第六章計(jì)算全息(2-3)

1、62計(jì)算全息的編碼方法n621計(jì)算全息的編碼n編碼：在通信中，是指把輸入信息變換為信道上傳送的信號(hào)的過程。n 在計(jì)算全息中輸入信息是待記錄的光波復(fù)振幅，而中間的傳遞介質(zhì)是全息圖，其信息特征是全息圖上透過率的變化。n因此，將二維光場復(fù)振幅分布變換為全息圖的二維透過率函數(shù)分布的過程，稱為計(jì)算全息的編碼。n由于成圖設(shè)備的輸出大多只能是實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此編碼問題歸結(jié)為將二維離散的復(fù)值函數(shù)變換為二維離散的實(shí)值函數(shù)的問題。而且，在這種轉(zhuǎn)換能夠在再現(xiàn)階段完成其逆轉(zhuǎn)換，從二維離散的實(shí)值函數(shù)恢復(fù)二維復(fù)值函數(shù)。n編碼過程可用數(shù)學(xué)公式表示為n將復(fù)值函數(shù)變換為實(shí)值函數(shù)的編碼方法可以歸納為兩大類。n（1）把一個(gè)復(fù)值函數(shù)

2、表示為兩個(gè)實(shí)值非負(fù)函數(shù)，如用振幅和相位兩個(gè)實(shí)參數(shù)表示一個(gè)復(fù)數(shù)，分別對(duì)振幅和相位編碼。n（2）仿照光學(xué)全息的方法，如引入離軸參考光波，通過物光波和參考光波的干涉產(chǎn)生干涉條紋的強(qiáng)度分布，成為實(shí)值非負(fù)函數(shù)。因此每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，可直接用實(shí)參數(shù)來表示。由于沒有相位編碼問題，看起來比第一種方法簡便。但是，參考光波的加入增加了空間帶寬積，因此全息圖上的抽樣點(diǎn)數(shù)必須增加。622迂回相位編碼方法n1、羅曼型n在對(duì)光波的振幅進(jìn)行編碼比較容易，但對(duì)相位編碼就比較困難。羅曼根據(jù)不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)，成功地提出了迂回相位編碼方法。如圖621所示n由于在某一位置處柵距增大了，則該處沿K方向相鄰光線的光程差變?yōu)閚K

3、方向的衍射光波在該位置處引入的相應(yīng)的相位延遲為nK被羅曼稱之為迂回相位，迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級(jí)次成正比，而與入射光波波長無關(guān)。迂回相位效應(yīng)提示我們，通過局部改變光柵柵距的方法，可以在某個(gè)衍射方向上得到所需要的相位調(diào)制。n羅曼等人利用這一效應(yīng)對(duì)相位進(jìn)行編碼。n假定全息圖平面共有MN個(gè)抽樣單元，抽樣間距為x和y，則在全息圖上待記錄的光波復(fù)振幅的樣點(diǎn)值為n在全息圖每個(gè)抽樣單元內(nèi)放置一個(gè)矩形通光孔徑，通過改變通光孔徑的面積來編碼復(fù)數(shù)波面的振幅，改變通光孔徑中心與抽樣單元中心的位置來編碼相位。n這種編碼方式如圖622n這種編碼方式，在y方向采用了脈沖寬度調(diào)制，在x方向采用了脈沖位置調(diào)制。由于

4、在迂回相位編碼方法中，全息圖的透過率只有0和1兩個(gè)值，故制作簡單，噪聲低，抗干擾能力強(qiáng)，對(duì)記錄材料的非線性效應(yīng)不敏感，并可多次復(fù)制而不失真，因而應(yīng)用較為廣泛。n這種全息圖的再現(xiàn)方法與光學(xué)全息圖相似，觀察范圍應(yīng)限于x方向的某個(gè)特定衍射級(jí)次K，僅在這個(gè)衍射方向上，全息圖才能再現(xiàn)我們所期望的波前f(x,y)，為了使所期望的波前與其它衍射級(jí)次上的波前有效地分離，可以通過頻域?yàn)V波。n2、四級(jí)迂回相位法n李威漢于1970年提出了一種延遲抽樣全息圖，這種方法從直觀上可以理解為四階迂回相位編碼法。他將全息圖的一個(gè)單元沿x方向分為四等分，各部分的相位分別是0， ， 復(fù)數(shù)平面上實(shí)軸和虛軸所表示的四個(gè)方向相對(duì)應(yīng)。如

5、圖623n全息圖上待記錄的一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅可以沿圖中四個(gè)相位方向分解為四個(gè)正交分量n式中：r，r，j，j是復(fù)平面上的四個(gè)基矢量，即nf1，f2，f3，f4是實(shí)的非負(fù)數(shù)，對(duì)于一個(gè)樣點(diǎn)，f1f4這四個(gè)分量中只有兩個(gè)分量為非零值，因此要描述一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅，只需要在兩個(gè)子單元中用開孔大小或灰度等級(jí)來表示就行了。n3、三階迂回相位法n由于在復(fù)平面上用三個(gè)基矢就可以表征平面上任一復(fù)矢量，因此，全息圖上的一個(gè)單元可以分為三個(gè)子單元，分別表示復(fù)平面上相位差為 的三個(gè)基矢，這樣，就可以在三個(gè)子單元中用開孔面積或灰度等級(jí)來表示振幅分量的大小，這種方法是伯克哈特（Burckhardt)提出的。32623修正離軸參

6、考光的編碼方法n 迂回相位編碼方法是用抽樣單元矩形開孔的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別編碼樣點(diǎn)處光波復(fù)振幅的振幅和相位如果模仿光學(xué)離軸全息的方法，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)光波復(fù)振幅分布與一虛擬的離軸參考光疊加，使全息圖平面上待記錄的復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)換成強(qiáng)度分布，就避免了相位編碼問題這時(shí)，只需要在全息圖單元上用開孔面積或灰度變化來編碼這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，即可完成編碼n設(shè)待記錄的物光波復(fù)振幅為f(x，y)，離軸的平面參考光波為R(x，y)，即n在線性記錄的條件下，并忽略一些不重要的常數(shù)因子，光學(xué)離軸全息的透過率函數(shù)為n在透過率函數(shù)所包含的三項(xiàng)中，第三項(xiàng)通過對(duì)余弦型條紋的振幅和相位調(diào)制，記錄了物波的全部信息。n第一、二項(xiàng)是這種

7、光學(xué)全息方法不可避免地伴生的，除了其中均勻的偏置分量使h(x，y)為實(shí)的非負(fù)函數(shù)的目的外，它們只是占用了信息通道，而從物波信息傳遞的角度來說，完全是多余的從光學(xué)全息形成的過程來看，第一、二項(xiàng)是不可避免地伴生的，但是計(jì)算機(jī)制作全息圖的靈活性，使人們在做計(jì)算全息時(shí)，可以人為地將它們?nèi)サ舳匦聵?gòu)造全息函數(shù)，即n式中：A(x，y)是歸一化振幅n下面我們從頻域更容易理解光學(xué)離軸全息函數(shù)（626）和修正型離軸全息函數(shù)（627）的差別。n設(shè)想直接對(duì)（626）式所表示的全息函數(shù)抽樣制作計(jì)算全息圖，則根據(jù)抽樣定理，其抽樣間隔必須為 ，n這些計(jì)算全息圖的空間頻譜如圖625(c)所示，它是光學(xué)離軸全息空間頻譜的周期

8、性重復(fù)由于修正后的全息函數(shù)已經(jīng)去掉A2(x，y)項(xiàng)，故在頻率域中自相關(guān)項(xiàng)的頻率成分已不存在，只有代表物波頻率成分的兩個(gè)矩形和直流項(xiàng)的頻率成分函數(shù)如圖625(d)所示，由（626）式所表示的全息函數(shù)抽樣制作計(jì)算全息圖時(shí)，根據(jù)抽樣定理其抽樣間隔n于是總的抽樣點(diǎn)數(shù)就降低為原來的14，這時(shí)計(jì)算全息圖的頻譜如圖625(e)所示。n 應(yīng)該指出，載頻在全息圖上的表現(xiàn)形式是余弦型條紋的間距，這與光學(xué)全息是相同的，但光學(xué)離軸全息函數(shù)與我們所構(gòu)造的全息函數(shù)的頻域結(jié)構(gòu)不同，因此載頻也不同選取載頻的目的是保證全息函數(shù)在頻域個(gè)各結(jié)構(gòu)分量不混疊對(duì)全息函數(shù)進(jìn)行抽樣是制作計(jì)算全息的要求，抽樣間隔必須保證全息函數(shù)的整體頻譜(包

9、含各個(gè)結(jié)構(gòu)分量)不混疊，這兩個(gè)概念不可混淆n 這種以常量為偏置項(xiàng)的全息圖是博奇1966年提出的，稱為博奇全息圖。由于計(jì)算機(jī)處理的靈活性，偏置項(xiàng)還可以采取其它形式加進(jìn)偏置項(xiàng)的目的是使全息函數(shù)變成實(shí)值非負(fù)函數(shù)，每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在相位編碼問題，比同時(shí)對(duì)振幅和相位編碼的方法簡便但是。由于加進(jìn)了偏置分量，增加了要記錄的全息圖的空間帶寬積，因而增加了抽樣點(diǎn)數(shù)一般來說，物波函數(shù)的信息容量越大，抽樣點(diǎn)數(shù)就越多對(duì)于任何一種編碼方法都是不能違背抽樣定理的，正如前面所述，避免了對(duì)相位的編碼，但又以增加抽樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)由于每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此在制作全息圖時(shí)，只需要在每個(gè)單元中用開孔大小或灰度等級(jí)

10、來表示這個(gè)實(shí)的非負(fù)值就行了n624二元脈沖密度編碼n二元脈沖密度編碼是計(jì)算全息的另一種編碼方法，與修正離軸參考光的方法相類似。對(duì)于要記錄的物波函數(shù)n構(gòu)造一個(gè)計(jì)算全息函數(shù)n式中：A(x,y)是歸一化振幅，n然后對(duì)計(jì)算全息函數(shù)h(x，y)高密度抽樣，在對(duì)每一個(gè)像素的透過率二值化的同時(shí)，將誤差向相鄰像素?cái)U(kuò)散這一過程可用圖626加以說明。n如圖n在制作計(jì)算全息圖時(shí)，必須考慮二維圖像的情況，圖627表明了二維圖像二值化后誤差擴(kuò)散和校正的原理圖中，“x”表示己處理過的像素，“”表示未處理的像素。每一個(gè)像素點(diǎn)二元化后的誤差向它相鄰的未處理的領(lǐng)域擴(kuò)散，擴(kuò)散區(qū)域的尺寸和誤差分配系數(shù)將影響二元化像素的微結(jié)構(gòu)。63

11、 計(jì)算傅里葉變換全息n 在這種全息圖中，被記錄的復(fù)數(shù)波面是物波函數(shù)的傅里葉變換由于這種全息圖再現(xiàn)的是物波函數(shù)的傅里葉譜，所以要得到物波函數(shù)本身，必須通過變換透鏡再進(jìn)行一次逆變換，這與光學(xué)傅里葉變換全息圖的基本原理是一致的對(duì)復(fù)數(shù)波面進(jìn)行編碼可以采用上節(jié)介紹的兩種方法一種是迂回相位編碼方法，直接對(duì)抽樣點(diǎn)上復(fù)數(shù)波面的振幅和相位進(jìn)行編碼。另一種是修正離軸參考光編碼方法，將全息函數(shù)造成實(shí)的非負(fù)函數(shù)從而只對(duì)振幅進(jìn)行編碼631 抽樣n抽樣包括對(duì)物波函數(shù)和對(duì)全息圖抽樣，設(shè)物波函數(shù)為f(x，y)，其傅里葉頻譜為F(,)，其中x，y和,分別是連續(xù)的空間變量和空間頻域變量。假定物波函數(shù)在空域和頻域都是有限的，空域?qū)?/p>

12、度為x， y ，頻域帶寬為 ， ，或2Bx，2By，于是有n并且n根據(jù)抽樣定理，對(duì)于物波函數(shù)，空域的抽樣單元數(shù)JKn在譜平面上的抽樣情況與物面類似，頻域的抽樣單元數(shù)MNn由此可見，物面抽樣單元數(shù)和全息圖平面上的抽樣單元數(shù)相等，即物空間具有和譜空間同樣的空間帶寬積。n確定了抽樣點(diǎn)總數(shù)后，物波函數(shù)和物譜函數(shù)可以表示為如下離散形式632 計(jì)算離散傅里葉變換n這一過程是采用計(jì)算機(jī)，并基于快速傅里葉變換算法(FFT)完成的對(duì)于連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換可表示為n而計(jì)算機(jī)完成傅里葉變換必須采用離散傅里時(shí)變換的形式，二維序列f(j，k)的離散傅里葉變換定義為n直接用上面公式作二維離散傅里葉變換，涉及極大的計(jì)算量，

13、1965年庫列-圖基(Cooley-Tukey)提出矩陣分解的新算法，也就是快速傅里葉變換算法，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，才使二維圖形的離散傅里葉變換在實(shí)際上成為可能。nF(m,n)通常是復(fù)數(shù)，記為n式中：n由于光學(xué)模板的振幅透過率最大為1，所以在編碼前還應(yīng)對(duì)A(m,n)的值進(jìn)行規(guī)一化，使其最大值為1。n633 編碼編碼編碼的目的是將離散的復(fù)值函數(shù)F(m,n)轉(zhuǎn)換成實(shí)的非負(fù)值函數(shù)（全息圖透過率函數(shù)）。634 繪制全息圖繪制全息圖計(jì)算機(jī)完成振幅和相位編碼的計(jì)算后，按計(jì)算得到的全息圖的幾何參數(shù)來控制成圖設(shè)備以輸出原圖由于成圖設(shè)備的分辨率有限(例如常規(guī)的繪圖儀)，而原圖又是按放大的尺寸繪制的，故需經(jīng)過光學(xué)

14、縮版到合適的尺寸，才可以得到實(shí)際可用的計(jì)算全息片圖631(a)是迂回相位編碼的計(jì)算傅里葉變換全息圖的原圖635 再現(xiàn)n 計(jì)算全息的再現(xiàn)方法與光學(xué)全息相似，僅在某個(gè)特定的衍射級(jí)次上才能再現(xiàn)我們所期望的波前圖632是計(jì)算傅里葉變換全息圖的再現(xiàn)光路，當(dāng)用平行光垂直照明全息圖時(shí)，在透射光場中沿某一特定衍射方向的分量波將再現(xiàn)物光波的傅里葉變換，而直接透過分量具有平面波前，并且另一側(cè)的衍射分量將再現(xiàn)物譜的共軛光波于是經(jīng)透鏡L進(jìn)行逆傅里葉變換后，輸出平面中心是一個(gè)亮點(diǎn)，兩邊是正、負(fù)一級(jí)像和高級(jí)次的像，如圖631(b)所示n如圖：636幾點(diǎn)討論n1、模式溢出校正 在對(duì)相位編碼時(shí)，當(dāng) 時(shí)，第m單元的矩孔將跨入鄰

15、近的(m+1)單元，因而有可能與相鄰單元矩孔發(fā)生重疊，這時(shí)重疊部分的振幅本應(yīng)疊加，但對(duì)于這種二元模板就不可能做到，致使全息圖再現(xiàn)時(shí)失真解決的辦法是將溢出部分移至本單元的另一側(cè)，如圖633所示n如圖n 模式溢出校正依據(jù)的原理是光柵衍射理論由于計(jì)算全息圖可以看作是類光柵結(jié)構(gòu)，各抽樣單元中相應(yīng)位置具有同樣相位值，而(m，n)的計(jì)算是取主值范圍，即對(duì)模數(shù) 取的余數(shù)，所以把溢出至鄰近單元的矩形孔移到本單元另一側(cè)，對(duì)相位編碼沒有任何影響。n2、相位誤差的校正、相位誤差的校正n在羅曼早期提出的迂回相位編碼方法中，孔徑處的相位是用單元中心處的相位來近似的，這隱含了整個(gè)抽樣單元內(nèi)相位值的變化是相等的如果在抽樣單元內(nèi)，相位的變化很緩慢，則這個(gè)近似是大致成立的，但實(shí)際上單元內(nèi)的n相位總會(huì)有變化，因此早期的編碼方法會(huì)引入相位誤差。校正的辦法是用孔徑位移處的實(shí)際相位來確定孔徑的位置，也就是說，矩形孔中心的偏移量要正比于矩孔中心處的實(shí)際相位值n校正前后的孔徑位置變化如圖634所示用校正法編碼相位值，不僅要求知道單元