統(tǒng)計(jì)學(xué) 賈俊平 第3章 概率、概率分布與抽樣分布

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics31 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics32學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解隨機(jī)事件的概念、了解事件之間的關(guān)系理解隨機(jī)事件的概念、了解事件之間的關(guān)系理解概率的三種定義，掌握概率運(yùn)算的法則理解概率的三種定義，掌握概率運(yùn)算的法則理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念掌握二項(xiàng)分布、泊松分布和超幾何分布的背掌握二項(xiàng)分布、泊松分布和超幾何分布的背景、均值和方差及其應(yīng)用景、均值和方差及其應(yīng)用掌握正態(tài)分布的主要特征和應(yīng)用，了解均勻掌握正態(tài)分布的主要特征和應(yīng)用，了解均勻分布的應(yīng)用分布的應(yīng)用理解大數(shù)定律和中心極限定理的重要意義理解大數(shù)定律和中心極限定理的重要意義統(tǒng)計(jì)學(xué)Statisti

2、cs333.1 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率 一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件 二、隨機(jī)事件的概率二、隨機(jī)事件的概率 三、概率的運(yùn)算法則三、概率的運(yùn)算法則統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics34必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象） 變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導(dǎo)變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導(dǎo)致某一結(jié)果致某一結(jié)果 這種關(guān)系通?？梢杂霉交蚨蓙?lái)表示這種關(guān)系通?？梢杂霉交蚨蓙?lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象）隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象） 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象

3、個(gè)別觀(guān)察的結(jié)果完全是偶然的、隨機(jī)會(huì)而定個(gè)別觀(guān)察的結(jié)果完全是偶然的、隨機(jī)會(huì)而定 大量觀(guān)察的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性大量觀(guān)察的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性 （隨機(jī)性中寓含著規(guī)律性）（隨機(jī)性中寓含著規(guī)律性） 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性十五的夜晚能看見(jiàn)月亮？十五的月亮比初十圓！統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics35隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足三個(gè)條件：嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足三個(gè)條件： 試驗(yàn)可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進(jìn)行； 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的； 每次試驗(yàn)前不能肯定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。每次試驗(yàn)前不能肯定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象

4、的觀(guān)察廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀(guān)察（或?qū)嶒?yàn)）。（或?qū)嶒?yàn)）。 實(shí)際應(yīng)用中多數(shù)試驗(yàn)不能同時(shí)滿(mǎn)足上述條件，實(shí)際應(yīng)用中多數(shù)試驗(yàn)不能同時(shí)滿(mǎn)足上述條件，常常從廣義角度來(lái)理解。常常從廣義角度來(lái)理解。統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics36隨機(jī)事件（事件）隨機(jī)事件（事件）隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱(chēng)事件）隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱(chēng)事件） 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果 常用大寫(xiě)英文字母常用大寫(xiě)英文字母A、B、 、來(lái)表示、來(lái)表示基本事件（樣本點(diǎn)）基本事件（樣本點(diǎn)） 不可能再分成為兩個(gè)或更多事件的事件不可能再分成為兩個(gè)或更多事件的事件樣本空間（樣本空間（） 基本事件的全體（全集）基本事件的全體（全集）統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistic

5、s37隨機(jī)事件（續(xù)）隨機(jī)事件（續(xù)）復(fù)合事件復(fù)合事件 由某些基本事件組合而成的事件由某些基本事件組合而成的事件 樣本空間中的子集樣本空間中的子集隨機(jī)事件的兩種特例隨機(jī)事件的兩種特例 必然事件必然事件 在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然發(fā)生的事件在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然發(fā)生的事件 只有樣本空間只有樣本空間 才是必然事件才是必然事件 不可能事件不可能事件 在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然不會(huì)發(fā)生的事件在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然不會(huì)發(fā)生的事件 不可能事件是一個(gè)空集（不可能事件是一個(gè)空集（）統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics38隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率概率概率 用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)用來(lái)度量隨機(jī)事

6、件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值值 必然事件的概率為必然事件的概率為1，表示為，表示為P ( )=1 不可能事件發(fā)生的可能性是零，不可能事件發(fā)生的可能性是零，P( )=0 隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的概率介于的概率介于0和和1之間，之間，0P(A)1 ,顯然顯然P(AB) P(A)P(B) 因?yàn)橐驗(yàn)锳和和B存在共同部分存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在在P(A)+P(B) 中中P(AB) 被重復(fù)計(jì)算了。被重復(fù)計(jì)算了。正確計(jì)算是：正確計(jì)算是： P(AB)5/106/103/108/100.8統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics323乘法公式乘法公式用于計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。用于計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的

7、概率。也即也即 “A發(fā)生且發(fā)生且B發(fā)生發(fā)生”的概率的概率 P(AB) 先關(guān)注事件是否相互獨(dú)立先關(guān)注事件是否相互獨(dú)立 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics324條件概率條件概率條件概率條件概率在某些附加條件下計(jì)算的概率在某些附加條件下計(jì)算的概率在已知事件在已知事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下已經(jīng)發(fā)生的條件下A發(fā)生的條發(fā)生的條件概率件概率P(A|B)條件概率的一般公式：條件概率的一般公式： )()()|(BPABPBAP 其中 P(B) 0 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics325【例例3-5】某公司甲乙兩廠(chǎng)生產(chǎn)同種產(chǎn)品。甲廠(chǎng)生產(chǎn)某公司甲乙兩廠(chǎng)生產(chǎn)同種產(chǎn)品。甲廠(chǎng)生產(chǎn)400件，其中一件，其中一級(jí)品為級(jí)品為280件；乙廠(chǎng)生產(chǎn)件；

8、乙廠(chǎng)生產(chǎn)600件，其中一級(jí)品有件，其中一級(jí)品有360件。若件。若要從該廠(chǎng)的全部產(chǎn)品中任意抽取一件，試求：已知抽出要從該廠(chǎng)的全部產(chǎn)品中任意抽取一件，試求：已知抽出產(chǎn)品為一級(jí)品的條件下該產(chǎn)品出自甲廠(chǎng)的概率；已知抽產(chǎn)品為一級(jí)品的條件下該產(chǎn)品出自甲廠(chǎng)的概率；已知抽出產(chǎn)品出自甲廠(chǎng)的條件下該產(chǎn)品為一級(jí)品的概率。出產(chǎn)品出自甲廠(chǎng)的條件下該產(chǎn)品為一級(jí)品的概率。解：設(shè)解：設(shè)A“甲廠(chǎng)產(chǎn)品甲廠(chǎng)產(chǎn)品”，B“一級(jí)品一級(jí)品”，則：，則： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率為事件所求概率為事件B發(fā)生條件下發(fā)生條件下A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率 P(A|B)0.28/0.64所求概率為事件所求

9、概率為事件A發(fā)生條件下發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率 P(B|A)0.28/0. 4統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics326P(A|B)在在B發(fā)生的所有可能結(jié)果中發(fā)生的所有可能結(jié)果中AB發(fā)生發(fā)生的概率的概率即在樣本空間即在樣本空間中考慮的條件概率中考慮的條件概率P(A|B)，就變成在新的樣本空間就變成在新的樣本空間B中計(jì)算事件中計(jì)算事件AB的概的概率問(wèn)題了率問(wèn)題了條件概率（續(xù)）條件概率（續(xù)）一旦事件B已發(fā)生ABABBAB統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics327乘法公式的一般形式：乘法公式的一般形式： P(AB) P(A)P(B|A) 或或 P(AB) P(B)P(A|B) 【例例3-6】對(duì)例對(duì)例3-

10、1中的問(wèn)題（從這中的問(wèn)題（從這50件中任取件中任取2件件產(chǎn)品，可以看成是分兩次抽取，每次只抽取一件，產(chǎn)品，可以看成是分兩次抽取，每次只抽取一件，不放回抽樣）不放回抽樣）解：解：A1第一次抽到合格品，第一次抽到合格品，A2第二次抽到第二次抽到合格品，合格品，A1A2抽到兩件產(chǎn)品均為合格品抽到兩件產(chǎn)品均為合格品P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1) 8082. 02450198049445045 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics328事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件獨(dú)立兩個(gè)事件獨(dú)立 一個(gè)事件的發(fā)生與否并不影響另一個(gè)事一個(gè)事件的發(fā)生與否并不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率件發(fā)生的概率 P(A|B)P(A)，

11、或，或 P(B|A)P(B)獨(dú)立事件的乘法公式：獨(dú)立事件的乘法公式： P(AB) P(A)P(B)1 1n n1 12 2n n 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics329全概率公式全概率公式完備事件組完備事件組 事件事件A1、 A2、An互不相容，互不相容， A1A2An 且且P(Ai ) 0（i=1、2、.、n）對(duì)任一事件對(duì)任一事件B，它總是與完備事件組，它總是與完備事件組A1、 A2、An之一同時(shí)發(fā)生，則有求之一同時(shí)發(fā)生，則有求P(B)的的全概率公式全概率公式： niiiABPAPBP1)|()()(統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics330例例3-7假設(shè)有一道四選一的選擇題，某學(xué)生知道假設(shè)有一道四選一的選

12、擇題，某學(xué)生知道正確答案的可能性為正確答案的可能性為2/3，他不知道正確答，他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率是案時(shí)猜對(duì)的概率是1/4。試問(wèn)該生作出作答。試問(wèn)該生作出作答的概率？的概率？解：解：設(shè)設(shè) A知道正確答案，知道正確答案，B選擇正確。選擇正確。 “選擇正確選擇正確”包括：包括： “知道正確答案而選擇正確知道正確答案而選擇正確”（即（即AB） “不知道正確答案但選擇正確不知道正確答案但選擇正確”（即（即 ）P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4BA)|()()|()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics331全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公

13、式統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics332貝葉斯公式貝葉斯公式若若A1、 A2、An為完備事件組，則對(duì)為完備事件組，則對(duì)于任意隨機(jī)事件于任意隨機(jī)事件B，有：，有： niiiiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP1)|()()|()()()()|(計(jì)算事件計(jì)算事件Ai在給定在給定B條件下的條件概率公式。條件下的條件概率公式。 公式中，公式中，P(Ai)稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件Ai的先驗(yàn)概率的先驗(yàn)概率 P(Ai|B)稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件Ai的后驗(yàn)概率的后驗(yàn)概率 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3333.2 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念 二、隨機(jī)變量的概率分布二、隨機(jī)變

14、量的概率分布 三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 四、常見(jiàn)的離散型概率分布四、常見(jiàn)的離散型概率分布 五、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布五、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics334隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量 取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個(gè)值取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個(gè)值 一個(gè)取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果一個(gè)取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果 用大寫(xiě)字母如用大寫(xiě)字母如X、Y、Z.來(lái)表示，具體取值來(lái)表示，具體取值則用相應(yīng)的小寫(xiě)字母如則用相應(yīng)的小寫(xiě)字母如x、y、z來(lái)表示來(lái)表示 根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，可分為根據(jù)取值特點(diǎn)的不同

15、，可分為： 離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量取值可以一一列舉取值可以一一列舉 連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量取值不能一一列舉取值不能一一列舉統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics335離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布X的的概率分布概率分布X的有限個(gè)可能取值為的有限個(gè)可能取值為xi與其概率與其概率 pi（i=1，2，3，n）之間）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。的對(duì)應(yīng)關(guān)系。概率分布具有如下兩個(gè)基本性質(zhì)概率分布具有如下兩個(gè)基本性質(zhì)： （1） pi0，i=1,2,n； （2）1iip統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics336離散型概率分布的表示：離散型概率分布的表示：概率函數(shù)：概率函數(shù)：P(X= xi)= pi分布列：分布列：

16、分布圖分布圖X = xix1x2xnP(X =xi)=pip1p2pn0.60.300 1 2 xP( x )圖圖3-5 例例3-9的概率分布的概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics337連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能表示為：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能表示為： 數(shù)學(xué)函數(shù)數(shù)學(xué)函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f (x)和分布函數(shù)和分布函數(shù)F (x) 圖圖 形形概率密度曲線(xiàn)和分布函數(shù)曲線(xiàn)概率密度曲線(xiàn)和分布函數(shù)曲線(xiàn)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f (x)的函數(shù)值不是概率。的函數(shù)值不是概率。連續(xù)型隨機(jī)變量取某個(gè)特定值的概率等于連續(xù)型隨機(jī)變量取某個(gè)特定值的概率等于0只能

17、計(jì)算隨機(jī)變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率只能計(jì)算隨機(jī)變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率由由x軸以上、概率密度曲線(xiàn)下方面積來(lái)表示軸以上、概率密度曲線(xiàn)下方面積來(lái)表示統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics338概率密度概率密度f(wàn) (x) 的性質(zhì)的性質(zhì)（1） f (x)0。概率密度是非負(fù)函數(shù)。概率密度是非負(fù)函數(shù)。（2）1d )(xxf所有區(qū)域上取值的概率總和為所有區(qū)域上取值的概率總和為1。 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X在一定區(qū)間（在一定區(qū)間（a，b）上的概率：）上的概率： dxxfbXaPba)()(xab統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics339分布函數(shù)分布函數(shù)適用于兩類(lèi)隨機(jī)變量概率分布的描述適用于兩類(lèi)隨機(jī)變量概率分布的描述分布函數(shù)的定義：分布函數(shù)

18、的定義： F(x)PXx xxiip連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)dxxfxFx )()( 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x)xx0分布函數(shù)分布函數(shù)與與概率密度概率密度統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics340隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望又稱(chēng)均值又稱(chēng)均值描述一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布的中心位置描述一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布的中心位置離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望： 相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望：的數(shù)學(xué)期望： iiipxXE )(dxxxfxE )()(

19、 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics341數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)若若k是一常數(shù)，則是一常數(shù)，則 E (k X) k E(X) 對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y，有，有 E(X+Y)E(X)E(Y) 若兩個(gè)隨機(jī)變量若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)E(X) E(Y) 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics342隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差方差是它的各個(gè)可能取值偏離其均值的方差是它的各個(gè)可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為離差平方的均值，記為D(x)或或2公式：公式： 離散型隨機(jī)變量的方差：離散型隨機(jī)變量的方差： 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：連續(xù)型隨機(jī)變量的方差

20、：22)()( XEXDdxxfxxD )()(22 iiipxXD22)()( 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics343方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）（續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根方差的平方根方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的分散方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的分散程度。程度。 它們的值越大，說(shuō)明離散程度越大，其概率它們的值越大，說(shuō)明離散程度越大，其概率分布曲線(xiàn)越扁平。分布曲線(xiàn)越扁平。方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)：方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)： 若若k是一常數(shù)，則是一常數(shù)，則 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若兩個(gè)隨機(jī)變量若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 D(X+Y)D(X)D(Y) 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statis

21、tics344【例例3-10】試求優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)試求優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。準(zhǔn)差。解：解：2 . 13 . 026 . 011 . 00)(iiipxXE36. 03 . 0) 2 . 12(6 . 0) 2 . 11 (1 . 0) 2 . 10()()(2222 iiipxXD 0.6xi012pi0.10.60.3統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics345兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義)()(),(YEYXEXEYXCov )()()(YEXEXYE 如果如果X,Y獨(dú)立（不相關(guān)），則獨(dú)立（不相關(guān)），則 Cov(X,Y

22、)0 即即 E(XY)E(X) E(Y) 協(xié)方差在一定程度上反映了協(xié)方差在一定程度上反映了X、Y之間的相關(guān)性之間的相關(guān)性協(xié)方差受兩個(gè)變量本身量綱的影響。協(xié)方差受兩個(gè)變量本身量綱的影響。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics346相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)具有如下的性質(zhì)：具有如下的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是一個(gè)無(wú)量綱的值是一個(gè)無(wú)量綱的值 0| | 1 當(dāng)當(dāng)=0，兩個(gè)變量不相關(guān)，兩個(gè)變量不相關(guān)（不存在線(xiàn)（不存在線(xiàn)性相關(guān)）性相關(guān)） 當(dāng)當(dāng) | |=1，兩個(gè)變量完全線(xiàn)性相關(guān)，兩個(gè)變量完全線(xiàn)性相關(guān) YXXYYXCov ),( 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics347二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（背景）（背景）（背景）（背景）n重貝

23、努里試驗(yàn)：重貝努里試驗(yàn)： 一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果 用用“成功成功”代表所關(guān)心的結(jié)果，相代表所關(guān)心的結(jié)果，相反的結(jié)果為反的結(jié)果為“失敗失敗” 每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中“成功成功”的概率都是的概率都是 p n 次試驗(yàn)相互獨(dú)立。次試驗(yàn)相互獨(dú)立。統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics348二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布在在n重貝努里試驗(yàn)中，重貝努里試驗(yàn)中，“成功成功”的次數(shù)的次數(shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，的二項(xiàng)分布，記為記為 X B(n , p)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)：二項(xiàng)分布的概率函數(shù)： xnxxnppCxXP )1 ()(二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差： )1 ()(,)

24、(2pnpXDnpXE n1時(shí)，二項(xiàng)分布就成了二點(diǎn)分布（時(shí)，二項(xiàng)分布就成了二點(diǎn)分布（0-1分布）分布）統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics349二項(xiàng)分布圖形二項(xiàng)分布圖形p0.5時(shí)，二項(xiàng)分布是以均值為中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，二項(xiàng)分布是以均值為中心對(duì)稱(chēng)p0.5時(shí)，二項(xiàng)分布總是非對(duì)稱(chēng)的時(shí)，二項(xiàng)分布總是非對(duì)稱(chēng)的 p0.5時(shí)峰值在中心的右側(cè)時(shí)峰值在中心的右側(cè)隨著隨著n無(wú)限增大，二項(xiàng)分布趨近于正態(tài)分布無(wú)限增大，二項(xiàng)分布趨近于正態(tài)分布p=0.3p=0.5p=0.7二項(xiàng)分布圖示二項(xiàng)分布圖示統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics350【例例3-11】某單位有某單位有4輛汽車(chē)，假設(shè)每輛車(chē)在一年中至多只發(fā)輛汽車(chē)，假設(shè)每輛車(chē)在一年中至多只發(fā)生一次損失

25、且損失的概率為生一次損失且損失的概率為0.1。試求在一年內(nèi)該。試求在一年內(nèi)該單位：（單位：（1）沒(méi)有汽車(chē)發(fā)生損失的概率；（）沒(méi)有汽車(chē)發(fā)生損失的概率；（2）有）有1輛汽車(chē)發(fā)生損失的概率；（輛汽車(chē)發(fā)生損失的概率；（3）發(fā)生損失的汽車(chē)不）發(fā)生損失的汽車(chē)不超過(guò)超過(guò)2輛的概率。輛的概率。解：解：每輛汽車(chē)是否發(fā)生損失相互獨(dú)立的，且損失的每輛汽車(chē)是否發(fā)生損失相互獨(dú)立的，且損失的概率相同，因此，據(jù)題意，在概率相同，因此，據(jù)題意，在4輛汽車(chē)中發(fā)生損失輛汽車(chē)中發(fā)生損失的汽車(chē)數(shù)的汽車(chē)數(shù)X B(4,0.1)。 (1) pbinom(0,4,0.1) 1 0.6561(2) pbinom(1,4,0.1)-pbinom

26、(0,4,0.1) 1 0.2916(3) pbinom(2,4,0.1) 1 0.9963統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics351利用利用Excel計(jì)算二項(xiàng)分布概率計(jì)算二項(xiàng)分布概率進(jìn)入進(jìn)入Excel表格界面，點(diǎn)擊任一空白單元格（作表格界面，點(diǎn)擊任一空白單元格（作為輸出單元格）為輸出單元格）點(diǎn)擊表格界面上的點(diǎn)擊表格界面上的 fx 命令命令 在在 “選擇類(lèi)別選擇類(lèi)別”中點(diǎn)擊中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)”，在，在“選擇函選擇函數(shù)數(shù)”中點(diǎn)擊中點(diǎn)擊“BINOMDIST” 在在Number_s后填入試驗(yàn)成功次數(shù)后填入試驗(yàn)成功次數(shù) x (本例為本例為2)； 在在Trials后填入總試驗(yàn)次數(shù)后填入總試驗(yàn)次數(shù) n (本例為本例為

27、4) ； 在在Probability_s后填入成功概率后填入成功概率 p (本例為本例為0.1)； 在在Cumulative后填入后填入0 (或或FALSE)，表示計(jì)算成功次，表示計(jì)算成功次數(shù)等于指定值的概率數(shù)等于指定值的概率“BINOMDIST（2，4，0.1，0）” 用用EXCEL計(jì)算二項(xiàng)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率分布的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics352泊松分布泊松分布 X 服從泊松分布，記為服從泊松分布，記為XP(）:e!)(xxXPxE(X)=D(X)=當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，泊松分布呈偏態(tài)，并隨著很小時(shí)，泊松分布呈偏態(tài)，并隨著增增大而趨于對(duì)稱(chēng)大而趨于對(duì)稱(chēng)當(dāng)當(dāng)為整數(shù)時(shí)，為整數(shù)時(shí)， 和（和（-1）是最可

28、能值）是最可能值統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics353泊松分布（應(yīng)用背景）泊松分布（應(yīng)用背景）通常是作為稀有事件發(fā)生次數(shù)通常是作為稀有事件發(fā)生次數(shù)X的概率分布模的概率分布模型。型。一段時(shí)間內(nèi)某繁忙十字路口發(fā)生交通事故的次一段時(shí)間內(nèi)某繁忙十字路口發(fā)生交通事故的次數(shù)數(shù)一定時(shí)間段內(nèi)某一定時(shí)間段內(nèi)某 交換臺(tái)接到的交換臺(tái)接到的 呼叫次數(shù)呼叫次數(shù)服從泊松分布的現(xiàn)象的共同特征服從泊松分布的現(xiàn)象的共同特征在任意兩個(gè)很小的時(shí)間或空間區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生在任意兩個(gè)很小的時(shí)間或空間區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)是相互獨(dú)立的；次數(shù)是相互獨(dú)立的；各區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)只與區(qū)間長(zhǎng)度成比例，各區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)只與區(qū)間長(zhǎng)度成比例，與區(qū)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)；與

29、區(qū)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)；在一段充分小的區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生兩次或兩次以在一段充分小的區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生兩次或兩次以上的概率可以忽略不計(jì)上的概率可以忽略不計(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics354【例例3-12】 設(shè)某種報(bào)刊的每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)服從設(shè)某種報(bào)刊的每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)服從 =2的泊松分布。隨機(jī)翻看一版，求：的泊松分布。隨機(jī)翻看一版，求：（1）沒(méi)有錯(cuò)別字的概率；）沒(méi)有錯(cuò)別字的概率；（2）至多有）至多有5個(gè)錯(cuò)別字的概率。個(gè)錯(cuò)別字的概率。解：解：設(shè)設(shè)X每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)，則所求概每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)，則所求概率為：率為：0.1353e! 02)0(20XP0.9834e!2) 5(502xxxXP利用利用EXCEL計(jì)算泊松分布的

30、概率計(jì)算泊松分布的概率 ppois(0,2)1 0.1353353 ppois(5,2)1 0.9834364統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics355二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似【前提前提】當(dāng)當(dāng)n很大而很大而 p又很小時(shí)，二項(xiàng)分布可又很小時(shí)，二項(xiàng)分布可用參數(shù)用參數(shù)np 的泊松分布近似的泊松分布近似 【例例3-13】一工廠(chǎng)有某種設(shè)備一工廠(chǎng)有某種設(shè)備80臺(tái)，配備了臺(tái)，配備了3個(gè)維修工。假設(shè)每臺(tái)設(shè)備的維修只需要一個(gè)維個(gè)維修工。假設(shè)每臺(tái)設(shè)備的維修只需要一個(gè)維修工，設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)修工，設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是備發(fā)生故障的概率都是0.01。求設(shè)備發(fā)生故障。

31、求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？而不能及時(shí)維修的概率是多少？解：解：XB(n=80，p=0.01)，由于，由于np=0.8很小，很小，可以用可以用0.8的泊松分布來(lái)近似計(jì)算其概率的泊松分布來(lái)近似計(jì)算其概率:30.800.8(4) 1(3) 1e1 0.990920.00908!xxP XP Xx 1-ppois(3,0.8)1 0.009079858 1-pbinom(3,80,0.01)1 0.008659189統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics356超幾何分布超幾何分布 N個(gè)單位的有限總體中有個(gè)單位的有限總體中有M個(gè)單位具有某特個(gè)單位具有某特征。用不重復(fù)抽樣方法從總體中抽取征。用不重復(fù)抽

32、樣方法從總體中抽取n個(gè)單個(gè)單位，樣本中具有某種特征的單位數(shù)位，樣本中具有某種特征的單位數(shù)X服從超服從超幾何分布，記為幾何分布，記為XH(n,N,M ) nNxnMNxMCCCxXP )(1)1()(,)(2 NnNpnpXDnpXE 數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差:N很大而很大而n相對(duì)很小時(shí)，趨于二項(xiàng)分布相對(duì)很小時(shí)，趨于二項(xiàng)分布(p=M/N)統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics357五、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布五、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布均勻分布均勻分布 X只在一有限區(qū)間只在一有限區(qū)間 a，b 上取值上取值 且概率密度是一個(gè)常數(shù)且概率密度是一個(gè)常數(shù) 其概率密度為：其概率密度為：bxaabxf ,1)(X 落在子區(qū)

33、間落在子區(qū)間 c，d 內(nèi)的內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，與具體位置無(wú)關(guān)比，與具體位置無(wú)關(guān)f(x)a c d b xP(cXd)統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics358正態(tài)分布正態(tài)分布XN (、 2 )，其概率密度為：，其概率密度為：222)(21)( xexf正態(tài)分布的均值和方差正態(tài)分布的均值和方差 均值均值 E(X) = 方差方差 D(X)= 2 - x 3 的概率很小，因此可認(rèn)為正的概率很小，因此可認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值幾乎全部集中在態(tài)隨機(jī)變量的取值幾乎全部集中在 - 3，+ 3 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)廣泛應(yīng)用廣泛應(yīng)用: 產(chǎn)品質(zhì)量控制產(chǎn)品質(zhì)量控制 判斷異常情況判斷異常情況 圖圖3-

34、12 常用的正態(tài)概率值常用的正態(tài)概率值（在一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中）（在一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中） -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 z -3 -2 - + +2 +3 x99.73%95.45%68.27%統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics364正態(tài)分布最常用、最重要正態(tài)分布最常用、最重要大千世界中許多常見(jiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正大千世界中許多常見(jiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布態(tài)分布 例如，測(cè)量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗例如，測(cè)量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗拉強(qiáng)度，一種設(shè)備的使用壽命，農(nóng)作物的產(chǎn)量拉強(qiáng)度，一種設(shè)備的使用壽命，農(nóng)作物的產(chǎn)量 特點(diǎn)是特點(diǎn)是 “中間多

35、兩頭少中間多兩頭少”由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，正態(tài)分布在很多統(tǒng)由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，正態(tài)分布在很多統(tǒng)計(jì)理論中都占有十分重要的地位計(jì)理論中都占有十分重要的地位 正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布 統(tǒng)計(jì)推斷中許多重要的分布（如統(tǒng)計(jì)推斷中許多重要的分布（如2分布、分布、t分布、分布、F分布）分布）都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的。都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的。統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics365用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布XB (n，p) ，當(dāng)，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， XN (n p，np(1-p)【例例3-15】假設(shè)有一批種子的發(fā)芽率為假設(shè)有

36、一批種子的發(fā)芽率為0.7?，F(xiàn)有這種種子現(xiàn)有這種種子1000顆，試求其中有顆，試求其中有720顆以上顆以上發(fā)芽的概率。發(fā)芽的概率。解：解：設(shè)設(shè)X發(fā)芽種子顆數(shù)，發(fā)芽種子顆數(shù)，XB(1000，0.7)。近似地近似地 XN (700，210)。 P(X720)P(Z1.38)1P(Z1.38) 10.91620.0838 700720700210210X 1-pbinom(720,1000,0.7)1 0.077879統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics366用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布的用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布的前提前提 n很大，很大， p不能太接近不能太接近 0 或或 1

37、（否則二項(xiàng)分布太偏）（否則二項(xiàng)分布太偏） 一般要求一般要求np和和np(1-p)都要大于都要大于5如果如果np或或np(1-p)小于小于5，二項(xiàng)分布可以用，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來(lái)近似泊松分布來(lái)近似 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics367計(jì)算正態(tài)分布的概率值計(jì)算正態(tài)分布的概率值方法一：方法一：先標(biāo)準(zhǔn)化先標(biāo)準(zhǔn)化查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表方法二：利用方法二：利用Excel來(lái)計(jì)算（不必標(biāo)準(zhǔn)化）來(lái)計(jì)算（不必標(biāo)準(zhǔn)化） 插入函數(shù)插入函數(shù)fx選擇選擇“統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)”“NORMDIST”，進(jìn)入，進(jìn)入“函數(shù)參數(shù)函數(shù)參數(shù)”對(duì)話(huà)框中，對(duì)話(huà)框中， 在在X后填入正態(tài)隨機(jī)變量的取值區(qū)間點(diǎn)；后填入正態(tài)隨機(jī)變量的取值

38、區(qū)間點(diǎn)； 在在Mean后填入正態(tài)分布的均值；后填入正態(tài)分布的均值； 在在Standard_dev后填入正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；后填入正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差； 在在Cumulative后填入后填入1(或或TRUE)，表示計(jì)算隨，表示計(jì)算隨機(jī)變量取值小于等于指定值機(jī)變量取值小于等于指定值x的累積概率值。的累積概率值。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics368也可在選定的輸出單元格中，順次輸入也可在選定的輸出單元格中，順次輸入函數(shù)名和參數(shù)值即可函數(shù)名和參數(shù)值即可 如輸入如輸入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，確定后即可得到所求概率值確定后即可得到所求概率值0.0029798。根據(jù)概率值根據(jù)概率值F

39、(Xx)求隨機(jī)變量取值的區(qū)求隨機(jī)變量取值的區(qū)間點(diǎn)間點(diǎn) x，選擇函數(shù)，選擇函數(shù)“NORMINV”。 如輸入如輸入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,顯示計(jì)算結(jié)果為顯示計(jì)算結(jié)果為500。計(jì)算正態(tài)分布的概率值計(jì)算正態(tài)分布的概率值統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3693.3 常用抽樣方法常用抽樣方法一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣二、分層抽樣二、分層抽樣三、系統(tǒng)抽樣三、系統(tǒng)抽樣四、整群抽樣四、整群抽樣統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics370統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics371統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics372統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics373統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3743.4 抽樣分布抽樣分布

40、一、抽樣分布的概念一、抽樣分布的概念二、樣本均值抽樣分布的形式二、樣本均值抽樣分布的形式三、樣本均值抽樣分布的特征三、樣本均值抽樣分布的特征四、樣本比例的抽樣分布四、樣本比例的抽樣分布五、樣本方差的抽樣分布五、樣本方差的抽樣分布六、兩個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布六、兩個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics375統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics376統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics377統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3785 . 21NxNii25. 1)(122NxNii統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics379 3,4 3,3 3,2 3,1 3 2,4 2,3 2,2 2,1 2 4,4 4,3 4,2 4,1

41、 4 1,4 4 1,3 3 2 1 1,2 1,1 1 第二個(gè)觀(guān)察值第二個(gè)觀(guān)察值 第一個(gè)第一個(gè) 觀(guān)察值觀(guān)察值統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3803.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀(guān)察值第二個(gè)觀(guān)察值第一第一個(gè)個(gè)觀(guān)察觀(guān)察值值統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3815 . 2x625. 02x統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics382)(xEnx22122NnNnx統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics383為樣本數(shù)目MnMxnixix222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()(5 . 2160 . 45 .

42、10 . 11Mxniix統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics384 E p2. 樣本比率的方差 重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣21pn211pNnnN統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics385222211nsn2,XN 當(dāng)總體抽取容量為n的樣本，則2221xxn統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3862212121212,xxNnn兩個(gè)正態(tài)總體：非正態(tài)總體：兩個(gè)樣本容量大于等于30時(shí)，仍用正態(tài)分布近似統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics387112212121211,ppNnn統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3882112221,1sF nns統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics3893.5 中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用一、大數(shù)定律一、大數(shù)定律二、

43、中心極限定理二、中心極限定理統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics390獨(dú)立同分布大數(shù)定律獨(dú)立同分布大數(shù)定律大數(shù)定律是闡述大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象的平均大數(shù)定律是闡述大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理的總稱(chēng)。結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理的總稱(chēng)。獨(dú)立同分布大數(shù)定律獨(dú)立同分布大數(shù)定律設(shè)設(shè)X1, X2, 是獨(dú)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在有限的立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在有限的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差和方差D(Xi ) 2（i=1,2,），則對(duì)任意小的正數(shù)），則對(duì)任意小的正數(shù), 有：有： 1|1|lim1 niinXnP統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics391大數(shù)定律（續(xù)）大數(shù)定律（續(xù)）該大數(shù)定律表明：當(dāng)

44、該大數(shù)定律表明：當(dāng)n充分大時(shí)，相互獨(dú)充分大時(shí)，相互獨(dú)立且服從同一分布的一系列隨機(jī)變量取立且服從同一分布的一系列隨機(jī)變量取值的算術(shù)平均數(shù)，與其數(shù)學(xué)期望值的算術(shù)平均數(shù)，與其數(shù)學(xué)期望的偏差的偏差任意小的概率接近于任意小的概率接近于1。 該定理給出了平均值具有穩(wěn)定性的科學(xué)該定理給出了平均值具有穩(wěn)定性的科學(xué)描述，從而為使用樣本均值去估計(jì)總體描述，從而為使用樣本均值去估計(jì)總體均值（數(shù)學(xué)期望）提供了理論依據(jù)。均值（數(shù)學(xué)期望）提供了理論依據(jù)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics392貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律設(shè)設(shè)m是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)，數(shù)，p是每次試驗(yàn)中事件是每次試驗(yàn)中

45、事件A發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率，則對(duì)任意的對(duì)任意的 0，有：，有：1|lim pnmPn它表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)它表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事充分大時(shí)，事件件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率m/n依概率收斂于事件依概率收斂于事件A發(fā)發(fā)生的概率生的概率 闡明了頻率具有穩(wěn)定性，提供了用頻率估計(jì)闡明了頻率具有穩(wěn)定性，提供了用頻率估計(jì)概率的理論依據(jù)。概率的理論依據(jù)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics393獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理（也稱(chēng)列維一林德伯格定理）（也稱(chēng)列維一林德伯格定理）設(shè)設(shè)X1, X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且存在有限的且存在有限的和方差和方差2

46、（i=1,2,），當(dāng)），當(dāng)n 時(shí)，時(shí)，)(21 nnNXnii， )/(2nNX ，或或iXX或就趨于正態(tài)分布。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics394上述定理表明上述定理表明 獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列不管服從什么分獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列不管服從什么分布，其布，其n項(xiàng)總和的分布趨近于正態(tài)分布。項(xiàng)總和的分布趨近于正態(tài)分布?？傻贸鋈缦驴傻贸鋈缦陆Y(jié)論結(jié)論： 不論總體服從何種分布，只要其數(shù)學(xué)期望和不論總體服從何種分布，只要其數(shù)學(xué)期望和方差存在，對(duì)這一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣時(shí)，當(dāng)方差存在，對(duì)這一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣時(shí)，當(dāng)樣本量樣本量n充分大，就趨于正態(tài)分布。充分大，就趨于正態(tài)分布。 該定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基

47、礎(chǔ)。該定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基礎(chǔ)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics395【例例3-16】有一測(cè)繪小組對(duì)甲乙兩地之間的距離采用分段有一測(cè)繪小組對(duì)甲乙兩地之間的距離采用分段測(cè)量的方法進(jìn)行了測(cè)量，將甲乙之間的距離分測(cè)量的方法進(jìn)行了測(cè)量，將甲乙之間的距離分成為成為100段。設(shè)每段測(cè)量值的誤差（單位：段。設(shè)每段測(cè)量值的誤差（單位：cm）服從區(qū)間（服從區(qū)間（1，1）上的）上的均勻分布均勻分布。試問(wèn)：對(duì)。試問(wèn)：對(duì)甲乙兩地之間距離的測(cè)量值的總誤差絕對(duì)值超甲乙兩地之間距離的測(cè)量值的總誤差絕對(duì)值超過(guò)過(guò)10cm的概率是多少？的概率是多少？解：解：設(shè)設(shè) Xi第第i段測(cè)量誤差（段測(cè)量誤差（i=1,2,），由于），由

48、于Xi服從均勻分布，服從均勻分布，E(Xi)0，D(Xi )21(1)2/12=1/3。根據(jù)上述中心極限定理，可。根據(jù)上述中心極限定理，可得，得，總誤差總誤差YXiN(0,100/3)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics396棣莫佛拉普拉斯中心極限定理棣莫佛拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B(n,p)的，那的，那么當(dāng)么當(dāng)n 時(shí)，時(shí)，X服從均值為服從均值為np、方差為、方差為 np(1-p) 的正態(tài)分布，即：的正態(tài)分布，即： )1(pnpnpNX ，)10()1(，NpnpnpX 或：或：上述定理表明：上述定理表明： n很大，很大，np 和和 np(1p)也都不太小時(shí)，二項(xiàng)也都不太小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布去近似。分布可以用正態(tài)分布去近似。統(tǒng)計(jì)學(xué)Statistics397為什么很多隨機(jī)現(xiàn)象