2.1-微積分公式ppt課件

1、 16 極限運算法則極限運算法則一、無窮小的性質(zhì)一、無窮小的性質(zhì)二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則求極限舉例、解題評析函數(shù)極限的四則運算法則、數(shù)列極限的四則運算法則、無窮小的性質(zhì)推廣與推論、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則、 定理1 有限個無窮小的和也是無窮小x0例如 lim (xsin x)0一、無窮小的性質(zhì)一、無窮小的性質(zhì)從而 證明 考慮兩個無窮小的和設(shè)a及b 是當(dāng)x x0時的兩個無窮小，而g =a+b 那么e 0，取d mind 1，d 2，那么 x: 0| xx 0 |0，x: 0| xx 0 | 1，有| |0，x: 0| xx 0 | 2，有| | 2| | 及| | 22| |

2、| | | | | | 22 定理1 有限個無窮小的和也是無窮小一、無窮小的性質(zhì)一、無窮小的性質(zhì)0arctan1limxxx例如 定理1 有限個無窮小的和也是無窮小一、無窮小的性質(zhì)一、無窮小的性質(zhì) 定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小0)sin11(lim2xxxx例如 定理1 有限個無窮小的和也是無窮小一、無窮小的性質(zhì)一、無窮小的性質(zhì)二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則 （1lim f (x)g(x)存在，且lim f (x)g(x)=A B= lim f (x) li

3、m g (x) （2lim f (x)g(x)存在，且 lim f (x)g(x)=A B= lim f (x) lim g (x) （3）當(dāng)B 0時， lim 存在，且)()(xgxf)()(limxgxfBA)(lim)(limxgxf定理 3 的證明： 因為lim f (x)=A，lim g (x)=B ， 由第五節(jié)定理1有 f (x)=A+a，g (x)=B+b，其中a及b 為無窮小 于是 f (x) g (x)=(A + a) (B + b) = (A B) + (a b)由本節(jié)定理1，a b 是無窮小 再由第五節(jié)定理1，得lim f (x) g (x) = A B = lim f

4、(x) lim g (x) 定理3可推廣到有限個函數(shù)的情形，例如，如果lim f (x)，lim g (x)，lim h (x)都存在，則由定理3有 lim f (x)+g (x)-h (x)=lim f (x)+g (x)-h (x) =lim f (x)+lim g (x)-h (x) =lim f (x)+lim g (x)-lim h (x)定理 3 的推廣： 推論1 如果lim f (x) 存在，而c 為常數(shù)，那么lim c f (x)=c lim f (x) 推論2 如果lim f (x) 存在，而n 是正整數(shù)，那么lim f (x)n =lim f (x)n定理 2 的推論：數(shù)列

5、極限的四則運算法則：nlimxn A，nlimyn B ， 定理6 設(shè)有數(shù)列xn 和yn 假如 (2) nlim xn yn A B； (1) nlim( xn yn )A B； 定理7 如果j(x)f(x)，而lim j(x)=a，lim f(x)=b，那么ab (3) 當(dāng) yn 0(n1，2， )且B 0 時，nlimnnyxBA求極限舉例： 例 1 求 1limx(2 x 1 ) 例 2 求 2limx35123xxx 例 3 求 3limx932xx 例 4 求 1limx45322xxx 例 5 求xlim3572432323xxxx 例 6 求xlim52123232xxxx 例

6、7 求xlim12352223xxxx 例 8 求xlimxxsin 解1211解 例 1 求 1limx(2 x 1 ) 例 2 求 2limx35123xxx 1limx(2 x 1 )x 1 )xx2lim 11lim 1x1lim2 1xxxx2lim 11lim 1x1lim2 1xx 2limx35123xxx)35(lim) 1(lim2232xxxxx3limlim5lim1limlim2222232xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232xxxx3102122337討論：當(dāng)x x0 時，多項式的極限 解 解所以由第五節(jié)定理2得0，?)(lim0 xPxx有理分式的

7、極限 例 3 求 3limx932xx 3limx932xx)3)(3(3lim 3xxxx31lim 3xx)3(lim1lim 3 3xxx61 例 4 求 1limx45322xxx 1limx32452xxx3124151245322xxx 1limx?)()(lim0 xQxPxx觀察： 1limxxx2lim 11lim 1x1lim2 1xx1(2 x 1 )211)35(lim) 1(lim2232xxxxx31021223 2limx35123xxx37 3limx932xx)3)(3(3lim 3xxxx31lim 3xx61 45322xxx 1limx 設(shè)多項式P(x)

8、a0 xn a1 xn1 an ，那么0lim xP(x)0lim x( a0 xn a1 xn1 an) a0 (0lim xx)n a1 (0lim xx)n1 0lim xana0 x0n a1 x0n1 anP(x0)設(shè) Q(x)也是多項式，于是0lim xQ(x)Q(x0)，)()(lim0 xQxPxx當(dāng) P(x0)Q(x0)0 時，)()(lim0 xQxPxx?， 當(dāng)Q(x0)0時， 當(dāng)P(x0)0，Q(x0)0時，)()(00 xQxP= 先用x3去除分子及分母,然后取極限:解先用x3去除分子及分母,然后取極限:解 例 5 求xlim3572432323xxxxxlim357

9、2432323xxxxxlim33357243xxxx73 例 6 求xlim52123232xxxxxlim52123232xxxx332512123limxxxxxx020解 應(yīng)用例6的結(jié)果并根據(jù)第五節(jié)定理2即得根據(jù)例5、6、7討論有理函數(shù)當(dāng)x時的極限：討論：其中a00、b0 0， m和n為非負(fù)整數(shù)= 例 7 求xlim12352223xxxxxlim12352223xxxx?lim110110nnnmmmxbxbxbaxaxa結(jié)論： 當(dāng)a00、b0 0， m和n為非負(fù)整數(shù)時a0b0， 當(dāng)n=m， 當(dāng)nm，xlim3572432323xxxx73xlim052123232xxxxxlim1

10、2352223xxxx=nnnmmmxbxbxbaxaxa110110lim 解 當(dāng)x時，分子及分母的極限都不存在，故關(guān)于商的極限的運算法則不能應(yīng)用但這是無窮小與有界函數(shù)的乘積，所以 例 8 求xlimxxsinxxxxsin1sin，xlim0sinxx 定理8復(fù)合函數(shù)的極限運算法則設(shè)函數(shù)u=j(x)當(dāng)x x0時的極限存在且等于 a，即0limxx(x)a，但存在點 x0的某去心鄰域內(nèi)(x)a，又aulimf(u)A，則復(fù)合函數(shù) f(x)當(dāng) x x0時的極限也存在，且0limxx f(x)aulimf(u)Aaulim f(u)A 換成ulimf(u)A 可類似結(jié)果注： 把定理中0limxx(x)a 換成0limxx(x)或xlim(x)，把. 011lim11lim)1311(lim. 131131xxxxxxx. 2)1122(lim)12)(11 (lim. 232121xxxxxxx.1sinlim,1sinlim,1sinlimlim1sinlim. 320002020不存在所以不存在因為xxxxxxxxxxxx.arctanlim,arctanlim,arctanlim. 4不存在所以不存在分子極限xxxxxxxx 檢查下各題的解過程是否有誤，錯