用向量法求空間距離

1、向量法求空間距離湖北省通城縣第二高級中學(xué) 何國雄向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，向量成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，空間向量將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將過去的形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計算，化繁難為簡易，化復(fù)雜為簡單，成為解決立體幾何問題的重要工具。1.異面直線的距離分別在直線上取定向量求與向量都垂直的向量，分別在上各取一個定點，則異面直線的距離等于在上的射影長，即。證明：如圖1，設(shè)為公垂線段，取圖2 2平面外一點P到平面的距離如圖2，先求出平面的法向量，在平面內(nèi)任取一定點，則點到平面的距離等于在上的射影長，即圖3由于空間中任何向量均可由不共面的三個基向量來線性表

2、示，因此在解題時往往根據(jù)問題條件首先選擇適當(dāng)?shù)幕蛄?，把有關(guān)線段根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則與基向量聯(lián)系起來。再通過向量的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到計算或證明的目的。一般情況下，選擇共點且不共面的三個已知向量作為基向量。例 1 如圖3，已知正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，是的中點，當(dāng)時，求點到平面的距離。幾何體中容易找到共點不共面且互相垂直的三個向量，于是有如下解法：解：當(dāng)時，如圖4 ，圖4、，則，設(shè)向量與平面垂直，則有取向量在上的射影長即為到平面的距離，設(shè)為，于是 圖5例2如圖5，在正四棱柱中，已知，、分別為、上的點，且（）求證：平面；（）求點到平面的距離.分析：題中幾何體易找到共點且相互垂直的三個

3、基向量，故可通過建立空間直角坐標(biāo)系來達(dá)到解題目的。解：()以為原點，以、的正向分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則于是且 平面 （）由()知，為平面的一個法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，設(shè)為，于是故點到平面的距離為如果題中幾何體不是長方體或正方體，則考察幾何體中的線線垂直、線面垂直及面面垂直關(guān)系。 配套練習(xí)：圖61、在三棱椎中，是邊長為4的正三角形，平面平面，為的中點.（1） 求證 ；（2）求二面角的大?。唬?）求點到平面的距離.圖7 分析: 如圖6，以中點為坐標(biāo)原點, 以、的正向分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系即可得出各相關(guān)點的坐標(biāo) 2、把正方形沿對角線折起成直二面角，點，分別是，的中點，點是原正方形的中心，求（）的長；（）折起后的大小分析：如圖7，以