向量自回歸模型講義

1、第 8章 VAR 模型與協(xié)整1980 年 Sims 提出向量自回歸模型( vector autoregressive model )。這種模型采用多方程聯(lián) 立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)，在模型的 每一個(gè)方程中，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生變 量的滯后值進(jìn)行回歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量 的動(dòng)態(tài)關(guān)系。8.1 向量自回歸 (VAR )模型定義8.1.1 模型定義VAR 模型是自回歸模型的聯(lián)立形式 ，所以稱(chēng) 向量自回歸模型 。假設(shè) y1t，y2t 之間存在關(guān)系， 如果分別建立兩個(gè)自回歸模型yi, t = f (yi, t-i, yi, t-2,y2, t = f (y2, t-i, y2, t-2,則無(wú)法

2、捕捉兩個(gè)變量之間的關(guān)系。如果采用聯(lián) 立的形式，就可以建立起兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 VAR 模型的結(jié)構(gòu)與兩個(gè)參數(shù)有關(guān)。 一個(gè)是所含 變量個(gè)數(shù)N，個(gè)是最大滯后階數(shù)k。以?xún)蓚€(gè)變量yit, y2t滯后i期的VAR模型 為例，yi, t =ci + ii.i yi, t-i +i2.i y2, t-i + ui ty2, t =C2 + 21.1 yi, t-1 +22.i y2, t-i + U2 t(81)其中 Ui t, U2 tIID (0,2), Cov(ui t, u2 t) = 0。寫(xiě)成矩陣形式是，yitciii.ii2.iyi,t iuit畑=C2 +2i.i22.iy2,t i +u2t

3、(8.2)yitqii.ii2.iuit設(shè)，Yt = y2t,c =：c2 ,i =2i.i22.i, ut = u2t ,則，Yt = c + i Y t-i + Ut(8.3)那么，含有N個(gè)變量滯后k期的VAR模型表示如下：Yt = c +i Y t-i+ 2Yt-2+k Yt-k + ut,ut IID (0,)(8.4)其中，Yt =(yi, ty2, t yN, t)c =(ciC2 CN)ii.ji2.jiN.j2i. j22.j2N.j,j = i, 2, kNi.jN2.jNN.jut =(ui tu2,tun t),Yt為N 1階時(shí)間序列列向量。C為N 1階常數(shù)項(xiàng)列向量。 1

4、,，k均為N N階參數(shù)矩 陣，5 IID (0,)是N 1階隨機(jī)誤差列向量， 其中每一個(gè)元素都是非自相關(guān)的，但這些元素， 即不同方程對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間可能存在相 關(guān)。因 VAR 模型中每個(gè)方程的右側(cè)只含有內(nèi)生 變量的滯后項(xiàng)，他們與 ut是漸近不相關(guān)的，所 以可以用 OLS 法依次估計(jì)每一個(gè)方程，得到的 參數(shù)估計(jì)量都具有一致性。估計(jì) VAR 的 EViews 4.1 操作： 打開(kāi)工作文件，點(diǎn)擊 Quick 鍵, 選 Estimate VAR 功能。作相應(yīng)選項(xiàng)后，即可得到 VAR 的 表格式輸出方式。在 VAR 模型估計(jì)結(jié)果窗口 點(diǎn)擊 View 選 representation 功能可得到 VA

5、R 的代數(shù)式輸出結(jié)果。8.1.2 VAR 模型的特點(diǎn)是： (1)不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。 在建模過(guò)程中只需明確兩件事：共有哪些變量是相互 有關(guān)系的，把有關(guān)系的變量包括在 VAR 模型 中；確定滯后期 k。使模型能反映出變量間相互影響的絕大部分。（ 2）VAR 模型對(duì)參數(shù)不施加零約束。 （對(duì)無(wú) 顯著性的參數(shù)估計(jì)值并不從模型中剔除，不分 析回歸參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。 ）（3） VAR 模型的解釋變量中不包括任何當(dāng) 期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關(guān)的問(wèn)題在 VAR 模型中都不存在 （主要是參數(shù)估計(jì)量的非 一致性問(wèn)題）。（4） VAR 模型的另一個(gè)特點(diǎn)是有相當(dāng)多的 參數(shù)需要估計(jì)。比如一個(gè) VAR 模型含有三

6、個(gè) 變量，最大滯后期 k = 3，則有 k N 2 = 3 32 = 27 個(gè)參數(shù)需要估計(jì)。當(dāng)樣本容量較小時(shí)，多數(shù)參 數(shù)的估計(jì)量誤差較大。（ 5）無(wú)約束 VAR 模型的應(yīng)用之一是預(yù)測(cè)。 由于在 VAR 模型中每個(gè)方程的右側(cè)都不含有 當(dāng)期變量，這種模型用于樣本外一期預(yù)測(cè)的優(yōu) 點(diǎn)是不必對(duì)解釋變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)的取值做任何 預(yù)測(cè)。（ 6）用 VAR 模型做樣本外近期預(yù)測(cè)非常 準(zhǔn)確。做樣本外長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)，則只能預(yù)測(cè)出變 動(dòng)的趨勢(shì)，而對(duì)短期波動(dòng)預(yù)測(cè)不理想。西姆斯（Sims）認(rèn)為VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來(lái)也有學(xué)者認(rèn)為具有單 向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入 VAR 模型。附錄：（ fil

7、e:B8c1 ）VAR 模型靜態(tài)預(yù)測(cè)的 EViews 操作：點(diǎn)擊 Procs選Make Model功能。點(diǎn)擊Solve。在出現(xiàn) 的對(duì)話(huà)框的 Solution option （求解選擇） 中選擇 Static solution （靜態(tài)解）。VAR 模型動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的 EViews 操作：點(diǎn)擊 Procs選Make Model功能（工作文件中如果已 經(jīng)有 Model ，則直接雙擊 Model ）。點(diǎn)擊 Solve。 在出現(xiàn)的對(duì)話(huà)框的 Solution option （求解選擇） 中選擇 Dynamic solution （靜態(tài)解）。注意：Model窗口中的第一行， “ ASSIGN ALL F ”表示

8、模擬結(jié)果保存在原序列名后加 F 的新序列中，以免原序列中的數(shù)據(jù)被覆蓋掉。靜態(tài)預(yù)測(cè)的效果非常好。動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的表現(xiàn) 是前若干期預(yù)測(cè)值很接近真值，以后則只能準(zhǔn) 確預(yù)測(cè)變化的總趨勢(shì)，而對(duì)動(dòng)態(tài)的變化特征預(yù) 測(cè)效果較差。綜上所述，用 VAR 做樣本外動(dòng)態(tài) 預(yù)測(cè) 1， 2期則預(yù)測(cè)效果肯定是非常好的。8.2 VAR 模型穩(wěn)定的條件VAR 模型穩(wěn)定的充分與必要條件是(1 見(jiàn)(8.3) 式)的所有特征值都要在單位圓以?xún)?nèi) (在 以橫軸為實(shí)數(shù)軸， 縱軸為虛數(shù)軸的坐標(biāo)體系中， 以原點(diǎn)為圓心， 半徑為 1 的圓稱(chēng)為單位圓) ，或 特征值的模都要小于 1。1先回顧單方程情形。以 AR(2) 過(guò)程 yt = 1 yt-1 +

9、2 yt-2 +ut(8.11)為例。改寫(xiě)為(1- 1 L - 2 L 2) yt = (L) yt = ut (8.12)yt穩(wěn)定的條件是 (L) = 0的根必須在單位圓以 外。2對(duì)于 VAR 模型，也用特征方程判別穩(wěn) 定性。以(8.3)式，Yt = c + i Yt-i + ut,為例， 改寫(xiě)為(I -1 L) Yt = c + ut(8.13)保持 VAR 模型穩(wěn)定的條件是 | I -1L | = 0 的根都在單位圓以外。| I - iL| = 0在此稱(chēng)作相 反 的 特 征 方 程 ( reverse characteristic function )。(第 2 章稱(chēng)特征方程)例 8.1

10、 以二變量( N = 2)， k = 1 的 VAR模型u1t(8.14)y1t 5/81/2yi,tiy2t= 1/45/8Y2,ti+ u2t5/8 1/21L | =其中1 = 1/4 5/8為例分析穩(wěn)定性。相反的特 征方程是1 0(5/8)L (1/2)L0 1(1/4)L (5/8)L=(1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2(8.15)=(1-0.978 L) (1- 0.27 L) = 0 求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690因?yàn)長(zhǎng) 1, L 2都大于1，所以對(duì)應(yīng)的VAR模型 是穩(wěn)定的。3. VAR模型穩(wěn)定的另一種判別

11、條件是， 特征方程I 1 - I | = 0的根都在單位圓以?xún)?nèi) 特征方程|1 - I | = 0的根就是1的特征值。例8.2仍以VAR模型(8.14)為例，特征方 程表達(dá)如下：5/8 1/21/45/85/81/21/45/8(5/8 - )2 -1/8 = (5/8 - )2 1/8)2=(0.978 - ) (0.271 - ) = 0(8.16)得 1 = 0.9786, 2 = 0.2714。1,2 是特征方程| 1 - I | = 0的根，是參數(shù)矩陣1的特征值。因?yàn)?1 = 0.978, 2 = 0.271，都小于 1，該 VAR 模型是穩(wěn)定的。注意：(1) 因?yàn)?L1=1/0.97

12、8 =1/ 1, L2 =1/0.27=1/ 2, 所以特征方程與相反的特征方程的根互為倒數(shù)，L = 1/。(2) 在單方程模型中，通常用相反的特征方程 (L) = 0的根描述模型的穩(wěn)定性，即單變量 過(guò)程穩(wěn)定的條件是(相反的)特征方程(L) = 0 的根都要在單位圓以外；而在VAR模型中通常用特征方程|1 - I | = 0的根描述模型的穩(wěn)定性。VAR模型穩(wěn)定的條件是，特征方程|1 - I | = 0的根都要在單位圓以?xún)?nèi)，或相反的 特征方程| I -L 1 | = 0的根都要在單位圓以 外。4 .對(duì)于k1的k階VAR模型可以通過(guò) 友矩 陣變換(companion form )，改寫(xiě)成1階分塊

13、矩陣的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判別穩(wěn)定性。具體變換過(guò)程如下。 給出 k 階 VAR 模型，Yt = c+1 Yt-1 +2 Y t-2 + + k Y t-k + ut(8.17) 再配上如下等式，Yt -1 = Yt -1Yt -2 =Yt -2Yt -k +1 =Yt - k +1把以上 k 個(gè)等式寫(xiě)成分塊矩陣形式，Ytcni口2nk 1nkYt 1utYt 10I000Yt 20Yt 2=0+0I00Yt 3+0MYt k 1 NK 10 NK 100I 0 NK NKYt k NK 10 NK 1(8.18)其中每一個(gè)元素都表示一個(gè)向量或矩陣。令Yt = (Yt-1Yt-

14、2 Yt-k+1) NK 1C = (c 00 0) NK 1ni巴nk imI000A = 0I00NK NK00Ut = (ut 00 0) NK 1上式可寫(xiě)為Yt = C + A Y t -1 + Ut （8.19） 注意， 用友矩陣變換的矩陣（向量）用正 黑體字母表示。 k 階 VAR 模型用友矩陣表示成 了 1 階分塊矩陣的 VAR 模型。例如，2 變量 2 階 VAR 模型的友矩陣變換 形式是 其中等式的每一個(gè)元素（項(xiàng)）都表示一個(gè) 4 1 階向量或 4 4 階矩陣。YtYt 1c0+Yt 1 + utYt 20(8.20)例如，2 變量 3 階 VAR 模型的友矩陣變換 形式是Yt

15、c123Yt 1utYt i =0+I00Yt 2+ 0(821)Yt 200I0Yt 30其中等式的每一個(gè)元素（項(xiàng)）都表示一個(gè) 6 1 階向量或 6 6 階矩陣。VAR 模型的穩(wěn)定性要求 A 的全部特征值， 即特征方程 | A - I | = 0 的全部根必須在單位 圓以?xún)?nèi)或者相反的特征方程 | I - L A | = 0 的全 部根必須在單位圓以外。注意：特征方程中的A是Nk Nk階的 特征方程中的I也是Nk Nk階的。以2階VAR模型的友矩陣變換為例，I I - AL| =02lILiL=I -1 L -2 L2 = 0(8.22)的全部根必須在單位圓以外。以3階VAR模型的友矩陣變換為

16、例，I0 0| I - AL| =0I 0I 00L00 I0I 0I1L2L3L二ILI00ILI=| I-1 L -2 L2-3 L3 | = 0 (8.23)的全部根必須在單位圓以外。因此，對(duì)于k階VAR模型的友矩陣變換 形式，特征方程是，| I -1 L -2 L 2 -k L k I = 0 (8.24)附錄：求VAR模型特征根的EViews 4.1操作：在VAR模型估計(jì)結(jié)果窗口點(diǎn)擊 View選LagStructure, AR Roots Table功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若選 Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得到單位圓曲線(xiàn) 以及

17、VAR模型全部特征根的位置圖。VAR Stability Condition CheckRoots of Chara匚t巳risti匚 PolynomialEr dog 朗 mie 陽(yáng)価川閔：IJNGP LNCP LNIPExogsrious variables: CLag specification: 1 3Date 05/16/05 Time: 22:23RootModulus1.0154971.0154970.466948 - 0.673264i0.8193440 46694B +0 673264)0.8193440.605736O.0O573E-0.220604 - 0 4807521

18、0 636232-0 220604 +0 4SS752i05362320 44019404401940.158644 - 0 229352i0 2789070 158844 +0.229352i027B987Warning: Al least one root outside the unit circle. VAR does not satisfy the sta bi I it y co rid itionIn verse Roots of AR Characteristic Polyno mialVAR Stability Condition CheckRoots of Characte

19、ristic PHynonnial Endogenous variables PHO QHO NHO Exogenous Yariible8： CLag 即ecificalion: 1 8Date： 05/1M5 Time： 22:19RootModulus 841175-0.4913431 9741630.841175+0.491343) 9741630.966912 9669120.9446240.9446240.414063 +0.79351210.3954180.414863 0.7935121 3954180768707 +CL4324怕 i.062064-0766787-0.432

20、41010.902054 115255 + 0.817329i0.92541601115256-0,8173291 32S415-0.462531-0.6S2775! 3082110.4K2531 +0.68277510.908211-0.146717-0.7B5193i0.7987930.146717 +0.795193!0.7967B30.692431 - 0.337520i0.7934940.692431 十 0.387520!0.7934940.756B83 - 0.22727510.7091210L7556B3 十 D.227275i0.7091210764318 +Q10Bie?i

21、771657-0764310 -0.106167i.7716570 090582 十 0,56723110 594176.090582 - 0.507231!0.594176*0.419544 + 0.37563910.56317E0.419544 - 0.37969910.563176No root lias outside the unit circle. VAR satisfies lhe stability condilion.Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial8.3 VAR模型的穩(wěn)定性(stability )特征現(xiàn)在討論VAR模

22、型的穩(wěn)定性特征。穩(wěn)定性是 指當(dāng)把一個(gè)脈動(dòng)沖擊施加在 VAR模型中某一 個(gè)方程的新息(inn ovation )過(guò)程上時(shí)， 隨著 時(shí)間的推移，這個(gè)沖擊會(huì)逐漸地消失 。如果是 不消失，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。下面分析一階VAR模型Yt = c+ 1 Yt-1 + ut(8.29)為例。當(dāng) t = 1 時(shí)，有Y1 = c + 1 Y0 + u1(8.30)當(dāng) t = 2 時(shí)，采用迭代方式計(jì)算，Y2 = c += (I +1 Y1 + u2 = c +1) c + 12 Y0 +1 (c + 1 Y0 + u1) + u21 u1 + u2(8.31)當(dāng) t = 3 時(shí)，進(jìn)一步迭代，Y3 = c +1 Y2

23、 + u3= c +21 (l +1) c +12 Yo +1 u1+ u2 + u3= (l +1 +12) c +13 Yo +12 u1 +1 u2 +u3(8.32)對(duì)于 t 期，按上述形式推導(dǎo) t 1 iYt =(l+ i + i2 + + it-1)c + itYo+i 0n1 ut-i(8.33) 由上式可知， 10 = l 。通過(guò)上述變換，把 Yt 表示成了漂移項(xiàng)向量 、初始值向量 Y0 和新 息向量 ut 的函數(shù) 。可見(jiàn)系統(tǒng)是否穩(wěn)定可以通過(guò) 觀察漂移項(xiàng)向量c、初始值向量Yo和新息向量 ut 經(jīng)受沖擊后的表現(xiàn)。假定模型是穩(wěn)定的，將有如下 3 個(gè)結(jié)論。 (1)假設(shè) t = 1 時(shí)

24、，對(duì) c 施加一個(gè)單位的沖擊， 那么到 t 期的影響是(I +1 +12 + + 1t-1)當(dāng) t 時(shí)，此影響是一個(gè)有限值， (I -1) -1。(2)假設(shè)在初始值 Y0 上施加一個(gè)單位的沖擊。到t期的影響是It。隨著t , It 0,影響消失(因?yàn)閷?duì)于平穩(wěn)的 VAR 模型， 1 中的 元素小于 1,所以隨著 t ,取 t 次方后,1t0)。t 1 i(3)從i0nii ut-i項(xiàng)可以看出，白噪聲中的沖t1擊離t期越遠(yuǎn)，影響力就越小。n 1 = (I - 1)-1,i0t 1 i稱(chēng)作長(zhǎng)期乘子矩陣，是對(duì) i 0n 1 Ut-i求期望得到 的。對(duì)單一方程的分析知道，含有單位根的自 回歸過(guò)程對(duì)新息中

25、的脈動(dòng)沖擊有長(zhǎng)久的記憶能 力。同理，含有單位根的 VAR 模型也是非平 穩(wěn)過(guò)程。 當(dāng)新息中存在脈動(dòng)沖擊時(shí)， VAR 模型 中內(nèi)生變量的響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間的推移而消失。平穩(wěn)變量構(gòu)成的一定是穩(wěn)定 ( stability )的模型，但穩(wěn)定的模型不一定由平穩(wěn)變量構(gòu)成。也 可能由非平穩(wěn)( nonstationary )變量(存在協(xié) 整關(guān)系)構(gòu)成。8.4 VAR 模型滯后期 k 的選擇建立 VAR 模型除了要滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件外， 還 應(yīng)該正確確定滯后期k。如果滯后期太少，誤差項(xiàng)的自相關(guān)會(huì)很?chē)?yán)重，并導(dǎo)致參數(shù)的非一致 性估計(jì)。正如在第 4 章介紹 ADF 檢驗(yàn)的原理 一樣，在 VAR 模型中適當(dāng)加大 k 值(增加滯

26、 后變量個(gè)數(shù)) ，可以消除誤差項(xiàng)中存在的自相 關(guān)。但從另一方面看， k 值又不宜過(guò)大。 k 值過(guò) 大會(huì)導(dǎo)致自由度減小，直接影響模型參數(shù)估計(jì) 量的有效性。下面介紹幾種選擇 k 值的方法。1) 用 LR 統(tǒng)計(jì)量選擇 k 值。 LR (似然比)統(tǒng) 計(jì)量定義為，22LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) )(N2) (8.34)其中 log L(k) 和 log L(k+1) 分別是 VAR( k) 和 VAR( k+1) 模型的極大似然估計(jì)值。k 表示VAR 模型中滯后變量的最大滯后期。LR 統(tǒng)計(jì)量漸近服從 2(N2) 分布。顯然當(dāng) VAR 模型滯后 期的增加不會(huì)給極大似然函

27、數(shù)值帶來(lái)顯著性增大時(shí)，即LR統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值時(shí)，新增 加的滯后變量對(duì) VAR模型毫無(wú)意義。應(yīng)該注 意，當(dāng)樣本容量與被估參數(shù)個(gè)數(shù)相比不夠充分 大時(shí)，LR的有限樣本分布與LR漸近分布存在 很大差異。2) 用赤池(Akaike)信息準(zhǔn)則(AIC)選擇 k值。AIC = log + 辛(8.34)其中Ut表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大 滯后期。選擇k值的原則是在增加k值的過(guò)程 中使AIC的值達(dá)到最小。EViews 3.0的計(jì)算公式是log L 2kAIC = -2 T +3) 用施瓦茨(Schwartz )準(zhǔn)則(SC)選擇k 值。T1?2 klogTSC = log(8.35)其中Ut表示殘

28、差，T表示樣本容量，k表示最大 滯后期。選擇最佳k值的原則是在增加k值的過(guò)程中使SC值達(dá)到最小EViews 3.0的計(jì)算公式是log L klogTSC =-2 +T例8.3以第8章案例為例，k =1、2、3、4時(shí)的 logL、Akaike AIC 和 Schwarz SC 的值見(jiàn) 下表。VAR(1)VAR(2)VAR(3)VAR(4)logL184.6198.9200.0207.8-2 (log L(k) - log28.62.215.62(9)=L(k+1)16.9Akaike AIC-7.84-8.27-8.09-8.23Schwarz SC-7.36-7.41-6.85-6.6VAR

29、Lag Order Slettiar CniariaEndogenous variables: LNGP LNCP LN IPExogenous variables: CDate: 05f25/05 Time Z3:52Sampler 1963 1907Included obser/ation&- 42La aLogLLR0 12 322 ytiULIJMA7 75E-05-0.951430-0.3273110 905935175.5519276 06258.34E-0a-77631677.291710-7.606203196.769233.67880*4 93E-D8*8.321857*-7

30、.453032*-8003404*199 96546.409457G.31 E-08-8.093591-G .852398-7.G38G45FPEAICSCHQindicates order selected by the criterionLR: sequential modified LR tesl statistic (each test at 5% level)FPE: Final predictiori errorAIC: Akaike information criterionSC: Schwarz irfarmatiori criterionHQ Hannan-Quinn inf

31、ormaliori criterion建立滯后2期的VAR模型是可以的附錄：考察VAR模型最大滯后期的EViews 4.1操 作：在VAR模型估計(jì)結(jié)果窗口點(diǎn)擊 View選 Lag Structure, Lag Lengyh Criteria功能， 即可得到5個(gè)評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的值。8.5 VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)由于VAR模型參數(shù)的OLS估計(jì)量只具有一 致性，單個(gè)參數(shù)估計(jì)值的經(jīng)濟(jì)解釋是很困難的。 要想對(duì)一個(gè)VAR模型做出分析，通常是觀察 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（1）脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)描述一個(gè)內(nèi)生變量對(duì)誤差沖擊 的反應(yīng)。具體地說(shuō)，它描述的是在隨機(jī)誤差項(xiàng) 上施加一個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)差大小 的沖擊后對(duì)內(nèi)生變量的

32、 當(dāng)期值和未來(lái)值所帶來(lái)的影響。對(duì)于如下VAR模型，t表示GDP， y2, t表 示貨幣供應(yīng)量，j y1, t = C1 + 11.1 y1, t-1 + 12.1 y2, t-i + ui t、 y2, t = C2 + 21.1 y1, t-1 + 22.1 y2, t-1 + U2 t（8.36）在模型（8.36）中，如果誤差U1t和U2t不相 關(guān)，就很容易解釋。uit是yi, t的誤差項(xiàng)；U2t是 y2, t的誤差項(xiàng)。脈沖響應(yīng)函數(shù)衡量當(dāng)期 uit和U2t 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的沖擊 分別對(duì) GDP 和貨幣存量的 當(dāng)前值和未來(lái)值的影響。對(duì)于每一個(gè) VAR 模型都可以表示成為一個(gè) 無(wú)限階的向量 MA(

33、 )過(guò)程。具體方法是對(duì)于 任何一個(gè)VAR(k)模型都可以通過(guò)友矩陣變換 改寫(xiě)成一個(gè) VAR(i) 模型(見(jiàn) 8.i.2 節(jié))。Yt = Ai Yt -i + Ut(I - L A i) Yt = UtYt = (I - L A i)-i Ut=Ut + A iU t-i + Ai2 Ut-2 + + Ais Ut-s + 這是一個(gè)無(wú)限階的向量 MA( s)過(guò)程?；?qū)懗?，Yt+s = Ut+s + AiUt+s -i + Ai2 Ut+s -2 + + Ais Ut + 全部的移動(dòng)平均參數(shù)矩陣用改用j, (j=i, s)表示，Yt+s =Ut+s+ iUt+s -i +2 U t+s-2 + +

34、 sUt + (8.37) 其中i = Ai,2 = Ai2, , s = Ai s,顯然，由 (8.37)式有下式成立，_ Yt ss = Uts中第i行第j列元素表示的是，令其它誤差 項(xiàng)在任何時(shí)期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個(gè)變量yjt對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)ujt在t期受到一個(gè)單位的沖擊 后，對(duì)第i個(gè)內(nèi)生變量yit在t + s期造成的影響。把s中第i行第j列元素看作是滯后期 s 的函數(shù)嚴(yán),s = 1,2, 3,jt稱(chēng)作脈沖響應(yīng)函數(shù) (impulse-response function)，脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了其它變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi,t+s對(duì)uj, t 時(shí)一次沖擊的響應(yīng)過(guò)程。對(duì)脈沖響應(yīng)

35、函數(shù)的解釋出現(xiàn)困難源于實(shí)際中 各方程對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)從來(lái)都不是完全非相關(guān) 的。當(dāng)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，它們有一個(gè)共同的組成 部分，不能被任何特定的變量所識(shí)別。為處理 這一問(wèn)題，常引入一個(gè)變換矩陣M與ut相乘，vt = M u t (0,)從而把ut的方差協(xié)方差矩陣變換為一個(gè)對(duì)角矩 陣?，F(xiàn)在有多種方法。其中一種變換方法稱(chēng) 作喬利斯基（ Cholesky ）分解法，從而使誤差 項(xiàng)正交。原誤差項(xiàng)相關(guān)的部分歸于 VAR 系統(tǒng)中的第 一個(gè)變量的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。在上面的例子里，u1 t和U2t的共同部分完全歸于 Ult，因?yàn)閁lt在U2 t、彳、八之前。 雖然喬利斯基分解被廣泛應(yīng)用，但是對(duì)于共 同部分的歸屬來(lái)說(shuō)， 它還是

36、一種很隨意的方法。 所以方程順序的改變將會(huì)影響到脈沖響應(yīng)函 數(shù)。因此在解釋脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí)應(yīng)小心。注意：對(duì)于Ut中的每一個(gè)誤差項(xiàng)，內(nèi)生變量 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)。這樣，一個(gè)含有 4個(gè)內(nèi)生變量的 VAR 將有 16個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)。附錄： VAR 模型殘差序列及其方差、協(xié)方 差矩陣的求法。點(diǎn)擊VAR窗口中的Procs鍵，選Make Residuals （生成殘差）功能，工作文件中就會(huì) 生成以residOI, resid02, 為編號(hào)的殘差序列 （殘差序列的順序與 VAR 模型估計(jì)對(duì)話(huà)框中 輸入的變量順序相一致），并打開(kāi)殘差序列數(shù) 據(jù)組窗口。在這個(gè)殘差序列數(shù)據(jù)組窗口中點(diǎn)擊 View鍵，選擇Cova

37、riances功能，即可得到殘差序列的方差、協(xié)方差矩陣。選擇Correlation功能，即可得到殘差序列的相關(guān)系數(shù)矩陣。Coriance MatrixRESID01RESID02RESID03RESID0125 85272-.56293*7.166736RESID027 1667366.190975Coirelation MdUixRESID01RESID02RESID03RESIDQ11 .DOOQOO-0.002836-0.232497RESID021.0000000.2S1936RESID03-0.232497.2616351.000000附錄：脈沖響應(yīng)的EViews操作（file:VA

38、R01）點(diǎn)擊VAR窗口中的Impulse鍵。在隨后彈 出的對(duì)話(huà)框中做出各項(xiàng)選擇后點(diǎn)擊0K鍵。例8.4美國(guó)民用燃油價(jià)格、生產(chǎn)量、儲(chǔ)量的脈沖響應(yīng)圖圖3圖1表示美國(guó)民用燃油價(jià)格（PHO ）分別 對(duì)燃油價(jià)格（PHO ）、生產(chǎn)量（QHO ）、儲(chǔ)量 （NHO）3個(gè)方程相應(yīng)新息過(guò)程一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差沖擊的響應(yīng)圖 2 表示美國(guó)燃油生產(chǎn)量 （QHO ）分別對(duì) 燃油價(jià)格（PHO ）、生產(chǎn)量（QHO ）、儲(chǔ)量（NHO ） 3 個(gè)方程相應(yīng)新息過(guò)程一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差沖擊的響 應(yīng)。圖 3 表示美國(guó)燃油儲(chǔ)量 （ NHO ）分別對(duì)燃 油價(jià)格（ PHO ）、生產(chǎn)量（ QHO ）、儲(chǔ)量（ NHO ） 3 個(gè)方程相應(yīng)新息過(guò)程一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差沖擊的響 應(yīng)

39、。8.6 格蘭杰非因果性檢驗(yàn)VAR 模型還可用來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)變量與另一個(gè) 變量是否存在因果關(guān)系。經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中格蘭杰（ Granger ）非因果性定義如下：格蘭杰非因果性：如果由yt和xt滯后值所決 定的 yt 的條件分布與僅由 yt 滯后值所決定的條 件分布相同，即（yt yt -i,xt -i,）=（yt yt -1,）,（8.38） 則稱(chēng)Xt -1對(duì)yt存在格蘭杰非因果性。格蘭杰非因果性的另一種表述是其它條件 不變，若加上Xt的滯后變量后對(duì)yt的預(yù)測(cè)精度 不存在顯著性改善，則稱(chēng)xt-1 對(duì) yt 存在格蘭杰 非因果性關(guān)系。為簡(jiǎn)便，通?？偸前?xt-1 對(duì) yt 存在非因果關(guān) 系表述為xt (去

40、掉下標(biāo)-1 )對(duì)yt存在非因果關(guān) 系(嚴(yán)格講， 這種表述是不正確的) 。在實(shí)際中， 除了使用格蘭杰非因果性概念外，也使用“格 蘭杰因果性”概念。顧名思義，這個(gè)概念首先 由格蘭杰( Granger 1969 )提出。西姆斯( Sims 1972)也提出因果性定義。這兩個(gè)定義是一致 的。根據(jù)以上定義， xt 對(duì) yt 是否存在因果關(guān)系的 檢驗(yàn)可通過(guò)檢驗(yàn) VAR 模型以 yt 為被解釋變量 的方程中是否可以把xt 的全部滯后變量剔除掉而完成。比如 VAR 模型中以 yt 為被解釋變 量的方程表示如下：kkyt = i 1 i yt i + i 1 i xt i + u1 t (8.39) 如有必要，

41、常數(shù)項(xiàng)，趨勢(shì)項(xiàng)，季節(jié)虛擬變量等 都可以包括在上式中。 則檢驗(yàn) xt 對(duì) yt 存在格蘭 杰非因果性的零假設(shè)是H0:1 =2 =k = 0顯然如果( 8.39)式中的 xt 的滯后變量的回歸參數(shù)估計(jì)值全部不存在顯著性，則上述假設(shè)不能被拒絕。換句話(huà)說(shuō)，如果Xt的任何一個(gè)滯后 變量的回歸參數(shù)的估計(jì)值存在顯著性，則結(jié)論 應(yīng)是Xt對(duì)yt存在格蘭杰因果關(guān)系。上述檢驗(yàn)可 用F統(tǒng)計(jì)量完成。(SSEr SSEU)/k F = SSEu (T kN)其中SSEr表示施加約束(零假設(shè)成立)后的 殘差平方和。SSEu表示不施加約束條件下的殘 差平方和。k表示最大滯后期。N表示VAR模 型中所含當(dāng)期變量個(gè)數(shù)， 本例中N

42、 = 2，T表示 樣本容量。在零假設(shè)成立條件下，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從F( k, T - k N )分布。用樣本計(jì)算的 F值如 果落在臨界值以?xún)?nèi)，接受原假設(shè)，即Xt對(duì)yt不 存在格蘭杰因果關(guān)系。例 8.5 :( file: stock )以 661 天(1999.142001.10.5)的上海(SH)和深圳(SZ) 股票收盤(pán)價(jià)格綜合指數(shù)為例，7 0 06 0 05 0 04 0 03 0 0 SZ _ SH1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 02 0 0 015 0 010 0 0滯后10期的Gran ger因果性檢驗(yàn)結(jié)果如下:(當(dāng)概率小于0.05時(shí)，表示推翻原假設(shè))Paiiv

43、/iso Granger Causality TestsDate: 06/1B/04 Timo: 19:56Sample: 1 661Lags；: 10Null Hypothesis：ObsF-StatisticProbabilitySHriot Granger Csuse SZ511.363750.19316SZ doet not Grainger Cause SH23.43950.00000上表中概率定義為，P(F1.36) = 0.19316圖示如下：圖7P(F23.44) = 0.00000因?yàn)镕值(1.36)落在原假設(shè)接受域，所 以原假設(shè)“上海股票價(jià)格綜合指數(shù)對(duì)深圳股票 價(jià)格綜合指數(shù)

44、不存在 Granger因果關(guān)系”被 接受。因?yàn)镕值（23.44）落在原假設(shè)拒絕域，所 以原假設(shè)“深圳股票價(jià)格綜合指數(shù)對(duì)上海股票 價(jià)格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被推 翻。附錄：格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)EViews操作方法是，打開(kāi)數(shù)劇組窗口，點(diǎn) View鍵，選Granger Causility。在打開(kāi)的對(duì)話(huà) 窗口中填上滯后期（上面的結(jié)果取滯后期為 10），點(diǎn)擊0K鍵。用滯后5, 10, 15, 20, 25期的檢驗(yàn)式分別檢 驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)下表：k=5k=10k=15k=20k=25H0 : SH does not Gran ger1.081.361.211.291.40接受HCause SZHo

45、 : SZ does not Gran ger43.923.415.912.610.3拒絕H0Cause SH結(jié)論都是上海股票價(jià)格綜合指數(shù)不是深圳 股票價(jià)格綜合指數(shù)變化的原因，但深圳股票價(jià) 格綜合指數(shù)是上海股票價(jià)格綜合指數(shù)變化的原 因。注意：（ 1）滯后期 k 的選取是任意的。 實(shí)質(zhì)上是一 個(gè)判斷性問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)要試檢驗(yàn)若干個(gè)不同 滯后期 k 的格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)，且結(jié)論相同 時(shí)，才可以最終下結(jié)論。（2）當(dāng)做 xt 是否為導(dǎo)致 yt 變化的格蘭杰原 因檢驗(yàn)時(shí)，如果 zt 也是 yt 變化的格蘭杰原因， 且 zt 又與 xt 相關(guān)，這時(shí)在 xt 是否為導(dǎo)致 yt 變化 的格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)式的右

46、端應(yīng)加入zt 的滯后項(xiàng)（實(shí)際上是 3 個(gè)變量 VAR 模型中的一個(gè) 方程）。（3）不存在協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)變量之間不能 進(jìn)行格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)。8.7 VAR 模型與協(xié)整如果 VAR 模型Yt =1 Yt-1 +2 Yt-1 + + kYt-k + ut,utIID （0, ）的內(nèi)生變量都含有單位根，那么可以用這些變 量的一階差分序列建立一個(gè)平穩(wěn)的 VAR 模型Yt=1*Yt-1 +2*Yt-2 +k*Yt-k + ut*然而，當(dāng)這些變量存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，采用 差分的方法構(gòu)造 VAR 模型雖然是平穩(wěn)的，但 不是最好的選擇。如果 Yt I(1) ，且非平穩(wěn)變量間存在協(xié)整 關(guān)系。那么由這些非平穩(wěn)變量組

47、成的線(xiàn)性組合 則是平穩(wěn)的。建立單純的差分 VAR 模型將丟 失重要的非均衡誤差信息。因?yàn)樽兞块g的協(xié)整 關(guān)系給出了變量間的長(zhǎng)期關(guān)系。同時(shí)用這種非 均衡誤差以及變量的差分變量同樣可以構(gòu)造平 穩(wěn)的 VAR 模型。從而得到一類(lèi)重要的模型， 這就是向量誤差修正模型。對(duì)于 k 階 VAR 模型，Yt =1 Yt-1 +2 Yt-2 + +k Yt-k + ut，其向量誤差修正模型 (VEC )的表達(dá)式是 k-I )Yt-1-(2+ 3+ k)Yt-1Yt=( 1+ 2+ +-(3 + k)k Yt - (k-1) +ut(8.45)ki 1 i - I =i1k+ k- Iij1j = 1, 2,k-1,

48、 ，Yt-2 -Yt=Yt-i + i Yt-i + 2 Yt-2 + + k-1 Yt - (k-1) + ut(8.47)稱(chēng)為壓縮矩陣(impact matrix ,影響矩 陣)。 是全部參數(shù)矩陣的和減一個(gè)單位陣。為多項(xiàng)式矩陣，其中每一個(gè)元素都是一個(gè)多 項(xiàng)式。運(yùn)算規(guī)則于一般矩陣相同。滯后期的延 長(zhǎng)不影響對(duì)協(xié)整向量個(gè)數(shù)的分析。根據(jù) Granger 定理，向量誤差修正模型( VEC )的表達(dá)式是A?(L) (i- L) Yt = Yt-i + d (L) ut(8.48)其中A?(L)是多項(xiàng)式矩陣A(L)分離出因子(1- L) 后降低一階的多項(xiàng)式矩陣，d (L)是由滯后算子 表示的多項(xiàng)式矩陣。

49、上式與 (8.47) 式完全相同。其中A?(L) (i- L) Yt = A?(L) Yt= Yt- 1 Yt-1 - 2 Yt-2 -k-1 Yt - (k-1) d(L) ut = ut在這里 d (L) 退化為單位列向量。若 Yt CI(1, 1)，比較 (8.47) 和 (8.48) 式 必然有其中 是協(xié)整矩陣， 是調(diào)整系數(shù)矩陣。 和 都是 N r 階矩陣。表示有 r 個(gè)協(xié)整向量， 1,2，r，存在r個(gè)協(xié)整關(guān)系。因?yàn)閅t 1(1), 所以 Yt I(0) 。從 VAR 模型變換為模型向量誤差修正模 型 稱(chēng) 為 協(xié) 整 變 換 ( cointegrating transformation

50、 )。壓縮矩陣 決定模型 VAR 模型中是否存在，以及以什么規(guī)模存在 協(xié)整關(guān) 系。若 Yt CI(1, 1) ， Yt I(0) ，所以除了 Yt-1 ， 模型中各項(xiàng)都是平穩(wěn)的。 而對(duì)于 Yt-1 有如下三 種可能。1 )當(dāng) Yt 的分量不存在協(xié)整關(guān)系， 的特 征根為零， = 0。2) 若 rank ( ) = N (滿(mǎn)秩)，保證Yt-1 平穩(wěn)的唯一一種可能是 Yt I(0) 。3) 當(dāng)Yt 1(1)，若保證Yt-i平穩(wěn)，只有 一種可能，即 Yt 的分量 存在協(xié)整關(guān)系 。Yt I(0)rank ( ) =r N, 可以分解= 和 都是 N r 階矩陣。 其中 是協(xié)整矩陣，是調(diào)整系數(shù)矩陣。表示有

51、 r 個(gè)協(xié)整向量，2,r，存在個(gè)協(xié)整關(guān)系。假定 Yt I(1) 具有一般性。 如果某個(gè)變量 的單整階數(shù)高于 1，可通過(guò)差分取其相應(yīng)單整 階數(shù)為 1 的序列加入模型。上式也可以加入位 移項(xiàng)與趨勢(shì)項(xiàng)。若 = 成立，且存在 r 個(gè)協(xié)整關(guān)系，則 Yt-1 的一般表達(dá)式是Yt-1 =Yt-1y1,t 1111r111Ny2,t 1212rN1Nr Nr1 rrN r NyN,t 1 N 1111r11 y1,t 1. 1NyN,t 1212rr1y1,t 1. rNyN,t 1 r 1N1NrNrr111 (11 y1,t 1 .1N yN,t 1)1r (r1y1,t 1 .rN yN,t 1)N1(

52、11 y1,t 1 .1N yN,t 1)Nr (r1 y1,t 1 .rN yN,t 1) N 18.8 單位根與降秩的關(guān)系。下面分析 VAR 模型中存在單位根與壓縮 矩陣 降秩的關(guān)系。以 k = 1 的 VAR 模型為例，Yt = 1 Yt-1 + ut （8.56）它的 VEC 表達(dá)式是Yt= Yt-1 + ut。如果 VAR 模型中存在單位根， 一定降秩 。8.9 VAR 模型中協(xié)整向量的估計(jì)與檢驗(yàn)8.9.1 VAR 模型中協(xié)整向量的估計(jì) （略 ）8.9.2 VAR 模型中協(xié)整向量的檢驗(yàn)檢驗(yàn)存在 r 個(gè)協(xié)整向量 （存在 r 個(gè)協(xié)整關(guān)系 ）， 即（N -r）個(gè)非協(xié)整向量，或者（N -r）個(gè)單 位根，可以表達(dá)為特征方程 | - I | = 0 相應(yīng)（ N -r ）個(gè)特征值，r+1,n，為零。幾個(gè)等價(jià)檢驗(yàn) :1）存在r個(gè)協(xié)整關(guān)系也特征方程|- I | = 0存在 r 個(gè)非零特征值 （根 ）2）存在r個(gè)協(xié)整關(guān)系幻VA