兩個隨機變量的函數的分布ppt課件

1、 3.5 3.5 兩個隨機變量的函數的分布兩個隨機變量的函數的分布一、問題的引入一、問題的引入 二、離散型隨機變量函數的分布二、離散型隨機變量函數的分布 三、延續(xù)型隨機變量函數的分布三、延續(xù)型隨機變量函數的分布 四、小結四、小結 分別表示一個人的分別表示一個人的和和令令YX為理處理類似的問題下面為理處理類似的問題下面 一、問題的引入一、問題的引入.的的分分布布布布確確定定 Z),(,YXgZYX 的函數關系的函數關系,年年齡齡和和體體重重,有一大群人有一大群人與與并且已知并且已知 Z,表表示示該該人人的的血血壓壓Z的分的分如何通過如何通過YX,我們討論隨機變量函數的分布我們討論隨機變量函數的分

2、布. . 二、離散型隨機變量函數的分布二、離散型隨機變量函數的分布 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為若若二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量,ijjipyYxXP 的的分分布布律律為為則則隨隨機機變變量量函函數數),( YXgZ kzZP )( jikyxgzijp, 2 , 1, ji),(kzYXgP ., 2 , 1 k 三、延續(xù)型隨機變量函數的分布三、延續(xù)型隨機變量函數的分布 ，是是二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量設設),(YX).,(yxf密度密度它具有概率它具有概率仍為連續(xù)型隨機變量，仍為連續(xù)型隨機變量，則則YXZ 其其概率密度為概率密度為 ,d),()( yyyzfzfYX)1

3、. 5(或或 .d),()(xxzxfzfYX )2 . 5(的分布的分布一一YXZ )(相互獨立，相互獨立，和和又若又若YX的邊緣的邊緣關于關于設設YXYX,),(),(),(yfxfYX密密度度分分別別為為分別化為分別化為則則)2 . 5(),1 . 5(,d)()()( yyfyzfzfYXYX和和 .d)()()(xxzfxfzfYXYX )3 . 5()4 . 5(,的的卷卷積積公公式式和和這這兩兩個個公公式式稱稱為為YXff,YXff 記記為為即即 YXff yyfyzfYXd)()( .d)()(xxzfxfYX )(zFZzZP ,dd),(yxyxfzyx :G這這里里積積分

4、分區(qū)區(qū)域域是是zyx 半平面半平面. 將二重積分化成累次積分將二重積分化成累次積分, 及其左下方的及其左下方的直線直線zyx xyOzyx .dd),(yxyxfyz 得得 )(zFZ證證 ),(zFYXZZ的的分分布布函函數數先先來來求求 即有即有作作變變量量變變換換，對對積積分分和和固固定定 yzxyxfyzd),(令令, yux 得得 zyzuyyufxyxfd),(d),(于是于是yuyyufzdd),( )(zFZ .dd),(uyyyufz .)1 . 5(式式由概率密度的定義即得由概率密度的定義即得.)2 . 5(式式類類似似可可證證得得例例1 1 .變量變量是兩個相互獨立的隨機

5、是兩個相互獨立的隨機和和設設YX他們都服他們都服,)1 , 0(分布分布從從其概率密度為其概率密度為 ,e21)(22xXxf ,e21)(22yYyf , y, x.的概率密度的概率密度求求YXZ 解解 由由(5.4)式式,d)()()(xxzfxfzfYXZ xxzxdee212)(222 ,dee212242xzxz ,2zxt 令令得得 )(zfZtzdee2122t -4 42e21z .e2142z .)2 , 0(分分布布服服從從即即NZ闡明闡明 有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合),(,211NXYX相相互互獨獨立立且且設設Y).,(2

6、22N仍仍然然服服式式經經過過計計算算知知由由YXZ )4 . 5().,(222121NZ 且且有有普通普通, 從正態(tài)分布從正態(tài)分布, 依然服從正態(tài)分布依然服從正態(tài)分布. .解解 的的概概率率密密度度為為R.d)()()( xxzfxfzfR例例2 2 在一簡單電路中在一簡單電路中, 串聯(lián)連接，串聯(lián)連接，和和兩電阻兩電阻21RR,21相互獨立相互獨立設設RR它們的概率密度均為它們的概率密度均為 )(xf,100,5010 xx., 0其其他他. .的概率密度的概率密度求電阻求電阻21RRR 由由(5.4)式式,易知僅當易知僅當 ,100 x,100 xz,100 x,10zxz 即即時上述積

7、分的被積函數不等于零時上述積分的被積函數不等于零. 參考以下圖參考以下圖, 即得即得zxOzx 10 zx10 x1020)(zfR zzxxzfxf0,100,d)()( 1010,2010,d)()(zzxxzfxf., 0其其他他 的表達式代入上式得的表達式代入上式得將將)(xf)(zfR., 0其他其他 ,100),60600(15000132 zzzz,2010,)20(1500013 zz例例3 3 ),( Y,相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量YX且分別服從參數且分別服從參數分布分布的的為為 ,;,),( X 分分布布分分別別記記成成的概率密度分別為的概率密度分別為YX,)(x

8、fX, 0, 0 , 0,e)(11 xxx ., 0其其他他 )(yfY. 0, 0 ,分分布布的的服服從從參參數數為為試試證證明明 YXZ).,( YX即即證證 的概率密度為的概率密度為式式由由YXZ )4 . 5( xxzfxfzfYXZd)()()(易知僅當易知僅當 , 0,e)(11 yyy ., 0其其他他 亦即亦即 時上述積分的被積函數不等于零時上述積分的被積函數不等于零, 于是于是(參見以下圖參見以下圖), 0)(0 zfzZ時時知當知當時有時有而當而當0 z, 0 x, 0 xz, 0 x, zx zxO)(zfZxxzxxzxzde)()(1e)(1)(110 xxzxzz

9、d)()()(e101 )(ztx 令令 tttzzd)1()()(e11011 ,e1 zAz 記成記成其中其中 tttAd)1()()(11101 .A現(xiàn)在來計算現(xiàn)在來計算由概率密度的性質得到由概率密度的性質得到: )5 . 5(zeAzzd01 1zzfZd)( )(d)(01 zezAz ),( A .)(1 A即有即有 于是于是)(zfZ).,( YX即即 , 0,e)(11 zzz ., 0其其他他 )6 . 5(分布分布個相互獨立的個相互獨立的上述結論還能推廣到上述結論還能推廣到 n.變量之和的情況變量之和的情況,21相相互互獨獨立立即即若若nXXX.,1分分布布的的服服從從參參

10、數數為為 nii且且,), 2 , 1(,分布分布的的服從參數為服從參數為 niXii niiX1則則分分布布這這一一性性質質稱稱為為 的可加性的可加性. ，是是二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量設設),(YX).,(yxf密密度度它具有概率它具有概率仍為連續(xù)型隨機變仍為連續(xù)型隨機變則則XYZXYZ ,其概率密度分別為其概率密度分別為 量量, ,d),()( xxzxfxzfXY.d),(1)(xxzxfxzfXY 的分布的分布的分布、的分布、二二XYZXYZ )(.相互獨立相互獨立和和如果如果YX的邊緣的邊緣關于關于設設YXYX,),(),(),(yfxfYX密密度度分分別別為為則則.d)

11、()()(xxzfxfxzfYXXY .d)()(1)( xxzfxfxzfYXXY證證 的分布函數為的分布函數為XYZ )(zFXY)7 . 5()8 . 5( 0,dd),(xzxyxyyxfyxyxfGGdd),(21 0,dd),(xzxyxyyxf zXYP )(zFXY xyyxfzxdd),(0 xyyxfzxdd),(0 xyOzyx 1G2GxyO1G2Gzxy 0 zxuy 令令 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),()(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),( uxxuxfxzdd),( .d)()()(

12、xxzfxfxzfYXXY .d)()(1)( xxzfxfxzfYXXY所以所以 類似可得類似可得 例例4 4 某公司提供一種地震保險某公司提供一種地震保險, 度為度為 )(yf , 0,e255 yyy, 0其其他他的概率密度為的概率密度為保險賠付保險賠付X)(xg , 0,e515 xx, 0其其他他的概率密的概率密保險費保險費Y.的概率密度的概率密度求求XYZ ,相互獨立相互獨立設設YX解解 由由(5.7)式知式知,. 0)( zfZ時，時，當當0 z時，時，當當0 z的的概概率率密密度度為為Z)(zfZxxxzxde25xze51550 xxzzxde1255102 35)1( )3

13、(125zz .)1(23zz ).()(yFxFYX和和分分布布函函數數分分別別為為,變量變量是兩個相互獨立的隨機是兩個相互獨立的隨機設設YX它們的它們的,min,maxYXNYXM 及及現(xiàn)求現(xiàn)求都都不不和和等等價價于于不不大大于于由由于于YXzYXM,max , z大于大于故有故有 zMP ,zYzXP 的分布的分布及及三三,min,max)(YXNYXM ,相互獨立相互獨立又由于又由于YX的的得得到到,maxYXM 分布函數為分布函數為 .的的分分布布函函數數.zYPzXP )(maxzFzMP ,zYzXP 即有即有 ).()()(maxzFzFzFYX 類似地類似地, 的分布函數為的

14、分布函數為可得可得,minYXN )(minzF1zNP ,1zYzXP zNP .1zYPzXP 即即 ).(1)(11)(minzFzFzFYX 的的及及,min,max2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(nixFiXi 它們的分布函數分別為它們的分布函數分別為,21個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量是是設設nXXXn那么那么分布函數分別為分布函數分別為 推行推行 )(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 分分布布相相互互獨獨立立且且具具有有相相同同的的當當nXXX,21,)()(maxnzFzF

15、.)(11)(minnzFzF 時有時有函數函數)(xF例例5 5 連連統(tǒng)統(tǒng)由由兩兩個個相相互互獨獨立立的的子子系系設設系系統(tǒng)統(tǒng)21, LLL接而成接而成, 銜接的方式分別為銜接的方式分別為 ,(i)串聯(lián)串聯(lián),(ii)并并聯(lián)聯(lián)(iii),(21開始工作開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時當系統(tǒng)當系統(tǒng)備用備用LL如圖如圖所示所示.,21YXLL、的壽命分別為的壽命分別為、設設知它們的概率密度知它們的概率密度XY1L2LXY2L1LXY2L1L分別為分別為 , 0,e xx , 0, 0 x)(xfX , 0, 0 y)(yfY, 0,e yy.0, 0 且且其其中中試分別就以上三種銜接試分別就以上三種銜

16、接.的的概概率率密密度度的的壽壽命命方方式式寫寫出出ZL解解 串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況(i)就停止就停止系統(tǒng)系統(tǒng) L,21中有一個損壞時中有一個損壞時由于當由于當LL的壽命為的壽命為所以這時所以這時 L任務任務, .,minYXZ 的的分分布布函函數數分分布布為為YX, , 0, 0 x)(xFX, 0,e1 xx , 0, 0 y)(yFY, 0,e1 yy的的分分布布函函數數為為,minYXZ )(minzF, 0,e1)( zz. 0, 0 z 的概率密度為的概率密度為,minYXZ )(minzf, 0,e )()( zz. 0, 0 z的壽命為的壽命為所以這時所以這時 L.,maxYXZ

17、 并聯(lián)的情況并聯(lián)的情況(ii),21都損壞時都損壞時由于當且僅當由于當且僅當LL任務任務, 才停止才停止系統(tǒng)系統(tǒng) L)(maxzF)()(zFzFYX , 0),e1)(e1( zzz. 0, 0 z的的概概率率密密度度為為,maxYXZ )(maxzf, 0,e )(ee)( zzzz. 0, 0 z 才開始才開始系統(tǒng)系統(tǒng)2L備用的情況備用的情況(iii),1損損壞壞時時由由于于這這時時當當系系統(tǒng)統(tǒng) L之之和和：是是的的壽壽命命因因此此整整個個系系統(tǒng)統(tǒng)21,LLZL任務任務, YXZ 的概率密度為的概率密度為時時當當YXZz 0)(zf zyzy0)(deeyyfyzfYXd)()( zyyzy0)(dee .ee zz ,0時時當當 z的的概概率率密密度度為為于于是是YXZ , 0)( zf )(zf, 0,ee zzz. 0, 0 z四、