第5章 隨機信號通過線性系統(tǒng)

1、2022-6-71第5章 隨機信號通過線性系統(tǒng)2022-6-72目錄5.1 具有隨機輸入的線性時不變系統(tǒng) 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng) 5.3 信號功率譜與帶寬 5.4 噪聲中的信號處理 5.5 平穩(wěn)序列通過離散LTI系統(tǒng) 2022-6-735.1 具有隨機輸入的線性時不變系統(tǒng) 一個系統(tǒng)對輸入信號x(t)的作用，可以表示為y(t)=Lx(t)，其中x(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出，Lx(t)表示系統(tǒng)對x(t)的作用，是對信號x(t)進行運算的符號，稱為運算子運算子。L代表各種可能的數(shù)學運算方法，例如加法、減法、乘法、微分、積分以及微分方程、積分方程的求解運算等。2022-6-74

2、1 1221122( )( )( )( )L a x ta x ta L x ta L x t若系統(tǒng)輸入之線性組合的響應(yīng)等于各自響應(yīng)之線性組合，則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng), 若輸入信號x(t)有時移, 使輸出y(t)也有一個相同的時移，即y(t-)=Lx(t-), 則稱該線性系統(tǒng)為線性時不變線性時不變(LTI)系統(tǒng)系統(tǒng), 滿足以下性質(zhì)：l 線性性線性性：對于任何a1, a2, x1(t), x2(t)與，有l(wèi) 時不變性時不變性：()()L x ty t系統(tǒng)完全由算子L 確定。2022-6-75( )( )( )() ( )y tx th tx tu h u du( )()h t

3、H jw( )()x tX jw( )()y tY jw()()()Y jwX jw H jw線性時不變系統(tǒng)的其他表示形式線性時不變系統(tǒng)的其他表示形式線性時不變系統(tǒng)的輸出可看成是輸入信號的沖激響應(yīng)（嚴格說是零狀態(tài)響應(yīng)），表示為：其中2022-6-76線性系統(tǒng)的輸出過程當輸入信號X(t,i)是隨機過程時，系統(tǒng)的輸出Y(t,i)映射為Y(t,i)=LX(t,i)。由于i在X(t)對應(yīng)的整個樣本空間取值，使Y(t,i)成為隨機函數(shù)，構(gòu)造出一個新的隨機過程。若輸入信號的均方值E|X(t)|2存在，則該類信號是穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，當輸入信號穩(wěn)定時，其輸出信號也一定是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)滿足( )h

4、 u du 2022-6-77幾種特殊情形下幾種特殊情形下Y(t)的概率分布的概率分布 如果X(t)是高斯過程，則Y(t)也是高斯過程，且X(t)與Y(t)是聯(lián)合高斯的； 若窄帶隨機信號通過寬帶系統(tǒng)，當在信號X(t)的通帶內(nèi)H(jw)幾乎不變時，即Y(t)kX(t)，k為常數(shù)，則Y(t)與X(t)具有相似的概率特性； 如果寬帶隨機信號X(t)通過窄帶系統(tǒng)，當X(t)的帶寬大于系統(tǒng)帶寬約7-10倍時，可近似認為Y(t)總是高斯的，即使X(t)是一般隨機信號。2022-6-78 對于時不變系統(tǒng)，若過程X(t)與X(t+)的分布特性相同，則過程Y(t)與Y(t+)的分布特性也相同。 如X(t)是嚴格

5、平穩(wěn)的，則Y(t)也是嚴格平穩(wěn)的。如X(t)是廣義平穩(wěn)的，則Y(t)也是廣義平穩(wěn)的。而且X(t)與Y(t)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的。2022-6-79系統(tǒng)輸出過程的均值與相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸出過程的均值與相關(guān)函數(shù)定理定理5.1 對于任何穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，有對于任何穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，有ELX(t) = LEX(t)。證明：由于是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，求均值與求積分可以交換順序，則() ( )()( )( )EX tu h u duE X tuh u duL E X t2022-6-710定理定理5.2 若若X(t)為平穩(wěn)過程，為平穩(wěn)過程，h(t)為實為實LTI系系統(tǒng)，統(tǒng)，Y(t)=X(t)*h(t)，則，則X(t)與

6、與Y(t)是聯(lián)合廣義是聯(lián)合廣義平穩(wěn)過程，并且有平穩(wěn)過程，并且有 (1) mY = mXH(j0) (2) RYX() = RX()*h() (3) RXY() = RX()*h(-) (4) RY() = RX()*h()*h(-)2022-6-711( )()( )( )( 0)XXE Y tE X tuh u dum h u dum H j( 0)( )H jh u du12121212( )( )()( ) ( )() ( )() ( )XXE Y t X tEX tu X t h u duRtut h u duRttu h u du( ) ( )( )* ( )YXXXRRu h u

7、duRh證明：(1)其中(2)令=t1-t22022-6-712121212( ) ( )()( )() ( )XXE X t Y tRttuh u duRttu h u du( )() ()( )* ()XYXXRRv hv dv Rh1212( ) ( )()()( ) ( )() ( ) ( )()* () ( )( )* ( ) * ()XXXE Y t Y tE X tu X tvh u h v dudvRvu h u h v dudvRvhv h v dvRhh (3)令=t1-t2, v=-u(4)2022-6-713( )( )()() ( )hr th thth tu h u

8、 du定義系統(tǒng)（沖激響應(yīng)）的相關(guān)函數(shù)為2( )()hrH jw( )( )( )YXhRRr|H(jw)|2稱為功率傳輸函數(shù)輸出過程的均值與相關(guān)函數(shù)*()()htHjw2022-6-714推論推論 若若LTI系統(tǒng)的頻響函數(shù)為系統(tǒng)的頻響函數(shù)為H(jw)，則其互，則其互功率譜與功率譜關(guān)系如下：功率譜與功率譜關(guān)系如下：（1） SYX(w) = SX(w)H(jw)（2）SXY(w) = SX(w)H*(jw)（3） SY(w) = SX(w)|H(jw)|22022-6-7152022-6-7161( )( )bth teu tbjw22222( )( )aXXXXaReSwaw2222222222

9、22221( )( )()211XYXXaSwSw H jwaw bwabaawbw22211( )abXYaReebaab解：（1）輸入是平穩(wěn)信號，則由功率譜之間的關(guān)系，有因此2022-6-717()0YXmm H jw222(0)(0)()XYYYYRmRb ab22()22()( , )2Xb a b yYXb abfy te0( )0( , )0.5YP Y tfy t dy（2）由于X(t)是高斯信號，Y(t)也是高斯信號，且則（3）因為Y(t)的均值為0，故2022-6-7182022-6-719/1/11()( )( )1/1t RCjwcH jwh teu tRjwcjwRCR

10、C( )0XmE X t22000(, )cos 2()cos 2cos22XaRtta Ef tf tf22002200222201( )( )()(2)(2)21(2)(2)2 14YXaSwSw H jwwfwfWRCawfwff R C2022220( )cos22(14)YaRff R C解：故X(t)是廣義平穩(wěn)的。2022-6-7202022-6-7211( )lim() ( )21lim()( )2() ( )TTTTTTA Y tX tu h u duTX tu dt h u duTA X tu h u du( )() ( )( )XYA Y tmtu h u dum t輸出信

11、號的時間平均為：如果X(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，則AX(t-u)=mX(t-u)。Y(t)均值也是各態(tài)歷經(jīng)的。同樣，Y(t)的相關(guān)函數(shù)也是各態(tài)歷經(jīng)的。2022-6-7225.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)平穩(wěn)白噪聲的均值為0，相關(guān)函數(shù)與功率譜為：0( )( )2NNR 0( )2NNSw 白噪聲通過系統(tǒng)h(t)的輸出噪聲為Y(t)，功率譜為2022-6-723( )0Ym t 00( )( )( )* ()( )22YYhNNRChhr 20( )()2YNSwH jw200(0)()(0)42YYhNNPRH jwdwr輸出信號輸出信號Y(t)的均值、相關(guān)函數(shù)與功率譜

12、的均值、相關(guān)函數(shù)與功率譜2022-6-7242022-6-7251()1H jwjwRC/1( )( )t RCh teu tRC2( )NSw22222222(1/)( )()11/YRCSwH jwwRCwRC2(0)2YYPRRC解：（1）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：其沖激響應(yīng)為：噪聲功率譜為：輸出信號功率譜為：輸出信號的相關(guān)函數(shù)為：信號功率為： RCYeRCR/222022-6-726( 0)0YXmm H j222(0)2YYYRmRC22/2( , )yRCYRCfy te（2）因為X(t)是高斯的，由X(t)的平穩(wěn)性知道，Y(t)也 是高斯的，則Y(t)的均值和方差為：Y(t)的概率密度函

13、數(shù)為：2022-6-7272022-6-728( )( )* ( )YXXRRh02( )( )YXhRN0( )( )2XNR 解：由定理，因為則00( )( )* ( )( )22YXNNRhh 2022-6-729白噪聲通過低通與帶通線性系統(tǒng)白噪聲通過低通與帶通線性系統(tǒng)2022-6-730wN0/20WW設(shè)白噪聲的功率譜設(shè)白噪聲的功率譜 輸出的自相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù)輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時間輸出相關(guān)時間 白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)0/2( )0YNSw0W其它0( )/2XGN20/2 0w( )( )( )0 wYX

14、NWSHSW2022-6-731wN0/20WW設(shè)白噪聲的功率譜設(shè)白噪聲的功率譜 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù)輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時間輸出相關(guān)時間 0( )/2XGN01( )( )cos2YYRSd 001cos22WNd 0sin2NW 2022-6-732wN0/20WW設(shè)白噪聲的功率譜設(shè)白噪聲的功率譜 輸出相關(guān)系數(shù)輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時間輸出相關(guān)時間 0( )/2XGN 00012222YNN WPWN B2022-6-733wN0/20WW設(shè)白噪聲的功率譜設(shè)白噪聲的功率譜 輸出相關(guān)時間輸出相關(guān)時間 0( )/2XGN ( )sin( )(0)YYYCWCW 2022-6

15、-734wN0/20WW設(shè)白噪聲的功率譜設(shè)白噪聲的功率譜 0( )/2XGN Y00sin1( )24cWddWWB02)sin(dxxax0a結(jié)論：輸出隨機信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)結(jié)論：輸出隨機信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時間寬，相關(guān)時間 越小，輸出隨機信號隨越小，輸出隨機信號隨時間變化時間變化(起伏起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨時間寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨時間變化就越緩慢。變化就越緩慢。 2022-6-735wN0/2|H (w)|00w0wW系統(tǒng)的中心頻率遠大于系統(tǒng)的帶寬，

16、系統(tǒng)的中心頻率遠大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。0W000/2, (w -W/2)w(w +W/2)( )0, YNSw其他白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)2022-6-7360( )/2XSN2000X/2, (w -W/2)w (w +W/2) ( )( )( )0, YNSHS其他若輸入白噪聲的功率譜為若輸入白噪聲的功率譜為則輸出的功率譜為則輸出的功率譜為 2022-6-737YY01( )( )cos2RSd 00/20/21cos22WWNd 00sin/2cosNW 輸出相關(guān)函數(shù)為輸出相關(guān)函數(shù)為 2022-6-738輸出的相關(guān)

17、系數(shù)為輸出的相關(guān)系數(shù)為0sin( )( )2( )cos(0)(0)2YYYYYWCRWCR 帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為 00012222YNN WPWN B 帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，0sin1222cWdWWB因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時間一致。因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時間一致。2022-6-7392022-6-740N維密度函數(shù)為： 21212/2110011,;,exp22nnnniiniif x xx n nnf xxN BN B2022-6-741系統(tǒng)的等效噪聲帶寬

18、系統(tǒng)的等效噪聲帶寬2022-6-742202000022002020201()22()1()2()111()2 2()(0)2()YNiwhNH jwdwPBN GNH jwH jwdwH jwH jwedwH jwrH jw由實值系統(tǒng)頻率響應(yīng)的偶對稱性WN=2BN正好是系統(tǒng)功率傳遞函數(shù)|H(jw)|2的矩形等效帶寬。2022-6-743低通和帶通系統(tǒng)的等效噪聲帶寬低通和帶通系統(tǒng)的等效噪聲帶寬2022-6-744221()1H jwwRC/1( )2t RChr teRC200,( 0)1wH j2(0)142( 0)hNrBRCH j例例5.6 求求RC積分電路的等效噪聲帶寬。積分電路的等效

19、噪聲帶寬。解：RC積分電路的功率傳遞函數(shù)為則因為故所求等效噪聲帶寬為312dBBRC331.57NdBdBBBB2022-6-745 隨機信號功率譜的物理意義：SX(w0)反映的是X(t)在w0局部的功率強度， SX(w0)對任何w0都是非負的。對于SX(w0)0的頻率處，E|Y(t)|2=0，這表示X(t) 在均方意義下沒有該頻率分量。 SX(w)指明了X(t)有效的頻率范圍與各頻率分布的狀態(tài)信息。 互功率譜的物理意義：SXY(w) 反映了兩個信號的關(guān)聯(lián)性沿w軸的密度狀況。如果SXY(w)0，表明它們的相應(yīng)頻率分量是正交的。5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬 2022-6-746202

20、2-6-747111( )( )U tL X t222( )( )V tL Y t121212121122( ,)( ,)( ,)*( )*( )UVXYXYRt tL LRt tRt th th t1212( , )( )*( )*()UVXYRt tRhh12( )( )()()UVXYSwSw Hjw Hjw解：2022-6-748（1）若X(t)與Y(t)正交，RXY()=0，則 RUV()=0，即U(t)與V(t)正交。（2）若X(t)與Y(t)無關(guān)，RXY() = mXmY，則 RUV() = mXmYH1(j0)H2(j0) = mXH1(j0)mYH2(j0)=mUmV 即U(

21、t)與V(t)無關(guān)。2022-6-749（3）若H1(jw)與H2(jw)的非零頻帶不重疊，即H1(jw)H2(jw) = 0, 則SUV(w) = 0，即U(t)和V(t)正交。又H1(j0)與H2(j0)中至少有一個為零，使mU與mV中至少有一個為零，因此，U(t)與V(t)也無關(guān)。（4）即使X(t)與Y(t)為同一信號，若H1(jw)與H2(jw)為不同頻帶的帶通濾波器，U(t)和V(t)也正交且無關(guān)。結(jié)論：正交或無關(guān)的平穩(wěn)信號分別經(jīng)過結(jié)論：正交或無關(guān)的平穩(wěn)信號分別經(jīng)過LTI系統(tǒng)系統(tǒng)后仍是正交或無關(guān)的；平穩(wěn)信號的不同頻帶內(nèi)的后仍是正交或無關(guān)的；平穩(wěn)信號的不同頻帶內(nèi)的分量總是彼此正交且無關(guān)

22、的。分量總是彼此正交且無關(guān)的。2022-6-750隨機信號的帶寬隨機信號的帶寬000001( )11(0)( )2()2 () 22 ()j weqS wRBdwS w edws wS wS w 平穩(wěn)信號X(t)的（矩形）等效帶寬等效帶寬(Equivalent Bandwidth)定義為：對于低通信號，對于低通信號，w0 = 0；對于帶通信號，；對于帶通信號，w0通通常取在常取在S(w)的最大值處。的最大值處。2022-6-7511/22000()( )12( )rmswwS w dwBS w dw000( )( )wS w dwwS w dw平穩(wěn)信號X(t)的均方根帶寬均方根帶寬(RMS B

23、andwidth)定義為對于低通信號，w0 = 0；對于帶通信號，w0等于S(w)的重心，即2022-6-7521, ( );0, TRTT22224sin (/2)sin (/2)( )(/2)wTTwTS ww TwT01(0)1( )/22(0)2 (0)2eqRBS w dwFSST5.8 假定隨機二元傳輸信號的取值概率假定隨機二元傳輸信號的取值概率p=q=0.5，求信號的矩形等效帶寬。求信號的矩形等效帶寬。解：當p = q = 0.5時，參見例3.15。S(0)=T，故等效矩形帶寬為其中，F(xiàn)=1/T，是二元數(shù)據(jù)寬度的倒數(shù)，稱為數(shù)據(jù)率。2022-6-753匹配濾波器匹配濾波器 問題：對

24、于有限時長的確定信號問題：對于有限時長的確定信號s(t)，通過，通過接收信號接收信號X(t)檢測檢測s(t)是否出現(xiàn)。是否出現(xiàn)。X(t)=x(t)+N(t)，其中，其中N(t)是白噪聲，是白噪聲，x(t)是是未知信號。當未知信號。當s(t)出現(xiàn)時，出現(xiàn)時，X(t)=s(t)+N(t)。解決問題的途徑：設(shè)計LTI濾波器，使Y(t)=X(t)*h(t)=s(t)*h(t)+N(t)*h(t)，以便檢測信號S(t)是否出現(xiàn)。2022-6-754 檢測信號時只關(guān)心在某時刻t0是否可由抽樣值Y(t0)有效判定s(t)的存在。 設(shè)計目標：使Y(t0)中的信號與噪聲之比最大化，選擇合適的門限值，當Y(t0)大于該門限時，就判定Y(t)中含有s(t)。2022-6-755202( )( )soutNy tSNE Yt22220001( )( )()()224NNNNE YtE YtH jwdwH jwdw02201( )()()2jwts