常微分方程3.1可降階的高階微分方程

1、第三章 二階及高階微分方程3.1 可降階的高階方程可降階的高階方程3.3 線性齊次常系數(shù)方程線性齊次常系數(shù)方程3.4 線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法3.5 高階微分方程的應用高階微分方程的應用3.2 線性微分方程的基本理論線性微分方程的基本理論 前一章介紹了一些一階微分方程的解法前一章介紹了一些一階微分方程的解法, ,在實際的應用中，還會遇到高階的微分方程，在實際的應用中，還會遇到高階的微分方程，在這一章，我們討論二階及二階以上的微分方程在這一章，我們討論二階及二階以上的微分方程,即高階微分方程的求解方法和理論即高階微分方程的求解方法和理論. .3.1 可降階

2、的高階方程可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是階微分方程的一般形式是: : ()( ,)0nFt x xx當當2n時時,統(tǒng)稱為高階微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程.一一 、 可降階的高階方程可降階的高階方程1、不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)x的方程的方程( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(3.1.2)(3.1.2) 不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)x x 或不顯含未知函數(shù)及其或不顯含未知函數(shù)及其 直到直到) 1( 1kk階導數(shù)的方程是階導數(shù)的方程是對上式進行對上式進行k 次積分次積分, ,可求出方程可求出方程(3.1.2)(3.1.2)的解的解. .求解方法求解方法: : 若能求得其通解

3、為若能求得其通解為: :令令 yxk)(就可把就可把(3.1.2)(3.1.2)化為關于化為關于 y的的 kn階方程階方程: : 0),()(knyytF即即),(21)(knkccctx),(21kncccty( )(1)( )( ,)0kknF t xxx(3.1.2)(3.1.2) 5例例 求解方程求解方程.cos3xyxe 解解將將方程積分三次方程積分三次,xey331 xey391 xey3271 通解：通解：xsin 1C xcos xC1 2C xsin 21xC xC2 3C 它是一個一階方程它是一個一階方程, ,通解是通解是: :44d xydt10dyydtt則方程可化為則

4、方程可化為: :ctdtxd44即即cty 解解: : 令令545410d xd xdtt dt例、求解方程例、求解方程積分四次積分四次, ,得原方程的通解為得原方程的通解為: : 54233251ctctctctcx74, 100 xxyy例例 解方程解方程 , py 解解 令令,py 代入原方程代入原方程, ，3213xpxp ，xxxppd13d32 ，13ln)1ln(lnCxp ，)1(31xCp 40 xy，)1(43xy 3213xyxy ，41 C，244Cxxy 10 xy. 144 xxy，12 C，)1(31xCy 2 、不顯含自變量、不顯含自變量t t 的方程的方程求解

5、方法求解方法: : 方程的一般形式為方程的一般形式為: :yx作為新未知函數(shù)作為新未知函數(shù), ,用用而把而把x作為作為 新的自變量新的自變量, , 因為因為, ydtdx,22dxdyydtdxdxdydtdydtxd(3.1.3)(3.1.3)0),()(nxxxF222233)()()(dxydydxdyydtdxdxdxdyyddtdxdyyddtxd由數(shù)學歸納法知由數(shù)學歸納法知, , )(kx可用可用 )(,11nkdxyddxdyykk來表達來表達, ,將這些表達式代入將這些表達式代入 (3.1.3)(3.1.3) 可得可得 0) ,)(,(2222dxdydxdyydxdyyyxF

6、y(3.1.3)(3.1.3)0),()(nxxxF, ydtdx即有新方程即有新方程: : 它比原來的方程降低了一階它比原來的方程降低了一階. . 11( , ,)0nndydyG x ydxdx10.212的通解的通解求方程求方程yyy 解解,ddyppy 則則, py 設設代入原方程代入原方程例例yppddyp212 可分離變量方程可分離變量方程，yCp121 ，11 yCp，1dd1 yCxyxyCyd1d1 21112CxyCC 20dyxyydx1yc x所以所以2220d xdxxdtdt例例 求解方程求解方程從而可得從而可得0y dydxyx及及于是原方程化為于是原方程化為:

7、:作為新未知變量作為新未知變量, ,取取, ydtdx12c txc e代入原變量得代入原變量得: :xcdtdx1故原方程的解為故原方程的解為: :3 3、 全微分方程和積分因子全微分方程和積分因子若方程若方程( , ,)0nndxd xF t xdtdt，的左端是某個的左端是某個n-1n-1階微分表達式階微分表達式11( , ,)nndxdxt xdtdt，對對t t 的全導數(shù)，即的全導數(shù)，即 11( , ,)( , ,)nnnndxd xddxdxF t xt xdtdtdtdtdt，稱稱(3.1.4)(3.1.4)為全微分方程，顯然有為全微分方程，顯然有 (3.1.4)(3.1.4)1

8、11( , ,)nndxdxt xcdtdt，(3.1.5)(3.1.5)若求得（若求得（3.1.53.1.5）的全部解）的全部解: : 則它也一定是則它也一定是(3.1.4)(3.1.4)的解的解. .),(11nndtxddtdxxt后就成為全微分方程后就成為全微分方程. . 稱其為方程稱其為方程(3.1.4)(3.1.4)的積分的積分本身不是全微分方程本身不是全微分方程,有時方程有時方程(3.1.4)(3.1.4)積分因子積分因子: :但乘以一個合適的因子但乘以一個合適的因子因子因子. .),(21nccctx( , ,)0nndxd xF t xdtdt，(3.1.4)(3.1.4)1

9、11( , ,)nndxdxt xcdtdt，(3.1.5)(3.1.5)例例 求解方程求解方程解：原方程可以寫成解：原方程可以寫成222()0d xdxxdtdt()0d xxdt即即1xdxc dt212xc tc積分后得通解為積分后得通解為故有故有1cxx例例 求解方程求解方程解解: : 方程兩邊乘以因子方程兩邊乘以因子(0)x 方程化為方程化為: : 22221( .)11()0dxdd xdxx dtx dtxdtdt故有故有 11 dxcx dt222()0d xdxxdtdt解得解得 122(0)c txc ec故原方程的解為故原方程的解為 12c txc e21x顯然顯然0 x

10、 也是原方程的解也是原方程的解. .1602 yyy微分方程微分方程滿足條件滿足條件, 10 xy210 xy的特解是的特解是1 xy或或12 xy解解0)(dd x故故有有yy 1Cyy 可分離變量方程可分離變量方程, 10 xy由由210 xy211 C即即21 yy2222Cxy 10 xy由由212 C12 xy17012 yy求微分方程求微分方程的的積分曲線積分曲線,使該使該積分曲線過點積分曲線過點,21, 0 且在該點的切線斜率為且在該點的切線斜率為2.解解方程方程012 yy,ddyppy 則則, py 設設代入方程代入方程,得得1dd2 yppy1212Cyp 01 Cyxy2

11、dd 223232Cxy 2322132 C所求積分曲線為所求積分曲線為232321223 xy18 思考題思考題處處上上點點過過曲曲線線對對)(,()(, 0 xfxxfyx xttfxy0,d)(1軸上的截距等于軸上的截距等于的切線在的切線在.)(的的一一般般表表達達式式求求xf解解)()(xXxfxfY , 0 X令令軸軸上上的的截截距距得得切切線線在在y)()(xfxxfY xttfx0d)(1)()(d)(0 xfxxfxttfx 積分方程積分方程過過曲線曲線 y = f (x)上點上點( x, f (x)處的切線方程為處的切線方程為19處處上上點點過過曲曲線線對對)(,()(, 0

12、 xfxxfyx .)(的一般表達式的一般表達式求求xf積分方程積分方程兩邊對兩邊對x求導求導, 即即0)()( xfxfx型型可可降降階階的的方方程程屬屬于于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式,得得0)()( xpxpx可分離變量方程可分離變量方程可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 xttfxy0,d)(1軸上的截距等于軸上的截距等于的切線在的切線在)()(d)(0 xfxxfxttfx 2021ln)(CxCxf 0)()( xpxpx可分離變量方程可分離變量方程分離變量并積分分離變量并積分xxppd1d1 得得xCCxp11lnlnlnln

13、 ,1xCp 即即,)(1xCxf 即即再積分再積分,得得 ,dd)(1xxCxxf即為所求即為所求.可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程4 、可降階的高階方程的應用舉例可降階的高階方程的應用舉例例、例、 追線問題追線問題速度速度v v 運動，方向永遠指向運動，方向永遠指向P P點點, , 求求M M點的運動點的運動在在軸上有一點軸上有一點P P以以常速度常速度a a沿著沿著軸軸xOxO平面上另有一點平面上另有一點M,M,它以常它以常正向移動正向移動; ;在在xoy 軌跡軌跡. .解解: : 首先我們建立點首先我們建立點M M運動時所滿足的微分運動時所滿足的微分方程模型方程模型. .),(

14、yxM),(000yxM0PPOyxXaa以以( , )x y記點記點M M在時刻在時刻t t 的坐標，的坐標，以以X記點記點P P在時刻在時刻t t的橫坐標，的橫坐標，表示表示P P點在點在t=0t=0的橫坐的橫坐標標,0X圖圖3.13.1),(yxM),(000yxM0PPOyxXaa根據(jù)條件有根據(jù)條件有: : （3.1.73.1.7）222()()dxdyvdtdt（3.1.63.1.6）atXX0（3.1.83.1.8）xXydxdy把（把（3.1.63.1.6）代入（）代入（3.1.83.1.8），并記），并記dyydx上式兩邊關于上式兩邊關于作為自變量，作為自變量，把把xx求導得求

15、導得得得: :yyatxX0由（由（3.1.93.1.9）和（）和（3.1.103.1.10）得到）得到M M的追線方程的追線方程 dtdxdxdydtdy又由又由得得: :211yvdxdt（3.1.103.1.10）221ayyyvy（3.1.113.1.11）221dtyyyadxy （3.1.93.1.9）即即2yayydxdt 例例、懸鏈線問題懸鏈線問題有一繩索懸掛在有一繩索懸掛在A A和和B B兩點兩點( (不一定是在同一水平線不一定是在同一水平線),如圖如圖3.23.2所示所示. .設繩索是均勻的設繩索是均勻的, ,柔柔軟的軟的,僅受繩本身的重量作用僅受繩本身的重量作用, ,它彎

16、曲如圖中的它彎曲如圖中的形狀形狀,試確定該繩索在平衡狀態(tài)時的形狀試確定該繩索在平衡狀態(tài)時的形狀. .解解: : 設設C C是其最低點是其最低點, ,選取坐標系選取坐標系xOy如圖中所示如圖中所示, ,且且y軸通過軸通過C C點點. .A AB BC CO O),(yxPxy圖圖3.23.2A AB BC CO O),(yxPxy圖圖3.23.2考慮繩索在最低點考慮繩索在最低點C C與點與點),(yxP之間的一段之間的一段, ,這一段在下面三個力的作用下平衡這一段在下面三個力的作用下平衡: :(1)(1)在點在點P P的張力的張力T,T,方向沿著方向沿著P P點的切線方向點的切線方向; ;(2)

17、(2)在點在點C C的水平張力的水平張力H;H;(3)CP(3)CP段的垂直的重量段的垂直的重量, ,記為記為)(xW, ,設它作用設它作用在某一點在某一點Q Q處處, ,不一定是不一定是CPCP的中心的中心, ,見圖見圖3.3,3.3,T TQ QC CH H),(yxP)(xW圖圖3.33.3現(xiàn)將張力分解為兩個分力：現(xiàn)將張力分解為兩個分力：cosT，垂直方向分力為，垂直方向分力為sinT水平方向分力為水平方向分力為按平衡關系有：按平衡關系有：HTxWTcos),(sin兩式相除，并利用關系式兩式相除，并利用關系式dxdytan得：得：HxWdxdy)(T TQ QC CH H),(yxP)

18、(xW圖圖3.33.3由于平衡關系由于平衡關系, ,這些力在這些力在x軸軸( (水平水平) )方向的代數(shù)和為方向的代數(shù)和為0,y在在軸軸( (垂直垂直) )方向的代數(shù)和也必須為方向的代數(shù)和也必須為0.0.是在最低點處的張力，是常數(shù)，是在最低點處的張力，是常數(shù)，)(xW但但 依賴于依賴于 ,x將上式兩邊對將上式兩邊對x微分得微分得wdSdW則有則有其中表示從點算起的弧長，其中表示從點算起的弧長，dxdWHdxyd122（3.1.13.1.1）HxWdxdy)(其中其中dxdW表示在水平方向上，表示在水平方向上，x每增加單位距離時，每增加單位距離時，段弧所增加的重量段弧所增加的重量為為w設繩索的密

19、度設繩索的密度T TQ QC CH H),(yxP)(xW圖圖3.33.3wdSdxdxdWdSdW或或dxdSwdxdW又由于又由于2)(1dxdydxdS故故2)(1dxdywdxdW從而方程從而方程（3.1.163.1.16）化為：化為：222)(1dxdyHwdxyd（3.1.13.1.1）dxdWHdxyd122（3.1.13.1.1）0)0(,)0(yby目前的跳遠世界記錄是目前的跳遠世界記錄是Mike Mike powellpowell在在19911991年創(chuàng)造的，成績是年創(chuàng)造的，成績是8.95m.8.95m.但我們最感興趣的是但我們最感興趣的是Bob Bob BeamonBea

20、mon在在19681968年于墨西哥城奧運會上創(chuàng)造的年于墨西哥城奧運會上創(chuàng)造的當時世界記錄，成績是當時世界記錄，成績是8.90m8.90m這個成績超過以前這個成績超過以前記錄記錄55cm.55cm.有人認為部分原因是由于墨西哥城空氣有人認為部分原因是由于墨西哥城空氣的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m2600m）稀薄的）稀薄的空氣對跳遠者意味著有較小的空氣阻力試建立微空氣對跳遠者意味著有較小的空氣阻力試建立微分方程模型來論述這種解釋是否合理分方程模型來論述這種解釋是否合理例例 Bob Beamon的跳遠記錄的跳遠記錄30解解例例 設位于坐標原點的甲艦向位于設位

21、于坐標原點的甲艦向位于x軸上點軸上點 A(1,0)處的乙艦發(fā)射制導導彈處的乙艦發(fā)射制導導彈, 如果乙艦以最大的速度乙艦以最大的速度v0(v0是是常數(shù)常數(shù))沿平行于沿平行于y軸的軸的目標的跟蹤問題目標的跟蹤問題 導彈頭始終對準乙艦導彈頭始終對準乙艦.直線行駛直線行駛,導彈的速度是導彈的速度是5v0,又問乙艦行駛多遠時又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中它將被導彈擊中?)(xyy )0 , 1(A ),(yxP), 1(0tvQ 設導彈的軌跡曲線為設導彈的軌跡曲線為),(xyy 并設經(jīng)過時間并設經(jīng)過時間 t , 導彈位于點導彈位于點P (x, y),乙艦位于點乙艦位于點 Q(1, v0t) 由于導彈

22、頭始終對準乙艦由于導彈頭始終對準乙艦,直線直線PQ就是導彈的軌跡曲線弧就是導彈的軌跡曲線弧OP在點在點P處的切線處的切線,求導彈運行的曲線方程求導彈運行的曲線方程.,10 xytvy Oyx31Oyx)(xyy )0 , 1(A ),(yxP), 1(0tvQ ,10 xytvy 即即.)1(0yyxtv 如果乙艦以最大的速度如果乙艦以最大的速度v0(v0是是常數(shù)常數(shù))沿平行于沿平行于y軸軸的直線行駛的直線行駛,導彈的速度是導彈的速度是5v0, 弧弧OP的長度為的長度為| AQ |的的5倍倍, 即即.5d1002tvxyx (1)(2) 由由(1)式與式與(2)消去消去 v0t 就得就得.d151)1(02xyyyxx