2.1冪級數(shù)展開ppt課件

1、11115 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計算一、近似計算二、歐拉公式二、歐拉公式復(fù)數(shù)項級數(shù)、絕對收斂復(fù)變量指數(shù)函數(shù)歐拉公式、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、歐拉公式的其它形式復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一、近似計算一、近似計算 例 1 計算5240的近似值，要求誤差不超過 00001 解 因為5240532435/14)311 (3，所以在二項展開式中取 m51，x431，即得 524012382431! 3594131! 254131511 (3 )其誤差(也叫做截斷誤差)為 |r 2|1641238231! 451494131! 3594131! 2541(3 ) 282)811(

2、8111 31! 25413 穄于是取近似式為 5240)31511 (34， 524012382431! 3594131! 254131511 (3 )其誤差(也叫做截斷誤差)為 |r 2|1641238231! 451494131! 3594131! 2541(3 ) 282)811(8111 31! 25413 穄于是取近似式為 5240)31511 (34， 811113125684027251200001為了使“四舍五入引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過104，計算時應(yīng)取五位小數(shù)，然后四舍五入因此最后得52402.9926二、歐拉公式二、歐拉公式 設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù)(u1 +

3、 iv1 )+ (u2 + iv2 )+ +(un + ivn )+ 其中un ，vn （n=1，2，3，）為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)如果實部所成的級數(shù)u1 + u2 + + un + 收斂于和u，并且虛部所成的級數(shù)v1 + v2 + + vn + 收斂于和v，就說復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂且和為u+iv復(fù)數(shù)項級數(shù)： 絕對收斂： 如果級1n(un + ivn )的各項的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)1n(un + ivn )絕對收斂復(fù)變量指數(shù)函數(shù)： 考察復(fù)數(shù)項級數(shù)1 z ! 21z 2 !1nz n 此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的，在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex ，在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)，記為ez 即 ez

4、 1 z ! 21z 2 !1nz n 歐拉公式： 當(dāng)x = 0時，z = i y ，于是 eiy 1 iy ! 21(iy)2 !1n(iy)n =1 iy ! 21y2 i! 31y3 ! 41y4 i! 51y 5 =(1! 21y2 +! 41y4 )+ i (y i! 31y3 + i! 51y5 ) = cos y + isin y把y定成x得e ix=cos x+ i sin x，這就是歐拉公式歐拉公式：e ix=cos x+ i sin x 復(fù)數(shù)z可以表示為 z = r(cosq + i sinq) = r e i q ，其中r = | z |是z的模，q = arg z 是z的輻角復(fù)數(shù)的指數(shù)形式： yxOr yxqz = x + iy 由e ix=cos x+ i sin x及eix=cos xi sin x，得歐拉公式的其它形式：cos x =21(ei q+ ei q )及 sin x =i 21( ei qei q )這兩個式子