第五章測量誤差的基本

1、 測量與觀測值測量與觀測值 觀測觀測與觀測值的分類與觀測值的分類 觀測條件觀測條件 等精度觀測和不等精度觀測等精度觀測和不等精度觀測 直接觀測和間接觀測直接觀測和間接觀測 獨立觀測和非獨立觀測獨立觀測和非獨立觀測 5-1 5-1 測量誤差概述測量誤差概述 測量誤差及其來源測量誤差及其來源 測量誤差的來源測量誤差的來源（1 1）儀器誤差：儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2 2）人為誤差：人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3 3）外界條件的影響：外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等溫度變化、風(fēng)、大氣折光等 測量誤

2、差的表現(xiàn)形式測量誤差的表現(xiàn)形式 測量誤差（真誤差測量誤差（真誤差=觀測值-真值）Xl jiijllXl（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）測量誤差按其對測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為：測量誤差按其對測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為：系統(tǒng)誤差和偶然誤差。系統(tǒng)誤差和偶然誤差。一系統(tǒng)誤差一系統(tǒng)誤差(system error)1定義：定義：在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均相同或按一列觀測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。2特點：特點：具有積累性，對測量結(jié)果的影響大，但具有積

3、累性，對測量結(jié)果的影響大，但可通過一般的改正或用一定的觀測方法可通過一般的改正或用一定的觀測方法加以消除。加以消除。 例如：鋼尺尺長誤差、例如：鋼尺尺長誤差、 鋼尺溫度誤差、水準(zhǔn)鋼尺溫度誤差、水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差、儀視準(zhǔn)軸誤差、 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差。經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差。二偶然誤差二偶然誤差 (accident error)1、定義：、定義：在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均不一定，這測，如誤差出現(xiàn)符號和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。但具有一定的統(tǒng)計種誤差稱為偶然誤差。但具有一定的統(tǒng)計規(guī)律。規(guī)律。2、特點：、特點： （見圖（見圖 ）（

4、1 1）具有一定的范圍。）具有一定的范圍。（2 2）絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大。）絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大。（3 3）絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同，）絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同，數(shù)學(xué)期限望等于零。即：數(shù)學(xué)期限望等于零。即： 此外，在測量工作中還要注意避免此外，在測量工作中還要注意避免粗差粗差(gross error)(gross error)（即：錯誤）的出現(xiàn)。（即：錯誤）的出現(xiàn)。 0limnn舉例舉例: : 在某測區(qū)，等精度觀測了在某測區(qū)，等精度觀測了358358個三角形的內(nèi)個三角形的內(nèi) 角之和，得到角之和，得到358358個三角形閉合差個三角形閉合差 i i( (偶然誤偶然

5、誤 差，也即真誤差差，也即真誤差) ) ，然后對三角形閉合差，然后對三角形閉合差 i i 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明，分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然 誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而而 且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。偶然誤差的特性偶然誤差的特性用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對稱于對稱于y軸。軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)頻率直方圖中，每一

6、條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間的頻率間的頻率k/n，而所有條形的，而所有條形的總面積等于總面積等于1。各條形頂邊中點各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律然誤差的普遍規(guī)律 圖6-1 誤差統(tǒng)計直方圖正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線四個特性：四個特性：有界性，趨向性，對稱性，有界性，趨向性，對稱性，抵償性抵償性。 0limlim21nnnnn -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y誤差分布頻率直方圖誤差分布頻率直方圖從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤從

7、誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤 差的差的四個特性四個特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實用意義。具有實用意義。 3.3.偶然誤差的特性偶然誤差的特性(1)(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定 的限值的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多( (趨向性趨向性) )；(3)(3)絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等( (對稱性對稱性) )；(4)(4)當(dāng)觀測

8、次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )： 0limlim21nnnnn偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測次數(shù)當(dāng)觀測次數(shù)n n無限增多無限增多( (n n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無限縮小無限縮小( (d d 0)0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為這條曲線稱為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，又稱為，又稱為“高斯誤差分高斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差所以偶然誤差具有具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。的特性。圖6-1 誤差統(tǒng)計直方圖52

9、衡量精度的指標(biāo) 幾個概念: 準(zhǔn)確度：測量成果與真值的差異； 精（密）度：觀測值之間的離散程度； 最或是值：最接近真值的估值，最可靠值； 測量平差：求解最或是值并評定精度。52 衡量精度的指標(biāo) 一、中誤差一、中誤差(mean square error) 1. 1.用真誤差（用真誤差（true errortrue error）計算中誤差的公式）計算中誤差的公式。，XlXliii為觀測值的真值為觀測值真誤差：真誤差：標(biāo)準(zhǔn)差公式：標(biāo)準(zhǔn)差公式：為觀測值的個數(shù)nnnlimnnmn22221中誤差公式為：中誤差公式為：舉舉 例例2.2.用改正數(shù)計算中誤差的公式用改正數(shù)計算中誤差的公式iiilxlnlv當(dāng)觀測

10、值的真值未知時：當(dāng)觀測值的真值未知時：設(shè)某未知量的觀測值為：設(shè)某未知量的觀測值為：nlll,21nlnlllxn21則該量的算術(shù)平均值為：則該量的算術(shù)平均值為： 則該量的改正數(shù)：則該量的改正數(shù)：1nVVm計算得：觀測值的中誤差計算得：觀測值的中誤差舉舉 例例1 1）方差與標(biāo)準(zhǔn)差）方差與標(biāo)準(zhǔn)差 由正態(tài)分布密度函數(shù) 22221axex式中 、 為常數(shù)；a =2.72828ex=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：令： ，上式為：ax22221)(efy3. 3. 中誤差公式的推導(dǎo)中誤差公式的推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的數(shù)學(xué)意義的數(shù)學(xué)意義22221)(efy 表示表示 的的離散程度離散程度x=y較小較大nnnnli

11、mlim2稱為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：nnnnnlimlim22222122上式中， 稱為方差方差：測量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差中誤差: :觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差 表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnlim上式中，偶然誤差上式中，偶然誤差 為觀測值為觀測值 與真值與真值X之差：之差：觀測次數(shù)觀測次數(shù)n n有限有限時，用時，用中誤差中誤差m表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnmn22221i=i - XP123表5-2 m m1 1小于小于m m2 2, ,說明第一組觀測值的誤差分布比較說明第一組觀測值的誤差分布比

12、較集中集中， 其其精度較高；精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比相對地，第二組觀測值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低： m1=2.7是第一組觀測值的中誤差； m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。 二、相對誤差(相對中誤差) 誤差絕對值與觀測量之比。 用于表示距離的精度。用于表示距離的精度。用分子為用分子為1 1的分?jǐn)?shù)表示。的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。 K2K1，所以距離，所以距離S2精度較高精度較高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得用鋼尺丈量兩段距離分別得S S1 1=100=100米米,

13、,m m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米, ,m m2 2=0.02m=0.02m。計算。計算S S1 1、S S2 2的相對誤差。的相對誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：三、容許誤差三、容許誤差(極限誤差) 根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：demdfPm22221)()(誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：kmkmmdemkmP22221)( 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=6

14、8.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|一一.一般函數(shù)的中誤差一般函數(shù)的中誤差令 的系數(shù)為 ， (c)式為：ixiixFf由于 和 是一個很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得對(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)設(shè)有函數(shù)：),(21nxxxFZ為獨立獨立觀測值ix設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差ixixZ(a)5-3 5-3 誤差傳播定律誤差傳播定律)()(22)(11)

15、()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)對K個(e)式取總和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,2222222

16、12122由偶然誤差的抵償性知：0limnxxjin(g)式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：則：前面各項KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考慮考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：，代入上式，得中誤差關(guān)系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式為上式為一般函數(shù)的中誤差公式一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為，也稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。 通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤

17、差的步驟求觀測值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式；列出函數(shù)式； 2.對函數(shù)式求全微分；對函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式二二 .幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的

18、中誤差 2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：設(shè)有某線性函數(shù)設(shè)有某線性函數(shù) 其中其中 、 、 分別為獨立觀測值，它們的中誤差分分別為獨立觀測值，它們的中誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：對上式全微分：由中誤差式得： 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnn

19、nnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算術(shù)平均值的中誤差式算術(shù)平均值的中誤差式 由于等精度觀測時， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了縮小了 倍。 對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均， 是提高觀測成果精度最有效的方法。4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當(dāng)?shù)染扔^測時： 上式可寫成：mmmmmn321nmmZ例：例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每

20、站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。例例1：

21、要求三角形最大閉合差m15 ，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個角的測角中誤差：3 . 435 . 7m測回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解:(1)測量水平距離的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距離中誤

22、差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD)206265( 其中： 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解: (2)測量高差的精度 基本公式： 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中誤差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh )206265( 其中： 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解: (1)周長 , lml (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中

23、誤差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4 面積 , 2lAlAlmm2 周長的中誤差為 dldS4全微分:面積的中誤差為 全微分:ldldA2解:(1)周長和面積的中誤差分別為 例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmmlllll43213321且lSmm4lAlmm2 (2)周長 ;周長的中誤差為 lllllS44321 面積llllllSmmmmmmm24222224321 得周長的中誤差為 2243214LllllA全微分:432141414141dldldldldL

24、但由于LdLdA2llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321 觀測值的算術(shù)平均值觀測值的算術(shù)平均值(最或是值) 用觀測值的改正數(shù)用觀測值的改正數(shù)v v計算觀測值的計算觀測值的 中誤差中誤差 (即:白塞爾公式) 5 54 4 同（等）精度直接觀測平差同（等）精度直接觀測平差 一一. .觀測值的觀測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值) 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X n= n- X對某未知量未知量進(jìn)行了n 次觀測，得n個觀測值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值為：x= =1+2+n

25、nn上式等號兩邊分別相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 當(dāng)觀測無限多次時：nlXnnnlimlim得Xnlnlim兩邊除以n：由 lnX nlXn當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均 值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn觀測值改正數(shù)特點二二. .觀測值的改正數(shù)觀測值的改正數(shù)v v ： 以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù) v ，符合vv=min 的“最小二乘原則”。Vi = L - i (i=1,2,n)特點特點1 改正數(shù)總和為零：改正數(shù)總和為

26、零：對上式取和：以 代入：通常用于計算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點特點2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n 比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 與 中：精度評定精度評定用觀測值的改正數(shù)用觀測值的改正數(shù)v v計算中誤差計算中誤差1nvvm一一. .計算公式計算公式(即白塞爾公式)：1nvvn證明如下：證明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真誤差：真誤差：改正數(shù)：改正數(shù)：XlXlXlnn2211nnlLv

27、lLvlLv2211iiiivXLv對上式取n項的平方和 vvvn22由上兩式得由上兩式得其中: 0lnLv 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中誤差中誤差定義定義: :nm白塞爾白塞爾公式公式: :1nvvm解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V V計計 算其中誤差：算其中誤差：例：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測值的中誤差。算例1: V =098315601 .nVVm4715983 .nm

28、M7642451.74 算例算例2：對某距離用精密量距方法丈量六次，求對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù)該距離的算術(shù) 平均值平均值 ； 觀測值的中誤差觀測值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤算術(shù)平均值的中誤 差差 ； 算術(shù)平均值的相對中誤差算術(shù)平均值的相對中誤差 ：xxmMxM /凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。5 55 5 權(quán)（不同精度直接觀測平差）權(quán)（不同精度直接觀測平差）一、權(quán)的概念 權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測量工作中權(quán)是一個表示觀測結(jié)果可靠程度的相對性指標(biāo)。1 權(quán)的定義：權(quán)的定義：設(shè)一組不同精度的觀測值為l i ,其中誤差為mi(I=1,2n)，選定任一大于零的常數(shù)，則定義權(quán)為： 2iimP稱Pi為觀測值l i 的權(quán)。1 權(quán)的定義：對于一組已知中誤差mi的觀