ch5彎曲應(yīng)力1-3-2003

1、材 料 力 學(xué)第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力Stresses in Bending ，故正應(yīng)力的合力不可能產(chǎn)生Q向分量。(即不能在面內(nèi)合成Q)。同理,因為在截面內(nèi)恒通過截面形心(面內(nèi)水平軸)。故不能產(chǎn)生繞此面內(nèi)水平軸的合力矩M。5-1 5-1 引言引言 IntroductionIntroductionQndAFd 由上一章我們知彎曲變形的內(nèi)力為Q和M。因內(nèi)力是截面上分布內(nèi)力的合力。而截面上一般存在兩種分布內(nèi)力的集度剪應(yīng)力(面內(nèi)應(yīng)力)和正應(yīng)力(法向應(yīng)力)。由理力知識我們知:QdAMdA;因此, 。 若梁在某段內(nèi)各橫截面上的剪力為零,彎矩為常量,則該段梁的彎曲就稱為純彎曲純彎曲(Pure Bend

2、ing)。平面純彎曲平面純彎曲是彎曲理論中最基本的情況。 和ch2軸向拉壓與ch4圓軸扭轉(zhuǎn)一樣，分析了桿彎曲變形的內(nèi)力Q，M后，還需進一步分析梁的應(yīng)力分布和計算，才能解決工程中的強度計算等實際問題。 和前面一樣，由內(nèi)力應(yīng)力需通過對梁的變形幾何，物理關(guān)系，靜力平衡三方面綜合研究。由于: ,MdA5-2 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of BeamNormal Stress of BeammAB+DPPPaM故我們先研究以M為主的簡單梁純彎曲梁純彎曲梁(Pure Bending Beam):Q0的梁(或梁段)。例如: 另對應(yīng)有:橫力彎曲橫力

3、彎曲(shear bending , transverse bending): 梁內(nèi)(或梁段內(nèi))0平面純彎曲平面純彎曲 = 平面彎曲 + 純彎曲 純彎曲的M作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)(Oxy平面)，對應(yīng):平面橫力彎曲平面橫力彎曲= 平面彎曲 +橫力彎曲 現(xiàn)以平面純彎曲梁（梁的平面假設(shè)成立的前提）為條件推導(dǎo)梁的正應(yīng)力公式:5-2 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of BeamNormal Stress of Beam 梁寬方向的變形說明纖維產(chǎn)生了與泊桑比有關(guān)的(橫向)拉伸與壓縮的現(xiàn)象。AB1212abdcdxmeme中性軸 1 2 a b d

4、x c d1 25-2-1,平面純彎曲的實驗研究平面純彎曲的實驗研究變形特點: 與變形后仍為直線,仍與變形后的軸線垂直。只是相對原來位置轉(zhuǎn)動了一個角度。 縱向直線(ab)和(cd)彎成圓弧線(曲線)。故凹面纖維(如弧ab)縮短而凸面纖維(如弧cd)伸長。 因變形連續(xù),故中間必存在一層纖維變形前后長度相等,稱此層纖維為中性層中性層(neutral surface)。中性層縱向?qū)ΨQ面(外力的作用面),故纖維的變形和它在梁的寬度上的位置無關(guān)。中性層與橫截面的交線稱為中性中性軸軸(neutral axis)5-2 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress

5、of BeamNormal Stress of Beamyxz(中性軸）mm5-2-1,平面純彎曲的實驗研究平面純彎曲的實驗研究由以上的特點可抽象如下的假設(shè):平面假設(shè)(Plane section assumption): 在純彎曲時，變形前為平面的橫截面。變形后仍為平面?？v向纖維的變形與它在橫截面寬度上的位置無關(guān)。 0z(即: ; 依橫截面的高度y改變） 各縱向纖維間沒有擠壓。梁彎曲的平面假設(shè)平面假設(shè): 梁在受力彎曲后,其原來的橫截面仍為平面,它繞其上的中性中性軸軸旋轉(zhuǎn)了一個角度,且仍垂直于梁變形后的軸線。dxcd5-2 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力Normal

6、 Stress of BeamNormal Stress of BeamO1O21122ddOMM=meyzdAy 在純彎曲時由對稱性和圣維南原理, 一般對各向同性均勻連續(xù)材料梁均成立。此即梁的變形幾何關(guān)系梁的變形幾何關(guān)系。y物理物理:將 關(guān)系代入(a)式,即得平面彎曲梁的正應(yīng)力隨y的變化關(guān)系。如:)()(, )(受壓邊受拉邊nnnyAyAAddxoo21dydc)()(,)(ayyddydddxdxdycdcdcd5-2-2,彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力的公式推導(dǎo)幾何幾何: 如圖取變形后的dx微段梁來研究，中性層上的弧長cd段的纖維變形前長變形后長(M為正時):因此距中性層為y的一層纖維cd的線應(yīng)變?yōu)?

7、式中為中性層變形后的曲率半徑(Radius of curvature), 1/ 為曲率(curvature)5-2 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of Beam Normal Stress of Beam 5-2-2,彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)).(;cypctAAyAzdAzMdAyMdAN;0,yzyzAAyIyzydAdAzM為對稱軸，故因) 15.(12MdAyMzA簡記為物理物理:對工程中常用的材料，我們可以假設(shè): 由(c)式知道,在橫截面上成線性分布(對線彈性材料而言)因(c)式中的還不知道,中性軸位置(y值)

8、也不知道,需由靜力學(xué)關(guān)系求解。靜力學(xué)靜力學(xué):(對平行力系有:)注意到橫截面上 ，0, 0yzMMMN, 0zAASydAdA故 對指定截面為常數(shù), 可提到面積分之外。0; 0zS表示中心軸應(yīng)通過橫截面的形心中心軸應(yīng)通過橫截面的形心。(5-1)式為研究彎研究彎曲問題的一個基曲問題的一個基本公式本公式。)25.( My代入(c)得: 式中M是需求應(yīng)力之橫截面上的彎矩;I是此橫截面對中性軸的軸慣矩; y是需求應(yīng)力處到中性軸的垂直坐標。5-2 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of Beam Normal Stress of Beam 5-2-2,

9、彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo))25.( My(凸邊受拉,凹邊受壓)式 表明:曲率1/1/ (表示梁變形的程度) M M ; 1/1/ 1/EI1/EI。) 15.(1M故 軸線越彎曲; 軸線變形越小(越平緩) 。MEI I的物理意義:梁按其截面的形狀和尺寸具有的抵抗彎曲(變形)的能力。 中性軸(z)通過橫截面形心,垂直于外力作用平面(oxy)。故oxyz構(gòu)成一直角坐標系。如果我們不計M的正負和y的正負,得求大小的公式 由此式求出的大小后,根據(jù)M 的正負很容易確定的正(拉應(yīng)力 )負(壓應(yīng)力)應(yīng)為: (M 0時:上壓下拉; M 5時Q引起的(由平面不均勻翹曲所致)很小。同時外載引起的壓

10、應(yīng)力(y)可忽略(微擠壓；微均勻翹曲)。此時可用式(5-2)計算平面橫力彎曲的應(yīng)力=M(x)y/I(其精度一般滿足工程的需要),用(5-1)式計算梁的曲率K=1/=M(x)/EI e. .當(dāng)梁為無對稱軸的實體梁時，情況比較復(fù)雜。需在研究了的分布規(guī)律時才能討論橫力彎曲問題。5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress) 25.()()(yxMx)55.(,maxmaxmaxmaxmaxmaxayMyM)55.(maxbWM 由前節(jié)討論 d. .知式(

11、5-2)可推廣應(yīng)用于平面橫力彎曲的正應(yīng)力計算,當(dāng)梁的跨長遠大于梁高時( lh ),其精度一般滿足工程的需要。此時,因 M=M(x),故正應(yīng)力(x)也將為橫截面位置坐標x的函數(shù)。 由此得:平面橫力彎曲梁的最大正應(yīng)力將發(fā)生在彎矩數(shù)值最大的橫截面(叫:危險截面危險截面)上離中性軸最遠處(叫:危險點危險點)。因而,其強度條件可表達為:maxyIW 若定義: : 叫抗彎截面模量抗彎截面模量(section modulus in section modulus in bendingbending,為一個與橫截面的大小和形狀有關(guān)的幾何量,其量綱為L3,常用單位為mm3或m3)。 則平面彎曲梁的強度條件可表達

12、為:zy2y15-3 5-3 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress)55.(maxbWM)55.(maxmaxayM式中為彎曲許用正應(yīng)力?？刹橛嘘P(guān)規(guī)范。(55)式同樣能解決三類常用工程強度問題:強度校核 計算容許荷載 選擇橫截面尺寸。常見橫截面的I和W:6,1223hbWhbIzz6,1223hbWbhIzz矩形:立放 ,平放6,1234aWaIzz正方形: (W W為對過形心的與邊平行的軸之量)32,6434dWdIzz圓形:型鋼:可直接查表 對脆性材料

13、制成的梁,當(dāng)其橫截面的中性軸不是對稱軸,且梁上同時承受有正負彎矩時,其強度條件應(yīng)為:(如右上圖所示)2minmaxmin1maxmaxmaxmaxccWMIyMWMIyM下上1minmaxmin2maxmaxmaxmaxttWMIyMWMIyM上下)(10246715210375336maxmmMWz5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例題例題5-35-3 圖a所示的樓板主梁由工字鋼制成。鋼的許用彎曲正應(yīng)力=152MPa,試選擇工字鋼的號碼

14、。解解:由于此梁兩端稍有轉(zhuǎn)動及伸縮的可能,故計算簡圖可取為簡支梁(圖b)。根據(jù)題意,本例題應(yīng)按彎曲正應(yīng)力強度條件公式(5-5)作截面選擇。為此,先作出此梁的彎矩圖(圖b)。由圖可見,梁的最大彎矩值為Mmax=375kNm 根據(jù)Mmax和值,由公式(5-5)可求出此梁所必需的抗彎截面系數(shù)Wz為 此值雖小于所必需的Wz=2467cm3。但相差還不到1%。因此,采用此工字鋼時最大正應(yīng)力未超過許用彎曲正應(yīng)力的5% ,故可選用56b號工字鋼。 由型鋼規(guī)格表(P433)查得56b號工字鋼的Wz為: Wz=2447cm3159.6MPa5%)(1153.25MPa1024471037536maxmaxWM

15、例題例題5-45-4 跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖a所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為t=30MPa和c=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求,確定T字形截面梁橫截面的一個尺寸d(圖b),并核核此梁的強度。) 1 (.3190302121maxmaxctzzctyyIMyIMy5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress 式(1)就是確定中性軸即形心軸位置yC(圖b)的條件。再考慮到y(tǒng)1y2=280mm(圖b)這一關(guān)系,即得 yC=y2=210m

16、m .(2)顯然,yC值與橫截面尺寸有關(guān),因此,式(2)就成為確定d的依據(jù)。 解解:因全梁彎矩同號,要使這一截面最合理,必須使梁的同一橫截面上的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力(圖c)之比tmax/cmax與相應(yīng)的許用應(yīng)力之比t/c相等。因為這樣就可使材料的拉、壓強度得到同等程度的利用。故有:式中的y1、y2見圖b。 根據(jù)形心坐標公式參見附錄I中的公式(I2a)及圖b中所示尺寸,并利用式(2)列出如下等式:mmyyC2102mmyC21022060220)30280(22060110)60280(dd)(1099.1761021.12)3.9652.821.296()3070(602201260220)

17、110210(2202412220244662323mmIz由此求得: d =24mm 確定d后便可進行強度校核。yCkNmPlM4042804max7 .8410176.992101040662maxmaxMPayMc為此,先利用平行移軸公式(I10)計算截面對中性軸的慣性矩Iz:再計算此梁的最大彎矩:于是,從公式(5-2)即可求得此梁的最大壓應(yīng)力,并據(jù)此核核強度,可見,此梁滿足強度條件。對于此梁的最大拉應(yīng)力是否還需要核核?.)(3558. 186134max21不控制此梁的強度即全梁的最大壓應(yīng)力截面的ctcByy5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件Strength Cond

18、ition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例題例題5-5 5-5 一槽形截面鑄鐵梁如圖a所示。已知b=2m,Iz=5493104mm4,鑄鐵的許用拉應(yīng)力t=30MPa,許用壓應(yīng)力c=90MPa。試求此梁的許可荷載P。解解:設(shè)P的單位為kN。作出彎矩圖(圖c),由圖可見,最大負彎矩在B截面上,最大正彎矩在C截面上,其值分別為:MB=-Pb/2,MC=Pb/4。由橫截面的尺寸可見,中性軸到上、下邊緣的距離分別為:y2=86mm,y1=134mm 本題經(jīng)分析可知,不管是對C截面還是對B截面而言,該梁的強度均由最大拉應(yīng)力控制。 因

19、此,只需分別算出C截面和B截面上的最大拉應(yīng)力,然后與材料相應(yīng)的許用應(yīng)力相比較,從而求出荷載P值,并選其中較小者作為該梁的許可荷載P。具體計算過程如下:5-35-3梁的正梁的正應(yīng)力強度條件應(yīng)力強度條件kNNbyIPIPbyyMttCt6 .241024.6013410230105493444334111maxkNNbyIPIPbyyMttBt2 .1910.17198610230105493222334222maxC截面:B截面: 取其中較小者,即得該梁的許可荷載為: P=19.2kN 。(mm)y1y2zYAP1P24.53M:(kNm)5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件St

20、rength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例例:圖示一鑄鐵形截面外伸梁。已知:P1=40kN,P2=15kN,l=0.6m。材料的l=36MPa,a=175MPa。橫截面尺寸如圖示。試校核此梁的強度。解解:(一)求反力,作M圖:kNlPlPlYA156 . 02 . 0153 . 040)32(121作M圖如下,有:kNmMMkNmMMBc3;5 . 4minmax (二)確定形心位置(中性軸z的位置)及Iz:)(107308. 532803012803023301101230110)(7238110)(3880303