概率論第八章假設(shè)檢驗

1、第八章第八章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗的基本思想與步驟假設(shè)檢驗的基本思想與步驟 單個正態(tài)總體下均值與方差的檢驗單個正態(tài)總體下均值與方差的檢驗8.1假設(shè)檢驗的基本思想與步驟假設(shè)檢驗的基本思想與步驟 數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)是從樣本出發(fā)，對總體的分布數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)是從樣本出發(fā)，對總體的分布作出推斷。作推斷的方法，主要有兩種，一種是上一章作出推斷。作推斷的方法，主要有兩種，一種是上一章講的參數(shù)估計，另一種是假設(shè)檢驗。講的參數(shù)估計，另一種是假設(shè)檢驗。例例7.1 某廠生產(chǎn)合金鋼，其抗拉強度某廠生產(chǎn)合金鋼，其抗拉強度X(單位：單位：kg/mm2)可以認(rèn)為服從正態(tài)分布可以認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,2)。據(jù)廠方說，

2、抗拉強度。據(jù)廠方說，抗拉強度的平均值的平均值=48?，F(xiàn)抽查。現(xiàn)抽查5件樣品，測得抗拉強度為件樣品，測得抗拉強度為46.8 45.0 48.3 45.1 44.7問廠方的說法是否可信？問廠方的說法是否可信？這相當(dāng)于先提出了一個假設(shè)這相當(dāng)于先提出了一個假設(shè)H0：=48，然后要求從樣本觀測值出發(fā)，然后要求從樣本觀測值出發(fā)，檢驗它是否成立。檢驗它是否成立。例例7.2 為了研究飲酒對工作能力的影響，任選為了研究飲酒對工作能力的影響，任選19名工人分名工人分成兩組，一組工人工作前飲一杯酒，一組工人工作前不飲成兩組，一組工人工作前飲一杯酒，一組工人工作前不飲酒，讓他們每人做一件同樣的工作，測得他們的完工時間

3、酒，讓他們每人做一件同樣的工作，測得他們的完工時間(單位：分鐘單位：分鐘)如下：如下：飲酒者飲酒者 30 46 51 34 48 45 39 61 58 67未飲酒者未飲酒者 28 22 55 45 39 35 42 38 20問飲酒對工作能力是否由顯著的影響？問飲酒對工作能力是否由顯著的影響？兩組工人完成工作的時間，可以分別看作是兩個服從正態(tài)兩組工人完成工作的時間，可以分別看作是兩個服從正態(tài)分布的總體分布的總體XN(1,12)和和YN(2,22) ，如果飲酒對工作能，如果飲酒對工作能力沒有影響，兩個總體的均值應(yīng)該相等。所以問題相當(dāng)于力沒有影響，兩個總體的均值應(yīng)該相等。所以問題相當(dāng)于要求我們根

4、據(jù)實際測得的樣本數(shù)據(jù)，檢驗假設(shè)要求我們根據(jù)實際測得的樣本數(shù)據(jù)，檢驗假設(shè)H0：1= 2是否成立。是否成立。 例例7.3 某班學(xué)生的一次考試成績?yōu)槟嘲鄬W(xué)生的一次考試成績?yōu)閤1,x2,xn，問學(xué)生的，問學(xué)生的考試成績考試成績X是否服從正態(tài)分布？是否服從正態(tài)分布？ 學(xué)生的考試成績可以看作是總體學(xué)生的考試成績可以看作是總體X的樣本觀察值，的樣本觀察值，該例題相當(dāng)于提出這樣一個問題該例題相當(dāng)于提出這樣一個問題H0：XN(,2)然后要求從樣本出發(fā)，檢驗它是否成立。然后要求從樣本出發(fā)，檢驗它是否成立。例例7.1-7.3有一個共同的特點，就是先提出一個假設(shè)，然有一個共同的特點，就是先提出一個假設(shè)，然后要求從樣本

5、出發(fā)檢驗它是否成立。我們稱這樣的問題后要求從樣本出發(fā)檢驗它是否成立。我們稱這樣的問題為假設(shè)檢驗問題。為假設(shè)檢驗問題。在假設(shè)檢驗中，提出要求檢驗的假設(shè)，稱為原假設(shè)或零在假設(shè)檢驗中，提出要求檢驗的假設(shè)，稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為假設(shè)，記為H0，原假設(shè)如果不成立，就要接受另一個假，原假設(shè)如果不成立，就要接受另一個假設(shè)，這另一個假設(shè)稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為設(shè)，這另一個假設(shè)稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為H1。例例7.1中，原假設(shè)是中，原假設(shè)是H0：=48， 備擇假設(shè)備擇假設(shè)H1：48，例例7.2中，中，H0：1= 2， H1：1 2例例7.3中，中，H0：XN(,2)，H1：X不服從正態(tài)分不服從正態(tài)分布

6、布問題：設(shè)總體問題：設(shè)總體XN(,2)，已知其中，已知其中=0，(x1,x2,xn)是是X的樣本，要檢驗的樣本，要檢驗H0：=0，(0是一個已知常數(shù)是一個已知常數(shù)) ，H1： 01、檢驗方法、檢驗方法總體總體XN(,2) ,要檢驗要檢驗是否為是否為0,而而是未知的是未知的.我們知道我們知道的無的無偏估計是偏估計是X的大小在一定程度上反映了的大小在一定程度上反映了，樣本均值，樣本均值X的大小，因此的大小，因此,當(dāng)當(dāng)H0為真時為真時,即即=0時，時，X的觀察值的觀察值x與與0的偏差的偏差|0 x一般不應(yīng)太大。一般不應(yīng)太大。如果如果|0 x我們就應(yīng)懷疑假設(shè)我們就應(yīng)懷疑假設(shè)H0的正確性并拒絕的正確性并

7、拒絕H0，而，而|0 x可歸結(jié)為統(tǒng)計量可歸結(jié)為統(tǒng)計量nx00|的大小。的大小。當(dāng)當(dāng)H0為真時，統(tǒng)計量為真時，統(tǒng)計量) 1 , 0(00NnXU過分大，過分大，的大小，的大小，由此，我們可選定一正數(shù)由此，我們可選定一正數(shù)k，使得當(dāng)，使得當(dāng)knx00|時時,就拒絕就拒絕H0，knx00|時，則接受時，則接受H0。稱使稱使knx00|成立的樣本值成立的樣本值(x1,x2,xn)為為檢驗的拒絕域，記為檢驗的拒絕域，記為W1。稱使稱使knx00|成立的樣本值成立的樣本值(x1,x2,xn)為為檢驗的接受域，記為檢驗的接受域，記為W0。2、檢驗的兩類錯誤、檢驗的兩類錯誤當(dāng)當(dāng)H0為真時，作出拒絕為真時，作出

8、拒絕H0的判斷，稱這類錯誤為第一類錯的判斷，稱這類錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；誤或棄真錯誤；當(dāng)當(dāng)H0不真時，作出接受不真時，作出接受H0的判斷，稱這類錯誤為第二類錯的判斷，稱這類錯誤為第二類錯誤或取偽錯誤。誤或取偽錯誤。記記=P拒絕拒絕H0| H0真真；=P接受接受H0| H0假假對于給定的一對對于給定的一對H0和和H1，總可找出許多臨界域，總可找出許多臨界域W，人們自然希望找到這種臨界域人們自然希望找到這種臨界域W，使得犯兩類錯誤的概率都，使得犯兩類錯誤的概率都很小。很小。奈曼奈曼皮爾遜皮爾遜(NeymanPearson)提出了一個原則：提出了一個原則：“在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值

9、在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值 的條件下，盡的條件下，盡量使犯第二類錯誤量使犯第二類錯誤 小小”，按這種法則做出的檢驗稱為按這種法則做出的檢驗稱為“顯顯著性檢驗著性檢驗”， 稱為顯著性水平或檢驗水平。稱為顯著性水平或檢驗水平。3、假設(shè)檢驗的步驟、假設(shè)檢驗的步驟(1)提出原假設(shè)提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)和備擇假設(shè)H1；(2)選取合適的統(tǒng)計量，當(dāng)選取合適的統(tǒng)計量，當(dāng)H0為真時，其分布是為真時，其分布是確定的；確定的；(3)對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求出臨界值，用它來劃分拒絕域求出臨界值，用它來劃分拒絕域W1和接受域和接受域W0；(4)由樣本觀察值

10、計算檢驗統(tǒng)計量的值；由樣本觀察值計算檢驗統(tǒng)計量的值；(5)由統(tǒng)計量的樣本值，作出拒絕還是接受由統(tǒng)計量的樣本值，作出拒絕還是接受H0的的判斷。判斷。 正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗 對于一個正態(tài)總體均值的檢驗，常見的有對于一個正態(tài)總體均值的檢驗，常見的有以下三種類型：以下三種類型：(1) H0：= 0，H1：0；(2) H0：0，H1：0；(3) H0：0，H1：0；檢驗規(guī)則為；檢驗規(guī)則為當(dāng)當(dāng)0XZzn時，拒絕時，拒絕H0當(dāng)當(dāng)0XZzn時，接受時，接受H0(3) H0：=0，H1：0；檢驗規(guī)則為；檢驗規(guī)則為當(dāng)當(dāng)0X

11、Zzn 時，拒絕時，拒絕H0當(dāng)當(dāng)0XZzn 時，接受時，接受H0例例7.4 設(shè)某產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，已知它的標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)某產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，已知它的標(biāo)準(zhǔn)差=150，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機地抽取，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機地抽取26個，測得該項指標(biāo)的平均個，測得該項指標(biāo)的平均值為值為1637。問能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的該項指標(biāo)值為。問能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的該項指標(biāo)值為1600(=0.05) ？解解 (1)提出原假設(shè)：提出原假設(shè)： H0：=1600，H1：1600； (2)選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量0XZn(3)對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平=0.05 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表0.

12、02521.96zz(4)計算統(tǒng)計量觀察值計算統(tǒng)計量觀察值01637 16001.25815026xzn(5)結(jié)論結(jié)論 21.2581.96zz接受原假設(shè)接受原假設(shè)H0即不能否定這批產(chǎn)品該項指標(biāo)為即不能否定這批產(chǎn)品該項指標(biāo)為16001600。 例例7.5 完成生產(chǎn)線上某件工作的平均時間不少于完成生產(chǎn)線上某件工作的平均時間不少于15.5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為差為3分鐘。對隨機抽取的分鐘。對隨機抽取的9名職工講授一種新方法，訓(xùn)練期結(jié)束名職工講授一種新方法，訓(xùn)練期結(jié)束后，后，9名職工完成此項工作的平均時間為名職工完成此項工作的平均時間為13.5分鐘。這個結(jié)果是分鐘。這個結(jié)果是否說明用新方法所需時間

13、比用老方法所需時間短？設(shè)否說明用新方法所需時間比用老方法所需時間短？設(shè)=0.05，并，并假定完成這件工作的時間服從正態(tài)分布。假定完成這件工作的時間服從正態(tài)分布。 解（單邊檢驗問題）提出原假設(shè)解（單邊檢驗問題）提出原假設(shè)H0：15.5，H1：0；檢驗規(guī)則為；檢驗規(guī)則為當(dāng)當(dāng)0(1)XTtnSn時，拒絕時，拒絕H0當(dāng)當(dāng)0(1)XTtnSn時，接受時，接受H0(3) H0：0，H1：62.0； 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量nSXT0對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平=0.05 ，查查t分布表得分布表得0.05(1)(8)1.8595tnt由題意，由題意，5 .62x3 . 0S計算統(tǒng)計量觀察值計算統(tǒng)計量

14、觀察值593 . 00 .625 .620nSxt由于由于5(1)1.8595ttn所以拒絕原假設(shè)所以拒絕原假設(shè)H0，而接受，而接受H1，即認(rèn)為這批罐頭細(xì)菌含量大于即認(rèn)為這批罐頭細(xì)菌含量大于62.062.0，質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)。，質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)。 2、區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的關(guān)系、區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的關(guān)系抽樣估計與假設(shè)檢驗都是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容。參數(shù)抽樣估計與假設(shè)檢驗都是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容。參數(shù)估計是根據(jù)樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的真值；假設(shè)估計是根據(jù)樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的真值；假設(shè)檢驗是根據(jù)樣本統(tǒng)計量來檢驗對總體參數(shù)的先驗假檢驗是根據(jù)樣本統(tǒng)計量來檢驗對總體參數(shù)的先驗假設(shè)是否成立。設(shè)是否成立。(1)區(qū)間

15、估計與假設(shè)檢驗的主要區(qū)別區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的主要區(qū)別.區(qū)間估計通常求得的是區(qū)間估計通常求得的是以樣本估計值以樣本估計值為中心的雙側(cè)為中心的雙側(cè)置信區(qū)間，而假設(shè)檢驗以假設(shè)置信區(qū)間，而假設(shè)檢驗以假設(shè)總體參數(shù)值總體參數(shù)值為基準(zhǔn)，為基準(zhǔn)，不僅有雙側(cè)檢驗也有單側(cè)檢驗；不僅有雙側(cè)檢驗也有單側(cè)檢驗；.區(qū)間估計立足于大概率，通常以較大的把握程度（區(qū)間估計立足于大概率，通常以較大的把握程度（置信水平）置信水平）1-去保證總體參數(shù)的置信區(qū)間。而假設(shè)去保證總體參數(shù)的置信區(qū)間。而假設(shè)檢驗立足于小概率，通常是給定很小的顯著性水平檢驗立足于小概率，通常是給定很小的顯著性水平去檢驗對總體參數(shù)的先驗假設(shè)是否成立。去檢驗對總體

16、參數(shù)的先驗假設(shè)是否成立。(2)區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的聯(lián)系區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的聯(lián)系.區(qū)間估計與假設(shè)檢驗都是根據(jù)樣本信息對總區(qū)間估計與假設(shè)檢驗都是根據(jù)樣本信息對總體參數(shù)進行推斷，都是以抽樣分布為理論依據(jù)體參數(shù)進行推斷，都是以抽樣分布為理論依據(jù)，都是建立在概率基礎(chǔ)上的推斷，推斷結(jié)果都，都是建立在概率基礎(chǔ)上的推斷，推斷結(jié)果都有一定的可信程度或風(fēng)險。有一定的可信程度或風(fēng)險。.對同一問題的參數(shù)進行推斷，二者使用同一對同一問題的參數(shù)進行推斷，二者使用同一樣本、同一統(tǒng)計量、同一分布，因而二者可以樣本、同一統(tǒng)計量、同一分布，因而二者可以相互轉(zhuǎn)換。區(qū)間估計問題可以轉(zhuǎn)換成假設(shè)問題相互轉(zhuǎn)換。區(qū)間估計問題可以轉(zhuǎn)換成假設(shè)問

17、題，假設(shè)問題也可以轉(zhuǎn)換成區(qū)間估計問題。，假設(shè)問題也可以轉(zhuǎn)換成區(qū)間估計問題。區(qū)間區(qū)間估計中的置信區(qū)間對應(yīng)于假設(shè)檢驗中的接受區(qū)估計中的置信區(qū)間對應(yīng)于假設(shè)檢驗中的接受區(qū)域，置信區(qū)間以外的區(qū)域就是假設(shè)檢驗中的拒域，置信區(qū)間以外的區(qū)域就是假設(shè)檢驗中的拒絕域。絕域。(3)(3)、用置信區(qū)間進行檢驗、用置信區(qū)間進行檢驗均值雙側(cè)檢驗均值雙側(cè)檢驗.求出雙側(cè)檢驗均值的置信區(qū)間求出雙側(cè)檢驗均值的置信區(qū)間 2 2已知時：已知時： 2 2未知時：未知時：.若樣本統(tǒng)計量若樣本統(tǒng)計量x的值落在置信區(qū)間外，則拒絕的值落在置信區(qū)間外，則拒絕H0用置信區(qū)間進行檢驗用置信區(qū)間進行檢驗 ( (例題分析例題分析) )【例】一種袋裝食品

18、每包【例】一種袋裝食品每包的標(biāo)準(zhǔn)重量應(yīng)為的標(biāo)準(zhǔn)重量應(yīng)為1000克克。現(xiàn)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品?，F(xiàn)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取中隨機抽取16袋，測得袋，測得其平均重量為其平均重量為991克?？恕Ｒ阎@種產(chǎn)品重量服從已知這種產(chǎn)品重量服從標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為50克的正態(tài)分克的正態(tài)分布。試確定這批產(chǎn)品的布。試確定這批產(chǎn)品的包裝重量是否合格？包裝重量是否合格？(= 0.05)用置信區(qū)間進行檢驗用置信區(qū)間進行檢驗(例題分析例題分析)解：解：提出假設(shè)：提出假設(shè)： H0: = 1000 H1: 1000已知：已知：n = 16，=50， =0.05雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗 /2 /2=0.025 臨界值臨界值: Z0.025=1.96置信區(qū)間為置信區(qū)間為決策決策:結(jié)論結(jié)論: 在置信區(qū)間內(nèi)，在置信區(qū)間內(nèi)，不拒絕不拒絕H0可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的包可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的包裝重量合格裝重量合格Z01.961.960.025拒絕拒絕 H0拒絕拒絕 H00.0253、正態(tài)總體方差的檢驗、正態(tài)總體方差的檢驗 常見的正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗有以下三種類常見的正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗有以下三種類型：型：(1) H0：2=02，H1：202 ；(2) H0：202，H1：202；(3) H0：202，H1：202；檢驗規(guī)則為；檢驗規(guī)則為當(dāng)當(dāng)時，拒絕時，拒絕H0當(dāng)當(dāng)時，