數(shù)學實踐與建模ch3526

1、CH3 高等數(shù)學實踐3.1 數(shù)列的應用數(shù)列的應用例1 我想買蘋果（貸款利息問題） 某同學很想買一套蘋果產品（Macbook，Minipad，Iphone 6s），大約需要2萬元，但是沒錢。因為很想買，就打算利用校園網(wǎng)絡貸款，但是又看到了一則大學生因無力償還高額貸款而XX的新聞，就很糾結。因此需要了解有關貸款利息的問題，那么我們一起算算如果貸款2萬元而需要償還多少利息的問題。3.1 數(shù)列的應用數(shù)列的應用兩種還款方式： 等額本息還款法，就是指貸款人每月以相等的額度平均償還貸款本息，期滿還清； 等額本金還款法，就是指貸款人將本金均攤到每個月內，同時付清上一還款日至本次還款日之間的本金利息。基本假設：

2、貸款者是及時、按月月末還款；不考慮經濟波動的影響，貸款期內貸款利率不變，利息按復利計算等。 1. 等額本息還款法：為方便計算，設 m 為貸款總額(元)，n 為還款期限(月)，p 為貸款月利率，y為 等額本息還款中每月還款額，a(i) 為第 i 月初剩余還款額， b(i)為第 i 月末剩余還款額。根據(jù)基本規(guī)則，月初和月末剩余還款額滿足：yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy則應還利息為：(1).(1)1nnnmppnymmp則以等額本息方式來還款時，應還的利息為：20211在本題中 m=2萬元，n=24個月，p=0.0655。則應還利息為：(1).2mp n則以等額本金方式來還款時，應還的利息

3、為：16375例2 我要記單詞（學習遺忘問題）假如我們記憶100頁的英文詞匯，并給出如下設定(1)假設 表示開始學習時掌握的頁數(shù)， 。(2)假設 表示第n次學習之后掌握的頁數(shù)，且有。(3) 常數(shù)A表示每次學習之后新掌握的頁數(shù)和每次學習之前未掌握的頁數(shù)的百分比。0bnb0100nb00b 建立模型100(100),bbAb211(100),bbAb11(100),nnnbbAb進而可得1(1)100 ,nnbA bA最終可得0100(100)(1) ,nnbbA不妨假設： ，有下圖010,0.1bA 例3 喵星人的睡姿和兩只兔子的關系 公元1202年，斐波那契的傳世之作算法之術出版。在這部名著中

4、，斐波那契提出了以下饒有趣味的問題。有人想知道在一年中一對兔子可以繁殖多少對小兔子，就筑了墻把一對兔子圈了進去。如果這對大兔一個月生一對小兔子，每產一對兔子必為一雌一雄，而每對小兔子生長一個月就成為大兔子，并且所有的兔子全部存活，那么一年后圍墻內有多少對兔子？解解 ： 假設在1月1日將一對小兔子放進圍墻內，每對大兔子經過一個月后又繁殖出一對小兔子，一對小兔子經一個月變成一對大兔子，不過還未生小兔子?？芍瑥?月份開始每月的兔子總數(shù)恰好等于它前兩個月兔子數(shù)的總和。按此規(guī)律可寫出數(shù)列： 該數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。設其通項為 ，則該數(shù)列 具有下述遞推關系： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,5

5、5,89,144,233,nx21nnnxxx法國數(shù)學家比內求出了通項 為令人驚奇的是，比內公式中的 是用無理數(shù)的冪表示的，然而它所得的結果卻是整數(shù)。與斐波那契數(shù)列密切相關的有兩重要極限：nx1111515,0,1, 2,225nnnxnnx1151lim0.618(3.1)251lim1.618(3.2)2nnnnnnxxxx下面證明（3.1）和（3.2）式。設 ，則數(shù)列 是單調遞減的，數(shù)列 是單調增加的。對一切 ，即數(shù)列 ， 都是有界數(shù)列。根據(jù)單調有界原理，數(shù)列 都有極限。設 ，分別對 和 ，取極限，得1nnnxux111111,1,2,.nnnnnnnxxxunxxu 2nu21nu2,

6、12nnu221,nnuu221,nnuu221lim,limnnnnuuuv22111nnuu 21211nnuu 111,1.uvvu 以上兩式相減，得從而得 ，即 。否則 。因為 ，而由 得 ，這是不可能的。所以 存在，記為 ，從而有 。解方程得 。因為 ，所以由于 ，所以 。,uvuvuv0uv221limlimnnnnuu 1uv211nu1uvu0u limnnu*u*11uu *152u211nu*115limlim1.6182nnnnnxuux111nnnnxxxx151limlim10.6182nnnnnxux 生物學家也對此產生興趣。例如，樹木的生長，由于新生的枝條往往需要

7、一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如，一年以后長出一條新枝，第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)，此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝丫數(shù)，便構成斐波那契數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯?shù)戮S格定律”。 科學家發(fā)現(xiàn)，一些植物的花瓣、萼片、果實的數(shù)目以及排列的方式上，都有一個神奇的規(guī)律，它們都非常符合著名的斐波那契數(shù)列。例如：薊，它們的頭部幾乎呈球狀。在下圖中，你可以看到兩條不同方向的螺旋。我們可以數(shù)一下，順時針旋轉的（和左邊那條旋轉方向相同）螺旋一共有13條，而逆時針旋轉的則有21條。此外還有菊

8、花、向日葵、松果、菠蘿等都是按這種方式生長的。 最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的向日葵種子。仔細觀察向日葵花盤，你會發(fā)現(xiàn)2組螺旋線，一組順時針方向盤繞，另一組則逆時針方向盤繞，并且彼此相嵌。雖然不同的向日葵品種中，種子順、逆時針方向和螺旋線的數(shù)量有所不同，但往往不會超出34和55、55和89或者89和144這三組數(shù)字，這每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的2個數(shù)。前一個數(shù)字是順時針盤繞的線數(shù)，后一個數(shù)字是逆時針盤繞的線數(shù)。 菠蘿的表面，與松果的排列略有不同。菠蘿的每個鱗片都是三組不同方向螺旋線的一部分。大多數(shù)的菠蘿表面分別有5條、8條和13條螺線，這些螺線也稱斜列線菠蘿果實上的菱形鱗片，一

9、行行排列起來，8行向左傾斜，13行向右傾斜。挪威云杉的球果在一個方向上有3行鱗片，在另一個方向上有5行鱗片。常見的落葉松是一種針葉樹，其松果上的鱗片在2個方向上各排成5行和8行，美國松的松果鱗片則在2個方向上各排成3行和5行 。 數(shù)學中，還有一個稱為黃金角的數(shù)值是137.5，這是圓的黃金分割的張角，更精確的值應該是137.50776。與黃金數(shù)一樣，黃金角同樣受到植物的青睞。 1979年，英國科學家沃格爾用大小相同的許多圓點代表向日葵花盤中的種子，根據(jù)斐波那契數(shù)列的規(guī)則，盡可能緊密地將這些圓點擠壓在一起。他用計算機模擬向日葵的結果顯示，若發(fā)散角小于137.5，那么花盤上就會出現(xiàn)間隙，且只能看到一

10、組螺旋線；若發(fā)散角大于137.5，花盤上也會出現(xiàn)間隙，而此時又會看到另一組螺旋線；只有當發(fā)散角等于黃金角時，花盤上才呈現(xiàn)彼此緊密鑲合的2組螺旋線。 所以，向日葵等植物在生長過程中，只有選擇這種數(shù)學模式，花盤上種子的分布才最為有效，花盤也變得最堅固壯實，產生后代的幾率也最高。只有這樣的布局能使植物的生長疏密得當、最充分地利用陽光和空氣，所以很多植物都在億萬年的進化過程中演變成了如今的模樣。當然受氣候或病蟲害的影響，真實的植物往往沒有完美的斐波那契螺旋。 另外，自然界中，互生葉序相鄰的一對葉子，與對生葉序的一對相對生的葉子的夾角也是約為137.5，這個黃金角值。 松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的

11、花瓣數(shù)：典型的有向日葵花瓣，茉莉花（3個花瓣），毛莨（5個花瓣），翠雀（8個花瓣），萬壽菊（13個花瓣），紫宛（21個花瓣），雛菊（34、55或89個花瓣）。蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數(shù)e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。 斐波那契螺旋線，也稱斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案。 由上述推導知， 越大，數(shù) 越接近 。這就是說，一個所有的項都是有理數(shù)的數(shù)列，卻與 這樣一個無理數(shù)有著密切的關系。這個數(shù)就是黃金分割黃金分割的值。n1nnxx5125123.2導數(shù)的應用實例導數(shù)的應用實例例例1 1 誰

12、跑的最快誰跑的最快 假定在某湖畔舉行越野賽，起點設在如圖3.2所示的 P點，終點在湖心的Q點。坐標系中 X軸下方為湖，X 軸上方為陸地。P、Q 兩點的南北距離為5千米，東西距離為7千米，湖岸邊位于P點以南2千米。比賽中運動員可自行選擇線路，但必須從P點出發(fā)跑步到岸邊，再從岸邊下水游泳到達終點 Q。已知運動員跑步的速度為18千米/小時，游泳的速度為6千米/小時，問他應從岸邊的何處下水才能使比賽用時最少?解解 ： 考慮光的折射問題。假定一束光線由空氣中P點經過水面折射后進入水中Q點。已知光線總是以耗時最少的路線傳播。在平面直角坐標系中，PQ的坐標分別為 ，X軸為水面。光在空氣中的傳播速度為 ，光在

13、水中傳播速度為 ，試確定光線的傳播線路，找出入射角 和折射角 的關系. 由于光在同一介質中按直線傳播耗時最少，所以，光從 P點出發(fā)到達R點所用時間為(0,p),(d,q)PQvv221| PR |xptvv光從R點出發(fā)在水中到達Q點所用的時間為 所以，光從P點出發(fā)到達Q點的總耗時為 求x，使 達到極小。為此求導數(shù)令 ，得( )Tx222()| R|dxqQtvv2222()( ),0,d,xpdxqT xxvv2222.()dTxdxdxvxpvdxq( )0T x 2222(3.6)xdxvxpvdxq（）從而得 式（3.7）就是光線的折射定律折射定律?，F(xiàn)在回到本例，越野賽問題完全可看成是光

14、比P點出發(fā)經R點折射到達Q點的用時問題，其中, 因此，由（3.6）式得解得駐點 ，此駐點也是極值點。sin.sin3 .7vv（）/ h,/8h,16vvkmkm2p m, q=3m, d=7m227,1846(7)9xxxx6x 所以由（3.5）式，得即選擇在距離原點6千米處下水，用時僅為0.8784小時。2222(7 6)3625 10(6)18618T0.（8784小時）,Matlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號: 在表達微分方程時，用字母 D 表示求微分

15、，D2、D3 等表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程 022dxyd應表達為：D2y=0. 結 果：u = tan(t+c)3.5 微分方程的應用實例解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結 果 為 : y =3e-2xsin(5x)y =C1*exp(-2*x)*cos(5*x)+C2*exp(-2*x)*sin(5*x)若輸入: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,x)例例2 2 人會越來越多嗎？

16、人會越來越多嗎？（人口數(shù)量預測問題） 人類的繁殖長期以來是處于自發(fā)狀態(tài)的,但由于人口數(shù)量的急劇膨脹對生態(tài)環(huán)境的破壞越來越嚴重，近些年人們開始研究人類和自然的關系、以及如何進行人口控制等問題. 試根據(jù)現(xiàn)有資料,建立適當?shù)臄?shù)學模型來預測某國家或地區(qū)的人口數(shù)量. 解解 模型一：指數(shù)增長模型。 英國人口學家馬爾薩斯調查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料,得出了人口增長率（不是變化率）不變的假設.設某地區(qū)時刻t的人口為 （ 是連續(xù)、可微的,人口增長率為常數(shù)r ,即單位時間內 的增量等于 . 考慮 到 時間段內人口的增量令 ，可得微分方程的初值問題( )x t( )x t( )x t( )rx ttt()( )

17、( ),x ttx trx tt 0t 0,( 0 ).d xr xd txxt 容易求得此問題的解為 . 當常數(shù) 時, 是按指數(shù)規(guī)律增長. 在指數(shù)增長模型中，人口數(shù)量越大,人口增長的速度就越快,這一直觀認識和表3.1世界人口數(shù)量增長比較吻合. 表3.1 世界人口數(shù)量統(tǒng)計0( )rtx tx e0r ( )x t年年1625183019301960197419871999人口人口（億）（億）5102030405060 指數(shù)規(guī)律增長模型在描述美國1790到1860年的人口增長規(guī)律中也曾獲得較大成功,但進入20世紀后,美國人口增長明顯放緩,此模型就有點不太切合實際了.事實上,人口增長必然受到生存環(huán)

18、境和資源供給等因素限制,這樣人口數(shù)量不可能超過環(huán)境和資源所能承受的最大數(shù)量 .mx模型二：阻滯增長模型。 阻滯增長模型也稱邏輯斯諦（Logistic)模型,是由荷蘭生物數(shù)學家Verhulst(威爾霍斯特)在19世紀中葉提出的。利用變量分離法可以求得阻滯增長模型的解為下面根據(jù) 符號與x大小的關系來分析下阻滯增長模型的隱含意義.0(1),( 0 ).md xxr xd txxx0( ).1(1) emrtmxx txxd xd t 當人口數(shù)量低于最大承受的量 時, , 此時 將按變化率 增加,逐漸趨于 .當意外情況出現(xiàn)導致人口數(shù)量大于最大承受的量 時, , 此時 將遞減逐漸趨于合理值 .經過這樣的

19、一個自然調節(jié)過程,人口數(shù)量就會維持在合理范圍之內。mx0dxdt( )x t(1)mxrxxmxmx0dxdt( )x tmx論文選題：借助“人口模型”，研究生物群體的發(fā)展變化，如研究動物、植物的數(shù)量以及相關產品的產量變化問題。例如：具有年齡結構的理論生態(tài)模型研究例如：具有年齡結構的理論生態(tài)模型研究研究意義研究意義 從數(shù)學理論分析出發(fā)，考察具有從數(shù)學理論分析出發(fā)，考察具有年齡結構年齡結構的理論生態(tài)模的理論生態(tài)模型，揭示植被群落形成和演變的內在本質型，揭示植被群落形成和演變的內在本質 ，從而，從而為改為改進和研發(fā)全球植被動力學模式提供理論基礎和依據(jù)進和研發(fā)全球植被動力學模式提供理論基礎和依據(jù)。

20、閉環(huán)控制對應的初邊值問題0b( ,t)b( ,t)m( ,t)b( ,t),tb( ,0)b ( ),b(0,t)(t). （1）：個體密度函數(shù)。b( ,t)m( ,t)：死亡率函數(shù)。 實際上，實際上， 應和應和 時刻的個體數(shù)狀態(tài)特別是和成熟植被時刻的個體數(shù)狀態(tài)特別是和成熟植被的繁殖能力有密切關系，即有如下關系式的繁殖能力有密切關系，即有如下關系式其中其中 為平均有效萌發(fā)率，即：在為平均有效萌發(fā)率，即：在 時刻時，單位時間內平時刻時，單位時間內平均每個成熟植物貢獻的成活種子數(shù)；均每個成熟植物貢獻的成活種子數(shù)； 為生殖率，刻畫了為生殖率，刻畫了植物在不同年齡和時間的繁殖能力；植物在不同年齡和時間

21、的繁殖能力； 是植物具有繁殖能是植物具有繁殖能力的年齡區(qū)間。力的年齡區(qū)間。(t)t21(t)(t)h( ,t)b( ,t)d ,(t)th( ,t)12,常系數(shù)系統(tǒng)210b( ,t)b( ,t)m( )b( ,t),tb( ,0)b ( ),b(0,t)(t)h( )b( ,t)d . （2）：個體密度函數(shù)。b( ,t)m( )：死亡率函數(shù)。：生殖率函數(shù)。h( )：平均有效萌發(fā)率。函數(shù)的具體形式 51.5100,05,h( )0.01(5),5100.e204060801000.020.040.060.080.100.12（樹齡，年）（樹齡，年）生殖率生殖率h( )1.9818.25m( )(

22、1),0100.e0204060801000.0100.0150.0200.0250.0300.035死亡率死亡率m( )（樹齡，年）（樹齡，年）5 是自然增長率，滿足m00m()d0h( )ed1. 自然增長自然增長率率0萌發(fā)率萌發(fā)率0 B(t)const,00,B(t)解的穩(wěn)定性系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是穩(wěn)定的（1）b( ,t)樹齡（年）樹齡（年）60708090100100200300400500密度函數(shù)（株密度函數(shù)（株/年）年）個體數(shù)（株）個體數(shù)（株）t 時間（年）時間（年）t 時間（年）時間（年）系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的B(t)0,00,（2）B(t)b( ,t)樹齡（年）樹齡（年）

23、密度函數(shù)（株密度函數(shù)（株/年）年）60708090100100150200250300350400t 時間（年）時間（年）個體數(shù)（株）個體數(shù)（株）t 時間（年）時間（年） 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定 B(t), 00,（3）B(t)b( ,t)樹齡（年）樹齡（年）t 時間（年）時間（年）密度函數(shù)（株密度函數(shù)（株/年）年）個體數(shù)（株）個體數(shù)（株）t 時間（年）時間（年）60708090100200030004000500060007000例例3.39懸鏈線問題有一柔軟且質量均勻的線，懸掛在兩固定點，在重力作用下處于平衡狀態(tài)，則該細線構成的軌跡稱為懸鏈線。下面我們來求該懸鏈線的方程。解解 :設 為懸鏈線

24、單位長度所受到的重力。以 表示曲線在 處的張力，在曲線上任取一小弧段 ， 點的橫坐標為 ，由平衡條件在水平方向上有其中 為曲線切線與 軸正向的夾角。于是，在懸鏈線上任一點的水平張力為常數(shù)，設為H，即 在垂直方向的平衡條件為 在垂直方向的平衡條件為( )T x( , )P x yPQQxx( )cos( ( )()cos( () 3,7).4T xxT xxxx（）x( ) cos( )HT xxPQtan( ()tan( ( )3.)48,HxxHxs （）即令 ，得微分方程 這就是懸鏈線的微分方程。求解微分方程（3.49），令 ，則（3.49）式化為 （3.50）式為變量可分離的微分方程，其

25、通解為2()y( )1 (y( ),y xxxxxH0 x 2y1 (y) ,3.49H（）yp23.510,dppdxH（）1(x C )21e,Hpp于是，有 再次積分，得設懸鏈線最低點的橫坐標為 ，縱坐標為 ，則有初始條件 將此條件代入（3.52）式，得于是得懸鏈線方程為 1(xC ),3.51yshH（）12(x C )C .3.52HychH（）0 xh00(),()0,y xhyx102,HCxCh0(x)3.53HHychxhH（）實例：實例：設兩等高鐵塔間的距離為2l ，垂度為f ，建立直角坐標系，則導線的方程為因為 ，所以設 ，則上式變?yōu)槔媒朴嬎惴椒汕蟪觯?.55）的近

26、似解 。于是得高壓導線的水平張力為 。.HHychxH( )y lf,HHfchlHluH1,3 .5 5fch uul（）0u0lHu另外，當X很小時，由泰勒公式得于是，懸鏈線方程近似為因此，懸鏈線在其頂點附近近似于拋物線，在工程上常用拋物線來近似代替懸鏈線。22211,2chxxHH 2.2yxH例例3.38 質點滑落所用最短時間的最佳路線問題1696年，約翰 伯努利提出了一個開放性問題：確定一條從 點到 點的曲線（ 點在 點下方，但不在 點正下方），使得一顆珠子在重力作用下沿曲線從 點到達 點所用時間最短。這就是著名的最速下降問題。解解 : 假定有一質量為m的質點，從 點滑落到 點，求所用最短時間路線l 的方程。質點受重力作用從P點出發(fā)沿曲線l滑落到 Q點。由能量守恒定律有所以，質點運動的速度為 (0,0)P( , )Q a b21, 323.3mgymv（）2.vgy由于 ，其中s為從 出