《符號計算 》ppt課件

1、MATLAB MATLAB 實用教程實用教程第第3章章MATLAB符號計算符號計算UsingSymbolicMathToolbox3.1符號表達式的建立符號表達式的建立3.2符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算3.3符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換3.4符號極限、微積分和級數(shù)求和符號極限、微積分和級數(shù)求和3.5符號積分變換符號積分變換3.6符號方程的求解符號方程的求解MATLAB MATLAB 實用教程實用教程MATLAB具有符號數(shù)學工具箱具有符號數(shù)學工具箱(SymbolicMathToolbox)。符號計算是可以對未賦值的符號對象符號計算是可以對未賦值的符號對象(可以可以是常

2、數(shù)、變量、表達式是常數(shù)、變量、表達式)進展運算和處置。進展運算和處置。與數(shù)值運算的區(qū)別與數(shù)值運算的區(qū)別:數(shù)值運算中必需先對變量賦值，然后數(shù)值運算中必需先對變量賦值，然后才干參與運算。才干參與運算。符號運算無須事先對獨立變量賦值，符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以規(guī)范的符號方式表達。運算結(jié)果以規(guī)范的符號方式表達。MATLAB MATLAB 實用教程實用教程符號運算的功能符號運算的功能符號線性代數(shù)符號線性代數(shù)(linearalgebra)因式分解、展開和簡化因式分解、展開和簡化(simplificationandsubstitution)符號代數(shù)方程求解符號代數(shù)方程求解(solvingeq

3、uations)符號微積分符號微積分(Calculus)符號微分方程符號微分方程MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.1符號表達式的建立符號表達式的建立3.1.1創(chuàng)建符號常量創(chuàng)建符號常量符號常量是不含變量的符號表達式。符號常量是不含變量的符號表達式。sym(常量常量) %創(chuàng)建符號常量創(chuàng)建符號常量sym(常量常量,參數(shù)參數(shù))%按某種格式轉(zhuǎn)換為符號常量按某種格式轉(zhuǎn)換為符號常量闡明：參數(shù)可以選擇為闡明：參數(shù)可以選擇為d、f、e或或r四種格四種格式，也可省略。式，也可省略。EX:a=sym(sin(2)a=sym(sin(2),r)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.1.2創(chuàng)建符

4、號變量和表達式創(chuàng)建符號變量和表達式(CreatingSymbolicVariablesandExpression)1. 1. 運用運用symsym命令創(chuàng)建符號變量和表達式命令創(chuàng)建符號變量和表達式sym(sym(變量變量, ,參數(shù)參數(shù)) %) %把變量定義為符號對象把變量定義為符號對象2.2.運用運用symssyms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式syms(syms(arg1arg1, , arg2arg2, , ,參數(shù)參數(shù)) ) syms arg1 arg2 ,syms arg1 arg2 ,參數(shù)參數(shù)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程例如：例如：f1=sym(

5、a*x2+b*x+c)%創(chuàng)建表達式創(chuàng)建表達式symsabcx%創(chuàng)建變量創(chuàng)建變量f2=a*x2+b*x+c %創(chuàng)建表達式創(chuàng)建表達式syms(a,b,c,x)f3=a*x2+b*x+c符號表達式中的參數(shù)一定要用符號表達式中的參數(shù)一定要用單引號括單引號括起來。起來。MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.1.3符號矩陣符號矩陣例如，運用例如，運用sym命令創(chuàng)建的符號矩陣：命令創(chuàng)建的符號矩陣：A=sym(a,b;c,d)例如，運用例如，運用syms命令創(chuàng)建一樣的符號矩陣：命令創(chuàng)建一樣的符號矩陣：symsabcdA=ab;cd比較符號矩陣與字符串矩陣比較符號矩陣與字符串矩陣：B=a,b;c,d%

6、創(chuàng)建字符串矩陣創(chuàng)建字符串矩陣C=a,b;c,d%創(chuàng)建數(shù)值矩陣創(chuàng)建數(shù)值矩陣?Undefinedfunctionorvariablea.MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.2符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算3.2.1符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算由于由于MATLABMATLAB采用了重載技術(shù)，使得符號表達采用了重載技術(shù)，使得符號表達式的運算符和根本函數(shù)都與數(shù)值計算中的幾乎式的運算符和根本函數(shù)都與數(shù)值計算中的幾乎完全一樣完全一樣 。例如：例如： A+2 A+2 A. A. det(A) det(A) A2 A2 例如：例如：f=sym(2*x2+3*x+4)g=sym(

7、5*x+6)f+gf*gMATLAB MATLAB 實用教程實用教程1.符號運算中的運算符符號運算中的運算符根本運算符根本運算符運算符運算符“，“，“*，“，“/，“分別分別實現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。實現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。運算符運算符“.*，“./，“.，“.分別實現(xiàn)符號數(shù)組分別實現(xiàn)符號數(shù)組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。運算符運算符“，“.分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉(zhuǎn)置、非分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉(zhuǎn)置、非共軛轉(zhuǎn)置。共軛轉(zhuǎn)置。(2)關(guān)系運算符關(guān)系運算符運算符運算符“=、“=分別對運算符兩邊的符號對象分

8、別對運算符兩邊的符號對象進展進展“相等、相等、“不等的比較。不等的比較。MATLAB MATLAB 實用教程實用教程2.函數(shù)運算函數(shù)運算三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)(2)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)(3)復數(shù)函數(shù)復數(shù)函數(shù)(4)矩陣代數(shù)命令矩陣代數(shù)命令MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.2.2符號數(shù)值恣意精度控制和運算符號數(shù)值恣意精度控制和運算在在Symbolic Math ToolboxSymbolic Math Toolbox中有三種不同的算術(shù)運中有三種不同的算術(shù)運算：算：數(shù)值型：數(shù)值型：MATLABMATLAB的浮點運算。的浮點運算。有理數(shù)型：有理數(shù)型：MapleMap

9、le的準確符號運算。的準確符號運算。VPAVPA型：型：MapleMaple的恣意精度運算。的恣意精度運算。恣意精度的恣意精度的VPAVPA型運算可以運用型運算可以運用digitsdigits和和vpavpa命令來命令來實現(xiàn)。實現(xiàn)。digits(n)digits(n)% %設(shè)定默許的精度設(shè)定默許的精度S=vpa(s,n) %S=vpa(s,n) %將將s s表示為表示為n n位有效位數(shù)的符號對象位有效位數(shù)的符號對象MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.2.3符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣函數(shù)調(diào)用格式：函數(shù)調(diào)用格式：sy

10、m(A)EX:A=1/3,2.5;1/0.7,2/5sym(A)將符號矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣將符號矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣函數(shù)調(diào)用格式：函數(shù)調(diào)用格式：numeric(A)EX:a=sym(2/3)b=numeric(a)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.3符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換3.3.1符號表達式中自在變量確實定符號表達式中自在變量確實定符號表達式符號表達式“f=ax2+bx+cf=ax2+bx+c 中只需一個變量是獨立變量：中只需一個變量是獨立變量： 小寫字母小寫字母i i和和j j不能作為自在變量。不能作為自在變量。符號表達式中假設(shè)有多個符號變量，那么按照以下順序

11、選擇自符號表達式中假設(shè)有多個符號變量，那么按照以下順序選擇自在變量：首先選擇在變量：首先選擇x x作為自在變量；假設(shè)沒有作為自在變量；假設(shè)沒有x x，那么選擇在字，那么選擇在字母順序中最接近母順序中最接近x x的字符變量；假設(shè)與的字符變量；假設(shè)與x x一樣間隔，那么在一樣間隔，那么在x x后面后面的優(yōu)先。的優(yōu)先。大寫字母比一切的小寫字母都靠后。大寫字母比一切的小寫字母都靠后。也可以用也可以用findsymfindsym函數(shù)來自動確定。函數(shù)來自動確定。 自在變量確實定原那么自在變量確實定原那么The Default Symbolic The Default Symbolic Variables)

12、 Variables) MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.3.2符號表達式的化簡符號表達式的化簡Simplificate)同一個多項式的符號表達式可以表示成三種同一個多項式的符號表達式可以表示成三種方式：方式：多項式方式的表達方式：多項式方式的表達方式：f(x)=x3+6x2+11x-6 f(x)=x3+6x2+11x-6 因式方式表達方式：因式方式表達方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 嵌套方式的表達方式：嵌套方式的表達方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6 f(x)=x(x(x-6)+11)-6 prettypret

13、ty：給出排版方式的輸出結(jié)果：給出排版方式的輸出結(jié)果 。collectcollect：將表達式寫成多項式方式：將表達式寫成多項式方式. . 3 2 x - 6 x + 11 x - 6x3-6*x2+11*x-6MATLAB MATLAB 實用教程實用教程horner：將多項式方式寫成嵌套方式：將多項式方式寫成嵌套方式factor：將表達式寫成因式方式：將表達式寫成因式方式expand：將表達式寫成多項式方式：將表達式寫成多項式方式simplify：對表達式進展化簡：對表達式進展化簡例如：例如：k=sym(cos(x)2-sin(x)2)simplify(k)simple：尋求表達式的多種簡化

14、方式，使之包含：尋求表達式的多種簡化方式，使之包含最少數(shù)目的字符最少數(shù)目的字符-6+(11+(6+x)*x)*x2*cos(x)2-1(x-1)*(x-2)*(x-3)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.3.3符號表達式的交換符號表達式的交換Substitutions)subssubs函數(shù)：對符號表達式中符號變量的交換。函數(shù)：對符號表達式中符號變量的交換。subs(s)%subs(s)%用給定值交換符號表達式用給定值交換符號表達式s s中的一切變量中的一切變量subs(s,new)%subs(s,new)%用用newnew交換符號表達式交換符號表達式s s中的自在變量中的自在變量s

15、ubs(s,old,new) %subs(s,old,new) %用用newnew交換符號表達式交換符號表達式s s中的中的oldold變量變量例：例： f=sym(x3-6 f=sym(x3-6* *x2+11x2+11* *x-6)x-6) x=5 x=5 subs(f) subs(f)subs(f,5)subs(f,5)subs(f,subs(f,x x,5),5)可以用來計算多項式的值，以及化簡。可以用來計算多項式的值，以及化簡。MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.3.4 3.3.4 求反函數(shù)和復合函數(shù)求反函數(shù)和復合函數(shù)1. 1. 求反函數(shù)求反函數(shù)對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)f

16、(x)，存在另一個函數(shù)，存在另一個函數(shù)g(.)g(.)使得使得g(f(x)g(f(x)x x成立，那么函數(shù)成立，那么函數(shù)g(.)g(.)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)f(x)的反函數(shù)。的反函數(shù)。g=finverse(f,v) g=finverse(f,v) % %對指定自變量對指定自變量v v的函數(shù)的函數(shù)f(v)f(v)求反函數(shù)求反函數(shù)2. 2. 求復合函數(shù)求復合函數(shù)運用函數(shù)運用函數(shù)composecompose可以求符號函數(shù)可以求符號函數(shù)f(x)f(x)和和g(y)g(y)的復的復合函數(shù)。合函數(shù)。compose(f,g,z)%compose(f,g,z)%求求f(x)f(x)和和g(y)g(y)的復

17、合函數(shù)的復合函數(shù)f(g(z)f(g(z)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.3.5符號表達式的轉(zhuǎn)換符號表達式的轉(zhuǎn)換1. 1. 符號表達式與多項式的轉(zhuǎn)換符號表達式與多項式的轉(zhuǎn)換構(gòu)成多項式的符號表達式構(gòu)成多項式的符號表達式f(x)f(x)可以與多項式系數(shù)可以與多項式系數(shù)構(gòu)成的行向量進展相互轉(zhuǎn)換，構(gòu)成的行向量進展相互轉(zhuǎn)換，MATLABMATLAB提供了函數(shù)提供了函數(shù)sym2polysym2poly和和poly2sympoly2sym實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換。實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換。2. 2. 提取分子和分母提取分子和分母假設(shè)符號表達式是一個有理分式假設(shè)符號表達式是一個有理分式( (兩個多項式之兩個多項式之比比

18、) )，可以利用，可以利用numdennumden函數(shù)來提取分子或分母，還可函數(shù)來提取分子或分母，還可以進展通分。以進展通分。n,d=numden(f)n,d=numden(f)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程EX:提取分子和分母系數(shù)。提取分子和分母系數(shù)。f=sym(1+2*s)/(s2+2*s+1)pretty(f)1+2s-2s+2s+1n,d=numden(f)n1=sym2poly(n)d1=sym2poly(d)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.4 3.4 符號極限、微積分和級數(shù)求和符號極限、微積分和級數(shù)求和3.4.13.4.1符號極限符號極限LimitsL

19、imits【例【例3.143.14】分別求】分別求1/x1/x在在0 0處從兩邊趨近、從左邊處從兩邊趨近、從左邊趨近和從右邊趨近的三個極限值。趨近和從右邊趨近的三個極限值。 f=sym(1/x) f=sym(1/x) limit(f) limit(f) % %對對x x求趨近于求趨近于0 0的極限的極限 limit(f,x,0) limit(f,x,0) % %對對x x求趨近于求趨近于0 0的極限的極限 limit(f,x,0,left) limit(f,x,0,left) % %左趨近于左趨近于0 0 limit(f,x,0,right) limit(f,x,0,right) % %右趨近

20、于右趨近于0 0MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.4.2符號微分符號微分Differentiation函數(shù)函數(shù)diffdiff是用來求符號表達式的微分。是用來求符號表達式的微分。diff(f)diff(f)% %求求f f對自在變量的一階微分對自在變量的一階微分diff(f,t)%diff(f,t)%求求f f對符號變量對符號變量t t的一階微分的一階微分diff(f,n)%diff(f,n)%求求f f對自在變量的對自在變量的n n階微分階微分diff(f,t,n)%diff(f,t,n)%求求f f對符號變量對符號變量t t的的n n階微分階微分MATLAB MATLAB 實

21、用教程實用教程3.4.3符號積分符號積分Integration積分有定積分和不定積分，運用函數(shù)積分有定積分和不定積分，運用函數(shù)intint可可以求得符號表達式的積分，即找出一個符號表以求得符號表達式的積分，即找出一個符號表達式達式F F使得使得diff(F)=fdiff(F)=f，也可以說是求微分的逆，也可以說是求微分的逆運算。運算。int(f,int(f,t t) ) % %求符號變量求符號變量t t的不定積分的不定積分int(f,int(f,t t,a,b) ,a,b) % %求符號變量求符號變量t t的定積分的定積分int(f,int(f,t t, ,m m, ,n n) %) %求符號

22、變量求符號變量t t的定積分的定積分MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.4.4符號級數(shù)符號級數(shù)1. symsum1. symsum函數(shù)函數(shù)Symbolic SummationSymbolic Summationsymsum(s,x,a,b)symsum(s,x,a,b)% %計算表達式計算表達式s s的級數(shù)和的級數(shù)和闡明：闡明：x x為自變量，為自變量，x x省略那么默以為對自在變量省略那么默以為對自在變量求和；求和；s s為符號表達式；為符號表達式；a,ba,b為參數(shù)為參數(shù)x x的取值范圍。的取值范圍。2. taylor2. taylor函數(shù)函數(shù)Taylor SeriesTayl

23、or Seriestaylor(F,x,n) taylor(F,x,n) % %求泰勒級數(shù)展開求泰勒級數(shù)展開闡明：闡明：x x為自變量，為自變量，F(xiàn) F為符號表達式；對為符號表達式；對F F進展泰勒進展泰勒級數(shù)展開至級數(shù)展開至n n項，參數(shù)項，參數(shù)n n省略那么默許展開前省略那么默許展開前5 5項。項。MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.5符號積分變換符號積分變換3.5.1傅里葉變換及其反變換傅里葉變換及其反變換1. fourier1. fourier變換變換F Ffourier(f,t,w)%fourier(f,t,w)%求時域函數(shù)求時域函數(shù)f(t)f(t)的的fourierfo

24、urier變換變換F F闡明：前往結(jié)果闡明：前往結(jié)果F F是符號變量是符號變量w w的函數(shù)，的函數(shù)，f f為為t t的函數(shù)。的函數(shù)。 2. fourier2. fourier反變換反變換f=ifourier (F,w,t) f=ifourier (F,w,t) 闡明：闡明：ifourierifourier函數(shù)的用法與函數(shù)的用法與fourierfourier函數(shù)一樣。函數(shù)一樣。 syms t w syms t w F=fourier(1/t,t,w) F=fourier(1/t,t,w) %fourier%fourier變換變換F =iF =i* *pipi* *(Heaviside(-w)-H

25、eaviside(w)(Heaviside(-w)-Heaviside(w)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.5.2拉普拉斯變換及其反變換拉普拉斯變換及其反變換1. Laplace1. Laplace變換變換F=laplace(f,t,s) %F=laplace(f,t,s) %求時域函數(shù)求時域函數(shù)f f的的LaplaceLaplace變換變換F F闡明：前往結(jié)果闡明：前往結(jié)果F F為為s s的函數(shù)，當參數(shù)的函數(shù)，當參數(shù)s s省略，前往省略，前往結(jié)果結(jié)果F F默以為默以為ss的函數(shù)；的函數(shù)；f f為為t t的函數(shù)，當參數(shù)的函數(shù)，當參數(shù)t t省略，省略，默許自在變量為默許自在變量為

26、tt。2. Laplace2. Laplace反變換反變換f filaplace(F,s,t)ilaplace(F,s,t)% %求求F F的的LaplaceLaplace反變換反變換f f syms a t s syms a t s F1=laplace(sin(a F1=laplace(sin(a* *t),t,s) t),t,s) %sinat%sinat的的LaplaceLaplace變換變換F1 =a/(s2+a2)F1 =a/(s2+a2)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.5.3 Z3.5.3 Z變換及其反變換變換及其反變換1. ztrans1. ztrans函數(shù)函數(shù)

27、F Fztrans(f,n,z) %ztrans(f,n,z) %求時域序列求時域序列f f的的Z Z變換變換F F闡明：前往結(jié)果闡明：前往結(jié)果F F是以符號變量是以符號變量z z為自變量；為自變量；當參數(shù)當參數(shù)n n省略，默許自變量為省略，默許自變量為nn；當參數(shù)；當參數(shù)z z省省略，前往結(jié)果默以為略，前往結(jié)果默以為zz的函數(shù)。的函數(shù)。2. iztrans2. iztrans函數(shù)函數(shù)f fiztrans(F,z,n) %iztrans(F,z,n) %求求F F的的z z反變換反變換f f syms a n z t syms a n z t Fz3=ztrans(exp(-a Fz3=ztr

28、ans(exp(-a* *t),n,z) %e-att),n,z) %e-at的的Z Z變換變換Fz3 =exp(-aFz3 =exp(-a* *t)t)* *z/(z-1)z/(z-1)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.6 3.6 符號方程的求解符號方程的求解3.6.1 3.6.1 代數(shù)方程代數(shù)方程MATLABMATLAB可以用可以用solvesolve命令給出方程的數(shù)值解。命令給出方程的數(shù)值解。solve(solve(eqeq, ,v v)%)%求方程關(guān)于指定變量的解求方程關(guān)于指定變量的解solve(solve(eq1eq1, , eq2eq2, ,v1v1, ,v2v2,)

29、 ,) % %求方程組關(guān)于指定變量的解求方程組關(guān)于指定變量的解 例如，解方程：例如，解方程： solve( solve(a a* *x2+bx2+b* *x+cx+c) ) solve(a solve(a* *x2+bx2+b* *x+c=0)x+c=0) solve(a solve(a* *x2+bx2+b* *x+c=0,x)x+c=0,x)MATLAB MATLAB 實用教程實用教程【例【例3.22】求三元非線性方程組的解?！壳笕蔷€性方程組的解。eq1=sym(x2+2*x+1);eq2=sym(x+3*z=4);eq3=sym(y*z=-1);x,y,z=solve(eq1,eq2

30、,eq3)%解方程組并賦值解方程組并賦值給給x,y,z1z*y43zx012xx21z*y43zx012xx2x =-1y =-3/5z =5/3 MATLAB MATLAB 實用教程實用教程3.6.2 3.6.2 符號常微分方程符號常微分方程MATLABMATLAB提供了提供了dsolvedsolve命令可以用于對符號常命令可以用于對符號常微分方程進展求解。微分方程進展求解。dsolve(dsolve(eqeq, ,concon, ,v v) ) % %求解微分方程求解微分方程dsolve(dsolve(eq1,eq2eq1,eq2, ,con1,con2con1,con2, ,v1,vv1,v22) ) % %求解微分方程組求解微分方程組闡明：闡明：concon是微分初始條件，可省略；是微分初始條件，可省略；v v為為指定自在變量，省略時那么默以為指定自在變量，省略時那么默以為x x或或t t為自在為自在變量。變量。y y的一階導數(shù)為的一階導數(shù)為DyDy；y y的的n n階導數(shù)表示為階導數(shù)表示為Dny Dny 。 MATLAB MATLAB 實用教程實用教程EX:y(1)=0，y(0)=0 y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,x) %求微分方程的通解y =-1/3*x3+C1+C2*x4 y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(0)=0