測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理(5)

1、武漢大學(xué)出版社2014年1月第5章 誤差橢圓l點(diǎn)位真誤差 圖5.1 點(diǎn)位真誤差PP 如圖所示，A為已知點(diǎn)，假定其坐標(biāo)值沒(méi)有誤差。圖中P點(diǎn)為待定點(diǎn)的真位置，而 則是根據(jù)平差后求出該點(diǎn)的實(shí)際點(diǎn)位，兩點(diǎn)位在平面上的距離為 ，稱之為點(diǎn)P的真誤差真誤差，簡(jiǎn)稱為真位差真位差。P 點(diǎn)位中誤差 點(diǎn)位真誤差 在兩坐標(biāo)軸上的分量為 和 ，有關(guān)系式：第5章 誤差橢圓Pxyyyyxxx222yxp 設(shè)由 ， 計(jì)算出的中誤差為 ， ，則點(diǎn)P的真位差 的方差為： 通常定義為點(diǎn)P的點(diǎn)位方差， 為點(diǎn)位中點(diǎn)位中誤差誤差222yxpxyxyP則有：2pp 橫向誤差和縱向誤差圖5.2 點(diǎn)位真誤差 將點(diǎn)P的真位差 投影于AP方向和垂

2、直于AP的方向上，則得 和 ， 、 為點(diǎn)P的縱向縱向誤差誤差和橫向誤差橫向誤差，有：，有：Psusu222usp222usp 和 是點(diǎn)在AP的縱向和橫向上的位差su第5章 誤差橢圓 點(diǎn)位方差的計(jì)算點(diǎn)位方差的計(jì)算公式如下：xxxxQp202021yyyyQp202021222yxp)(20yyxxQQ =只要計(jì)算出了 和 以及單位權(quán)方差 ，就可以利用上式計(jì)算點(diǎn)P的點(diǎn)位中誤差。xxQyyQ20第5章 誤差橢圓 計(jì)算 和 的方法間接平差法：xxQyyQ 以平面網(wǎng)中待定點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)，按間接平差法平差時(shí)，法方程系數(shù)陣的逆陣就是參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣，即： ssssisisssssssisisssssiiss

3、iiyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxTXXQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQPBBQ111111111111111111111)( 待定點(diǎn)坐標(biāo)的權(quán)倒數(shù)仍為相應(yīng)的主對(duì)角線上的元素，而相關(guān)權(quán)倒數(shù)則在相應(yīng)權(quán)倒數(shù)連線的兩側(cè)。（有S個(gè)待定點(diǎn)）第5章 誤差橢圓 計(jì)算 和 的方法條件平差法：xxQyyQ 設(shè)待定點(diǎn)P的最或然坐標(biāo)為 和 ，則：px py )()(LyyLxxpp對(duì)上式進(jìn)行微分，得其權(quán)函數(shù)式：LdfydLdfxdypxpTyTxTyxxyTyTyTyyyyTxTxTxxxxfAPNAPffPfQfAPNAPffPfQf

4、APNAPffPfQ111111111111顧及觀測(cè)值的平差值 的協(xié)因數(shù)陣：L1111APNAPPQTLL有：第5章 誤差橢圓圖5.4 任意方向上位差 P為待定點(diǎn)的真位置，而P點(diǎn)為經(jīng)過(guò)平差所得的點(diǎn)位，點(diǎn)位真誤差PP在 方向上的投影值為 ：PPPPPP cossincossinxxyy sincossincosyyxyyxxxQQQQQ由協(xié)因數(shù)傳播定律可知：在方位 方向上的位差220Q202sinsincos22xyyyxxQQQ （）待定點(diǎn)P在方向 上的位差：第5章 誤差橢圓 位差的極大值E和極小值F 第5章 誤差橢圓 的大小與 有關(guān)，當(dāng)方向 取上圖中的 或AP方向以及垂直AP的方向時(shí)，相應(yīng)方

5、向上的位差權(quán)倒數(shù)為 ， 和 。在眾多方向的位差權(quán)倒數(shù)中，必有一對(duì)權(quán)倒數(shù)取得極大值和極小值，分別設(shè)為 和 ，而相應(yīng)的方向分別設(shè)為 和 ，其中在 方向上的位差具有極大值，而在 方向上的位差具有極小值，很顯然， 和 兩方向之差為902yxyx,xxQyyQxxQyyQEEQFFQEFEFEF 極大值E和極小值F的計(jì)算第5章 誤差橢圓設(shè)協(xié)因數(shù)陣（5.8）的特征值為 ，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ，則：X0)(XIQxx0yxQQQQyyxyxyxx即0yyxyxyxxQQQQ有：展開(kāi)得關(guān)于 的一次方程，解此方程：4)()(2122,xyyyxxyyxxFEQQQQQ令：22()4xxyyxyKQQQ所以：)(2

6、1)(21KQQQKQQQyyxxFFFyyxxEEE 極大值E和極小值F的計(jì)算第5章 誤差橢圓)(21)(21202202KQQQFKQQQEyyxxFFyyxxEEFFEEQFQE00yyFFxyxyxxFFFyyEExyxyxxEEEQQQQQQQQQQQQtantan2202022)()(pyyxxFFEEQQQQFE位差的極大值和極小值：將上式開(kāi)平方根，取正值得： 極大值E和極小值F對(duì)應(yīng)的方向分別為 和 ：EF兩個(gè)極值方向相互垂直： 用極值E、F,表示任意方向上的位差第5章 誤差橢圓sincosFE以E軸為坐標(biāo)軸， 為E軸順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)至某方向的方位角：由協(xié)因數(shù)傳播定律得到：2sins

7、incos22EFFFEEQQQQ有：因?yàn)椋?EFQ所以：22sincosFFEEQQQ以極值 、 表示任意方向 上的位差公式為：222222202sincos)sincos(FEQQFFEEEF 例5.1第5章 誤差橢圓已知某平面控制網(wǎng)中待定點(diǎn)P的協(xié)因數(shù)陣的元素為：3806. 02082. 02082. 04494. 0yyxyxyxxPQQQQQ協(xié)因數(shù)的單位為2)/(cm單位權(quán)中誤差0 .5 試求：最大位差方向 和最小位差方向 ，最大位差E和最小位差F,以及該點(diǎn)點(diǎn)位中誤差EFpm 解第5章 誤差橢圓4220. 0)2082. 0(4)3806. 04494. 0(22K6260. 0)42

8、20. 03806. 04494. 0(21EEQ2040. 0)4220. 03806. 04494. 0(21FFQ位差的極值方向：40411392082. 04494. 06260. 0tantan11xyxxEEEQQQ40413191804041139E404149F4041229F或：94. 36260. 00 . 5EEQE26. 22040. 00 . 5EFFQF54. 426. 294. 32222FEmp同理：或：（2）最大位差和最小位差：點(diǎn)位中誤差：（1）E、F方向的協(xié)因數(shù):（cm） （cm） （cm） 例5.2第5章 誤差橢圓201815數(shù)據(jù)同上例5.1，試計(jì)算 這一

9、方向上的位差1552018154041139E9150.14)310sin2082. 0155sin3806. 0155cos4494. 0(0 . 52222m86. 39150.14m解:（1）由5.13計(jì)算位差因?yàn)樗裕?）由5.25計(jì)算位差9149.14)201815sin2040. 0201815cos6260. 0(0 . 52222m86. 39150.14m（cm） （cm） 誤差曲線的概念第5章 誤差橢圓圖5.6 點(diǎn)位誤差曲線 如圖所示，以待定點(diǎn)位極點(diǎn)， 軸為極軸， 為極角變量，相應(yīng)的 為極徑變量（或極大值E方向?yàn)闃O軸， 為極角變量，相應(yīng)的 極徑變量）確定的點(diǎn)的軌跡為一閉合曲

10、線。習(xí)慣上，將這條曲線稱為點(diǎn)點(diǎn)位誤差曲線位誤差曲線（或點(diǎn)位精度曲線）它是關(guān)于兩個(gè)極軸（E軸和F軸）對(duì)稱的。 X圖中直線OP的長(zhǎng)度就等于 方向上的位差 誤差曲線的作用第5章 誤差橢圓圖5.7 誤差曲線如圖所示，A、B和C點(diǎn)為已知點(diǎn)，為待求點(diǎn)P點(diǎn)的誤差曲線圖（1）坐標(biāo)軸方向的中誤差PaxPby（2）極大值和極小值PcE PdF （3）平差后的邊長(zhǎng)中誤差點(diǎn)P和點(diǎn)B之間的邊長(zhǎng)中誤差：PemPBS （4）平差后的方位角的中誤差 先從圖中量出垂直于PA方向上的位差，即PA邊的橫向誤差PAum PAPAuSPgSmmPAPA因?yàn)?，所以可得： PAuSmmPAPA 誤差橢圓第5章 誤差橢圓圖5.8 誤差橢圓

11、 如圖5.8所示，而且可以證明，通過(guò)一定的變通方法，用橢圓代替點(diǎn)位誤差曲線進(jìn)行各類誤差的量取，故將此橢圓稱點(diǎn)位誤差橢圓點(diǎn)位誤差橢圓（習(xí)慣上稱誤差橢圓誤差橢圓），而 、E、F稱為點(diǎn)位誤差橢圓的元素（參數(shù)）。實(shí)用上常以點(diǎn)位誤差橢圓代替點(diǎn)位誤差曲線。E作圖方法：如圖5.8所示，自橢圓作 方向的正交切線PD，P為切點(diǎn)，D為垂直，可以證明OD 相對(duì)誤差橢圓第5章 誤差橢圓 為了確定任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間相對(duì)位置的精度，需要進(jìn)一步作出兩個(gè)待定點(diǎn)之間的相對(duì)誤差橢圓。 、 為兩待定點(diǎn)ikikikikyyyxxxiikiikkkikiikkikiikkyxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQQQ

12、QQQQQQQ22yyEEyxyxxxEEEyyxxikyyxxikQQQQQQKQQFKQQEiktan)(21)(21202202因?yàn)樗裕?和 的相對(duì)誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)：iPkP式中：224)(yxyyxxQQQKiPkP 相對(duì)誤差橢圓第5章 誤差橢圓繪制方法：可仿第二節(jié)中誤差橢圓的方法進(jìn)行。二者的不同之處在于：點(diǎn)位誤差橢圓一般以待定點(diǎn)中心為極來(lái)繪制，而相對(duì)誤差橢圓是以兩個(gè)待定點(diǎn)連線的中心為極進(jìn)行繪制。在測(cè)量工作中，特別在精度要求較高的工程測(cè)量中，往往利用點(diǎn)位誤差橢圓對(duì)布網(wǎng)方案進(jìn)行精度分析 ，當(dāng)在適當(dāng)?shù)谋壤叩牡匦螆D設(shè)計(jì)了控制網(wǎng)的點(diǎn)位以后，可以從圖上量取各邊邊長(zhǎng)和方位角的概略值，根據(jù)這些

13、可以算出誤差方程的系數(shù)，而觀測(cè)值的權(quán)則可根據(jù)需要事先加以確定。因此可以求出該網(wǎng)的協(xié)因數(shù)陣 XXQ 相對(duì)誤差橢圓第5章 誤差橢圓另一方面，根據(jù)設(shè)計(jì)中所選定的觀測(cè)儀器來(lái)確定單位權(quán)中誤差 的大小，從而估算出 、和 等數(shù)值，如果估算的結(jié)果符合工程建設(shè)對(duì)控制網(wǎng)所提出的精度要示，則可認(rèn)為該設(shè)計(jì)方案是可采用的，否則，可改變?cè)O(shè)計(jì)方案，重新估算，以達(dá)到預(yù)期的精度要求。也可以根據(jù)不同設(shè)計(jì)方案的精度要求，同時(shí)考慮到各種因素，例如，建網(wǎng)的經(jīng)費(fèi)開(kāi)支、施測(cè)工期的長(zhǎng)短、布網(wǎng)的難易程度等，在滿足精度要求的前提下，從中選擇最優(yōu)的布網(wǎng)方案。0EEF 例5.3 在某導(dǎo)線網(wǎng)有和兩個(gè)待定點(diǎn) 和 。設(shè)用間接平差法平差該網(wǎng)，待定點(diǎn)坐標(biāo)近似

14、值的改正數(shù)為 和 ，單位為分米。其法方程如下。試求（1） 和 點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓元素，以及 和 點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓元素；（2）繪制 和 點(diǎn)的誤差橢圓和它們之間的相對(duì)誤差橢圓。第5章 誤差橢圓1P2P11,yx22,yx1P2P1P2P1P2P006. 160.44425.6065.14217.172078.5225.6039.71664.17742.426040.4165.14264.17722.48607.107023.9417.17242.42607.10791.9062211221122112211yxyxyxyxyxyxyxyx 解：經(jīng)平差計(jì)算，得單位權(quán)中誤差為 。令 表示法方程式系數(shù)，

15、則未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)為第5章 誤差橢圓8 .00 mN0027. 00003. 00021. 00008. 00006. 00024. 00005. 00010. 00002. 00016. 01對(duì)稱NQXX第5章 誤差橢圓(1) 點(diǎn)的誤差橢圓參數(shù)的計(jì)算1P0009. 00002. 04)0024. 00016. 0(4)(2221121111yxyyxxQQQK0024. 0)0009. 00024. 00016. 0(21)(211111KQQQyyxxEE0016. 0)0009. 00024. 00016. 0(21)(211111KQQQyyxxFF85750002. 00016. 0

16、0024. 0tantan111111yxxxEEEQQQ039. 001EEQmE（dm） 032. 001FFQmF（dm） 第5章 誤差橢圓(2) 點(diǎn)的誤差橢圓參數(shù)的計(jì)算（dm） （dm） 2P0008. 00003. 04)0027. 00021. 0(4)(2222222222yxyyxxQQQK0028. 0)0008. 00027. 00021. 0(21)(212222KQQQyyxxEE0020. 0)0008. 00027. 00021. 0(21)(212222KQQQyyxxFF84660003. 00021. 00028. 0tantan122221yxxxEEEQQQ042. 002EEQmE036. 002FFQmF第5章 誤差橢圓(3) 和 點(diǎn)的誤差橢圓參數(shù)的計(jì)算1P2P0006. 00003. 00006. 00005. 00002. 00035. 00008. 020027. 00024. 020017. 00010. 020021. 00016. 0222122111212211212211yxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQQQQQQQQQQ0022. 0)0006. 0(4)0035. 00017. 0(4)(2222yxyyxxQQQK0037. 0)0022. 00035. 00017. 0(21