理論力學多媒體課件(哈工大7版)

1、理論力學多媒體課件主講：蔣士亮 教授 單位：廣西民族大學 物理與電子工程學院 教材藍本教材藍本 (面向面向21世紀課程教材世紀課程教材) 金尚年金尚年,馬永利編著馬永利編著.理論力學理論力學.第二版第二版.北京：高等教育出版，北京：高等教育出版，2002 主要參考書：主要參考書： 1. 陳世民陳世民.理論力學簡明教程理論力學簡明教程.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2001. 2. H.Goldstein .Classical Mechanics (Second Edition). Cambridge:Addison-Wesley,1980. 3. 蔣士亮蔣士亮.理論力學學習導引理

2、論力學學習導引.桂林桂林:廣西師范大學出版社廣西師范大學出版社,1997. 內(nèi)容設計內(nèi)容設計 蔣士亮教授蔣士亮教授 何良明何良明 腳腳 本本 蔣士亮教授蔣士亮教授 何良明何良明 多媒體制作多媒體制作 趙迎新老師、劉杰、何良明趙迎新老師、劉杰、何良明 動畫制作動畫制作 吳禮燕老師吳禮燕老師 文字錄入文字錄入 盤佳秀盤佳秀一、力學、與理論力學 經(jīng)典力學 絕對時空 v光速 一般力學固體力學 流體力學 交緣力學 微觀 宇觀 量子力學 相對論力學 (質(zhì)量與尺寸隨v而變化 )宏觀研究桿狀構(gòu)件的強度，剛度和穩(wěn)定性 。研究桿系結(jié)構(gòu)的強度，剛度和穩(wěn)定性。流體力學：彈性力學：固體力學材料力學：結(jié)構(gòu)力學： 研究非桿

3、結(jié)構(gòu)在彈性階段 的強度、剛度和穩(wěn)定性。研究流體受力與運動規(guī)律。 理論力學： (屬于一般力學) 包 括：研究質(zhì)點系機械運動一般規(guī)律。靜力學、運動學和動力學二、研究內(nèi)容包括幾何靜力學、分析靜力學應 用:變形固體 塊、板、殼.桿與桿結(jié)構(gòu).三大關(guān)系(1) 靜力學:研究物體所受力系的簡化平衡規(guī)律及其應用。質(zhì)點系、剛體、流體平衡、幾何、物理(2) 運動學:(與力無關(guān)、也是變形體運動基礎) (3) 動力學:包括質(zhì)點系、剛體，變形體的動力效應。研究點與剛體運動的幾何性質(zhì)研究物體所受力與運動間的關(guān)系變形(包含剛體位移和相對位移)剛體運動FBCABC包括位移、軌跡、速度、加速度。三、力學模型1、基本模型:2、一般

4、模型: 理想流體(無粘性) 。質(zhì)點系基本理論(包括一切模型)質(zhì) 點: 具有質(zhì)量的幾何點。剛 體: 任何兩點距離不變的幾何體。變形固體: 連續(xù)、均勻、各向同性或各向異性假設。分為宏、細、微三層次。流 體:地震學中視為多相變形固體。 土木工程中視為彈性半空間。.地球:天文學中視為質(zhì)點或剛體。3、特殊模型:溫度變化、電磁效應、支座移動，加工誤差等。工程系統(tǒng)的計算簡圖(結(jié)構(gòu)與機構(gòu))形狀輪廓線、桿軸線聯(lián)結(jié)鉸接:限制平移、可轉(zhuǎn)動剛結(jié):限制平移與轉(zhuǎn)動彈性:可變形荷載恒載與活載靜載與動載表面力與體積力分布力與集中力 其它外因:pKK 基本模型基本模型（質(zhì)點系（質(zhì)點系 ）普遍定理普遍定理力學模型力學模型數(shù)學模型

5、數(shù)學模型理論解答理論解答誤差檢驗誤差檢驗 結(jié)果結(jié)果實際對象實際對象抽象抽象簡化簡化 是是否實實驗驗模模擬擬基本定律基本定律 公理化公理化修改力學模型修改力學模型解析解析計算計算四、研究途徑與方法1、途徑: 分理論體系與工程應用兩條。分析力學：從兩個基本原理出發(fā).公理化:靜力學：從5條公理出發(fā).動力學： 從牛頓三大定律出發(fā).數(shù)學方法: 矢量分析、代數(shù)方程、微分方程。計算機方法: 數(shù)值計算、過程仿真。實驗方法:機械測試、電測、光測等。開拓新方法: 校核優(yōu)化設計 響應 參數(shù)識別(系統(tǒng)幾何物理特性)逆問題培養(yǎng)能力: 抽象與邏輯思維；運動、變形與受力分析；計算模型與方法的選擇。1、經(jīng)典方法分析能力2、創(chuàng)

6、新能力 創(chuàng)造新思想、新方法、新產(chǎn)品的能力。創(chuàng)新思維特點:發(fā)散性: 多向性開放性:一題多解、多問、多變探索性:尋找新問題與新途徑。尋找新問題與新途徑。由被動接收主動索取主動索取想象性想象性:想象力比知識更重要。想象力比知識更重要。3、考研 土木、力學、機械、航天研究生必考課程之一.科技創(chuàng)新，需要高級力學人才。第一章第一章 牛頓動力學方程牛頓動力學方程 內(nèi)容內(nèi)容: 經(jīng)典力學立論的理論基礎經(jīng)典力學立論的理論基礎 牛頓力學的基本定律和定理牛頓力學的基本定律和定理 牛頓動力學方程及其應用牛頓動力學方程及其應用 解題指導解題指導 重點重點: 牛頓動力學方程及其應用牛頓動力學方程及其應用 難點難點: 角動量

7、概念和角動量定理角動量概念和角動量定理 牛頓在伽利略、開普勒工作的基礎上建立了完整的經(jīng)典牛頓在伽利略、開普勒工作的基礎上建立了完整的經(jīng)典力學理論，這是現(xiàn)代意義下的物理學的開端。經(jīng)典力學理論的力學理論，這是現(xiàn)代意義下的物理學的開端。經(jīng)典力學理論的基礎是質(zhì)點運動三條定律，其核心是牛頓動力學方程。基礎是質(zhì)點運動三條定律，其核心是牛頓動力學方程。1、1 經(jīng)典力學立論的理論基礎經(jīng)典力學立論的理論基礎 包括：三個觀點（物質(zhì)觀、時空觀、運動觀）和四條推理規(guī)則（簡單包括：三個觀點（物質(zhì)觀、時空觀、運動觀）和四條推理規(guī)則（簡單性原理、因果性原理、統(tǒng)一性原理、真理性原理）性原理、因果性原理、統(tǒng)一性原理、真理性原理

8、） 物質(zhì)觀。物質(zhì)觀。所有的物質(zhì)都由原子的微粒組成，原子間存在互相吸引所有的物質(zhì)都由原子的微粒組成，原子間存在互相吸引力和排斥力，可以凝聚分離，構(gòu)成萬物及運動。力和排斥力，可以凝聚分離，構(gòu)成萬物及運動。 時空觀（絕對時空觀）時空觀（絕對時空觀）。時間是一維的、均勻的、無限的，與空。時間是一維的、均勻的、無限的，與空間和物質(zhì)都無關(guān)間和物質(zhì)都無關(guān)牛頓的絕對時間?？捎靡粭l長的直線表示時間：牛頓的絕對時間?？捎靡粭l長的直線表示時間：左右過去 現(xiàn)在 未來圖1.1 空間是三維的，各向同性的、均勻的、無空間是三維的，各向同性的、均勻的、無限的，與時間和物質(zhì)都無關(guān)限的，與時間和物質(zhì)都無關(guān)牛頓的絕對空間。牛頓的絕

9、對空間?？捎靡恢苯亲鴺讼当硎究臻g。原點為空間任一點，可用一直角坐標系表示空間。原點為空間任一點，正交的三個坐標軸方向可以任意選取且可向正負正交的三個坐標軸方向可以任意選取且可向正負方向無限延伸，任一質(zhì)點在空間的位置均可用坐方向無限延伸，任一質(zhì)點在空間的位置均可用坐標系中的三個坐標值表出。標系中的三個坐標值表出。絕對時間和絕對空間構(gòu)成了牛頓力學的絕對時空觀。 運動觀.內(nèi)容包括內(nèi)容包括 力學的最高原理力學的最高原理牛頓三定律和牛頓三定律和力學相對性原理的確立；力學相對性原理的確立；萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)。萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)。 簡單性原理.凡科學上正確的東西都是簡單的，因此，凡科學上正確的東西都是簡單的

10、，因此，力求用簡單的方法和形式解決科學問題，表述科學結(jié)論。力求用簡單的方法和形式解決科學問題，表述科學結(jié)論。 因果性原理.即決定論。即決定論。 絕對性原理絕對性原理.指物質(zhì)觀、時空觀、運動觀對整個自然指物質(zhì)觀、時空觀、運動觀對整個自然都是普遍適用的，是自然哲學的根本所在。都是普遍適用的，是自然哲學的根本所在。 真理性原理真理性原理.既承認客觀真理的存在，同時又承認人們既承認客觀真理的存在，同時又承認人們在一定認識階段的認識只能接近真實，即承認相對真理的存在一定認識階段的認識只能接近真實，即承認相對真理的存在。真理性原理是絕對真理與相對真理結(jié)合的觀點。在。真理性原理是絕對真理與相對真理結(jié)合的觀點

11、。 四條哲學推理規(guī)則是自然科學認識論、方法論的準則，四條哲學推理規(guī)則是自然科學認識論、方法論的準則，是學習、研究自然科學強大的思想武器。是學習、研究自然科學強大的思想武器。.牛頓第二定律的數(shù)學表達牛頓第二定律的數(shù)學表達設質(zhì)量為設質(zhì)量為m的物體（質(zhì)點）沿曲線的物體（質(zhì)點）沿曲線C運運動，所受到的力為動，所受到的力為,當物體的質(zhì)量不變時當物體的質(zhì)量不變時,牛牛頓第二定律的表示為頓第二定律的表示為Fdtdm 圖1.3m O Cr式式(1.3)在常用的坐標系中的分量式分別為：在常用的坐標系中的分量式分別為：),(trrFF (1.1) Frr 力力一般是位矢一般是位矢速度速度和時間和時間t的函數(shù)的函數(shù)

12、:(1.2) 則式則式(1.1)可寫為可寫為 ),(trrFrm (1.3)（）直角坐標系（）直角坐標系) 6 . 1 ();,;,();,;,();,;,(tzyxzyxFzzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmyx 方程（方程（1.3）可表示為）可表示為 kzj yi xr kzj yi xr （1.4）（1.5）P(x,y,z)yxx圖圖1.4ox（2）平面極坐標系）平面極坐標系jiejier cossinsincos （1.7）rrredtddedeedtddede （1.8）rr 質(zhì)點的位矢質(zhì)點的位矢和速度和速度為為rerr （1.9） ererererrrrr （1.10）及

13、其單位矢量及其單位矢量rre e和極角和極角及其單位及其單位的方向都隨時間改變，且的方向都隨時間改變，且矢量矢量 其結(jié)構(gòu)如圖其結(jié)構(gòu)如圖1.5所示所示.從圖中可知：從圖中可知：隨著質(zhì)點隨著質(zhì)點P的運動，矢徑的運動，矢徑加速度為加速度為 errerrdtdar )2()(2 （1.11） FrrmFrrmr)2()(2 （1.12） (3)球坐標系球坐標系 xyzor rN圖圖1.6jieeekjiekjierrcossinsinsincoscoscoscossinsincossin(1.13)(1.1)(1.1)因此，牛頓第二定律可表示為因此，牛頓第二定律可表示為 eeer、，由圖，由圖1.6可

14、知：可知： 空間一點空間一點P的位置坐標及其單位矢量分別為的位置坐標及其單位矢量分別為r、和和eeeedtdeeeeeeeeeeerrrrrrcossin)(cossin(1.16)(1.1)(1.1)位矢和速度為位矢和速度為 rerr （1.19） erererrrsin （1.20） aa由定義由定義求出加速度求出加速度的表示式后，可得的表示式后，可得 FrrrmFrrrmFrrrmr)cos2sin2sin()cossin2()sin(222 （4）柱坐標）柱坐標可看成是由可看成是由OXY平面上的平面極坐標平面上的平面極坐標R、和直角坐標和直角坐標Z組合而成。組合而成。單位矢量單位矢量k

15、eeR和和、 的變化率為的變化率為 0keeeeRR （1.221.22）位矢和速度為位矢和速度為kZrR eRkZerR eR（1.231.23）（1.241.24）Y z O x z R r 圖圖1.7牛頓第二定律為牛頓第二定律為 zRFzmFRRmFRRm )2()(2（1.251.25） （5）自然坐標與內(nèi)稟方程）自然坐標與內(nèi)稟方程 設質(zhì)點沿著某一空間曲線設質(zhì)點沿著某一空間曲線MN運運動，在軌道動，在軌道MN上的任意點上的任意點P作密切作密切平面，在密切平面內(nèi)過平面，在密切平面內(nèi)過P點作切線點作切線 和法線和法線n，再作直線，再作直線b，使三者的方向關(guān)，使三者的方向關(guān)系為系為 bn ，

16、即互相，即互相，b稱為次法線。稱為次法線。 nb和和構(gòu)成的平面構(gòu)成的平面稱為法平面，稱為法平面， 與與 b組成的平面稱為直切平面。軌道上每一點組成的平面稱為直切平面。軌道上每一點都可作出這樣的三條正交的直線，以、都可作出這樣的三條正交的直線，以、n、b為坐標軸構(gòu)成空間自然坐標系。為坐標軸構(gòu)成空間自然坐標系。 bneee、 bneee、 用用表示其單位矢量，顯然，隨著質(zhì)點的運動，表示其單位矢量，顯然，隨著質(zhì)點的運動，方向隨時間方向隨時間t而變化。而變化。 O x y P ds圖圖1.9 e dtdedtddtda ? dtd （1.26） 質(zhì)點在任意時刻（質(zhì)點在任意時刻（P點）的速度和加速度分別

17、為點）的速度和加速度分別為如圖如圖1.9所示：所示：ddsdtdsdsddtddtedddeed 所以加速度為所以加速度為 ede dted 因因，即，即指向軌道的凹向，可見指向軌道的凹向，可見與法線與法線 edne同向，同向， needtda 2 （1.27）dtda 2 na0 ba ， ，則牛頓第二定律為則牛頓第二定律為 bnFFmFdtdm02 （1.28）1.3 動力學基本定理動力學基本定理 1.3.1 動量定理動量定理 (1)質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理Fdtdm 牛頓第二定律牛頓第二定律可寫為可寫為Fdtpddtmddtdm )( (1.29) 對于由對于由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系個

18、質(zhì)點組成的質(zhì)點系)(1)(enieisFFdtpd （1.30）式中式中 mp 為質(zhì)點動量，式為質(zhì)點動量，式(1.29)表明：表明：質(zhì)點動量的變化率等于質(zhì)點質(zhì)點動量的變化率等于質(zhì)點所受到的力。所受到的力。 為質(zhì)點系的動量：為質(zhì)點系的動量：式中式中spiniinissmPP11 （1.31）為合外力：為合外力： )(eF nieieFF1)()( （1.32）方程（方程（1.30）表明：質(zhì)點系動量的變化率等于體系所受到的合外力）表明：質(zhì)點系動量的變化率等于體系所受到的合外力質(zhì)點系動量質(zhì)點系動量定理，方程中體系中的的內(nèi)力完全不出現(xiàn)。定理，方程中體系中的的內(nèi)力完全不出現(xiàn)。 （2）質(zhì)點系動量守恒定理）

19、質(zhì)點系動量守恒定理即質(zhì)點系動量不變即質(zhì)點系動量不變質(zhì)點系動量守恒定律。質(zhì)點系動量守恒定律。0)( eF，質(zhì)點系動量不守恒，但在某一定方向（例如質(zhì)點系動量不守恒，但在某一定方向（例如x方向）的合外力方向）的合外力 0)( exF，則在該方向動量守恒：，則在該方向動量守恒： 常常量量 sxP0 Fdtpds常常矢矢量量 niiismP1 若質(zhì)點系所受的合外力為零：若質(zhì)點系所受的合外力為零：，則，則（1.33） 例如外力僅為重力時，質(zhì)點系水平方向動量守恒。例如外力僅為重力時，質(zhì)點系水平方向動量守恒。 您能舉出系統(tǒng)總動量不守恒而在水平方向動量守恒的實例嗎？您能舉出系統(tǒng)總動量不守恒而在水平方向動量守恒的

20、實例嗎？ 為質(zhì)點系質(zhì)心的位矢，為質(zhì)點系質(zhì)心的位矢，sm為質(zhì)點系總質(zhì)量，則為質(zhì)點系總質(zhì)量，則（3）質(zhì)心運動定理）質(zhì)心運動定理 質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量)()(1siiisssiiiniiismrmdtdmmmrmdtdmP 式中式中 sniiicmrmr （1.34） cscssmdtrdmP （1.35）質(zhì)點系的動量定理可改寫成：質(zhì)點系的動量定理可改寫成： )(ecssFdtdmdtpd （1.36） 是質(zhì)心的速度。上式描述了質(zhì)心的運動（平移）規(guī)律，稱為質(zhì)心運是質(zhì)心的速度。上式描述了質(zhì)心的運動（平移）規(guī)律，稱為質(zhì)心運動定理，它表明：動定理，它表明：質(zhì)心的運動如同一個質(zhì)量等于質(zhì)點系的質(zhì)量，所受的

21、力等質(zhì)心的運動如同一個質(zhì)量等于質(zhì)點系的質(zhì)量，所受的力等于作用在整個質(zhì)點系上的合力的質(zhì)點的運動一樣。于作用在整個質(zhì)點系上的合力的質(zhì)點的運動一樣。式中式中c 質(zhì)心運動定理只描述質(zhì)點系質(zhì)心的平移，不涉及質(zhì)點系相對于質(zhì)心的質(zhì)心運動定理只描述質(zhì)點系質(zhì)心的平移，不涉及質(zhì)點系相對于質(zhì)心的空間取向，而且質(zhì)心運動狀態(tài)的變化取決于質(zhì)點系所受的外力，而與內(nèi)力空間取向，而且質(zhì)心運動狀態(tài)的變化取決于質(zhì)點系所受的外力，而與內(nèi)力無關(guān)，內(nèi)力可以改變質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點的運動狀態(tài)，不能改變質(zhì)心的運動狀無關(guān)，內(nèi)力可以改變質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點的運動狀態(tài)，不能改變質(zhì)心的運動狀態(tài)。質(zhì)點系可以是離散的質(zhì)點組或可變形的柔體（如京劇演員、跳水運動態(tài)。質(zhì)點系

22、可以是離散的質(zhì)點組或可變形的柔體（如京劇演員、跳水運動員）或不發(fā)生形變的剛體，也可以是運動過程將發(fā)生爆炸的炮彈，在這些員）或不發(fā)生形變的剛體，也可以是運動過程將發(fā)生爆炸的炮彈，在這些體系中質(zhì)心運動定理都成立。如跳水運動員在空中卷縮、抱膝、翻滾、伸體系中質(zhì)心運動定理都成立。如跳水運動員在空中卷縮、抱膝、翻滾、伸展多姿多態(tài)，而其質(zhì)心的運動遵循拋體運動規(guī)律，軌跡為拋物線。展多姿多態(tài)，而其質(zhì)心的運動遵循拋體運動規(guī)律，軌跡為拋物線。 1.3.2 角動量定理角動量定理 （1）角動量）角動量r m 質(zhì)點的位矢質(zhì)點的位矢 和它的動量和它的動量的矢量積的矢量積 PrO圖圖1.11L m mrL （1.37）稱為

23、質(zhì)點對坐標原點稱為質(zhì)點對坐標原點O的角動量（或動量矩），是描述物體運動特性的重要物理的角動量（或動量矩），是描述物體運動特性的重要物理量之一。量之一。 質(zhì)點系的角動量定義為質(zhì)點系的角動量定義為 iiniimrL 1 （1.38） （2）質(zhì)點系對慣性系中固定的角動量定理）質(zhì)點系對慣性系中固定的角動量定理 式（式（1.38）兩邊對）兩邊對t求導：求導： )()()(1111iieiniiiniiiiniiiiniiFFrFrdtdmrmdtrddtLd 上式中內(nèi)力矩和上式中內(nèi)力矩和 0)(1 iiniiFr于是于是 )(1einiiFrdtLd （1.39） 上式表示：質(zhì)點角動量的變化率等于作用在

24、質(zhì)點在質(zhì)點系上所有外力矩的和，與上式表示：質(zhì)點角動量的變化率等于作用在質(zhì)點在質(zhì)點系上所有外力矩的和，與體系內(nèi)部的相互作用無關(guān)體系內(nèi)部的相互作用無關(guān)質(zhì)點系對慣性系中固定點的角動量定理。質(zhì)點系對慣性系中固定點的角動量定理。 （2）角動量守恒定律）角動量守恒定律 如果質(zhì)點系所受到的外力矩為零，則體系角動量守恒如果質(zhì)點系所受到的外力矩為零，則體系角動量守恒 常常矢矢量量 iiniimrL 1 （1.40）若在某一固定方向的外力矩為零，則角動量在該方向的分量守恒。若在某一固定方向的外力矩為零，則角動量在該方向的分量守恒。 宇宙中存在著各種層次的天體系統(tǒng)，它們都具有旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)。例宇宙中存在著各種層次的

25、天體系統(tǒng)，它們都具有旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)。例如銀河系，最初是一團極大的彌漫氣體云，具有一定的初角動量如銀河系，最初是一團極大的彌漫氣體云，具有一定的初角動量。 在自在自身引力作用下收縮，聚集而成現(xiàn)在的形態(tài)。由于角動量守恒，銀河系演變成了朝一身引力作用下收縮，聚集而成現(xiàn)在的形態(tài)。由于角動量守恒，銀河系演變成了朝一個方向旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)（圖個方向旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)（圖1.12）L (3)質(zhì)心系中的角動量定理質(zhì)心系中的角動量定理 質(zhì)心系質(zhì)心系隨質(zhì)點系質(zhì)心平動的參考系（當質(zhì)心加速度隨質(zhì)點系質(zhì)心平動的參考系（當質(zhì)心加速度0 ca時，質(zhì)心系不是慣性系而為非慣性系）。時，質(zhì)心系不是慣性系而為非慣性系）。imcrir i

26、rzXYZxyOc圖圖1.13MLr 、 表示質(zhì)心系中相應的量，則表示質(zhì)心系中相應的量，則zyxc 如圖如圖1.13所示，所示，o - xyz為固定坐標系（慣性系），為固定坐標系（慣性系），為原點取在質(zhì)心為原點取在質(zhì)心C上隨質(zhì)點系相對于上隨質(zhì)點系相對于oxyz平動的質(zhì)心系平動的質(zhì)心系, iiniimrL 1)(1einiiFrM nieiiiiniiiiniiiiniiFrdtdmrmdtrdmrdtddtdL1)(111)( 即即MdtLd （1.41）上式表明：質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量變化率等于作用在質(zhì)點系上的外力對質(zhì)心的力矩上式表明：質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量變化率等于作用在質(zhì)點系上的外力對質(zhì)心的

27、力矩的和。的和。對質(zhì)心的角動量定理，與慣性系中的角動量形式相同。對質(zhì)心的角動量定理，與慣性系中的角動量形式相同。 1.3.3 能量定理能量定理 （1）質(zhì)點系動能定理）質(zhì)點系動能定理 質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能221iiiiimTT （1.42）對上式兩邊微分得對上式兩邊微分得 iiiiiiiiiiiiiirdFrddtdmdmmddT)21(2 即即iiiiiieirdFrdFdT )()(（1.43）上式表示：上式表示：質(zhì)點系動能的增加等于外力和內(nèi)力所做的元功之和質(zhì)點系動能的增加等于外力和內(nèi)力所做的元功之和質(zhì)點系動質(zhì)點系動能定理。能定理。 （2）寇尼希（）寇尼希（Knig）定理）定理 如圖如圖

28、1.10所示，質(zhì)點系動能所示，質(zhì)點系動能 TmrdtdmmmmrmdtdmmmmmTscccsiiiiiiiiiiccsiiciciiciiciiiiiiii)(21)21)(21)2(21)()(212121222222 0 iiiiicmrmr 因質(zhì)心系的原點在質(zhì)心因質(zhì)心系的原點在質(zhì)心C上，故式中上，故式中，所以，所以TmTcs 221 （1.44）221iiimT （1.45）式中式中為質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動能。（為質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動能。（1.44）式表示：質(zhì)點系的總動能等于質(zhì)點系全部質(zhì)）式表示：質(zhì)點系的總動能等于質(zhì)點系全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心速度運動的動能，加在各質(zhì)點相對于質(zhì)心系的動

29、能量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心速度運動的動能，加在各質(zhì)點相對于質(zhì)心系的動能寇尼寇尼希定理。希定理。 （3）質(zhì)心系的動能定理）質(zhì)心系的動能定理 質(zhì)點系動能的微分為質(zhì)點系動能的微分為 iiiieicieiiiciiieiiiiiiiiiiiiiirdFFrdFrdrdFFrdFrddtdmdmmddT).(.).(.21)()()()()(2 根據(jù)寇尼希定理根據(jù)寇尼希定理:)(.)21()(2TdrdFTdrddtdmTddmTmddTcieiccsccscs iiiiieirdFrdFTd)()(1.46) (4) 機械能守恒定律機械能守恒定律 上式為質(zhì)心系中的動能定理上式為質(zhì)心系中的動能定理,與慣性系

30、中的動能定理的形式一樣與慣性系中的動能定理的形式一樣.因此得因此得 如果力如果力F是坐標的單值、有限、可微的函數(shù)，且是坐標的單值、有限、可微的函數(shù)，且 0000 xFyyFFxFzzFzFyyFxxz即即 （1.47）則存在某一單值標量函數(shù)則存在某一單值標量函數(shù)V（x，y，z），且），且 )()()(.000000rVrVdVdzzVdyyVdxxVrdFWrrrrxyzzyx （1.49）)(,kzVjyVixVzVFVFyVFxVFzyx 即即（1.48）則力所做的功為則力所做的功為 可見力可見力F所做的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。滿足（所做的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與路徑

31、無關(guān)。滿足（1.47）式）式或（或（1.48）式的力稱為保守力。）式的力稱為保守力。 由質(zhì)點的動能定理：由質(zhì)點的動能定理：drdFdmmddT.)21(2對上式積分得對上式積分得 T+V=E=常數(shù)常數(shù) （1.50）式中單值標量函數(shù)式中單值標量函數(shù)V稱為物體的勢能，稱為物體的勢能，T+V為物體的機械能，上式表明：為物體的機械能，上式表明：如果作用在質(zhì)點上的力如果作用在質(zhì)點上的力FF不做功或不做功或機械能守恒定律。機械能守恒定律。為保守力，則質(zhì)點的機械能守恒為保守力，則質(zhì)點的機械能守恒 1.4 牛頓力學理論的應用例題牛頓力學理論的應用例題 例例1 長距離自由落體。長距離自由落體。試求彗星在萬有引力

32、作用下從距太陽試求彗星在萬有引力作用下從距太陽a處到處到b處所用的時間，其中處所用的時間，其中ab R，R為太陽半徑為太陽半徑 解：取圖示的直角坐標，其運動微分方程為解：取圖示的直角坐標，其運動微分方程為2ZmmGZm 2ZmmGdZZdZmdtZdmZm dZZmmGZdZm2 )11(212aZmGZ dtdZaZmGZ )11(2dZZaaZmGdtba 21dZZaaZmGt21axdxdZxaZ2, )1(2 )1arcsin211(2| )arcsin41121(212310231023ababbamGaxxxmGadxxmGatabab 積分積分 ZZaZdZmGZdZ02 得得

33、 令令 代入上式：代入上式：O Zmf 太陽中心太陽中心 圖圖1.14 例例2 兩個小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動兩個小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動 解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？ 如圖如圖1.15，大環(huán)在豎直方向所受的合力為，大環(huán)在豎直方向所受的合力為 F=T-2Ncos-mg (1)2cos mRNmg （2） mRmg sin（3）小環(huán)沿大環(huán)運動的微分方程為小環(huán)沿大環(huán)運動的微分方程為由（由（3）式，有）式，有 dgdRsin 積分上式得積分上式得)cos1(sin2102 gdgR（4） （4）式代入（）式代入（2）式可得）式可得)2cos3()co

34、s1(2coscos2 mgmgmgmRmgN （5） （5）式代入（）式代入（1）式：）式：gmmgTF cos)2cos3(2（6） 當合力當合力F0時大環(huán)上升，這時時大環(huán)上升，這時T=0，于是（，于是（6）式化為）式化為0cos4cos660cos4cos622 mmmmmm )2311(31cosmm 上式成立的條件為上式成立的條件為 mmmm 23, 0231即即，因此：，因此： 大環(huán)可上升的條件為大環(huán)可上升的條件為mm 23 大環(huán)開始上升時小環(huán)所處的位置為大環(huán)開始上升時小環(huán)所處的位置為)2311(31cos0mmarc 例例3質(zhì)點沿擺線質(zhì)點沿擺線 sin4RS 運動運動解解:半徑為

35、半徑為R的圓周沿的圓周沿x軸純滾動時軸純滾動時,圓周上一點圓周上一點P(x,y)的軌跡即為擺線的軌跡即為擺線.本題給本題給出擺線方程出擺線方程,求質(zhì)點運動的加速度的大小求質(zhì)點運動的加速度的大小. 擺線方程通常表成直角坐標形式擺線方程通常表成直角坐標形式.如圖如圖1.16所示所示: ORCYDRCEPM圖圖1.16XjRiRjRiRjRiRjRiRCMPCiRPMOPr)cos1()sin()cos1()sin(cossin )cos1()sin( RyRx (1) 上式為上式為M點的運動學方程點的運動學方程(直角坐標形式直角坐標形式),稱為擺線稱為擺線(式旋輪線式旋輪線)參數(shù)方程參數(shù)方程. d

36、RdRdRdRdydxdS2sin2cos1(2)sin()cos1()()(2222 積分得積分得)2cos1(4)( RS (2) (2) 232,223設設x軸正向與軌道切線正向之間的夾角為軸正向與軌道切線正向之間的夾角為,由圖由圖1.16知知:則則(2)式為式為 )sin1(4)23cos(14)( RRS將弧坐標原點移至將弧坐標原點移至4R處處,上式為上式為 sin4)(RS (3) (3) (3)式為以弧長為變量的擺線方程式為以弧長為變量的擺線方程(軌跡方程軌跡方程)sin24cos4RaRS cos4cos4RddRddS cos4cos4)cos4(222RRRan nnneR

37、eReaeaa cos4sin22 2224 Raaan 可見可見:切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點的位置改變變化切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點的位置改變變化,但總的加速度的大小是常量但總的加速度的大小是常量 例例4 變質(zhì)量方塊串的運動。變質(zhì)量方塊串的運動。x y F O 圖圖1.17 NF2TF1TF方塊串的總長為方塊串的總長為L，單位質(zhì)量為，單位質(zhì)量為，開，開始時排列放在桌面上，右端正好排列到桌緣，始時排列放在桌面上，右端正好排列到桌緣，小方塊與桌面的動摩擦因數(shù)為小方塊與桌面的動摩擦因數(shù)為，用恒力，用恒力F沿沿水平方向從左端推動該列小方塊。求當左端水平方向從左端推動該列小方塊。求當左端剛好達到桌

38、緣時，這列小方塊的速度。剛好達到桌緣時，這列小方塊的速度。解：以桌面上（水平方向）和豎直方向解：以桌面上（水平方向）和豎直方向兩部分方塊串為研究對象，它們的質(zhì)量在運兩部分方塊串為研究對象，它們的質(zhì)量在運動過程中不斷變化，是變質(zhì)量運動問題，其動過程中不斷變化，是變質(zhì)量運動問題，其運動方程分別為運動方程分別為 1)(TFFgxxxdtd （1）2)(TFFygyydtd （2）在轉(zhuǎn)角處，方塊串微元在轉(zhuǎn)角處，方塊串微元dldm 的運動方程為的運動方程為21TTNFFFrdl （3） 當當0 dldm 時時021 TTNFFFNTTFFF2221 代入（代入（1）、（）、（2）式，并相減，得）式，并相

39、減，得 Fgyxyyxxdtd )()(因因yxLyxLyx ,，代入上式，可得，代入上式，可得yLggLFy)1()( yLggLFdyydydtdydyydy)1()( dyyLggLFydy) 1()( 積分上式并利用初始條件積分上式并利用初始條件t=0時，時，0,0 yy，得，得gLFLLgLgLFy)1(2)1()(22122 例例5帶電粒子在電磁場中的運動帶電粒子在電磁場中的運動的電磁場中的運動規(guī)律。的電磁場中的運動規(guī)律。，磁感應強度為，磁感應強度為EB 求電荷量為求電荷量為q，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的帶電粒子在電場強度為的帶電粒子在電場強度為 解：（解：（1）帶電粒子在均勻恒定磁場中的

40、運動）帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動 運動方程運動方程 Btrqtrm )()( （1）BBkB 設設沿沿Z軸正向：軸正向： ,則則 )(Brmqr （2）粒子受什么力作用？粒子受什么力作用？ 速度速度用用k標乘（標乘（2）式：）式：0)()(. tZBrmqkrk 常量常量 Z（3）即沿即沿Z軸方向（軸方向（B方向）的速度分量不變（為何不變？）方向）的速度分量不變（為何不變？） 動能動能 將將r點乘（點乘（1）式：）式：0)( Btrr qrrm 0)21(2 rmdtd 或或 常常量量 221rmT（4） 即粒子的動能守恒（何故？）即粒子的動能守恒（何故？） 方程（方程（2）的分量式為）的

41、分量式為)(j xi ymgBkzj yi x 0)()()()()(tztxtytytx （5） 式中式中 mqB （6） 稱為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學中一個重要的特征量。稱為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學中一個重要的特征量。 運動軌跡運動軌跡 將（將（5）式中的第一、二兩式再對）式中的第一、二兩式再對t求導，得求導，得 0)()(0)()(22tytytxtx （）（） （7） 積分可得積分可得 00)cos()()sin()(yttyxttx 將（將（5）式中的第三式）式中的第三式0)( tz 對對t積分二次得積分二次得（）（） 0/)(zttz （8）和（）和（9）式即為粒子

42、的軌跡方程，（）式即為粒子的軌跡方程，（8）式表示：帶電粒子）式表示：帶電粒子磁感應線做橫磁感應線做橫向圓圈運動；（向圓圈運動；（9）式表示：帶電粒子沿磁場方向作勻速直線運動。）式表示：帶電粒子沿磁場方向作勻速直線運動。0/)(zttz 00, yx對于運動平面（對于運動平面（）上的觀察者：粒子的運動軌跡是以（）上的觀察者：粒子的運動軌跡是以（）為圓心（稱為引導中心）的圓，圓的半徑（稱為回旋半徑）為）為圓心（稱為引導中心）的圓，圓的半徑（稱為回旋半徑）為Bqmr （10）回旋方向與回旋方向與q的正負有關(guān)（見圖的正負有關(guān)（見圖1.18）yxzOByyy(a)(b)yyyxzOBy_圖圖1.18(

43、a)(b)圖圖1.19對于靜止觀察者：帶電粒子繞磁感應線作螺旋運動，其軌跡形成一個對于靜止觀察者：帶電粒子繞磁感應線作螺旋運動，其軌跡形成一個螺旋管（見圖螺旋管（見圖1.19） E/EB OOxz圖圖1.20 （2）帶電粒子在均勻恒定電磁場中的運動）帶電粒子在均勻恒定電磁場中的運動 設磁場和電場的方向為設磁場和電場的方向為 kEjEEkBB/ 牛頓力學方程的分量為牛頓力學方程的分量為 /)()()()()(qEtzEmqtxtytytx （11）積分（積分（11）中的第三式，很容易求得沿磁場方向的速度）中的第三式，很容易求得沿磁場方向的速度ztmqEtz0/)( （12） 上式表明帶電粒子沿磁

44、場方向作勻加速度運動。上式表明帶電粒子沿磁場方向作勻加速度運動。 為簡化討論，設為簡化討論，設E/ =0，jEE 。將（。將（11）式中的第一、二兩式）式中的第一、二兩式對對t再求導一次，然后連續(xù)積分兩次，可得再求導一次，然后連續(xù)積分兩次，可得 )sin()()cos()( ttyBEttx（13）是由粒子初始條件確定的常數(shù)。（是由粒子初始條件確定的常數(shù)。（13）式表明：）式表明：粒子除粒子除了圍繞其引導中心作圓周運動外，其引導中心還沿著了圍繞其引導中心作圓周運動外，其引導中心還沿著x軸方向漂移，軸方向漂移，漂移速漂移速度為度為 式中式中與與 2BBEBEEF 或或 （14） 在在受控核聚變受

45、控核聚變中，需要采用磁場來約束帶電粒子（等離子體），使之在中，需要采用磁場來約束帶電粒子（等離子體），使之在c810度高溫下聚集不散，磁場約束裝置設計的一個重要任務就是克服度高溫下聚集不散，磁場約束裝置設計的一個重要任務就是克服帶電粒帶電粒子因漂移運動而引起的損失。子因漂移運動而引起的損失。 地球是一個磁體，周圍有地磁場存在。地球的大氣層中有由大量的帶電地球是一個磁體，周圍有地磁場存在。地球的大氣層中有由大量的帶電粒子（電子、正離子、負離子）構(gòu)成的電離層，電離層中的帶電粒子的正負粒子（電子、正離子、負離子）構(gòu)成的電離層，電離層中的帶電粒子的正負總電荷相等，但不是中性的而是呈電性的稱為等離子體。

46、太陽也是由等離子總電荷相等，但不是中性的而是呈電性的稱為等離子體。太陽也是由等離子體組成的，不斷從太陽吹向地球的所謂體組成的，不斷從太陽吹向地球的所謂“太陽風太陽風”，實際上就是帶電粒子流，實際上就是帶電粒子流，這些帶電粒子受到地磁場的作用時，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論這些帶電粒子受到地磁場的作用時，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論的帶電粒子在電磁場中的運動是一個很有實際意義的力學問題。的帶電粒子在電磁場中的運動是一個很有實際意義的力學問題。 1.5 解題指導解題指導 (1)習題類型及基本解法習題類型及基本解法 牛頓動力學問題大體上分為兩類牛頓動力學問題大體上分為兩類: )(trr

47、aF .已知質(zhì)點的運動學方程已知質(zhì)點的運動學方程,求質(zhì)點的運動速度求質(zhì)點的運動速度、加速度加速度、和所受的力和所受的力：這是正問題。這是正問題。所受的力所受的力和加速度和加速度 基本解法基本解法：運用高等數(shù)學的微分法，將運動學方程運用高等數(shù)學的微分法，將運動學方程)(trr aamF F 對時間對時間t，再由第二定律，再由第二定律求導數(shù)，即可求得速度求導數(shù)，即可求得速度可求出質(zhì)點可求出質(zhì)點和運動的初始條件（狀態(tài)），求質(zhì)點的運動學方程F)(trr a .已知質(zhì)點所受的力、速度、加速度和軌跡。這是逆問題這是逆問題。 基本解法：基本解法：根據(jù)牛頓第二定律建立方程，應用高等數(shù)學的積分法或解微根據(jù)牛頓第

48、二定律建立方程，應用高等數(shù)學的積分法或解微分方程方法，求出方程的解析解可得速度分方程方法，求出方程的解析解可得速度 )(trr )(trr 、運動學方程、運動學方程，消去，消去中的參數(shù)中的參數(shù)t可得軌跡方程?？傻密壽E方程。（2）解題的思路和步驟）解題的思路和步驟 確定研究對象，并隔離出來；確定研究對象，并隔離出來； 選取適當?shù)淖鴺讼?；選取適當?shù)淖鴺讼担?對研究對象進行受力分析和運動分析；對研究對象進行受力分析和運動分析； 根據(jù)已知條件和所求的量，確定解題方法，建立方程；根據(jù)已知條件和所求的量，確定解題方法，建立方程； 解方程，求出要求的量；解方程，求出要求的量； 必要時對結(jié)果進行討論。必要時對

49、結(jié)果進行討論。 （3）范例）范例 例例1 質(zhì)點在粘性介質(zhì)中的運動。質(zhì)點在粘性介質(zhì)中的運動。 mkR Ohmgm圖圖1.20 xmkmgxm （1） 請思考：方程中重力請思考：方程中重力mg和阻力和阻力xmk為何都是為何都是“-”的？的？ ),(xkgdtxdx 所以所以因因 質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點無初速度地自離地面為的質(zhì)點無初速度地自離地面為h處豎直處豎直下落，空氣阻力大小與速度一次方成正比，即下落，空氣阻力大小與速度一次方成正比，即R=mkv，k為可用實驗方法測定的常數(shù)。試研究其運動。為可用實驗方法測定的常數(shù)。試研究其運動。 解：質(zhì)點運動中受的力有：重力解：質(zhì)點運動中受的力有：重力mg、空氣阻

50、力空氣阻力R=mkv，取圖，取圖1.20所示的直角坐標，所示的直角坐標，質(zhì)點的運動微分方程為質(zhì)點的運動微分方程為 dtxkgxd 初始條件為：初始條件為：t=0時，時，0,00 hx，積分上式，得，積分上式，得tkgekhxkt ) 1(12（2）) 1( ktekgx （3） 討論：當討論：當t時，質(zhì)點的速度時，質(zhì)點的速度恒恒量量 kgekgkt) 1( 這時質(zhì)點作勻速直線運動（為什么？）這時質(zhì)點作勻速直線運動（為什么？） 例例2 在上例中，如果阻力與速度的平方成正比：在上例中，如果阻力與速度的平方成正比：22 mgkR ，試研究，試研究質(zhì)點的運動。質(zhì)點的運動。 解：在圖解：在圖1.20的坐

51、標系中，質(zhì)點的運動微分方程為的坐標系中，質(zhì)點的運動微分方程為22 mgkmgxm （1） （想一想：上式中阻力（想一想：上式中阻力22 mgk為何是為何是“+”？）？） )1 (22 kgdtdx gdtkd 221 （2） 積分（積分（2）式得）式得)(1gkttghk )cosh(ln12gktgkhx )(gkttghk1 討論：討論：當當t時，時，1，故極限速度為，故極限速度為 小結(jié)小結(jié) 求解物體在介質(zhì)阻力作用下的運動問題需注意以下幾點：求解物體在介質(zhì)阻力作用下的運動問題需注意以下幾點： 1.介質(zhì)對物體的阻力規(guī)律是很復雜的，因為阻力的大小與運動物體介質(zhì)對物體的阻力規(guī)律是很復雜的，因為阻

52、力的大小與運動物體的形狀、大小和介質(zhì)的物理性質(zhì)（溫度、粘性系數(shù)、密度等）以及物體運的形狀、大小和介質(zhì)的物理性質(zhì)（溫度、粘性系數(shù)、密度等）以及物體運動的速度有關(guān)，通常用下式表示：動的速度有關(guān)，通常用下式表示： )( scR 式中：式中：c與運動物體的形狀以及物理性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)；與運動物體的形狀以及物理性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)；介質(zhì)密度；介質(zhì)密度； S物體投影在物體投影在于速度的平面上的面積；于速度的平面上的面積； （v）物體運動的相對速度物體運動的相對速度v的函數(shù)，在不同的速度范圍內(nèi)，的函數(shù)，在不同的速度范圍內(nèi)，（v）的形式不同。）的形式不同。 kR 2 kR 2.質(zhì)點在空氣阻力作用下運動時，在速度不大的

53、情況下，阻力的大小與質(zhì)點在空氣阻力作用下運動時，在速度不大的情況下，阻力的大小與接近彈速范圍內(nèi)，接近彈速范圍內(nèi)，阻力大小與速度的二次方成正比：阻力大小與速度的二次方成正比：接近聲速時，一般接近聲速時，一般R與與v的關(guān)系不能用簡單的函數(shù)關(guān)系表示。的關(guān)系不能用簡單的函數(shù)關(guān)系表示。 速度的一次方成正比：速度的一次方成正比：（k0，k是一個由實驗測定的阻力系數(shù)）；在是一個由實驗測定的阻力系數(shù)）；在；當運動速度增至；當運動速度增至 3.求解質(zhì)點在阻力作用下的運動問題求解質(zhì)點在阻力作用下的運動問題.首先要正確建立運動微分方程，首先要正確建立運動微分方程，其關(guān)鍵是正確確定阻力在方程中的符號。阻力其關(guān)鍵是正確

54、確定阻力在方程中的符號。阻力R的方向恒與速度的方向恒與速度v反向，但反向，但R在運動微分方程中不一定為在運動微分方程中不一定為“-”，例如在前面的，例如在前面的例例1中阻力為中阻力為“-mkv”，而而在在例例2中則為中則為“+的反向的反向決定，還與坐標的取向及決定，還與坐標的取向及22 mgkn 的符號有關(guān)。的符號有關(guān)。 ”，原因是阻力，原因是阻力R在方程中的正負號不是簡單地由在方程中的正負號不是簡單地由R與與v4.確定阻力確定阻力R在微分方程中的符號的方法與步驟：在微分方程中的符號的方法與步驟： 先選定坐標的正方向；先選定坐標的正方向； 然后根據(jù)質(zhì)點運動的運動方向，定出速度然后根據(jù)質(zhì)點運動的

55、運動方向，定出速度v在取定的坐標系中的正負；在取定的坐標系中的正負； 再根據(jù)再根據(jù)R恒與恒與v反向判定反向判定R在選定的坐標系中的正負；在選定的坐標系中的正負； 最后有最后有n 的符號確定的符號確定R在方程中的正負。在方程中的正負。 1 22 mgk例如：在例如：在例例1中，中，x軸向上為軸向上為“+”，質(zhì)點向下運動，質(zhì)點向下運動，v為為“-”，根據(jù)，根據(jù)R恒恒為為“-”，故阻力，故阻力R在方程中為在方程中為“-”：與與v反向知反向知R向上，應為向上，應為“+”，但由于，但由于R=-mkv，而在，而在例例2中，由于中，由于v為為“+”，故阻力，故阻力R在方程中為在方程中為“+”：R=+ 例例3

56、 質(zhì)點的約束運動質(zhì)點的約束運動 ayx42 ax20 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小環(huán)，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程為的小環(huán)，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程為.試求小環(huán)自試求小環(huán)自處自由滑至拋物線頂點的速度及小環(huán)在此時所受的約束處自由滑至拋物線頂點的速度及小環(huán)在此時所受的約束反力。反力。 解：本題是質(zhì)點的約束運動問題，屬動力學的逆問題。已知質(zhì)點運動軌解：本題是質(zhì)點的約束運動問題，屬動力學的逆問題。已知質(zhì)點運動軌跡，故采用自然坐標法較簡便。跡，故采用自然坐標法較簡便。質(zhì)點受哪些力作用？質(zhì)點受哪些力作用？如圖如圖1.21，質(zhì)點運動微分方程為，質(zhì)點運動微分方程為 cossin2mgNmmgdtdm思考

57、：思考：式右邊為何為式右邊為何為“-”？ 根據(jù)初始條件為：根據(jù)初始條件為：t=0時，時，aaaaxy 4442200，積分，積分式，得式，得 ag22 ag2 XYOmgnN N圖圖.由由(2)式：式： cos2mgmN ,21,2)4(2adxydyaxaxdxddxdyy 因因 2322232)41(121)1(1axayy 將將、式代入式代入式，得式，得 cos)41(222322mgaxaagmN 在頂點在頂點O處：處：x=0，=0，所以，所以 N=mg+mg=2mg 再分析兩個約束問題的例題。再分析兩個約束問題的例題。 例例4 質(zhì)點在重力作用下沿豎直平面內(nèi)光滑的旋輪線運動質(zhì)點在重力作

58、用下沿豎直平面內(nèi)光滑的旋輪線運動.旋輪線的參數(shù)方程為旋輪線的參數(shù)方程為 )cos1()sin( RyRx求質(zhì)點在求質(zhì)點在 =0附近擺動的周期。附近擺動的周期。 解：解：題目要求質(zhì)點擺動的周期，因此必須求出質(zhì)點振動的微分方程題目要求質(zhì)點擺動的周期，因此必須求出質(zhì)點振動的微分方程.采用自然坐標法采用自然坐標法.如圖如圖1.22所示，以所示，以O為弧坐標原點，設為弧坐標原點，設=0時，時，s=0，質(zhì)點，質(zhì)點運動微分方程為運動微分方程為 2cos2sin2 mgNmmgsm OBYXCNRmgn圖圖1.222sin 由于不需要求約束反力，故只考慮由于不需要求約束反力，故只考慮式式.因因s，t，均為變量

59、，不能直接積分，均為變量，不能直接積分，。由參數(shù)方程，有。由參數(shù)方程，有為此，設法消去為此，設法消去 dRdydRdxsin,)cos1( dRdRRdydxds2cos2sin)cos1(222222 設設t=0時，時，0,0,0000 ss，積分上式，得，積分上式，得 2sin42cos20 RdRs Rs42sin 將將式代入式代入式式 sRgs4 02 ss 式為質(zhì)點振動微分方程，式中式為質(zhì)點振動微分方程，式中 Rg42 為圓頻率，則周期為圓頻率，則周期 gRT422 例例5 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小珠串在一光滑的鐵絲上，鐵絲在豎直平面內(nèi)且其的小珠串在一光滑的鐵絲上，鐵絲在豎直平面內(nèi)且其形狀

60、為拋物線：形狀為拋物線：pxy2 .初始時小珠的初始時小珠的高度高度y=h，初速為零，初速為零. 求小珠下滑求小珠下滑時時所受的約束力。所受的約束力。 解：采用自然坐標法解：采用自然坐標法.設設t=0時，時， NmgNmgmmgmgdtdmcoscossinsin2 積分積分式，得式，得 )(22yhg ,22 ,232ypdxydyypdxdyypdxdyypxy 232232232)1(1)1(1ypypyy 因因 弧坐標弧坐標s=0.質(zhì)點運動微分方程為質(zhì)點運動微分方程為 ,22 ,232ypdxydyypdxdyypdxdyypxy 232232232)1(1)1(1ypypyy 因因