大連理工大學(xué)信號18_希爾伯特-黃變換

1、2022-6-7大連理工大學(xué)1第第18章章希爾伯特希爾伯特黃變換黃變換大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程信號處理與數(shù)據(jù)分析信號處理與數(shù)據(jù)分析電子信息與電氣工程學(xué)部電子信息與電氣工程學(xué)部邱天爽邱天爽2013年年12月月 內(nèi)容概要內(nèi)容概要 18.1 18.1 概述概述 18.2 18.2 固有模態(tài)函數(shù)（固有模態(tài)函數(shù)（IMFIMF）的概念）的概念 18.3 18.3 經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓ń?jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MDEMD） 18.4 18.4 希爾伯特希爾伯特黃變換黃變換 18.5 EMD18.5 EMD與與HHTHHT的應(yīng)用的應(yīng)用2022-6-7大連理工大學(xué)318.1 概述概述2022

2、-6-7大連理工大學(xué)4 各類信號處理方法的特點各類信號處理方法的特點 傅里葉變換：傅里葉變換：整體變換，不能表示隨時間變化的頻率，整體變換，不能表示隨時間變化的頻率，只適用于分析線性平穩(wěn)信號；只適用于分析線性平穩(wěn)信號； STFT：可分析非平穩(wěn)信號，但時可分析非平穩(wěn)信號，但時頻窗是固定的，只頻窗是固定的，只可分析緩變信號；可分析緩變信號； 小波分析：小波分析：具有多分辨性，但是沒有局部自適應(yīng)性；具有多分辨性，但是沒有局部自適應(yīng)性； 希爾伯特希爾伯特黃變換（黃變換（HHT）：是為分析非平穩(wěn)信號而：是為分析非平穩(wěn)信號而提出的。提出的。2022-6-7大連理工大學(xué)5 希爾伯特希爾伯特-黃變換的概念黃變

3、換的概念 希爾伯特希爾伯特黃變換（黃變換（HHT）是是20世紀(jì)末由世紀(jì)末由N. E. Huang等等人首次提出的一種新的信號分析理論方法。人首次提出的一種新的信號分析理論方法。 其主要創(chuàng)新：其主要創(chuàng)新：固有模態(tài)函數(shù)固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function, IMF）和）和經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Expierical Mode Decomposition, EMD）. 通過通過EMD，將信號分解成，將信號分解成IMF之和，對每個之和，對每個IMF做做Hilbert變換，可以得到有意義的瞬時頻率，從而給出頻變換，可以得到有意義的瞬時頻率，從而給出頻率隨時間變化的精確表達。率隨

4、時間變化的精確表達。 HHT是一種新的自適應(yīng)時頻分析方法，消除人為因素。是一種新的自適應(yīng)時頻分析方法，消除人為因素。分辨率高，時頻聚集性好，適合非平穩(wěn)非線性分析。分辨率高，時頻聚集性好，適合非平穩(wěn)非線性分析。2022-6-7大連理工大學(xué)618.2 固有模態(tài)函數(shù)（固有模態(tài)函數(shù)（IMFIMF）的）的概念概念2022-6-7大連理工大學(xué)7 固有模態(tài)函數(shù)（固有模態(tài)函數(shù)（IMFIMF）的概念）的概念 IMF需滿足以下兩個條件：需滿足以下兩個條件： 在整個數(shù)據(jù)集中，極值點的個數(shù)與零交叉點的個數(shù)必須相在整個數(shù)據(jù)集中，極值點的個數(shù)與零交叉點的個數(shù)必須相等或至多相差一個點。等或至多相差一個點。 在任意時刻，由極

5、大值點構(gòu)成的上包絡(luò)和由極小值點構(gòu)成在任意時刻，由極大值點構(gòu)成的上包絡(luò)和由極小值點構(gòu)成的下包絡(luò)的均值為零。的下包絡(luò)的均值為零。 其中第一個條件類似于高斯正態(tài)平穩(wěn)過程的傳統(tǒng)窄其中第一個條件類似于高斯正態(tài)平穩(wěn)過程的傳統(tǒng)窄帶要求，而第二個條件可以保證由帶要求，而第二個條件可以保證由IMF求出的瞬時求出的瞬時頻率有意義。頻率有意義。 之所以稱這樣的分量為之所以稱這樣的分量為固有模態(tài)函數(shù)固有模態(tài)函數(shù)（又稱為（又稱為內(nèi)在內(nèi)在模式分量模式分量），是因為它表示了信號中振蕩的模式。），是因為它表示了信號中振蕩的模式。2022-6-7大連理工大學(xué)8 IMFIMF舉例舉例2022-6-7大連理工大學(xué)9 IMF舉例的說

6、明：舉例的說明： 上頁圖上頁圖(a)給出了給出了典型的典型的IMF。圖中極大值點和極小。圖中極大值點和極小值點共值點共13個，而過零點共個，而過零點共13個，所以圖示信號滿足個，所以圖示信號滿足條件（條件（1）。上包絡(luò)）。上包絡(luò)v1(t)和下包絡(luò)和下包絡(luò)v2(t)對對t軸是對稱軸是對稱的，所以上下包絡(luò)的均值為零，滿足條件（的，所以上下包絡(luò)的均值為零，滿足條件（2）。）。 圖圖(b)給出了給出了非非IMF的示意圖。圖中上包絡(luò)的示意圖。圖中上包絡(luò)v1(t)與下與下包絡(luò)包絡(luò)v2(t)顯然不關(guān)于時間軸對稱，其均值不為零；顯然不關(guān)于時間軸對稱，其均值不為零；極大值點與極小值點共有極大值點與極小值點共有1

7、2個，而過零點只有個，而過零點只有7個。個。這個信號不滿足條件（這個信號不滿足條件（1）和條件（）和條件（2），所以它不），所以它不能作為能作為IMF。 2022-6-7大連理工大學(xué)10 IMF的進一步說明：的進一步說明： Hilbert變換中，瞬時頻率定義為相位函數(shù)相對于時變換中，瞬時頻率定義為相位函數(shù)相對于時間的一階導(dǎo)數(shù)。間的一階導(dǎo)數(shù)。 一個信號只有在它關(guān)于信號均值局部對稱下才能定一個信號只有在它關(guān)于信號均值局部對稱下才能定義瞬時頻率。義瞬時頻率。IMF表示了信號中振蕩的模式，與信表示了信號中振蕩的模式，與信號的瞬時頻率密切相關(guān)。號的瞬時頻率密切相關(guān)。 對于每一個對于每一個IMF，其瞬時頻

8、率可求。，其瞬時頻率可求。 實際應(yīng)用中的信號大多不是實際應(yīng)用中的信號大多不是IMF，因此用，因此用Hilbert變變換不易描述瞬時頻率。換不易描述瞬時頻率。 為了獲得瞬時頻率，需要將信號分解為為了獲得瞬時頻率，需要將信號分解為IMF。 IMF不再要求窄帶，可以是幅度頻率調(diào)制的。不再要求窄帶，可以是幅度頻率調(diào)制的。2022-6-7大連理工大學(xué)11 一個真實的一個真實的IMF：2022-6-7大連理工大學(xué)1218.3 經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸饨?jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MDEMD）2022-6-7大連理工大學(xué)13 經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓ń?jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD） 是是Huang等人引入的一個對信號進行分解，以獲得等人引入的一個對信號

9、進行分解，以獲得IMF的方法，又稱為篩法；的方法，又稱為篩法； 三個假設(shè)：三個假設(shè)： 信號至少有一個極大值點和一個極小值點；信號至少有一個極大值點和一個極小值點； 特征時間尺度有極值點間的時間推移定義；特征時間尺度有極值點間的時間推移定義； 如果整個信號只包含曲折點而不包含極值點，可如果整個信號只包含曲折點而不包含極值點，可以先微分一次或多次找到極值點，然后再所得到以先微分一次或多次找到極值點，然后再所得到的分量進行積分以得到最后結(jié)果。的分量進行積分以得到最后結(jié)果。2022-6-7大連理工大學(xué)14 EMD分解方法：分解方法：【設(shè)原信號為設(shè)原信號為 】 (1) 確定確定x(t)的所有局部極大值點

10、和局部極小值點。的所有局部極大值點和局部極小值點。 (2) 用三次樣條分別對所有局部極大值擬合成上包用三次樣條分別對所有局部極大值擬合成上包絡(luò)絡(luò) ，對所有局部極小值擬合成下包絡(luò)，對所有局部極小值擬合成下包絡(luò) 。 (3) 計算上下包絡(luò)的均值：計算上下包絡(luò)的均值： 。 (4) 原信號減去均值原信號減去均值m(t)，得到一個初步的模式函，得到一個初步的模式函數(shù)，數(shù)， 。 (5) 判斷判斷 是否滿足是否滿足IMF條件：條件：若不滿足若不滿足，對，對 循環(huán)執(zhí)行循環(huán)執(zhí)行(1)(4)。若滿足若滿足，則，則 為一為一IMF， 為余項，對為余項，對 繼續(xù)循環(huán)分解，當(dāng)繼續(xù)循環(huán)分解，當(dāng) 小于預(yù)先確小于預(yù)先確定的閾值

11、或為單調(diào)函數(shù)時，過程結(jié)束。定的閾值或為單調(diào)函數(shù)時，過程結(jié)束。( )x tmax( )etmin( )etmaxmin( )( )( )/2m tetet( )( )( )ic tx tm t( )ic t( )ic t( )ir t( )( )( )iir tx tc t( )ic t( )ir t2022-6-7大連理工大學(xué)15 EMDEMD分解原理圖分解原理圖x(t)1( )r t1( )c t2( )r t2( )c t( )ir t( )ic t( )nr t( )nc tEMD分解示意圖分解示意圖2022-6-7大連理工大學(xué)16 信號的信號的IMFIMF表示表示其中，其中， 為各為各

12、IMFIMF分量，分量， 為余項，是信號的趨為余項，是信號的趨勢項。勢項。 從分解過程中可以看出，從分解過程中可以看出，EMD主要利用待分解信號主要利用待分解信號自身的特點，算法比較簡單，自適應(yīng)性強，而且不自身的特點，算法比較簡單，自適應(yīng)性強，而且不需要對信號作任何假設(shè)，因而可以實現(xiàn)對多種不同需要對信號作任何假設(shè)，因而可以實現(xiàn)對多種不同信號自適應(yīng)的分解。信號自適應(yīng)的分解。 1( )( )( )ninix tc tr t( )ic t( )nr t2022-6-7大連理工大學(xué)17 EMDEMD分解舉例分解舉例 【例例】復(fù)合信號的分解復(fù)合信號的分解設(shè)信號由設(shè)信號由3 3各信號復(fù)合而成各信號復(fù)合而成

13、：（：（1 1）頻率為頻率為2Hz2Hz、幅、幅度為度為0.50.5的正弦波；（的正弦波；（2 2）頻率為）頻率為5Hz5Hz、幅度為、幅度為0.50.5的的三角波；頻率為三角波；頻率為0.3Hz0.3Hz、幅度為、幅度為1 1的三角波。采樣頻的三角波。采樣頻率為率為100Hz,100Hz,供供22002200各樣本點。試進行信號分解。各樣本點。試進行信號分解。 【解解】分別采用分別采用EMDEMD和小波分解對信號進行分解。結(jié)果見和小波分解對信號進行分解。結(jié)果見下頁：下頁：2022-6-7大連理工大學(xué)18 EMDEMD分解舉例分解舉例200400600800100012001400160018

14、0020002200-202(a)2004006008001000120014001600180020002200-202(b)2004006008001000120014001600180020002200-202(c)2004006008001000120014001600180020002200-202(d)2004006008001000120014001600180020002200-202(e)2004006008001000 1200 1400 1600 1800 20002200-202(a)200400600800 1000-0.200.2(b)d-1100200300400

15、500-0.200.2(c)d-250100150200 250-101(d)d-320 40 60 80 100 120 140-202(e)d-4204060-202(f)d-5204060-505(g)a-5EMDEMD分解分解小波分解小波分解2022-6-7大連理工大學(xué)19 進一步說明進一步說明 EMD分解得到的第分解得到的第1個分量個分量IMF1包含了原信號中包含了原信號中5Hz的三角波，然后依次提取出的三角波，然后依次提取出2Hz的正弦波和的正弦波和0.3Hz的三角波。余項是信號的最低頻率成分，表的三角波。余項是信號的最低頻率成分，表示信號的中心趨勢，可以看出其幅度幾乎為零。示信號

16、的中心趨勢，可以看出其幅度幾乎為零。3個個IMF分量與原信號的相關(guān)系數(shù)都超過了分量與原信號的相關(guān)系數(shù)都超過了0.99。EMD分解結(jié)果準(zhǔn)確地反映了信號的自身的特點。分解結(jié)果準(zhǔn)確地反映了信號的自身的特點。 小波分解第小波分解第5層的粗節(jié)出現(xiàn)了頻率為層的粗節(jié)出現(xiàn)了頻率為0.3Hz的三角波，的三角波，而頻率為而頻率為2Hz的正弦波和的正弦波和5Hz的三角波均未獨立出的三角波均未獨立出現(xiàn)（選用其他小波基函數(shù)，效果沒有明顯改變）。現(xiàn)（選用其他小波基函數(shù)，效果沒有明顯改變）?？梢?，小波分解的效果與可見，小波分解的效果與EMD分解的效果相差很大。分解的效果相差很大。 2022-6-7大連理工大學(xué)20 EMDE

17、MD分解舉例分解舉例2022-6-7大連理工大學(xué)2118.4 希爾伯特希爾伯特黃變換黃變換2022-6-7大連理工大學(xué)22 希爾伯特希爾伯特黃變換（黃變換（HHTHHT）的概念）的概念 希爾伯特希爾伯特-黃變換是黃變換是Huang等人在等人在1998年提出經(jīng)驗?zāi)Ｄ晏岢鼋?jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夥椒ê?，并引入了式分解方法后，并引入了Hilbert譜的概念和譜的概念和Hilbert譜分析方法。譜分析方法。 美國國家航空和宇航局（美國國家航空和宇航局（NASA）將這一方法命名）將這一方法命名為為Hilbert-Huang Transform，簡稱，簡稱HHT，即希爾，即希爾伯特伯特-黃變換。黃變換。 其主要內(nèi)容包

18、括：其主要內(nèi)容包括：EMD分解分解和和希爾伯特譜。希爾伯特譜。 2022-6-7大連理工大學(xué)23 HHTHHT的主要內(nèi)容的主要內(nèi)容 通過通過EMD分解，將信號分解成各分解，將信號分解成各IMF（一般為有限（一般為有限數(shù)目）之和。數(shù)目）之和。 對每個對每個IMF進行進行Hilbert變換，可以獲得有意義的瞬變換，可以獲得有意義的瞬時頻率，從而給出頻率隨時間變化的精確表達。時頻率，從而給出頻率隨時間變化的精確表達。 信號最終被表示為時頻平面上的能量分布，稱為信號最終被表示為時頻平面上的能量分布，稱為Hilbert譜。譜。 進而還可以得到邊際譜。進而還可以得到邊際譜。2022-6-7大連理工大學(xué)24

19、 HHTHHT的用途的用途 HHT是一種新的具有自適應(yīng)的時頻分析方法；是一種新的具有自適應(yīng)的時頻分析方法； 它可根據(jù)信號的局部時變特征進行自適應(yīng)的時頻分它可根據(jù)信號的局部時變特征進行自適應(yīng)的時頻分解，消除了人為因素；解，消除了人為因素； 克服了傳統(tǒng)方法中用無意義的諧波分量來表示非平克服了傳統(tǒng)方法中用無意義的諧波分量來表示非平穩(wěn)、非線性信號的缺陷；穩(wěn)、非線性信號的缺陷； 可得到很高的時頻分辨率，具有良好的時頻聚集性；可得到很高的時頻分辨率，具有良好的時頻聚集性； 非常適合對非平穩(wěn)信號和非線性信號進行分析。非常適合對非平穩(wěn)信號和非線性信號進行分析。2022-6-7大連理工大學(xué)25 希爾伯特譜希爾伯

20、特譜 在利用在利用EMD方法分解得到信號方法分解得到信號x(t)的各個的各個IMF后，后，可對每一個可對每一個IMF分量分量 做做Hilbert變換，即變換，即 與與 為共軛復(fù)數(shù)對。構(gòu)造解析信號為共軛復(fù)數(shù)對。構(gòu)造解析信號 為為 式中，幅值式中，幅值 和相位和相位 分別為：分別為： ( )ic t1( ) ( )diicH c tt( )ic t ( )iH c t( )iz t( )( ) ( )( )expj ( )iiiiiz tc tH c ta tt( )ia t( )it22( )( ) ( ) ( )( )arctan( )iiiiiia tc tH c tH c ttc t202

21、2-6-7大連理工大學(xué)26 希爾伯特譜（續(xù)）希爾伯特譜（續(xù)） 進一步可以求出瞬時頻率進一步可以求出瞬時頻率 為為 這樣原始數(shù)據(jù)這樣原始數(shù)據(jù)x(t)可以表示為可以表示為 ( )itd( )( )diittt11( )Re( )expj ( ) Re( )expj( )d niiiniiix ta tta ttt2022-6-7大連理工大學(xué)27 希爾伯特譜（續(xù)希爾伯特譜（續(xù)2） 這里省略了殘差這里省略了殘差 ，稱為稱為Hilbert譜，記譜，記 進一步可得到進一步可得到Hilbert邊際譜邊際譜為為 式中，式中，T表示總的數(shù)據(jù)長度，表示總的數(shù)據(jù)長度， 精確地描述了信精確地描述了信號的幅值在整個頻率

22、段上隨時間和頻率的變化規(guī)律；號的幅值在整個頻率段上隨時間和頻率的變化規(guī)律；而而 反映了在整個信號時間跨度上，每個頻率成反映了在整個信號時間跨度上，每個頻率成分對幅值的貢獻，即表示在整個時間跨度上統(tǒng)計學(xué)分對幅值的貢獻，即表示在整個時間跨度上統(tǒng)計學(xué)意義上的累積幅度。意義上的累積幅度。( )nr t1( , )Re( )expj( )d niiiHta ttt0( )( , )dThHtt( , )Ht( )h2022-6-7大連理工大學(xué)28 HHT的關(guān)鍵技術(shù)問題的關(guān)鍵技術(shù)問題 曲線擬合問題：曲線擬合問題：直接影響直接影響EMD分解的結(jié)果，從而影分解的結(jié)果，從而影響響HHT的完善與應(yīng)用。目前采用的方

23、法：的完善與應(yīng)用。目前采用的方法： 三次樣條插值法；三次樣條插值法； 分段冪函數(shù)法；分段冪函數(shù)法； 改進的三次樣條插值法。改進的三次樣條插值法。 端點處理問題：端點處理問題：有限長數(shù)據(jù)端點處理，采用的方法：有限長數(shù)據(jù)端點處理，采用的方法： 特征波法；特征波法； 包絡(luò)延拓法；包絡(luò)延拓法； 邊界全波法；邊界全波法； 波形匹配預(yù)測法波形匹配預(yù)測法2022-6-7大連理工大學(xué)2918.5 EMDEMD與與HHTHHT的應(yīng)用的應(yīng)用2022-6-7大連理工大學(xué)30 基于基于EMD的機械故障診斷的機械故障診斷 問題：問題：由于齒輪磨損和疲勞裂紋等因素的影響，振由于齒輪磨損和疲勞裂紋等因素的影響，振動信號的幅

24、度和相位會發(fā)生變化，產(chǎn)生幅度和相位動信號的幅度和相位會發(fā)生變化，產(chǎn)生幅度和相位調(diào)制。調(diào)制。 故障齒輪的振動信號往往表現(xiàn)為回轉(zhuǎn)頻率對齒合頻故障齒輪的振動信號往往表現(xiàn)為回轉(zhuǎn)頻率對齒合頻率及其倍頻的調(diào)制，在頻譜圖上形成以齒合頻率為率及其倍頻的調(diào)制，在頻譜圖上形成以齒合頻率為中心、兩個等間隔分布的邊頻帶。中心、兩個等間隔分布的邊頻帶。 故齒輪故障診斷實際上是對邊頻帶的識別。故齒輪故障診斷實際上是對邊頻帶的識別。2022-6-7大連理工大學(xué)31 正常與故障齒輪信號的對比正常與故障齒輪信號的對比2022-6-7大連理工大學(xué)32 正常與故障齒輪信號的正常與故障齒輪信號的IMF對比對比正常正常裂紋裂紋斷齒斷齒

25、2022-6-7大連理工大學(xué)33 HHT在電力系統(tǒng)信號分析中的應(yīng)用在電力系統(tǒng)信號分析中的應(yīng)用 問題：問題：電力系統(tǒng)發(fā)生故障時的信號多為非平穩(wěn)信號。電力系統(tǒng)發(fā)生故障時的信號多為非平穩(wěn)信號。正常運行時，其負荷也是典型的非平穩(wěn)信號。如圖：正常運行時，其負荷也是典型的非平穩(wěn)信號。如圖：2022-6-7大連理工大學(xué)34 對上頁數(shù)據(jù)進行傅里葉分析和對上頁數(shù)據(jù)進行傅里葉分析和HHT分析，分析，如圖：如圖：2022-6-7大連理工大學(xué)35 分析說明：分析說明： 從從Hilbert譜可以清楚滴看到符合頻率的連續(xù)性；譜可以清楚滴看到符合頻率的連續(xù)性； 在一個周期內(nèi)，頻率約為在一個周期內(nèi)，頻率約為1/96Hz，呈現(xiàn)很強的周期，呈現(xiàn)很強的周期性；性； HHT邊際譜的分辨率明顯高于傅里葉譜。邊際譜的分辨率明顯高于傅里葉譜。2022-6-7大連理工大學(xué)36 希爾伯特譜與邊際譜希爾伯特譜與邊際譜2022-6-7大連