)(1) 是圓整后最近的離散是圓整后最近的離散點，但不可行；點，但不可行； x x(2)(2) 是最近的可行離散點，是最近的可行離散點，但不是離散最優(yōu)點；但不是離散最優(yōu)點； x x(3)(3) 是離散最優(yōu)點。是離散最優(yōu)點。x10 x27.2 7.2 離散變量優(yōu)化設計的基本概念離散變量優(yōu)化設計的基本概念一一. . 設計空間：設計空間：1 1、一維離散設計空間：、一維離散設計空間： 在在 x xi i 坐標軸上有若干個相距一定間隔的坐標軸上有若干個相距一定間隔的離散點，組成的集合稱

5、為一維離散設計空間。離散點，組成的集合稱為一維離散設計空間。iiiiijijijljniqqq：只有在均勻離散空間中只有在均勻離散空間中，離散間隔：離散間隔：代表離散點個數(shù)；代表離散點個數(shù)；，離散點：離散點：, 2 , 1, 2 , 1,112 2、P P 維離散設計空間：維離散設計空間： P P 個離散設計變量組成個離散設計變量組成 P P 維離散設計空間。每個離散變量可取有維離散設計空間。每個離散變量可取有限個（限個（l）數(shù)值，這些數(shù)值可用矩陣）數(shù)值，這些數(shù)值可用矩陣 Q Q 來表達。來表達。lpplppllqqqqqqqqq212222111211Q注：注：因為離散變量是有限個，所以離因

6、為離散變量是有限個，所以離 散空間是有界的。散空間是有界的。 某個離散變量的取值不足某個離散變量的取值不足 l l 個，個，其余值可用預先規(guī)定的自然數(shù)補齊。其余值可用預先規(guī)定的自然數(shù)補齊。pTpDRxxx,X21qij-1 qij qij+1 iiXi7.2 7.2 離散變量優(yōu)化設計的基本概念離散變量優(yōu)化設計的基本概念3 3、N-P N-P 維連續(xù)設計空間：維連續(xù)設計空間： N N 個設計變量中有個設計變量中有 P P 個離散變量，此外有個個離散變量，此外有個N-P N-P 連續(xù)變量。連續(xù)變量。 N-P N-P 維連續(xù)設計空間維連續(xù)設計空間: :pnTnppCRxxx,X214 4、N N 維

7、設計空間：維設計空間： 其中：離散設計空間為：其中：離散設計空間為： 連續(xù)設計空間為：連續(xù)設計空間為：nppnRRRpnTnppCRxxx,X21pTpDRxxx,X21若若 R Rp p 為空集時，為空集時，R Rn n 為全連續(xù)變量設計問題；為全連續(xù)變量設計問題；若若 R Rp-np-n 為空集時，為空集時，R Rn n 為全離散變量設計問題。為全離散變量設計問題。7.2 7.2 離散變量優(yōu)化設計的基本概念離散變量優(yōu)化設計的基本概念二二. . 整型變量和連續(xù)變量的離散化：整型變量和連續(xù)變量的離散化： 是均勻離散1 1、整型變量的離散：、整型變量的離散： 整型變量可看作是離散間隔恒定為整型變

8、量可看作是離散間隔恒定為 1 1 的離散變量。是離散變量的離散變量。是離散變量的特例。的特例。2 2、連續(xù)變量的離散化：、連續(xù)變量的離散化： 有時為了提高優(yōu)化設計計算效率，將連續(xù)變量轉(zhuǎn)化為擬離散變量。有時為了提高優(yōu)化設計計算效率，將連續(xù)變量轉(zhuǎn)化為擬離散變量。 方法：方法：iijijiijijiiiliuiiliuiixxxxjxlxxxnppilxx，：其其相相鄰鄰兩兩個個擬擬離離散散點點為為，個個擬擬離離散散點點為為：坐坐標標軸軸上上的的第第為為欲欲取取離離散散值值的的個個數(shù)數(shù)。的的上上、下下界界，為為連連續(xù)續(xù)變變量量，其其中中：，2117.3 7.3 離散變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型離散變量優(yōu)化

9、設計的數(shù)學模型 muxgtsRRRXxfRxxxXRxxxXxxxXupnpnpnTnppCpTp1DTn1, 2 , 10)(. .min,2122 nuRmuxgx, 2 , 10，可行域：注注：設計空間有離散空間部分。：設計空間有離散空間部分。 但約束面不離散，也不一定分布有離散點。但約束面不離散，也不一定分布有離散點。 K-T K-T 條件不再適用。條件不再適用。D混合離散變量優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型：混合離散變量優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型：7.4 7.4 離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件一、離散單位鄰域一、離散單位鄰域 UN(x) UN(x) 和坐標鄰域

10、和坐標鄰域 UC(x) UC(x) ： 。量）之間的擬離散間隔量）之間的擬離散間隔是擬離散變量（連續(xù)變是擬離散變量（連續(xù)變間隔，間隔，是離散變量之間的離散是離散變量之間的離散，其中：其中：，iiiiiiiiiiiiinppixxxpixxxxxUN, 2, 1, 2 , 1 的的交交點點的的交交集集。離離散散單單位位鄰鄰域域的的各各坐坐標標軸軸的的平平行行線線與與是是過過為為各各坐坐標標軸軸，xUNxxUCeniexUNxUCiii, 2 , 1例例，二維離散空間中，二維離散空間中， 離散單位鄰域共離散單位鄰域共 3 3n n 個點，個點， UN(x) = x,A,B,C,D,E,F,G,HU

11、N(x) = x,A,B,C,D,E,F,G,H； 離散坐標鄰域共離散坐標鄰域共 2n+1 2n+1 個點：個點： UC(x) = x,B,D,E,GUC(x) = x,B,D,E,G。 x B GD EA F C Hiiii0 x1x27.4 7.4 離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件二、離散最優(yōu)解：二、離散最優(yōu)解： 全全局局最最優(yōu)優(yōu)點點。為為離離散散變變量量優(yōu)優(yōu)化化設設計計的的則則數(shù)數(shù)時時，為為定定義義在在凸凸集集上上的的凸凸函函為為凸凸集集，當當局局部部最最優(yōu)優(yōu)點點。為為離離散散變變量量優(yōu)優(yōu)化化設設計計的的則則恒恒有有對對于于所所有有若若*,*xxfxx

12、fxfxUNxx三、收斂準則：三、收斂準則： 設當前搜索到的最好點為設當前搜索到的最好點為 x x(k)(k)，需要判斷其是否收斂。在，需要判斷其是否收斂。在 x x(k) (k) 的單位鄰域中查的單位鄰域中查 3 3n n 1 1 個點，若未查到比個點，若未查到比 x x(k) (k) 的目標函數(shù)值更的目標函數(shù)值更小的點，則收斂，小的點，則收斂，x x* * = x = x(k) (k) 。DDD7.4 7.4 離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件離散變量優(yōu)化設計的最優(yōu)解及收斂條件四、四、 偽離散最優(yōu)解和擬離散最優(yōu)解：偽離散最優(yōu)解和擬離散最優(yōu)解：1 1、偽離散最優(yōu)解：、偽離散最優(yōu)解： 在判斷在

13、判斷x x(k)(k)是否收斂時，只在是否收斂時，只在 x x(k) (k) 的坐標鄰域中查點，所得到的最優(yōu)點的坐標鄰域中查點，所得到的最優(yōu)點是是偽離散最優(yōu)點偽離散最優(yōu)點。 2 2、擬離散最優(yōu)解：、擬離散最優(yōu)解： 用以連續(xù)變量優(yōu)化設計方法為基礎的用以連續(xù)變量優(yōu)化設計方法為基礎的“擬離散法擬離散法”、“離散懲罰函數(shù)法離散懲罰函數(shù)法”等，等，先求得連續(xù)變量最優(yōu)解（先求得連續(xù)變量最優(yōu)解（A A點），再圓整點），再圓整到可行域內(nèi)最近的離散點（到可行域內(nèi)最近的離散點（C C點）點）, ,是是擬離擬離散最優(yōu)點散最優(yōu)點。 B B點才是點才是離散最優(yōu)點離散最優(yōu)點。7.5 7.5 離散變量優(yōu)化設計方法離散變量優(yōu)

14、化設計方法1 1、湊整解法：、湊整解法：將離散變量全部視為連續(xù)變量，又連續(xù)變量的優(yōu)化方法求解，然后將離散變量全部視為連續(xù)變量，又連續(xù)變量的優(yōu)化方法求解，然后根據(jù)規(guī)范和標準調(diào)整為離散值。根據(jù)規(guī)范和標準調(diào)整為離散值。7.5 7.5 離散變量優(yōu)化設計方法離散變量優(yōu)化設計方法2 2、網(wǎng)格法、網(wǎng)格法 將可行域內(nèi)的所有離散將可行域內(nèi)的所有離散 點全部過一遍，逐一進點全部過一遍，逐一進 行比較，找出最小的點。行比較，找出最小的點。3 3、離散復合形法、離散復合形法 （自學）（自學）7.6 7.6 隨機變量優(yōu)化設計的基本概念隨機變量優(yōu)化設計的基本概念一、隨機變量的概率特性（略）：一、隨機變量的概率特性（略）：

15、二、隨機變量：二、隨機變量： 隨機現(xiàn)象的每一個表現(xiàn)，通稱為隨機現(xiàn)象的每一個表現(xiàn)，通稱為隨機事件隨機事件。 隨機事件可用數(shù)值表示，隨著觀察的重復，可獲得一組不同的數(shù)值。隨機事件可用數(shù)值表示，隨著觀察的重復，可獲得一組不同的數(shù)值。 對隨機現(xiàn)象作觀察，測量的變化量稱為對隨機現(xiàn)象作觀察，測量的變化量稱為隨機變量隨機變量。 例如，加工了加工了30003000根直徑為根直徑為 的軸。抽取測量了的軸。抽取測量了300300根軸的直徑，直徑值的分布情況如圖，在公差范圍內(nèi)的有根軸的直徑，直徑值的分布情況如圖，在公差范圍內(nèi)的有297297根軸。根軸。0492. 00558. 000.45d 加工直徑為加工直徑為

16、d d 的軸，是一個隨機事件；的軸，是一個隨機事件； 直徑直徑 d d 為為 隨機變量；隨機變量； 加工加工30003000根軸，是根軸，是事件的總體事件的總體； 測量測量300300根軸的直徑，是根軸的直徑，是事件的樣本空間事件的樣本空間。 合格合格 99% 99% 是是事件的概率事件的概率。7.6 7.6 隨機變量優(yōu)化設計的基本隨機變量優(yōu)化設計的基本三、隨機參數(shù)：三、隨機參數(shù)： 已知分布類型和分布參數(shù)（或特征參數(shù)），且相互獨立的隨已知分布類型和分布參數(shù)（或特征參數(shù)），且相互獨立的隨機變量。機變量。 在優(yōu)化過程中，隨機參數(shù)的分布類型及分布參數(shù)是不隨設計在優(yōu)化過程中，隨機參數(shù)的分布類型及分布參

17、數(shù)是不隨設計點的移動而變化的。點的移動而變化的。 隨機參數(shù)的向量表示如下：隨機參數(shù)的向量表示如下：為為事事件件的的概概率率。，為為事事件件的的總總體體，為為事事件件的的樣樣本本空空間間為為概概率率空空間間，），（其其中中：），（PPRPqTq,21TTTT7.6 7.6 隨機變量優(yōu)化設計的基本概念隨機變量優(yōu)化設計的基本概念四、四、 隨機設計變量：隨機設計變量： 在優(yōu)化過程中，隨機變量的分布類型及分布參數(shù)（或特征參數(shù)）需在優(yōu)化過程中，隨機變量的分布類型及分布參數(shù)（或特征參數(shù)）需要通過調(diào)整變化來求得最優(yōu)解，而且是相互獨立的隨機變量，稱為隨機要通過調(diào)整變化來求得最優(yōu)解，而且是相互獨立的隨機變量，稱為

18、隨機設計變量。設計變量。 隨機設計變量的向量表示方法如下：隨機設計變量的向量表示方法如下：nTnRPxxxX，,21五、分布類型及其參數(shù)的確定：五、分布類型及其參數(shù)的確定： 方法 一： 由試驗或觀察，測量由試驗或觀察，測量得到隨機變量的相關數(shù)據(jù)，作出樣本得到隨機變量的相關數(shù)據(jù)，作出樣本的直方圖，然后選擇分布類型，進行的直方圖，然后選擇分布類型，進行假設檢驗和分布參數(shù)的估計。假設檢驗和分布參數(shù)的估計。T7.6 7.6 隨機變量優(yōu)化設計的基本概念隨機變量優(yōu)化設計的基本概念 方法二：根據(jù)樣品試驗、同類事件的數(shù)據(jù)或以往積累的經(jīng)驗，先推斷根據(jù)樣品試驗、同類事件的數(shù)據(jù)或以往積累的經(jīng)驗，先推斷一種分布類型，

19、再調(diào)整分布參數(shù)或特征值。一種分布類型，再調(diào)整分布參數(shù)或特征值。 一般認為：加工誤差服從正態(tài)分布；一般認為：加工誤差服從正態(tài)分布；壽命服從指數(shù)分布或威布爾分布；合金鋼壽命服從指數(shù)分布或威布爾分布；合金鋼的強度極限服從對數(shù)正態(tài)分布。的強度極限服從對數(shù)正態(tài)分布。若已知離差系數(shù)若已知離差系數(shù) c cx x ，則可根據(jù)，則可根據(jù) 直接在優(yōu)化過程中迭代均值，通直接在優(yōu)化過程中迭代均值，通過調(diào)整均值和離差系數(shù)求得最優(yōu)解過調(diào)整均值和離差系數(shù)求得最優(yōu)解。xxxc 若若 x xi i 服從正態(tài)分布，一般容差服從正態(tài)分布，一般容差xixi3可取小小值值。為為設設計計變變量量的的最最大大和和最最和和其其中中minma

20、xminmax6/iiiixixxxx同樣可直接在優(yōu)化過程中迭代均值，通過同樣可直接在優(yōu)化過程中迭代均值，通過調(diào)整均值和容差求得最優(yōu)解。調(diào)整均值和容差求得最優(yōu)解。7.7 7.7 隨機變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型隨機變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型一、隨機設計特性：一、隨機設計特性： 當設計特性或技術指標表示為隨機設計變量和隨機參數(shù)的函數(shù)時，當設計特性或技術指標表示為隨機設計變量和隨機參數(shù)的函數(shù)時，稱為稱為隨機設計特性隨機設計特性。二、二、 目標函數(shù)：目標函數(shù)：由隨機設計特性定義優(yōu)化準則函數(shù)。由隨機設計特性定義優(yōu)化準則函數(shù)。,. 4,.max. 3,.0. 2,.0. 121021212121xfVarwxfE

21、wxfPxxxfVarxfVarptxxxfExfEptqnqn例：例：組合型組合型概率型概率型方差型方差型均值型均值型注：工程問題的優(yōu)化設計中，根據(jù)工程實際情況選擇目標函數(shù)的類型。注：工程問題的優(yōu)化設計中，根據(jù)工程實際情況選擇目標函數(shù)的類型。7.7 7.7 隨機變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型隨機變量優(yōu)化設計的數(shù)學模型三、約束函數(shù)：三、約束函數(shù)：uuuxgPxgE0,.20,.1概概率率型型均均值值型型四、隨機型優(yōu)化設計數(shù)學模型：四、隨機型優(yōu)化設計數(shù)學模型：qnuqnnTnRPxmuxgtsRPxxfRPxxxX，, 2 , 10,. .,.min,21說明說明： min. min. 和和 s.t.

22、s.t. 只能從概率空間的意義來理解；只能從概率空間的意義來理解； 采用不同的樣本組，最優(yōu)點采用不同的樣本組，最優(yōu)點 x x* *()()是不同的；是不同的； 模型的類型有很多種，最有實際意義的是概率約束型。模型的類型有很多種，最有實際意義的是概率約束型。TTT7.7 7.7 隨機變量概率約束問題的優(yōu)化隨機變量概率約束問題的優(yōu)化設計模型及最優(yōu)解設計模型及最優(yōu)解一、概率約束問題的優(yōu)化設計模型：一、概率約束問題的優(yōu)化設計模型：。時時，目目標標函函數(shù)數(shù)是是均均值值型型，時時，目目標標函函數(shù)數(shù)是是方方差差型型加加權權因因子子，當當；，預預先先給給定定的的概概率率值值合合；以以均均值值表表示示設設計計點點的的集集，00,1 , 0, 2 , 10,. .,.min212121wwwwXPxmuxgPtsxfVarwxfEwRXxuuuun來來表表示示?；蚧?/p>