2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2.52.5等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和主要內(nèi)容第1課時(shí)第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用第1課時(shí)國(guó)際象棋起源于印度，印度國(guó)王一天獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋的發(fā)明者，問他要什么？122223242526272829210262263發(fā)明者說：請(qǐng)?jiān)?4個(gè)格子里依次放1，2，22，23，263個(gè)麥粒. 國(guó)王覺得要求不高. 同意了發(fā)明者的要求，我們來算一算國(guó)王需要給發(fā)明者多少麥子.麥子的粒數(shù)：?222216332 這是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前64項(xiàng)和633222221S設(shè)， 646332222222S， 得即., 12264 SS1264S1222221646332 超過了超過了1 .84

2、,1 .84 ,假定千粒麥子假定千粒麥子的質(zhì)量為的質(zhì)量為40g,40g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了那么麥粒的總質(zhì)量超過了70007000億億噸噸. . 所以國(guó)王不可能同意發(fā)明者的要求所以國(guó)王不可能同意發(fā)明者的要求. . 12641910q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa，得,111nnqaaSq由此得q1時(shí)，qqaSnn111等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法nnaaaaS321設(shè)等比數(shù)列,321naaaa它的前n項(xiàng)和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即錯(cuò)位相減法求和當(dāng)q1時(shí)，qqaSnn111,111qaqqaqannn因?yàn)樗詑qaaSnn11顯然，當(dāng)q=1時(shí)，1naS

3、n0, 1,1111,111qqqqaaqqaqnaSnnn 對(duì)于等比數(shù)列的相關(guān)量a1，an，q，n，Sn.已知幾個(gè)量，就可以確定其它量.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例1. 求和：.nnnS2164834221為等比數(shù)列，公比為.設(shè) ，其中 為等差數(shù)列，nnnnna212 nn2121錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用舉例分析： 利用錯(cuò)位相減法把一個(gè)數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題進(jìn)行求和.解：，nnnS21214213212211432兩端同乘以，得21154322121) 1(21421321221121nnnnnS,22121212121211432nnnnS兩式相減得 于是.nnnnS22121證法證

4、法2 2：Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+q(Sn-an) 1(11qqqaasnn證法證法3 3：qaaaaaann 12312qaaaaaann12132qaSaSnnn1) 1(11qqqaasnn等比數(shù)列求和公式的其它推導(dǎo)法02431272,81,41,2118191qaa，）（）（項(xiàng)的和、求下列等比數(shù)列的前例解: (1)由,211a,212141qn=8，得2112112188S212112182562552118 891272431,2431,272qaa可得由31, 0qq可得又由811640311311

5、27888Sn時(shí)，于是當(dāng)練習(xí)根據(jù)下列條件，求出等比數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn26. 15 . 115 . 1214 . 2189212136;21, 5 . 1, 4 . 21naqa; 6, 2, 31nqanS) 1nS)2解： 例2. 某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)(結(jié)果保留到個(gè)位)？分析：第1年產(chǎn)量為 5000臺(tái)第2年產(chǎn)量為 5000(1+10%)=50001.1臺(tái)第3年產(chǎn)量為5000(1+10%) (1+10%)臺(tái)21 . 15000第n年產(chǎn)量為臺(tái)11 . 15000n則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：1

6、21 . 151 . 151 . 155n 解：由題意,從第1年起,每年的銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列 ,na其中,30000, 1 .1%101,50001nSqa.300001 . 111 . 115000n即.6 .11 .1n兩邊取常用對(duì)數(shù)，得 6 . 1lg1 . 1lgn5041.020.01.1lg6.1lgn(年)答：約5年可以使總銷售量達(dá)到30000臺(tái) 例3. 如圖，為了估計(jì)函數(shù)y=9-x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積X，把x軸上的區(qū)間0，3分成n等份，從各分點(diǎn)作y軸的平行線與函數(shù)圖象相交，再?gòu)母鹘稽c(diǎn)向左作x軸的平行線，構(gòu)成（n-1)個(gè)矩形，下面的程序用來計(jì)算這(n

7、-1)個(gè)矩 形 的 面 積 的 和 S . 閱讀程序，回答下列問題.（1）程序中的AN、SUM分別表示什么，為什么？（2）請(qǐng)根據(jù)程序分別計(jì)算當(dāng)n=5，11，16時(shí)，各個(gè)矩形的面積的和（不必在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行程序）. 解：（1）當(dāng)把x軸上的區(qū)間0，3分成n等份時(shí)，各等份的長(zhǎng)都是3/n，即各矩形的底都是3/n，顯然分點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是,) 1(39 ,239 ,39222 nnnn,) 1(3,23,3nnnn 從各分點(diǎn)作y軸的平行線與y=9-x2的圖象相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是：nnnnnnn3) 1( 39,3239,339222 它們分別是相應(yīng)矩形的高. 所以各個(gè)矩形的面積分別是： 所以，程序中的A

8、N表示第k個(gè)矩形的面積，SUM表示前k個(gè)矩形面積的和. (2) 解: 根據(jù)程序，當(dāng)n=6時(shí)，5個(gè)矩形的面積的和就是輸入N=6時(shí)，SUM的最后一個(gè)輸出值，即 SUM=15.625；同理，當(dāng)n=11時(shí)，10個(gè)矩形的面積的和就是輸入N=11時(shí)，SUM的最后一個(gè)輸出值，即SUM=16.736； 當(dāng)n=16時(shí)，15個(gè)矩形的面積的和就是輸入N=16時(shí)，SUM的最后一個(gè)輸出值，即SUM=17.139.這里選擇精確到小數(shù)點(diǎn)后3位例4.已知數(shù)列l(wèi)gx+lgx2+ lgx3+ lgx10=110， 求lgx+lg2x+lg3x+ lg10 x.解：由于 lgx+lgx2+ lgx3+ lgx10=110， lgx

9、+2lgx+3 lgx+10 lgx=110， 55 lgx=110， lgx=2lgx+lg2x+lg3x+ lg10 x=2+22+23+210.=211-2=2046數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成了一個(gè)新數(shù)列：S1，S2，S3，Sn這個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系) 1(11nSSSnna1an 例5.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3n+k，求k的值 分析：利用 求出通項(xiàng)an)2(111nSSaSannn 解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3+k 當(dāng)n1時(shí)，an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=23n-1 當(dāng)n2時(shí)，an+1/an=3, 公比q=3 當(dāng)n=1時(shí) a2/a1=(23)/(3+k

10、)=3, 解得 k=-1 是則數(shù)列若項(xiàng)和為的前已知數(shù)列nnnnnnaaSSSna,2,. 11A.等比數(shù)列 B.等差數(shù)列C.常數(shù)列 D.以上都不對(duì) 此數(shù)列一定是則若項(xiàng)和為的前數(shù)列,) 1lg(,.2nSSnannnA.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.常數(shù)列 D.以上都不對(duì) 等于則中，在等比數(shù)列100992019109,),0(. 3aabaaaaaaan10910989.abDabCabBabA3232%)1(.%)1(.%)1(.%)1(.paDpaCpaBpaA4.某產(chǎn)品計(jì)劃每年成本降低p%，若三年后的成本是a元，則現(xiàn)在的成本是（ ） ._80,20,. 532nnnnnSSSSna則如果項(xiàng)和為

11、的前等比數(shù)列 ._1,. 6項(xiàng)和是的前則項(xiàng)和為前其公比為為等比數(shù)列，首項(xiàng)是已知數(shù)列naSnqaannn小結(jié) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用 思想方法 1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：逆序相加法. 2) 用方程的思想解決a1，n，d，an，Sn五個(gè)元素的“知三求二”問題. 3) 基本元思想：只要首先求出等比數(shù)列的基本元a1和公差d即可，解決求通項(xiàng)和求和問題 4）前n項(xiàng)和的函數(shù)特性 當(dāng)公比q1時(shí)，對(duì)比前n項(xiàng)和Sn和相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.nnnqqaqaqqaS11)1 (1111xxaqaqay)1 (作業(yè)習(xí)題P61-62. A組1,2,3.B組1,2常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法第2課時(shí)一般地，求數(shù)

12、列前n項(xiàng)和Sn的方法有哪些？1. 等差數(shù)列的逆序相加法2. 等比數(shù)列的錯(cuò)項(xiàng)相減法3. 混合數(shù)列的分組求和法4. 拆項(xiàng)合并法或裂項(xiàng)相消法常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法數(shù)數(shù) 列列 等等 差差 數(shù)數(shù) 列列 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列 前前 n 項(xiàng)項(xiàng) 和和 公公 式式推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法 21nnaan S dnnna211 qqann 111Sqqaan 11 1 q倒序相加倒序相加錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減對(duì)比提高對(duì)比提高231 33 35 3(21) 3nnSn 例1.求和 分析：這是形如anbn的前n項(xiàng)和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.求和方法適宜用錯(cuò)項(xiàng)相減法. 錯(cuò)項(xiàng)相減法求和步驟為：在求和等式的兩邊乘以等

13、比數(shù)列的公比，錯(cuò)位相減，再化簡(jiǎn)即可.231 33 35 3(21) 3nnSn 2311 33 3(23) 3(21) 3nnnn 解：兩式相減有：1323) 12(333 232Snnnn1123) 12(3-1)31 (323nnn13)22(6nn33) 1(S1nnn3Snn2n834221Sn求和：求和：練習(xí)1例2.求和：).1, 1, 0()1()1()1(22yxxyxyxyxnn解：當(dāng)1, 1, 0yxx時(shí)，原式=nnyyyxxx111)(22xxxn1)1 (.1111nnnnyyyxxxyyyn11111例3 求和：)0(),()2() 1(2anaaaSnn2111nna

14、aaSnn當(dāng)22121)111 (2nnnnnnnSn1, 0aa當(dāng)1a時(shí)時(shí)解：)21 ()(2naaaSnnnS,2111nnaaan,22nn )1(a).1, 0(aa分析：本題適合分解重新組合求和法.解:111(1)(2)12nannnn11111111()()()()23344512nSnn11()22n2(2)nn例4.求和)2)(1(1541431321Snnn分析：由于 本題適合用裂項(xiàng)相消法.)2)(1(12111nnnn 例5、某鄉(xiāng)為提高當(dāng)?shù)厝罕姷纳钏剑烧顿Y興建了甲、乙兩個(gè)企業(yè)，1997年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤(rùn)320萬(wàn)元，從乙企業(yè)獲得利潤(rùn)720萬(wàn)元.以后每年上交的利潤(rùn)

15、是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的 . 根據(jù)測(cè)算，該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)獲得的利潤(rùn)達(dá)到2000萬(wàn)元可以解決溫飽問題，達(dá)到8100萬(wàn)元可以達(dá)到小康水平.（1）若以1997年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少的一年是哪一年，該年還需要籌集多少萬(wàn)元才能解決溫飽問題？（2）試估算2005年底該鄉(xiāng)能否達(dá)到小康水平？ 為什么？32 解決應(yīng)用性問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：實(shí)際問題實(shí)際問題 分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際結(jié)果實(shí)際結(jié)果回答問題回答問題探討： 分析：本題是

16、考慮該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得利潤(rùn)分析：本題是考慮該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得利潤(rùn)問題問題. . 該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得的總利潤(rùn)該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)中獲得的總利潤(rùn)= =甲上繳利潤(rùn)甲上繳利潤(rùn)+ +乙上繳利潤(rùn)乙上繳利潤(rùn). .年份年份 97（n=1） 98（n=2） 99（n=3） 2000（n=4）（第（第n年）年）甲企業(yè)甲企業(yè) 乙企業(yè)乙企業(yè) 總利潤(rùn)總利潤(rùn)320720720320 5 .. 132023272035 . 132033272015 . 1320n132720n解:(1)設(shè)第n年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤(rùn)為y萬(wàn)元. y= +15 . 1320n132720n96032720233202

17、11nn當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，即98年總利潤(rùn)最少為y=960萬(wàn)元;故還需籌集2000-960=1040萬(wàn)元才能解決溫飽問題.（2）2005年時(shí)，n=9此時(shí) y=85 . 13208327208200即2005年底該鄉(xiāng)能達(dá)到小康水平. 練習(xí)2：陳老師購(gòu)買安居工程集資房92m2， 單價(jià)為1000元/m2，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)，房地產(chǎn)開發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款，每期一年，等額付款， 計(jì)簽購(gòu)房合同后一年付款一次，再經(jīng)過一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清.如果按年利率7.5%，每年按復(fù)利計(jì)算，那么每年應(yīng)付款多少元？(計(jì)算結(jié)果精確到百元，其中 1.07591.921 ，1.075102.065，