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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 邊緣檢測(cè) 邊緣(edge)是指圖像局部強(qiáng)度變化最顯著的部分邊緣主要存在于目標(biāo)與目標(biāo)、目標(biāo)與背景、區(qū)域與區(qū)域(包括不同色彩)之間,是圖像分割、紋理特征和形狀特征等圖像分析的重要基礎(chǔ)圖像分析和理解的第一步常常是邊緣檢測(cè)(edge detection)由于邊緣檢測(cè)十分重要,因此成為機(jī)器視覺(jué)研究領(lǐng)域最活躍的課題之一本章主要討論邊緣檢測(cè)和定位的基本概念,并使用幾種常用的邊緣檢測(cè)器來(lái)說(shuō)明邊緣檢測(cè)的基本問(wèn)題圖像中的邊緣通常與圖像強(qiáng)度或圖像強(qiáng)度的一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性有關(guān)圖像強(qiáng)度的不連續(xù)可分為:(1) 階躍不連續(xù),即圖像強(qiáng)度在不連續(xù)處的兩邊的像素灰度值有著顯著的差異;(2) 線條
2、不連續(xù),即圖像強(qiáng)度突然從一個(gè)值變化到另一個(gè)值,保持一個(gè)較小的行程后又返回到原來(lái)的值在實(shí)際中,階躍和線條邊緣圖像是很少見(jiàn)的,由于大多數(shù)傳感元件具有低頻特性,使得階躍邊緣變成斜坡型邊緣,線條邊緣變成屋頂形邊緣,其中的強(qiáng)度變化不是瞬間的,而是跨越一定的距離,這些邊緣如圖61所示 (a) (b)圖61 兩種常見(jiàn)的邊緣,(a) 階躍函數(shù),(b) 線條函數(shù)其中第一排為理想信號(hào),第二排對(duì)應(yīng)實(shí)際信號(hào)對(duì)一個(gè)邊緣來(lái)說(shuō),有可能同時(shí)具有階躍和線條邊緣特性例如在一個(gè)表面上,由一個(gè)平面變化到法線方向不同的另一個(gè)平面就會(huì)產(chǎn)生階躍邊緣;如果這一表面具有鏡面反射特性且兩平面形成的棱角比較圓滑,則當(dāng)棱角圓滑表面的法線經(jīng)過(guò)鏡面反射
3、角時(shí),由于鏡面反射分量,在棱角圓滑表面上會(huì)產(chǎn)生明亮光條,這樣的邊緣看起來(lái)象在階躍邊緣上疊加了一個(gè)線條邊緣由于邊緣可能與場(chǎng)景中物體的重要特征對(duì)應(yīng),所以它是很重要的圖像特征。比如,一個(gè)物體的輪廓通常產(chǎn)生階躍邊緣,因?yàn)槲矬w的圖像強(qiáng)度不同于背景的圖像強(qiáng)度在討論邊緣算子之前,首先給出一些術(shù)語(yǔ)的定義: 邊緣點(diǎn):圖像中具有坐標(biāo)且處在強(qiáng)度顯著變化的位置上的點(diǎn) 邊緣段:對(duì)應(yīng)于邊緣點(diǎn)坐標(biāo)及其方位,邊緣的方位可能是梯度角 邊緣檢測(cè)器:從圖像中抽取邊緣(邊緣點(diǎn)和邊緣段)集合的算法 輪廓:邊緣列表,或是一條表示邊緣列表的擬合曲線邊緣連接:從無(wú)序邊緣表形成有序邊緣表的過(guò)程習(xí)慣上邊緣的表示采用順時(shí)針?lè)较騺?lái)排序 邊緣跟蹤:一
4、個(gè)用來(lái)確定輪廊的圖像(指濾波后的圖像)搜索過(guò)程 邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)可以是邊緣位置像素點(diǎn)的行、列整數(shù)標(biāo)號(hào),也可以在子像素分辨率水平上表示邊緣坐標(biāo)可以在原始圖像坐標(biāo)系上表示,但大多數(shù)情況下是在邊緣檢測(cè)濾波器的輸出圖像的坐標(biāo)系上表示,因?yàn)闉V波過(guò)程可能導(dǎo)致圖像坐標(biāo)平移或縮放邊緣段可以用像素點(diǎn)尺寸大小的小線段定義,或用具有方位屬性的一個(gè)點(diǎn)定義請(qǐng)注意,在實(shí)際中,邊緣點(diǎn)和邊緣段都被稱為邊緣 由邊緣檢測(cè)器生成的邊緣集可以分成兩個(gè)子集:真邊緣集和假邊緣集真邊緣集對(duì)應(yīng)場(chǎng)景中的邊緣,假邊緣集不是場(chǎng)景中的邊緣還有一個(gè)邊緣子集,即場(chǎng)景中漏檢的邊緣集假邊緣集稱之為假陽(yáng)性(false Positive),而漏掉的邊緣集則稱之為假
5、陰性(false Negative) 邊緣連接和邊緣跟蹤之間的區(qū)別在于:邊緣連接是把邊緣檢測(cè)器產(chǎn)生的無(wú)序邊緣集作為輸入,輸出一個(gè)有序邊緣集;邊緣跟蹤則是將一幅圖像作為輸入,輸出一個(gè)有序邊緣集另外,邊緣檢測(cè)使用局部信息來(lái)決定邊緣,而邊緣跟蹤使用整個(gè)圖像信息來(lái)決定一個(gè)像素點(diǎn)是不是邊緣6.1 梯度 邊緣檢測(cè)是檢測(cè)圖像局部顯著變化的最基本運(yùn)算在一維情況下,階躍邊緣同圖像的一階導(dǎo)數(shù)局部峰值有關(guān)梯度是函數(shù)變化的一種度量,而一幅圖像可以看作是圖像強(qiáng)度連續(xù)函數(shù)的取樣點(diǎn)陣列因此,同一維情況類似,圖像灰度值的顯著變化可用梯度的離散逼近函數(shù)來(lái)檢測(cè)梯度是一階導(dǎo)數(shù)的二維等效式,定義為向量 (61) 有兩個(gè)重要的性質(zhì)與梯
6、度有關(guān):(1) 向量的方向就是函數(shù)增大時(shí)的最大變化率方向;(2) 梯度的幅值由下式給出: (62)在實(shí)際應(yīng)用中,通常用絕對(duì)值來(lái)近似梯度幅值: (63)或 (64)由向量分析可知,梯度的方向定義為 (65)其中角是相對(duì)軸的角度 注意梯度的幅值實(shí)際上與邊緣的方向無(wú)關(guān),這樣的算子稱為各向同性算子(isotropic operators) 對(duì)于數(shù)字圖像,方程61的導(dǎo)數(shù)可用差分來(lái)近似最簡(jiǎn)單的梯度近似表達(dá)式為 (66) 請(qǐng)注意對(duì)應(yīng)于軸方向,而對(duì)應(yīng)于負(fù)軸方向這些計(jì)算可用下面的簡(jiǎn)單卷積模板來(lái)完成 (67)在計(jì)算梯度時(shí),計(jì)算空間同一位置和處的真實(shí)偏導(dǎo)數(shù)是至關(guān)重要的然而采用上面公式計(jì)算的梯度近似值和并不位于同一位
7、置,實(shí)際上是內(nèi)插點(diǎn) 處的梯度近似值,是內(nèi)插點(diǎn)處的梯度近似值由于這個(gè)緣故,人們常常使用一階差分模板(而不用或 模板)來(lái)求和的偏導(dǎo)數(shù): (68) 用上式計(jì)算 和方向梯度的位置是相同的,這一點(diǎn)位于內(nèi)插點(diǎn) 處,即在鄰域的所有四個(gè)像素點(diǎn)之間不過(guò)這種計(jì)算可能會(huì)導(dǎo)致一些混淆,所以,通常用鄰域計(jì)算梯度值這一方法將在下一節(jié)討論62 邊緣檢測(cè)算法 邊緣檢測(cè)算法有如下四個(gè)步驟:濾波:邊緣檢測(cè)算法主要是基于圖像強(qiáng)度的一階和二階導(dǎo)數(shù),但導(dǎo)數(shù)的計(jì)算對(duì)噪聲很敏感,因此必須使用濾波器來(lái)改善與噪聲有關(guān)的邊緣檢測(cè)器的性能需要指出,大多數(shù)濾波器在降低噪聲的同時(shí)也導(dǎo)致了邊緣強(qiáng)度的損失,因此,增強(qiáng)邊緣和降低噪聲之間需要折衷增強(qiáng):增強(qiáng)邊
8、緣的基礎(chǔ)是確定圖像各點(diǎn)鄰域強(qiáng)度的變化值增強(qiáng)算法可以將鄰域(或局部)強(qiáng)度值有顯著變化的點(diǎn)突顯出來(lái)邊緣增強(qiáng)一般是通過(guò)計(jì)算梯度幅值來(lái)完成的檢測(cè):在圖像中有許多點(diǎn)的梯度幅值比較大,而這些點(diǎn)在特定的應(yīng)用領(lǐng)域中并不都是邊緣,所以應(yīng)該用某種方法來(lái)確定哪些點(diǎn)是邊緣點(diǎn)最簡(jiǎn)單的邊緣檢測(cè)判據(jù)是梯度幅值閾值判據(jù)定位:如果某一應(yīng)用場(chǎng)合要求確定邊緣位置,則邊緣的位置可在子像素分辨率上來(lái)估計(jì),邊緣的方位也可以被估計(jì)出來(lái) 在邊緣檢測(cè)算法中,前三個(gè)步驟用得十分普遍。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)場(chǎng)合下,僅僅需要邊緣檢測(cè)器指出邊緣出現(xiàn)在圖像某一像素點(diǎn)的附近,而沒(méi)有必要指出邊緣的精確位置或方向邊緣檢測(cè)誤差通常是指邊緣誤分類誤差,即把假邊緣判別成邊
9、緣而保留,而把真邊緣判別成假邊緣而去掉邊緣估計(jì)誤差是用概率統(tǒng)計(jì)模型來(lái)描述邊緣的位置和方向誤差的我們將邊緣檢測(cè)誤差和邊緣估計(jì)誤差區(qū)分開,是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)算方法完全不同,其誤差模型也完全不同最近的二十年里發(fā)展了許多邊緣檢測(cè)器,這里僅討論常用的幾種邊緣檢測(cè)器621 Roberts算子 Roberts交叉算子為梯度幅值計(jì)算提供了一種簡(jiǎn)單的近似方法: (69)用卷積模板,上式變成: (610)其中和由下面的模板計(jì)算: (611) 同前面的梯度算子一樣,差分值將在內(nèi)插點(diǎn)處計(jì)算Roberts算子是該點(diǎn)連續(xù)梯度的近似值,而不是所預(yù)期的點(diǎn)處的近似值Roberts邊緣檢測(cè)器的試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖6.3622 Sobel算子
10、 正如前面所講,采用鄰域可以避免在像素之間內(nèi)插點(diǎn)上計(jì)算梯度考慮一下圖62中所示的點(diǎn)周圍點(diǎn)的排列Sobel算子也是一種梯度幅值, (612)其中的偏導(dǎo)數(shù)用下式計(jì)算: (613) 其中常數(shù)和其他的梯度算子一樣,和可用卷積模板來(lái)實(shí)現(xiàn): (614)請(qǐng)注意這一算子把重點(diǎn)放在接近于模板中心的像素點(diǎn)圖6.3和圖6.4表明了這一算子的作用Sobel算子是邊緣檢測(cè)器中最常用的算子之一圖62 用于說(shuō)明Sobel算子和Prewitt算子的鄰域像素點(diǎn)標(biāo)記623 Prewitt算子 Prewitt算子與Sobel算子的方程完全一樣,只是常量c=1所以 (615)請(qǐng)注意,與Sobel算子不同,這一算子沒(méi)有把重點(diǎn)放在接近模
11、板中心的像素點(diǎn)這種邊緣檢測(cè)器的性能也示意在圖6.3和圖6.4中624 各種算法比較現(xiàn)在來(lái)比較一下上面討論過(guò)的邊緣檢測(cè)器我們將按照本節(jié)開頭所提出的濾波、增強(qiáng)和檢測(cè)這三個(gè)步驟,來(lái)比較各種方法第四步定位將不討論首先給出在忽略濾波步驟情況下Roberts、Sobel和Prewitt邊緣檢測(cè)方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果,如圖6.3所示對(duì)濾波后的圖象進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果見(jiàn)圖6.4,其中濾波器為前一章介紹的高斯濾波器,梯度幅值的計(jì)算見(jiàn)方程6.3比較圖6.3和圖6.4可以發(fā)現(xiàn),由于噪聲影響,一些假邊緣也被檢測(cè)出來(lái)了圖6.2用于邊緣檢測(cè)的測(cè)試圖像 (a)原始圖像 (b)7x7高斯濾波的圖像圖63 各種邊緣檢測(cè)器對(duì)未經(jīng)濾波的圖像(
12、a)進(jìn)行邊緣檢測(cè)的比較(c) Roberts交叉算子(d)Sobel算子(e) Prewitt算子圖64 各種邊緣檢測(cè)器對(duì)濾波后的圖像(圖6.3 (b))進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果(a) Roberts交叉算子(b)Sobel算子(c) Prewitt算子63 二階微分算子前面討論了計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測(cè)器,如果所求的一階導(dǎo)數(shù)高于某一閾值,則確定該點(diǎn)為邊緣點(diǎn)這樣做會(huì)導(dǎo)致檢測(cè)的邊緣點(diǎn)太多(注意一下圖63和圖64中閾值化后的粗線)一種更好的方法就是求梯度局部最大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn),并認(rèn)定它們是邊緣點(diǎn),如圖65所示在圖6.5中,若用閾值來(lái)進(jìn)行邊緣檢測(cè),則在a和b之間的所有點(diǎn)都被記為邊緣點(diǎn)但通過(guò)去除一階導(dǎo)數(shù)中的非局部
13、最大值,可以檢測(cè)出更精確的邊緣一階導(dǎo)數(shù)的局部最大值對(duì)應(yīng)著二階導(dǎo)數(shù)的零交點(diǎn)這意味著在邊緣點(diǎn)處有一階導(dǎo)數(shù)的峰值,同樣地,有二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)這樣,通過(guò)找圖像強(qiáng)度的二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)就能找到邊緣點(diǎn)在二維空間,對(duì)應(yīng)二階導(dǎo)數(shù)有兩種算子:拉普拉斯算子和二階方向?qū)?shù)圖65用閾值進(jìn)行邊緣檢測(cè)和用二階導(dǎo)數(shù)的零交點(diǎn)進(jìn)行邊緣檢測(cè)示意圖631 拉普拉斯算子平滑過(guò)的階躍邊緣二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)在邊緣點(diǎn)處過(guò)零的函數(shù)(見(jiàn)圖65)拉普拉斯算子是二階導(dǎo)數(shù)的二維等效式函數(shù)的拉普拉斯算子公式為 (616) 使用差分方程對(duì)和方向上的二階偏導(dǎo)數(shù)近似如下: (617) 這一近似式是以點(diǎn)為中心的用替換,得到 (618)它是以點(diǎn)為中心的二階偏導(dǎo)數(shù)
14、的理想近似式,類似地, (619)把這兩個(gè)式子合并為一個(gè)算子,就成為下面能用來(lái)近似拉普拉斯算子的模板: (620)有時(shí)希望鄰域中心點(diǎn)具有更大的權(quán)值,比如下面的模板就是一種基于這種思想的近似拉普拉斯算子: (621)當(dāng)拉普拉斯算子輸出出現(xiàn)過(guò)零點(diǎn)時(shí)就表明有邊緣存在,其中忽略無(wú)意義的過(guò)零點(diǎn)(均勻零區(qū))原則上,過(guò)零點(diǎn)的位置精度可以通過(guò)線性內(nèi)插方法精確到子像素分辨率,不過(guò)由于噪聲,結(jié)果可能不會(huì)很精確 考慮圖66中所給的例子圖中表明了對(duì)一幅具有簡(jiǎn)單階躍邊緣的圖像進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算的結(jié)果輸出圖像中的一行是: 0006-6000 在本例中,對(duì)應(yīng)于原始圖像邊緣的零交叉點(diǎn)位于兩個(gè)中心像素點(diǎn)之間因此,邊緣可以用其左邊
15、的像素或右邊的像素來(lái)標(biāo)記,但整幅圖像的標(biāo)記必須一致在多數(shù)情況下,零交叉點(diǎn)很少恰好在兩像素點(diǎn)中間,因此邊緣的實(shí)際位置要通過(guò)內(nèi)插值來(lái)確定一幅包含垂直階躍邊緣的圖像0 0 0 6 -6 0 0 00 0 0 6 -6 0 0 00 0 0 6 -6 0 0 00 0 0 6 -6 0 0 0圖66垂直方向的階躍邊緣拉普拉斯響應(yīng)現(xiàn)在考慮一下圖67所示的例子該圖給出了拉普拉斯算法對(duì)斜坡邊緣的響應(yīng),其中的一行輸出是00030-300 零交叉點(diǎn)直接對(duì)應(yīng)著圖像中的一個(gè)像素點(diǎn)再者,這是一種理想情況,邊緣的實(shí)際位置仍要通過(guò)內(nèi)插方法來(lái)確定一幅包含垂直斜坡邊緣的圖像0 0 0 3 0 -3 0 00 0 0 3 0
16、-3 0 00 0 0 3 0 -3 0 00 0 0 3 0 -3 0 0圖67垂直方向的斜坡邊緣拉普拉斯響應(yīng)632 二階方向?qū)?shù)已知圖像曲面,其(與y軸夾角)方向的方向?qū)?shù)在點(diǎn)的值為 (622)二階方向?qū)?shù)為,該算子由下式來(lái)實(shí)現(xiàn): (623)根據(jù)式(6.5),在梯度方向上的二階導(dǎo)數(shù)為 (624) 拉普拉斯的二階方向?qū)?shù)算子在機(jī)器視覺(jué)中并不常用,因?yàn)槿魏伟卸A導(dǎo)數(shù)的算子比只包含有一階導(dǎo)數(shù)的算子更易受噪聲的影響甚至一階導(dǎo)數(shù)很小的局部峰值也能導(dǎo)致二階導(dǎo)數(shù)過(guò)零點(diǎn)為了避免噪聲的影響,必須采用特別有效的濾波方法在下一節(jié),我們將討論高斯濾波與二階導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的邊緣檢測(cè)方法64 LoG算法 正如上面所提
17、到的,利用圖像強(qiáng)度二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)來(lái)求邊緣點(diǎn)的算法對(duì)噪聲十分敏感,所以,希望在邊緣增強(qiáng)前濾除噪聲為此,Marr和Hildreth146將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測(cè)結(jié)合在一起,形成LoG(Laplacian of Gaussian, LoG)算法,也稱之為拉普拉斯高斯算法LoG邊緣檢測(cè)器的基本特征是: 1 平滑濾波器是高斯濾波器 2 增強(qiáng)步驟采用二階導(dǎo)數(shù)(二維拉普拉斯函數(shù)) 3 邊緣檢測(cè)判據(jù)是二階導(dǎo)數(shù)零交叉點(diǎn)并對(duì)應(yīng)一階導(dǎo)數(shù)的較大峰值 4 使用線性內(nèi)插方法在子像素分辨率水平上估計(jì)邊緣的位置這種方法的特點(diǎn)是圖像首先與高斯濾波器進(jìn)行卷積(高斯濾波器在66節(jié)中將詳細(xì)討論),這一步既平滑了圖像又降低了噪
18、聲,孤立的噪聲點(diǎn)和較小的結(jié)構(gòu)組織將被濾除由于平滑會(huì)導(dǎo)致邊緣的延展,因此邊緣檢測(cè)器只考慮那些具有局部梯度最大值的點(diǎn)為邊緣點(diǎn)這一點(diǎn)可以用二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)拉普拉斯函數(shù)用作二維二階導(dǎo)數(shù)的近似,是因?yàn)樗且环N無(wú)方向算子為了避免檢測(cè)出非顯著邊緣,應(yīng)選擇一階導(dǎo)數(shù)大于某一閾值的零交叉點(diǎn)作為邊緣點(diǎn)LoG算子的輸出是通過(guò)卷積運(yùn)算得到的: (625)根據(jù)卷積求導(dǎo)法有 (626)其中: (627)稱之為墨西哥草帽算子(見(jiàn)圖68)這樣,下面兩種方法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的: 1 求圖像與高斯濾波器卷積,再求卷積的拉普拉斯變換 2 求高斯濾波器的拉普拉斯變換,再求與圖像的卷積圖68一維和二維高斯函數(shù)的拉普拉斯變換圖的翻轉(zhuǎn)
19、圖,其中=2 如果采用第一種方法,就可能用到54介紹的高斯平滑濾波器直接實(shí)現(xiàn)LoG算法的典型模板見(jiàn)圖69圖610給出了應(yīng)用LoG算子和零交叉點(diǎn)檢測(cè)的結(jié)果有關(guān)討論實(shí)現(xiàn)LoG算法的有效方法,請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)Huertas 1986濾波(通常是平滑)、增強(qiáng)、檢測(cè)這三個(gè)邊緣檢測(cè)步驟對(duì)使用LoG邊緣檢測(cè)仍然成立,其中平滑是用高斯濾波器來(lái)完成的;增強(qiáng)是將邊緣轉(zhuǎn)換成零交叉點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的;邊緣檢測(cè)則是通過(guò)檢測(cè)零交叉點(diǎn)來(lái)進(jìn)行的可以看到,零交叉點(diǎn)的斜率依賴于圖像強(qiáng)度在穿過(guò)邊緣時(shí)的變化對(duì)比度剩下的問(wèn)題是把那些由不同尺度算子檢測(cè)到的邊緣組合起來(lái)在上述方法中,邊緣是在特定的分辨下得到的為了從圖像中得到真正的邊緣,有必要把那些通過(guò)
20、不同尺度算子得到的信息組合起來(lái)圖69 拉普拉斯高斯模板 圖 610 拉普拉斯高斯邊緣檢測(cè)結(jié)果 這里介紹一下尺度空間概念高斯平滑運(yùn)算導(dǎo)致圖像中邊緣和其它尖銳不連續(xù)部分的模糊,其中模糊量取決于的值值越大,噪聲濾波效果越好,但同時(shí)也丟失了重要的邊緣信息,影響了邊緣檢測(cè)器的性能如果用小尺度的濾波器,又有可能平滑不完全而留有太多的的噪聲大尺度濾波器在平滑相互鄰近的兩個(gè)邊緣時(shí),可能會(huì)將它們連在一起,這樣只能檢測(cè)出一個(gè)邊緣因此,在不知道物體尺度和位置的情況下,很難準(zhǔn)確確定濾波器的尺度 使用多尺度濾波模板并在濾波器的不同尺度上分析邊緣特性的方法仍在研究中這些方法的基本思想是,通過(guò)使用大尺度濾波模板產(chǎn)生魯棒邊緣
21、和小尺度濾波模板產(chǎn)生精確定位邊緣的特性,來(lái)檢測(cè)出圖像的最價(jià)邊緣65 圖像逼近 一幅圖像是一個(gè)連續(xù)函數(shù)的采樣陣列有關(guān)圖像的大多數(shù)思想首先在連續(xù)域內(nèi)進(jìn)行討論,然后使用離散逼近法來(lái)計(jì)算所需要的性質(zhì)如果我們能從采樣圖像中估計(jì)連續(xù)函數(shù),那么我們就能從估計(jì)的函數(shù)中求得圖像性質(zhì),并且可以在子像素分辨率上計(jì)算邊緣的位置圖611為一幅數(shù)字圖像對(duì)應(yīng)的離散三維圖形表示,其中的縱坐標(biāo)表示像素灰度值設(shè)連續(xù)圖像函數(shù)為: (628) 現(xiàn)在的任務(wù)是從數(shù)字圖像的灰度值重構(gòu)連續(xù)函數(shù)對(duì)復(fù)雜的圖像來(lái)說(shuō),連續(xù)強(qiáng)度函數(shù)可能包含和的超階冪方,從而使得重構(gòu)原始函數(shù)十分困難,因此,我們將采用簡(jiǎn)單的分段函數(shù)來(lái)建立圖像的模型這樣,任務(wù)就變成了重構(gòu)
22、每一個(gè)分段解析函數(shù),或小面(Facets)。換言之,就是試圖找到在每一像素點(diǎn)的鄰域內(nèi)最能逼近該鄰域強(qiáng)度值的簡(jiǎn)單函數(shù),如圖612所示這種逼近叫小面模型(Facet model)Haralick 1984圖613給出了采用鄰域的小面模型坐標(biāo)系統(tǒng)連續(xù)圖像強(qiáng)度函數(shù)可以在每一個(gè)像素點(diǎn)上得到局部逼近對(duì)一幅的圖像,你能得到個(gè)逼近函數(shù),每一個(gè)函數(shù)僅對(duì)圖像中一個(gè)特定像素有效使用這些函數(shù)(而不是像素值)來(lái)確定邊緣位置圖611 連續(xù)圖像強(qiáng)度函數(shù)的圖形表示Jain 1995圖612 鄰域逼近函數(shù)示意圖圖613 用窗函數(shù)的小面模型坐標(biāo)系統(tǒng)例子注意像素點(diǎn)位于鄰域的中心 許多復(fù)雜解析函數(shù)可用來(lái)逼近圖像強(qiáng)度對(duì)于簡(jiǎn)單的圖像,分
23、段常量或分段雙變量線性函數(shù)是強(qiáng)度函數(shù)的較好逼近但對(duì)具有更復(fù)雜區(qū)域的圖像,要用到二次、三次甚至更高次冪的函數(shù)本例用下列三次多項(xiàng)式建立圖像鄰域模型: (629) 其中和是相對(duì)于要逼近的圖像平面中心點(diǎn)的坐標(biāo)現(xiàn)在的目標(biāo)是計(jì)算方程(629)中逼近函數(shù)的系數(shù)可用最小二乘法通過(guò)奇異值分解(Singular-Value Decomposition, SVD)來(lái)計(jì)算系數(shù),或者使用鄰域,用圖614中所示的模板來(lái)直接計(jì)算三次逼近函數(shù)的系數(shù)Haralick 1993 邊緣點(diǎn)出現(xiàn)在像素點(diǎn)鄰域逼近函數(shù)一階方向?qū)?shù)局部極值的位置,基于這一事實(shí)可以進(jìn)行邊緣檢測(cè)一階導(dǎo)數(shù)的局部極值的存在會(huì)在一階導(dǎo)數(shù)方向上產(chǎn)生二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)
24、在方向上的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式見(jiàn)(622)和(623) 由于圖像局部強(qiáng)度是由三次多項(xiàng)式來(lái)近似的,角可以被選作為逼近平面的方位角: (630)根據(jù)式(623)在點(diǎn)處方向上的二階方向?qū)?shù)為 (631) 由于只考慮方向角為的直線上的點(diǎn),則,將它們代入上式有 (632)如果對(duì)某一,有,則在圖像中點(diǎn)處存在邊緣點(diǎn)其中是像素邊長(zhǎng), (633)和 (634)換言之,如果邊緣位置落入像素點(diǎn)的邊界之內(nèi),則將此邊緣點(diǎn)標(biāo)記為邊緣點(diǎn)若點(diǎn)位于像素點(diǎn)的邊界之外,就不能標(biāo)記為邊緣點(diǎn)用小面模型邊緣檢測(cè)器獲得的邊緣運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)圖615圖614 計(jì)算三次方逼近函數(shù)系數(shù)的模板Haralick 1993 (a) (b)圖615 用
25、小面模型邊緣檢測(cè)器獲得的邊緣,其中(a)是原始灰度圖像Jain 199566 Canny 邊緣檢測(cè)器 檢測(cè)階躍邊緣的基本思想是在圖像中找出具有局部最大梯度幅值的像素點(diǎn)檢測(cè)階躍邊緣的大部分工作集中在尋找能夠用于實(shí)際圖像的梯度數(shù)字逼近由于實(shí)際的圖像經(jīng)過(guò)了攝像機(jī)光學(xué)系統(tǒng)和電路系統(tǒng)(帶寬限制)固有的低通濾波器的平滑,因此,圖像中的階躍邊緣不是十分陡立圖像也受到攝像機(jī)噪聲和場(chǎng)景中不希望的細(xì)節(jié)的干擾圖像梯度逼近必須滿足兩個(gè)要求:(1) 逼近必須能夠抑制噪聲效應(yīng),(2) 必須盡量精確地確定邊緣的位置抑制噪聲和邊緣精確定位是無(wú)法同時(shí)得到滿足的,也就是說(shuō),邊緣檢測(cè)算法通過(guò)圖像平滑算子去除了噪聲,但卻增加了邊緣定
26、位的不確定性;反過(guò)來(lái),若提高邊緣檢測(cè)算子對(duì)邊緣的敏感性,同時(shí)也提高了對(duì)噪聲的敏感性有一種線性算子可以在抗噪聲干擾和精確定位之間提供最佳折衷方案,它就是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),對(duì)應(yīng)于圖像的高斯函數(shù)平滑和梯度計(jì)算梯度的數(shù)值逼近可用61節(jié)中列出的和方向上的一階偏導(dǎo)的有限差分來(lái)表示高斯平滑和梯度逼近相結(jié)合的算子不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的這種算子在邊緣方向上是對(duì)稱的,在垂直邊緣的方向上是反對(duì)稱的(沿梯度方向)這也意味著該算子對(duì)最急劇變化方向上的邊緣特別敏感,但在沿邊緣這一方向上是不敏感的,其作用就象一個(gè)平滑算子 Canny邊緣檢測(cè)器是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),是對(duì)信噪比與定位之乘積的最優(yōu)化逼近算子Canny 1986我們將通
27、過(guò)下面的符號(hào)對(duì)Canny邊緣檢測(cè)器算法作一概括說(shuō)明用表示圖像使用可分離濾波方法求圖像與高斯平滑濾波器卷積,得到的結(jié)果是一個(gè)已平滑數(shù)據(jù)陣列 , (636)其中是高斯函數(shù)的散布參數(shù),它控制著平滑程度 已平滑數(shù)據(jù)陣列的梯度可以使用一階有限差分近似式(見(jiàn)61節(jié))來(lái)計(jì)算與偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)陣列與: (637)在這個(gè)正方形內(nèi)求有限差分的均值,以便在圖像中的同一點(diǎn)計(jì)算x和y的偏導(dǎo)數(shù)梯度幅值和方位角可用直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式來(lái)計(jì)算: (638) (639)其中,反正切函數(shù)包含了兩個(gè)參量,它表示一個(gè)角度,其取值范圍是整個(gè)圓周范圍內(nèi)為高效率地計(jì)算這些函數(shù),盡量不用浮點(diǎn)運(yùn)算梯度的幅度和方向也可以通過(guò)查找表由偏導(dǎo)數(shù)
28、計(jì)算反正切函數(shù)的大多數(shù)計(jì)算使用的是定點(diǎn)運(yùn)算,很少的幾個(gè)計(jì)算是基本浮點(diǎn)運(yùn)算,其中的浮點(diǎn)運(yùn)算是由整數(shù)和定點(diǎn)算術(shù)通過(guò)軟件實(shí)現(xiàn)的SedgewickSedgewick 1988給出了一種對(duì)大多數(shù)應(yīng)用都足夠好的梯度角近似算法 (1)非極大值抑制 幅值圖像陣列的值越大,其對(duì)應(yīng)的圖像梯度值也越大,但這還不足以確定邊緣,因?yàn)檫@里僅僅把圖像快速變化的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求幅值陣列的局部最大值問(wèn)題為確定邊緣,必須細(xì)化幅值圖像中的屋脊帶(Ridge),即只保留幅值局部變化最大的點(diǎn)這一過(guò)程叫非極大值抑制(Non-Maxima Suppression,NMS ),它會(huì)生成細(xì)化的邊緣 非極大值抑制通過(guò)抑制梯度線上所有非屋脊峰值的幅值
29、來(lái)細(xì)化中的梯度幅值屋脊這一算法首先將梯度角的變化范圍減小到圓周的四個(gè)扇區(qū)之一,如圖616所示, (640) 四個(gè)扇區(qū)的標(biāo)號(hào)為0到3,對(duì)應(yīng)著鄰域內(nèi)元素的四種可能組合,任何通過(guò)鄰域中心的點(diǎn)必通過(guò)其中一個(gè)扇區(qū)梯度線可能方向的圓周分區(qū)用度來(lái)標(biāo)記該算法使用一個(gè)鄰域作用于幅值陣列的所有點(diǎn)在每一點(diǎn)上,鄰域的中心像素與沿著梯度線的兩個(gè)元素進(jìn)行比較,其中梯度線是由鄰域的中心點(diǎn)處的扇區(qū)值給出的如果在鄰域中心點(diǎn)處的幅值不比沿梯度線方向上的兩個(gè)相鄰點(diǎn)幅值大,則賦值為零這一過(guò)程可以把寬屋脊帶細(xì)化成只有一個(gè)像素點(diǎn)寬在非極大值抑制過(guò)程中,保留了屋脊的高度值 設(shè) (641)表示非極大值抑制過(guò)程中的非零值對(duì)應(yīng)著圖像強(qiáng)度階躍變化
30、處的對(duì)比度盡管在邊緣檢測(cè)的第一步對(duì)圖像進(jìn)行了平滑,但非極大值抑制幅值圖像仍會(huì)包含許多由噪聲和細(xì)紋理引起的假邊緣段實(shí)際中,假邊緣段的對(duì)比度一般是很小的圖616用于非最大值抑制的可能梯度方向劃分示意圖 (2)閾值化 減少假邊緣段數(shù)量的典型方法是對(duì)使用一個(gè)閾值,將低于閾值的所有值賦零值對(duì)非極大值抑制幅值進(jìn)行閾值化的結(jié)果是一個(gè)圖像的邊緣陣列閾值化后得到的邊緣陣列仍然有假邊緣存在,原因是閾值太低(假正確)以及陰影的存在,使得邊緣對(duì)比度減弱,或閾值取得太高而導(dǎo)致部分輪廊丟失(假錯(cuò)誤)選擇合適的閾值是困難的,需要經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)一種更有效的閾值方案是選用兩個(gè)閾值 雙閾值算法對(duì)非極大值抑制圖像作用雙閾值和,且,得
31、到兩個(gè)閾值邊緣圖像和由于圖像是用高閾值得到的,因此它含有很少的假邊緣,但可能在輪廓上有間斷(太多的假錯(cuò)誤)雙閾值法要在中把邊緣連接成輪廊,當(dāng)?shù)竭_(dá)輪廊的端點(diǎn)時(shí),該算法就在的8-鄰點(diǎn)位置尋找可以連接到輪廊上的邊緣,這樣,算法將不斷地在中收集邊緣,直到將中所有的間隙連接起來(lái)為止這一算法是閾值化的副產(chǎn)物,并解決了閾值選擇的一些問(wèn)題Canny邊緣檢測(cè)算法列于算法61中本節(jié)所提出的邊緣檢測(cè)算法的試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖617在計(jì)算梯度之前,首先用高斯濾波器平滑圖像(圖6.17(b))和高斯濾波器平滑圖像(圖6.17(d))對(duì)較小尺度濾波器,非極大值抑制梯度幅值算法可以在邊緣處檢測(cè)出極其細(xì)膩的細(xì)節(jié),但噪聲和細(xì)紋理會(huì)導(dǎo)致
32、過(guò)量的不希望的邊緣段對(duì)大尺度濾波器,只產(chǎn)生很少數(shù)量的不希望的邊緣段,但丟失了邊緣的大部分細(xì)節(jié)這表明邊緣定位和抗噪聲之間需要一種折衷算法61 Canny 邊緣檢測(cè)1. 用高斯濾波器平滑圖像2. 用一階偏導(dǎo)的有限差分來(lái)計(jì)算梯度的幅值和方向3. 對(duì)梯度幅值應(yīng)用非極大值抑制 4. 用雙閾值算法檢測(cè)和連接邊緣(d) (e)圖617高斯平滑濾波器作用于測(cè)試圖像的邊緣檢測(cè)結(jié)果(a)原始圖像,(b) 經(jīng)過(guò)高斯濾波器平滑、梯度逼近和非極大值抑制后的灰度圖像 (c) 一幅用黑點(diǎn)表示圖(b)中大于零的點(diǎn)(d) 經(jīng)過(guò)高斯濾波器平滑、梯度逼近和非極大值抑制后的灰度圖像. (e)一 幅用黑點(diǎn)表示圖(b)中大于零的點(diǎn)67
33、子像素級(jí)位置估計(jì) 在許多應(yīng)用中,邊緣位置的估計(jì)精度高于像素點(diǎn)間距(子像素分辨率)是很有必要的用于梯度邊緣檢測(cè)算法和用于二階邊緣檢測(cè)算法的子像素分辨率精度實(shí)現(xiàn)方法是完全不同的,應(yīng)該分開考慮 首先,考慮一下二階邊緣檢測(cè)器的輸出,比如,用LoG邊緣檢測(cè)器邊緣由像素點(diǎn)之間的零交叉點(diǎn)給出原則上,邊緣位置可通過(guò)線性內(nèi)插方法達(dá)到子像素級(jí)精度在實(shí)際中,二階邊緣檢測(cè)輸出的噪聲太大,以至于無(wú)法使用簡(jiǎn)單的內(nèi)插方法得到精確的結(jié)果,即使是高斯預(yù)平滑函數(shù),也無(wú)濟(jì)于事 使用基于梯度方法檢測(cè)邊緣之后,在邊緣位置上獲取子像素分辨率精度是很實(shí)際的,也是有效的把高斯平滑濾波器和一階導(dǎo)數(shù)作用于一個(gè)理想的階躍邊緣得到的結(jié)果與高斯濾波器
34、平滑結(jié)果形狀完全一樣如果階躍邊緣不是理想的,而是由一個(gè)平面漸變到另一個(gè)平面,那么高斯平滑和一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果可以用一個(gè)較寬的高斯濾波器逼近 考慮一組服從正態(tài)分布的測(cè)量值正態(tài)分布曲線的中心對(duì)應(yīng)著正態(tài)分布的均值,因此可以通過(guò)求這組測(cè)量值的均值來(lái)估計(jì)正態(tài)分布中心現(xiàn)在假設(shè)可得到的信息是這些測(cè)量值直方圖而不是這些測(cè)量值本身正態(tài)分布的均值估計(jì)可通過(guò)直方圖每一個(gè)方條中心位置乘以該方條所包含的像素點(diǎn)數(shù),再除以直方圖面積求得同樣的方法,邊緣位置子像素級(jí)分辨率精度估計(jì)可通過(guò)求高斯邊緣檢測(cè)器輸出圖像的均值來(lái)實(shí)現(xiàn)為計(jì)算邊緣位置到子像素分辨率水平,在邊緣的任意一個(gè)邊沿梯度方向上取高斯邊緣檢測(cè)器輸出(不進(jìn)行非極大值抑制)的幅
35、度,直到梯度幅度低于某一閾值用梯度幅度作為權(quán)值來(lái)計(jì)算沿梯度方向的位置加權(quán)值沿梯度方向的邊緣位置子像素級(jí)校正用下式給出: (642)其中,是一個(gè)像素點(diǎn)沿梯度方向與檢測(cè)到的邊緣點(diǎn)的距離,是梯度幅度 一種更簡(jiǎn)單的算法是通過(guò)計(jì)算高斯邊緣檢測(cè)器的梯度幅度一階矩來(lái)實(shí)現(xiàn)邊緣位置精度到子像素級(jí)分辨率水平,其中是相對(duì)于已經(jīng)檢測(cè)到的邊緣像素把這一校正值加到原像素點(diǎn)坐標(biāo)上就能得到更精確的邊緣位置 沿梯度幅度圖方向計(jì)算均值的算法,雖然復(fù)雜些,但具有以下優(yōu)點(diǎn):可用統(tǒng)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)該梯度圖與理想梯度圖的比較,而比較的結(jié)果還能作為邊緣檢測(cè)判據(jù)如果梯度幅度圖不是十分接近高斯函數(shù)曲線形狀,則邊緣就不對(duì)應(yīng)理想的階躍邊緣模型在這種情況
36、下,就不可能用本節(jié)提出的方法精確估計(jì)邊緣位置68 邊緣檢測(cè)器性能 Abdou和PattAbdou 1979、DeMicheli等人DeMicheli 1989已經(jīng)給出了評(píng)價(jià)邊緣檢測(cè)器性能的測(cè)度公式在評(píng)價(jià)邊緣檢測(cè)器性能時(shí)應(yīng)該考慮的判據(jù)包括:1. 假邊緣概率,2. 丟失邊緣概率,3. 邊緣角估計(jì)誤差,4. 邊緣估計(jì)值到真邊緣的距離平方均值,5. 扭曲邊緣和其它諸如角點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的誤差范圍 前兩條判據(jù)涉及邊緣檢測(cè)器算法的性能中間兩條判據(jù)涉及邊緣定位、方位估計(jì)算法的性能最后一條判據(jù)關(guān)心的是邊緣算法偏離理想模型的誤差范圍681性能評(píng)價(jià)方法 邊緣檢測(cè)器的性能評(píng)價(jià)可分為兩個(gè)階段:計(jì)算假邊緣與丟失邊緣的數(shù)目;測(cè)量
37、用于估計(jì)位置和方位的誤差(或誤差分布)為了測(cè)試性能,可以選擇一幅合成圖像,并已知真實(shí)的邊緣位于一個(gè)輪廓上,該輪廓可由簡(jiǎn)單曲線的數(shù)學(xué)公式來(lái)建模,比如一個(gè)實(shí)心矩形,它的輪廓邊緣可用線段建模,或兩個(gè)實(shí)心矩形,它們的間隙是已知的通過(guò)把邊緣檢測(cè)器的結(jié)果與原始(合成)圖像比較,得出真、假、丟失邊緣的數(shù)目,這件事做起來(lái)要比想象的難多了邊緣檢測(cè)的結(jié)果隨閾值、濾波器尺度、邊緣相互影響和其它因素的變化而變化如果將一個(gè)邊緣檢測(cè)器作用在一幅沒(méi)有加性噪聲、也不平滑且邊緣之間互不相連的測(cè)試圖像上,那么就可以得到一個(gè)完善的邊緣集(沒(méi)有假邊緣和丟失邊緣)這種集合可以作為用于比較的標(biāo)準(zhǔn)集現(xiàn)在考慮一組邊緣,該組邊緣是從具有加性噪
38、聲圖像或其它導(dǎo)致產(chǎn)生假邊緣的扭曲圖像中獲取的在歐基里德距離判據(jù)的基礎(chǔ)上,將圖像中的邊緣和標(biāo)準(zhǔn)集中的邊緣一對(duì)一地進(jìn)行匹配離標(biāo)準(zhǔn)集中邊緣太遠(yuǎn)的邊緣是假邊緣,與標(biāo)準(zhǔn)集中某一邊緣非常接近的邊緣是真邊緣經(jīng)過(guò)這一步驟,標(biāo)準(zhǔn)集中沒(méi)有與之相匹配的邊緣是在試驗(yàn)條件下丟失的邊緣測(cè)試邊緣檢測(cè)器的上述步驟僅僅根據(jù)邊緣存在與否來(lái)評(píng)價(jià)其性能,沒(méi)有說(shuō)明邊緣定位和方位估計(jì)的精度標(biāo)準(zhǔn)集中的正確邊緣(前面所計(jì)算的)與原始試驗(yàn)圖像中邊緣的位置和方位進(jìn)行比較,需要測(cè)試模型是可得到的對(duì)實(shí)心矩形來(lái)說(shuō),線段模型構(gòu)成了它的各個(gè)邊邊緣位置和方位必須用場(chǎng)景輪廓的數(shù)學(xué)模型來(lái)比較邊緣位置能與沿輪廓的任意點(diǎn)相對(duì)應(yīng),但與輪廓上最近的點(diǎn)才是對(duì)應(yīng)點(diǎn)邊緣點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離是可以計(jì)算的對(duì)一個(gè)線段,用64節(jié)中的公式從錯(cuò)誤定位直方圖中估計(jì)錯(cuò)誤分布,或列表計(jì)算樣本方差(其中的n為邊緣點(diǎn)數(shù))來(lái)估算偏差通過(guò)比較邊緣段最近點(diǎn)的方位和場(chǎng)景輪廓標(biāo)準(zhǔn)曲線方位來(lái)計(jì)算方位誤差682品質(zhì)因數(shù) 判斷邊緣檢測(cè)器性能的方法是先看邊緣圖像,再評(píng)價(jià)其性能 但這并不能給出性能的客觀指標(biāo)為定量地評(píng)價(jià)不同邊緣檢測(cè)器的性能,應(yīng)該建立在可控條件下判斷相關(guān)性的指標(biāo)下面看一下
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