帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界極值問題

1、帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界與極值問題考點(diǎn)解讀解決此類問題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)臨界點(diǎn)找臨界點(diǎn)的方法是：以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語(yǔ)為突破口，借助半徑R和速度v(或磁場(chǎng)B)之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值，常用結(jié)論如下：(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)(3)當(dāng)速率v變化時(shí)，圓周角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)典例剖析1磁感應(yīng)強(qiáng)度的極值問題例1 如圖所示，一帶正電的質(zhì)子以速度v0從O點(diǎn)垂直射入，兩個(gè)板間存在垂直紙面

2、向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)已知兩板之間距離為d，板長(zhǎng)為d，O點(diǎn)是板的正中間，為使質(zhì)子能從兩板間射出，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件(已知質(zhì)子的帶電荷量為e，質(zhì)量為m)2偏角的極值問題例2 在真空中，半徑r3102 m的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0.2 T，一個(gè)帶正電的粒子以初速度v01106 m/s從磁場(chǎng)邊界上直徑ab的一端a射入磁場(chǎng)，已知該粒子的比荷1108 C/kg，不計(jì)粒子重力(1)求粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；(2)若要使粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大偏轉(zhuǎn)角，求入射時(shí)v0與ab的夾角及粒子的最大偏轉(zhuǎn)角3時(shí)間的極值問題例3如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取

3、從零到某一最大值之間的各種數(shù)值靜止的帶電粒子帶電荷量為q，質(zhì)量為m(不計(jì)重力)，從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，CD為磁場(chǎng)邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為45，孔Q到板的下端C的距離為L(zhǎng)，當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)兩板間電壓的最大值Um；(2)CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度x；(3)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm.4面積的極值問題例4如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速

4、度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界與極值反饋訓(xùn)練1. 一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)粒子沿垂直于磁感線方向從同一點(diǎn)射入一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是重合的，如圖1所示，則它們?cè)诖艌?chǎng)中 ( )A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等B加速度的大小相等C速度的大小相等D動(dòng)能的大小相等2. 如圖3所示，在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界上，有兩個(gè)電荷量絕對(duì)值相同、質(zhì)量相同的正、負(fù)粒子(不計(jì)重力)，從A點(diǎn)以相同的速度先后射入磁場(chǎng)中，入射方向與邊界成角，則正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中( )A運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同B運(yùn)動(dòng)

5、軌跡的半徑相同C重新回到邊界時(shí)速度大小和方向相同D重新回到邊界時(shí)與A點(diǎn)的距離相等3如圖4所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，不計(jì)重力，在a點(diǎn)以某一初速度水平向左射入磁場(chǎng)區(qū)域，沿曲線abcd運(yùn)動(dòng)，ab、bc、cd都是半徑為R的圓弧粒子在每段圓弧上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都為t.規(guī)定垂直紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向?yàn)檎瑒t磁場(chǎng)區(qū)域、三部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨x變化的關(guān)系可能是圖中的 ( )4. 如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，比荷相同的兩個(gè)粒子沿AB方向自A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，分別從AC邊上的P、Q兩點(diǎn)射出，則 ( ) A從P射出的粒子速度大B從Q射出的粒子速度大C從P射出的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)D兩粒子

6、在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一樣長(zhǎng)5如圖所示，寬l=1cm的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，縱向范圍足夠大，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直紙面向內(nèi)，現(xiàn)有一群正粒子從O點(diǎn)以相同的速率沿紙面不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)，若粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑均為r=5cm，則（）A右邊界：-3cmy3cm有粒子射出 B右邊界：y3cm和y-3cm有粒子射出 C左邊界：y6cm有粒子射出 D左邊界：0y6cm有粒子射出6.如圖，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射人磁場(chǎng)區(qū)域不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響下列圖中陰影部分表示

7、帶電粒子能經(jīng)過區(qū)域，其中R=mv/qB哪個(gè)圖是正確的( )ABCD7.如圖所示，相互平行的直線M、N、P、Q間存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。某帶負(fù)電粒子由O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，已知粒子速率一定，射入時(shí)速度方向與OM間夾角的范圍為090，不計(jì)粒子的重力，則( ) A.越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能越短 B.越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路徑一定越長(zhǎng) C.越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心到MN的距離一定越小 D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度與時(shí)間的比值與無(wú)關(guān)圖128如圖12所示，邊界OA與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一粒子源S.某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種

8、粒子(不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，經(jīng)過一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)已知AOC60，從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間等于T/2(T為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期)，則從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為( )A. B. C. D.9. 不計(jì)重力的帶正電粒子，質(zhì)量為m，電荷量為q，以與y軸成30角的速度v0從y軸上的a點(diǎn)射入圖9中第一象限所在區(qū)域?yàn)榱耸乖搸щ娏Ｗ幽軓膞軸上的b點(diǎn)以與x軸成60角的速度射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xOy平面、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若此磁場(chǎng)分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這個(gè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積10.如圖所示，一足

9、夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在ad邊中點(diǎn)O，方向垂直磁場(chǎng)向里射入一速度方向跟ad邊夾角 = 30、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)，求：（1）粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0大小范圍.（2）如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間.abcdOv011如圖所示的平行板器件中，存在相互垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B10.40 T，方向垂直紙面向里，電場(chǎng)強(qiáng)度E2.0105 V/m，PQ為板間中線緊靠平行板右側(cè)邊緣xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，有垂直紙面向外的勻

10、強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B20.25 T，磁場(chǎng)邊界AO和y軸的夾角AOy45.一束帶電荷量q8.01019 C的正離子從P點(diǎn)射入平行板間，沿中線PQ做直線運(yùn)動(dòng)，穿出平行板后從y軸上坐標(biāo)為(0,0.2 m)的Q點(diǎn)垂直y軸射入磁場(chǎng)區(qū)，離子通過x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角在4590之間則：(1)離子運(yùn)動(dòng)的速度為多大？(2)離子的質(zhì)量應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(3)現(xiàn)只改變AOy區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2應(yīng)滿足什么條件？12.如圖所示，M、N為中心開有小孔的平行板電容器的兩極板，相距為D，其右側(cè)有一邊長(zhǎng)為2a的正三角形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在極板M、N之

11、間加上電壓U后，M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)現(xiàn)有一帶正電的粒子，質(zhì)量為m，電荷量為q，其重力和初速度均忽略不計(jì)，粒子從極板M的中央小孔s1處射入電容器，穿過小孔s2后從距三角形A點(diǎn) 的P處垂直AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)，試求：（1）粒子到達(dá)小孔s2時(shí)的速度和從小孔s1運(yùn)動(dòng)到s2所用的時(shí)間；（2）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)時(shí)間t從AP間離開磁場(chǎng)，求粒子的運(yùn)動(dòng)半徑和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；（3）若粒子能從AC間離開磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于多種因素的影響，使問題形成多解，多解形成原因一般包含下述幾個(gè)方面1帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒

12、子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，當(dāng)粒子具有相同速度時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致多解如圖5所示，帶電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若帶正電，其軌跡為a，若帶負(fù)電，其軌跡為b.2磁場(chǎng)方向不確定形成多解磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，如果題述條件只給出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未說(shuō)明磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，則應(yīng)考慮因磁場(chǎng)方向不確定而導(dǎo)致的多解如圖6所示，帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b.圖5 圖6 圖7 圖83臨界狀態(tài)不惟一形成多解帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去了，也可能轉(zhuǎn)過180從入射面邊界反向飛出，如

13、圖7所示，于是形成了多解4運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解帶電粒子在部分是電場(chǎng)，部分是磁場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解如圖8所示 典例剖析1帶電粒子性質(zhì)的不確定形成多解例1如圖所示，直線邊界MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大今有一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的帶電粒子，從邊界MN上某點(diǎn)垂直磁場(chǎng)方向射入，射入時(shí)的速度大小為v，方向與邊界MN的夾角為，求帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間2磁場(chǎng)方向不確定形成多解例2某電子以固定的正點(diǎn)電荷為圓心在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面，電子所受正點(diǎn)電荷的電場(chǎng)力是洛倫茲力的3倍若電子電荷量為e、質(zhì)量為m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，不計(jì)重力，則電子運(yùn)動(dòng)的角速度可能是 ( )A. B. C. D.3運(yùn)動(dòng)方向不確定形成多解例3如圖所示，絕緣擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球帶正電(電荷量為q，質(zhì)量為m)懸于O點(diǎn)，當(dāng)它在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中來(lái)回?cái)[動(dòng)經(jīng)過最低點(diǎn)C時(shí)速率為v，則擺線的拉力為多大？4運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解例4如圖11所示，在NOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在MOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，M、O、N在一條直線上，